Соболевские емкости в пространстве неевклидовых конфигураций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.216.22

О. В. Пугачев

СОБОЛЕВСКИЕ ЕМКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ НЕЕВКЛИДОВЫХ КОНФИГУРАЦИЙ

В пространствах конфигураций определены соболевские классы, изучены порожденные ими емкости. Доказана плотность соболевских емкостей любых порядков. Рассмотрена проблема: при каких условиях множество конфигураций, имеющих кратные точки, имеет нулевую меру и нулевые емкости. Результаты настоящей работы применимы в пространствах конфигураций над широким классом римановых многообразий, включающим в себя евклидово пространство и пространство Лобачевского.

E-mail: [email protected]

Ключевые слова: пространство конфигураций, риманово многообразие,

мера Пуассона, топология, классы Соболева, емкости, кратные точки.

Пространства конфигураций на римановых многообразиях представляют собой интересные примеры бесконечномерных нелинейных пространств, допускающих сравнительно простое описание и обладающих разнообразными аналитическими и геометрическими структурами. В последние годы в связи с различными задачами теории вероятностей и математической физики стал активно развиваться анализ на пространствах конфигураций [1—3].

Результаты настоящей работы применимы в пространствах конфигураций над широким классом римановых многообразий, включающим в себя евклидово пространство и пространство Лобачевского.

1. Пространства конфигураций. Пусть M — связное гладкое полное риманово многообразие размерности d. Через distM (x,y) будем обозначать расстояние между точками x,y £ M в римановой метрике.

Обозначим как C0 (M) класс непрерывных функций на M на с ограниченными носителями, а C™(M) — класс функций из C0(M), имеющих производные всех порядков; как C™(M,TM) — аналогичный класс векторных полей. Символом VM обозначим ковариантный градиент k-го порядка на M.

Определение 1.1. Пространство конфигураций (с кратными точками) Г = Гм на многообразии M есть пространство мер y на M, принимающих значения в Z+ U {+ж}, таких, что для всякого компакта K С M имеем y(K) < ж. Другими словами, меры y имеют вид

N

Y = ^ ki8Хг, N £ N и{+ж}:

i=1

где xi £ M, 5Хг - сосредоточенная в точке xi мера Дирака, ki £ N -кратность точки xi, и множество {xi}N=1 не имеет предельных точек.

Обозначим носитель меры 7 как эирр 7 = {ж»}^. Определение 1.2. Топологией на Г будем называть топологию, порожденную функциями вида

<р,т> := / ФЪ(¿ж), р € Со(М).

Геометрически сходимость конфигураций 7к ^ 7 в топологии означает следующее: на любом ограниченном открытом множестве и С М, на границе которого нет точек из 7, точки 7к П и при достаточно больших к равны по численности (с учетом кратности) точкам 7 П и и стремятся к ним.

2. Мера Пуассона. Случайная величина £ называется пуассонов-ской (с математическим ожиданием Е£ = Л > 0), если

Л п

Р{£ = п} = —е-А, п € N и{0}. п!

Прежде чем дать определение меры Пуассона на пространстве конфигураций, докажем несколько оценок, связанных с пуассоновскими случайными величинами, которые понадобятся в дальнейших доказательствах.

Во-первых, при каждом натуральном т мы имеем оценку

— \—+к \ — — \к \ — р£ > т = е-^ —_< Л-е-^ Л- = —

^ (т + к)! т! ^ к! т!

к=0 к=0

Лемма 2.1. Пусть £ - случайная величина, имеющая распределение Пуассона со средним значением Л. Тогда

(1) при М > 3Л имеем Р{£ > М} < 22А-М; (и) если Л > 1, то Е(£к) - скЛк для всякого к € N. Доказательство. Символом [ж] будем обозначать целую часть числа ж, т.е. [ж] = шах(2 П (-то; ж]). — е-АЛП

(1) Верна следующая цепочка неравенств: Р{£ > М} = > -1— <

п!

