О полноте собственных функций пучков обыкновенных дифференциальных операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Рф ф Рф, ■ Необходимость установлена. Доказательство достаточности основано на следующем вспомогательном утверждении.

ЛЕММА ]. Пусть е - максимальное по включению среди стабильных эквивалентностей в <До>, все классы которых - антицепи. Тогда

транзитивное замыкание фактор-отношения является линейным порядком на , а каноническое отображение О на является обобщенным критерием, ядро которого совпадает с г.

Возникает естественный вопрос о существовании карты для произвольного упорядоченного множества. Этот вопрос решается положительно. В самом деле, нетрудно убедиться, что в произвольном упорядоченном множестве < О,со > любая цепь стабильных эквивалентностей, все классы которых - антицепи, имеет мажоранту (а именно мажорантой цепи (е

таких эквивалентностей является эквивалентность Е=иЕ,). Отсюда по

1е1

лемме Цорна следует существование максимальной стабильной эквивалентности е, все классы которой — антицепи. По доказанной теореме с будет картой в упорядоченном множестве < До >.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1- Подиновский В.В