п=[М ]+1

< е-АЛ[2А] Л[М]-[2А] ^ < /Ь М-2А-1 - (ь - =

- [2Л]! (2Л)[М]-[2А] ^ (3Л)- < Ы 2-"\з) .

\ / —=1 \ / —=1

(и) Можно подобрать коэффициенты А1,...,Ап так, что

е-АЛпп- = ^ ^ е-АЛп ■ А, ■ п(п - 1)... (п - 3 + 1)

E(fk )=£

П! ^^ ^^ П!

n=0 j=1 n=0

k k

Z -A E e^r = £ -A ^ £ I-AI ■ m«x{i; A}k.

j=1 n=j ( j ) j=1 j=1

e-AAn-j (та - j)!

Лемма доказана. □

Определение 2.1. Пусть метрическое пространство М наделено борелевской локально-конечной мерой о > 0. Вероятностная мера па на пространстве конфигураций Г = Гм называется пуассоновской мерой с интенсивностью о, если для любого конечного набора непересекающихся ограниченных борелевских множеств Л1,...,Лп С М значения 7(Л^) являются независимыми пуассоновскими случайными величинами с Е7(Л^) = о(Л^).

Известно, что мера имеет полный носитель в точности тогда, когда о имеет полный носитель.

Определение 2.2. Пространство Г конфигураций без кратных точек на М есть следующее подпространство Г :

Г = {7 е Г: Уж е М т({ж}) < !}■

Мы имеем (Г\Г) = 0 в том и только том случае, если о не имеет атомов, т.е. о{ж} = 0 для всякой точки ж € М [4]. Более подробному изучению свойств множества Г\Г конфигураций с кратными точками будет посвящен раздел [5].

3. Соболевские классы в пространстве Пуассона. Далее будем предполагать, что мера о имеет плотность д относительно риманова объема на М, причем ^/д е Жг0'с2(М).

Определение 3.1. Функцию f: Г ^ К. назовем гладкой цилиндрической (f € если она имеет вид

f (7) = и(((р 1,7),...(^п,7)), где е С0^(М), и е Сь°°(ип), п е N.

Множество гладких цилиндрических функций плотно в пространстве Ьр(па) при всяком р > 1 [2].

Пусть ТпМп - такое тензорное расслоение над Мп, что слой в точке (ж1,...,жп) е Мп имеет вид

(ТпМп)(Ж11...1Ж„) = ТЖ1М ® ... ® ТХпМ.

Обозначим символом [■, -]п риманово скалярное произведение в слое (ТпМп)(Х1_ Хп), заданное формулой

п

[г>1 <8> ■■■ <8> ^п, <8> ■■■ <8> ь)г]п = ДСу,)тх3м.

3 = 1

Через | ■ | обозначим соответствующую норму |V| = ^]п.

Определение 3.2. Касательное тензорное пространство п-го порядка в точке 7 е Г есть пространство

Т7пГ := Ь2(Мп ^ ТпМп,7п)

сечений ТпМп, для которых конечна следующая норма:

. . . |2 -1/2 ||г«г = / \У (ж1,...,жп )| 7 (иж^ ...7(^Жп)

7 \,/Мп

Естественно отождествить Т0Г = М. В случае п =1 норма || • ||тхр совпадает с нормой, определенной в [6], где было введено касательное пространство Т7Г = Т^Г.

Обозначим через ,ТпГ) пространство п.-измеримых сечений ^ тензорного расслоения ТпГ, ^(7) € Т"Г, наделенное нормой

1/р

||р = ур (7)^ п.(¿7)

Векторное поле V € 60° (М, ТМ) порождает группу диффеоморфизмов {-—^}4ек многообразия М, заданных уравнением

И

(ж) = V(-r (Ж»; (ж) = Ж.

Эти диффеоморфизмы "поднимаются" в пространство Г согласно следующей формуле:

если 7 = ^ ^, то (7) = ^ А^(Жг).

г г

Теперь определим операцию ковариантного градиента для скалярных функций, векторных и тензорных полей на пространстве конфигураций.

Определение 3.3. Градиентом сечения ^ расслоения ТпГ, где п > 0, называется сечение V^ расслоения Тп+1Г, определенное таким образом: для всякого V € ТХМ, ж € эирр 7, выполнено

V F (7 )(x ), (v ® Vi ® • •• ® vn)

d

dt

i=0

n+1

F(^*(7))(^*(х1),...,^*(жп)), (^t(vi) <8> ••• <8> tft(vn))

Здесь — поток диффеоморфизмов, порожденный гладким векторным полем V: на М с К(ж) = V, таким, что — в окрестности точки ж сдвигает точки вдоль геодезических с постоянной скоростью; V: = 0 вне некоторой окрестности точки ж, не содержащей других точек конфигурации 7. Через Ф^) € Т^(Х)М обозначен результат параллельного переноса вектора V € ТХМ вдоль траектории —

В случае п = 0 мы имеем то же самое определение градиента скалярной функции, что и в работе [2].

Применяя определение 3.3 несколько раз, мы можем определить градиенты высших порядков Vк для скалярных функций, векторных

n

и тензорных полей на Г. При этом, очевидно, для ^: Г ^ ТпГ мы получим Vк ^: Г ^ Тп+к Г.

Гладкая цилиндрическая функция имеет градиенты любого порядка. Выпишем в явном виде первые два градиента функции

f Ы = и((^1,7),...,(^п,7)).

Через д^и обозначим частную производную функции и по г-му аргументу. Для краткости опустим аргументы и. Для ж, у е вирр 7 имеем

n

Vf (y)(x) = > &u ■ Vm^i(x)

¿=1

V2f (7)(x,y) = didju ■ Vm^¿(x) ® Vm^(y)+

i,j = 1

n

+ дги ■ Vм2^г(ж) ■ 1{

г=1

Если рассматривать V2f (7)(ж,у) как тензор 2-го порядка на М2, то он разрывен из-за добавочных слагаемых на множестве {ж = у}.

Определение 3.4. Будем говорить, что сечение ^ расслоения ТпГ принадлежит классу ТС0(ТпГ) гладких цилиндрических тензорных полей п-го порядка, если оно имеет следующий вид (без ограничения общности предполагаем, что точки ж1,...,жп е эирр 7 занумерованы таким образом, что повторяющиеся точки имеют соседние индексы):

^ (7 )(ж1,...,жп) = (1)

= ^ ] ^к1,...,кт (ж1,...,жп) ■ 1{х1=...=Хк1} ■ ■ ■ 1{хк1 + ...+кт_1+1=...=х„}, к1+...+кт=п

к,ем

где

N

^к1,...,кт (ж1,...,жп)^ ^к1>...>кт (7 )^к1>...>кт (жl,...,жn),

3=1

где N е М, функции ^к1, ",кт е ТС0°, а тензорные поля ^к1' "'кт е е С°(Мп,ТпМп).

Следует подчеркнуть, что индексы к в формуле (1) никак не связаны с кратностями точек конфигурации 7. В случае п =1 гладкие цилиндрические векторные поля из определения 3.4 - такие же, как те, что были определены в работе [2].

n

Соболевские нормы || • ||г,р, г € N р > 1, для гладких цилиндрических сечений ТпГ, п = 0,1,..., определены следующим образом:

г

||Г||г,р :=£IVкГ(7)||р.

к=0

Гладкие цилиндрические сечения имеют конечные соболевские нормы любых порядков.

Определение 3.5. Функция Г € ^(п.) принадлежит соболевскому классу Wг'р, если существует последовательность гладких цилиндрических функций Гт, сходящаяся к Г по норме ^(п.) и являющаяся последовательностью Коши по норме || • ||г,р. При к = 1,...,г градиентом к-го порядка сечения Г считается ^(п. ,Тк)-предел соответствующих градиентов функций Гт.

Корректность определения градиента к-го порядка сечения Г, т. е. независимость предела от выбора последовательности {Гт}, была доказана в работе [7]. Заметим, что описанные соболевские классы аналогичны классам, рассмотренным в работе [8] в случае конечномерного риманова многообразия.

4. Плотность соболевских емкостей в пространстве Пуассона. В геометрической теории меры и стохастическом анализе часто возникает потребность в более тонкой характеристике малости множества, чем сама мера. Важным примером такой характеристики являются емкости.

Вопрос о плотности соболевских емкостей в конечномерном случае решен положительно. В бесконечномерном случае возникают специфические трудности, а также появляется широкое разнообразие пространств, мер и определений соболевских классов [9]. Плотность емкостей 612 важна при построении диффузионных процессов [10]. Кроме того, плотность емкостей, порожденных классами Wг'p, является существенной деталью конструкции поверхностной меры на бесконечномерных пространствах и многообразиях [11, 12].

Определение 4.1. Соболевская емкость Сг р на Г, г € N р > 1, определена следующим образом:

Сг,р(и) = т£{||/||г,р: / € Wг'p, / > 0; / > 1 на и п.-почти всюду), если и С Г - открытое множество;

Сг,р(В) = т£{ Сг,р(и): В С и, и — открытое}

для произвольного В С Г.

Емкость С в топологическом пространстве X называется плотной, если для V е > 0 найдется компакт К£ такой, что С(X\Ке) < е.

В работе [5] доказан критерий компактности в топологии w0 пространства Г:

Теорема 4.1. Чтобы подмножество Q пространства Г было пред-компактным в топологии w0, необходимо и достаточно следующее условие: для всякого компакта A С M

sup y(A) < то. (2)

TeQ

Следствие 4.1. Пусть U С U2 С ... - ограниченные области в M такие, что

distM([Un],M\Un+i) > 1 и IJUn = M. (3)

n

Пусть функции G Co°(M) таковы, что |Un = 1, > 0, supp С Un+i. Тогда множество

K = {y : (^n,Y> < Mn, Vn G N}, Mn > 0,

компактно в топологии w0.

Доказательство. Множество K предкомпактно по теореме 4.1, поскольку = 1}, n G N - последовательность компактов, покрывающая все шары. При этом K замкнуто как пересечение замкнутых множеств. □

Пусть Ui С U2 С U3 С ... — ограниченные области в M с гладкими границами такие, что выполнено условие (3). Положим sn := a(Un), s0 := 1; мы можем выбрать Un так, чтобы sn > 2sn-i.

Предположим, что выполнено следующее условие: (C) Существуют функции G Cq (M) со значениями в [0; 1] такие, что |[Un]= 1, supp С Un+i, и константа а > 1 такая, что

sup sup |VM^n(x)| < ak Vk = 1, 2,...,r. (4)

n жем

В случае r = 1 условие (4) следует из условия (3) в силу леммы Гаффни [13]. В общем случае условие (C) является дополнительным ограничением на M. Приведем простейшие примеры функций на многообразиях, для которых условие (C) выполнено при всех r. Зафиксируем r > 1.

(i) Пусть M = ; Rn > Rn-i + 1, n G N, R0 := 0. Пусть p = |x|. Возьмем такие функции G C£°(R) :

{1, если p < Rn,

(1 + e-ctg(ni))-i, если 0 <t := p - Rn < 1, (5) 0, если p > Rn + 1,

и шары Un = {p < Rn}. Тогда функции <^n(x) удовлетворяют (C).

(ii) Пусть M — d-мерное пространство Лобачевского. В сферических координатах р, ь где р > 0, |ф»|< f при i < d — 1, и < п, риманова метрика имеет вид

d— 1 i—1

ds2 = dp2 + sh2p • ^^ ^ J^J cos2 d^2.

i=1 j=1

Для этого многообразия мы можем взять шары Un = {р < Rn} и функции (5). Тогда £ Cq0 удовлетворяют условию (C) в силу того, что кривизна M и кривизны сфер радиусов Rn > 1 ограничены.

Теорема 4.2. Пусть условие (C) выполняется для некоторого натурального r. Тогда емкость Crp, порожденная классом Соболева Wr'p на Г, плотна при всяком p > 1.

Доказательство. Рассмотрим функции определенные ранее. Имеем

(^n,7> < 7(Un+1);

и Y(Un+1) является пуассоновской случайной величиной с математическим ожиданием sn+1 > 2n+1. Рассмотрим компактные множества

Kn = {7 : (^n,7> < Nsn+2, Vn £ N}, N > 3. Тогда по лемме 2.1(i) получаем

оо

(Г\KN) < пЛ Y : (^n,7> > Nsn+2}

n=1 00

< 2—(N—2)sn+2 — 0 при N —у то.

n=1

Пусть невозрастающая функция Z1 £ C^ (R) такова, что Z1 |[о;1]= 1,

6 |[2;+~)= 0, Z1 > —2, и |Z(k)| < вк, где {Дк}*= - возрастающая последовательность положительных констант. Пусть Zm(t) = 0(£/т). Положим

©N(Y) := CNS„+2((^n,7>). Тогда ©N £ 0 < ©N < 1, и

{©N < 1}< п,{(pn, •> > Nsn+4 < 2—(N—2)sn+2.

< ij-s n

По цепному правилу дифференцирования получаем d

(g(t)) = /ШШ,

d2 2 ^ / (g(t)) = /"($(*))( g'(t))2 + /Ш)/(*),

и т. д. По индукции легко проверяется, что выражение для —к/(з^)) содержит не более чем к! слагаемых, имеющих вид

где 1 < ] < к, ¿1 + ... + ¿т = к.

При всяких 7 € Г, х1 € эирр 7, и ортонормированных

векторах е{,...,е^ € М, получаем

Vk ©N (y ), (e^ ekfc)] fc

<

< kT max IZNS I • max sup TT|VMwn(x)| < k! • ——

ßk ■

n+2

Заметим, что все градиенты функции 7 ^ (<£п,7) обращаются в нуль во всех тех точках конфигурации 7, которые лежат вне ограниченного множества ип+1\ип. Отсюда мы получаем

V©N(y)||T* < ■ (k!2 ■ Y(Un+i\Un)k, 1 < k < r, "jy V Nsn+2/

для -почти каждой конфигурации 7 (а именно, для всякой 7 без кратных точек). Поскольку в силу леммы 2.1 (и)

[ 7(Цп+1\ип(¿7) < / 7(ип+1)^(¿7) < Скр*кр

n+1;

получаем оценку

IVk©NH) < const(k,p) ■ s—+1 ■ sn+12 ■ п.{©N < 1} <

const(k,p) ■ вП+2_1)р

2(N—2)s„+2

N

'(n)

Теперь положим ©Na := ©N ■ ■ ■ ©N. Эти функции также принад-

лежат классу и последовательность |0|П)}^=1 фундаменталь-

на по норме || ■ ||г,р при всяком р. Действительно, пусть 7 € Г; х1 € эирр 7. Точка ж может принадлежать только одному из

множеств ип+1\[ип], скажем, множеству под номером п = п. Тогда имеем

V * (©(П) (7) - 0(1+1) Шжъ...,^ ) =

к ,

= Е (>; 0( (7)(ж1,...,жк)^ 0^) (1-0(+1Ы) -

,7=1 ^ 1<т<п, т=п

- 1{п. =п+1} ■ Vк 0(+1 (7)(ж1,...,Хк) ■ 0(п)(7)) .

Поскольку 0 < ©( < 1 для всех N, n, получается следующая оценка:

|Vk(©fn)(Y) - ©fn+i)(Y))|

I T k

< 1{©n+I=I}(y) ■ k ■ fe IIVk©mIIt* + IIVk©f+i|T7k)

<1{ön+1=i}(Y)^kbdfc/2 ■ вкa2k fmax Y(Um+1\Um)1/2.

{ П+1 = ' ym<n N ■ -m+2

Y(Un+2\Un+i)1/^ . , ( ) k ■ k! ■ dk/2 ■ вкa2k ГТ^^ + N ■ sn+з ) < 1{@N+i=i}(Y)--N--VY(Un+).

Отсюда по лемме 2.1 (ii) получаем

£|Vk (©(П) - ©(П+i)) IIlp,T*) <

n=i

; / sp/2 \ i/P

< £ M ©f+i = 1} ■ const(k,p) ■ -N2 <

n=i '

; / sP/2 \ i/P

< const(k,p) ■ £ I ■ 2(N+-22)sn+J (——0 „=i \ /

Из этого следует, что

II©(n) — ©(m)Ikp — 0 при n>m —У то. Следовательно,

оо

©N := lim©(n) = Д©( ef| W-.

Кроме того, поскольку ©(0) = 1, имеем

n=i p>i

(0) "

оо , ^р/2 ч 1/р

р - в-Иг., < Соп^,Р) • £ N— 0

п=0 4 7

при N —^ то. Очевидно, что в- = 1 на , и что эирр в- С К2-. Теперь рассмотрим функции := 1 — в-, N Е N. Функция удовлетворяет следующим условиям: 0 < < 1, и = 1 на -почти всем множестве Г\К2-. Следовательно, для открытого множества = Г\К2- мы имеем оценку емкости

(и-) < И/-Иг., — 0 при N — то.

Таким образом, емкость Сг , плотна.

5. Свойства подпространства конфигураций без кратных точек. Есть два подхода к описанию пространства конфигураций. Можно допускать конфигурации с кратными точками или же рассматри-

вать только конфигурации, не имеющие кратных точек. Пространство конфигураций Г с кратными точками обладает более простыми геометрическими и топологическими свойствами. В то же время пространство Г конфигураций без кратных точек оказывается более удобным для физических приложений (поскольку в одной точке не могут находиться одновременно несколько частиц), и на нем удобно строить диффузионные процессы (см. [14]).

На Г будем рассматривать ту же топологию w0. В работе [5] был выведен критерий предкомпактности множеств в Г:

Теорема 5.1. Чтобы подмножество Q пространства Г было пред-компактным в топологии w0, необходимо и достаточно, чтобы для всякого компакта A С M были выполнены условие (2) и условие

inf ( min distM(x,y)) > 0.

Y€Q \®,ygsupp yPiA /

Теперь рассмотрим такую проблему: будет ли та или иная соболевская емкость обращаться в нуль на множестве Г\Г конфигураций с кратными точками?

В работе [6] результат, полученный в [3] для соболевских емкостей первого порядка (r = 1), был обобщен для соболевских емкостей произвольных порядков:

Теорема 5.2. Пусть Г — пространство конфигураций на с пуассоновской мерой, порожденной локально конечной мерой о, имеющей плотность q относительно d-мерной меры Лебега, такую, что л/q £ W/i и q £ L2)c. Тогда при всяких r £ N и p £ [1; d/r) мы имеем Cr,p (Г\Г) = 0.

Теперь обобщим теорему 5.2 для пространства конфигураций на d-мерном пространстве Лобачевского Ld.

Теорема 5.3. Пусть Г — пространство конфигураций на d-мерном пространстве Лобачевского с пуассоновской мерой, порожденной локально конечной мерой о, имеющей плотность q относительно римановского объема такую, что ^/q £ W^'2 и q £ L2)c. Тогда при всяких r £ N и p £ [1; d/r) мы имеем (Г\Г) = 0.

Доказательство. Пусть rp < d. Если а £ M и r > 0, определим следующую функцию из класса C0(M) со значениями в [0; 1] :

*?(*):= ф(diStMR(a,x)); Ф £ cm i{t<i} < Ф < i{t<3/2}.

Так же, как и в случае M = при M = Ld мы имеем £ Q^M). При этом выполнены оценки ||VM(x)|| < ■ (1 + R—k).

Зафиксируем точку a £ M. Тогда

те

Г\Г = у Dn, где Dn = {y £ Г : 3— £ Bn(a) : y({—}) > 2

n=1

Зафиксируем натуральное n и докажем, что Crp(Dn) = 0. Пусть Ld имеет единичную кривизну. Представим Ld в виде модели Пуанкаре

(см. [15]): полупространство П = {(x1,...,xd) : —d > 0}

1 d

с римановой метрикой ds2 = —^ ^^ d—2.

—d • 1

d i=1

Если точка c имеет в П координаты (c1,...,cd), то шар Br(c) имеет вид

d— 1

Br(c) = {(—1,...,—d) : i — Ci)2 + (—d — Cdchr)2 < (cdshr)2}.

i=1

Пусть a имеет в П координаты (0,...,0,1). Шар Bn содержится в параллелепипеде Pn := {|—i| < en; —d > e—n}. Возьмем N Э N > n, положим £ := n/N и разобьем Pn на 2N слоев {e—n+(d—1)5 < — d < e—n+d5}, k = 1,...,2N. В k-м слое возьмем конечный набор точек cd'j = (c^'^ , ...,cd'j), j = 1,...,Jd, где cd'j = hd := e—n+(k—1/2)5, являющийся кубической решеткой с шагом ^ hd. Тогда k-й слой покрывается шарами B5(cd'j), причем d — 1

Jd < const • Nd—1. Число всех шаров N(N) < const • Nd, и они покрывают Bn(a). Следовательно, Dn содержится в открытом множестве

2N J

Dn,N :=UU {y £ Г: (y, ^ > > 3/2}.

d=1j=1

При каждом фиксированном k кратность пересечения шаров B35/2(cd j)

/Vd—Г • sh(3/2) \d—i ,

не превышает K := ^---I-1J . Поскольку шары k-го и

m-го слоев пересекаются только при |k — m| < 3, кратность пересечения всех шаров B5 (cd'j), 1 < k < 2N, 1 < j < Jd, не превосходит 5K.

Построим гладкую цилиндрическую функцию

2N J

fN := 1 — ПП^».

d=1j=1

Тогда fN = 1 на Dn N, и в то же время fN со всеми своими градиентами

обращается в нуль вне множества

2( Л

= и и Ь € Г : (7, 9^) > 1} Э .

к=13=1

Мера этого множества оценивается следующим образом:

п.(ВП,() < ЕЕпЛ7 € Г : 7(В)) > 1} (6)

к=1 3 = 1

, 2N Jk 2N Jfc 2

на(ckj)))2=2ее / Qd^ < 2 k=i 2 k=i ¿.Л •'B< ('k-') y

< 2ЕЕ V(В)) у < 1V(В,)>5К у < А^.

к=1 3=1 В (ск>^') В„(а)

Оценим норму V*/(, к = 1,...,г. В каждой 7 € Г (т.е. в п.-почти каждой 7 € Г) мы имеем при т = 1,...,г

з<5

c(m, d) m

V-Ф((Y, )) (xi,...,xk) | < ■ П 1B3,/2('k,j)(xi).

г=1

Поскольку точка ж не может лежать в более чем 5К носителях функ-

95

2( Л

ций , и 0 < ф < 1, получаем

Vm (П П Ф ((Y, ^ ))) (xi,...,xfc) < ■ II lBn+1(a)(Xi).

k=ij=i i=i Отсюда получаем оценку TnMп-нормы градиента:

const2(r,d) ■ (y(Bn+i(a)))m

|VmfN(Y)Г <

¿2m

, mp/2

|Vm/NIIP < ¿—mp / constp(r,d) ■ (y(Bn+i(a)))mp/2n.(dY) <

< ¿—mp ■ Const(r, d,p, q) ■ (¿d)q, 0 < q < 1,

в силу (6). Если гр < то можно выбрать такое д, что > гр, и тогда ^ 0 при N ^то, т = 1,...,г. Кроме того,

/ , \ 1/р ||/(||Р < (п.(Б^)) ^ 0

при N ^ то. Следовательно, ||/(||г,р ^ 0. Наконец, по определению емкости мы получаем (Бп) < (Бп,() < ||/(||г,р ^ 0 при

N — то, следовательно, Сг.р(Юп) = 0. Для завершения доказательства применим счетную субаддитивность емкости.

Плотность соболевских емкостей в пространстве Г не будет автоматически вытекать из плотности тех же емкостей в Г, поскольку для компакта К С Г множество К П Г может не быть компактным в Г. Теоремы 5.2 и 5.3 позволяют решить эту проблему в некоторых случаях.

Следствие 5.1. Пусть Г - пространство конфигураций без кратных точек на М = М (или М = Ь^) с пуассоновской мерой, порожденной локально конечной мерой о с непрерывной плотностью д относительно меры Лебега (римановкого объема), такой, что ^д е Ж^2^) и д € Ьг2ос(М^). Тогда при всяком г € N и р е [1; ¿/г) емкость Сг.р плотна в Г.

Доказательство. Поскольку для М = М и для М = Ь выполнено условие (^ при всех г € N из теоремы 4.2 вытекает, что при всяких р > 1 емкость Сг.р на Г плотна. Зададим е > 0 и возьмем компакт К С Г с Сг.р(Г\К) < е/2. Затем возьмем открытое множество и такое, что

е

Г\Г С и С Г; Сг.р(и) < 2-

Тогда Кх := К\и С Г является компактом в топологии По субаддитивности емкости получаем

Сг.,(Г\Кх) < Сг.р(Г\Кх) = Сг.р(Г\К) + Сг.р(и) < е. Таким образом, емкость р плотна также в Г. □

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Смородина Н. В. Формула Остроградского-Гаусса для пространства конфигураций // Теория вероятн. и примен. - 1990. - T. 35, № 4. - C. 725-736.

2. AlbeverioS., Kondratiev Yu. G., RocknerM. Analysis and geometry on configuration spaces // J. Funct. Anal. - 1998. - Vol. 154, No. 2. - P. 444-500.

3. Rockner M., Schmuland B. A support property for infinite-dimensional interacting diffusion processes // C. R. Acad. Sci. Paris, Serie I. - 1998. - Vol. 326. - P. 359-364.

4. Кингман Дж. Пуассоновские процессы. - М.: МЦНМО, 2007.

5. Пугачев О. В. Пространство простых конфигураций является польским. // Матем. заметки. - 2002. - Т. 71, № 4. - С. 581-589.

6. Богачев В. И., Пугачев О. В., Рекнер М. Поверхностные меры и плотность соболевских емкостей на пространстве Пуассона // Докл. РАН. -2002. - Т. 386, № 1. - С. 7-10.

7. П у г а ч е в О. В. Соболевские емкости множества конфигураций с кратными точками в пространстве Пуассона // Матем. заметки. - 2004. - Т. 76, № 6. -С. 874-882.

8. A u b i n T. Some nonlinear problems in Riemannian geometry. - Springer, Berlin. 1998.

9. Б о г а ч е в В. И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна. НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". Т. 1,2.- Москва-Ижевск, 2008.

10. М a Z. М., Rockner М. An introduction to the theory of (non-symmetric) Dirichlet forms. - Springer, Berlin-Heidelberg, 1992.

11. Пугачев О. В. Емкости и поверхностные меры в локально выпуклых пространствах // Теория вероятн. и примен. - 2008. - Т. 53, № 1. - С. 178-189.

12. A i r a u 11 H., M a 11 i a v i n P. Integration geometrique sur l'espace de Wiener // Bull. Sci. Math., 2e serie. - 1988. - Vol. 112. - P. 3-52.

13. G a f f n e y M. P. A special Stokes's theorem for complete Riemannian manifolds // Ann. of Math. - 1954. - Vol. 60, No. 2. - P. 140-145.

14. M a Z. M., Rockner M. Construction of diffusions on configuration spaces // Osaka J. Math. - 2000. - Vol. 37. - P. 273-314.

15. Клейн Ф. Неевклидова геометрия. - М.-Л.: ОНТИ, 1936.

Статья поступила в редакцию 25.10.2011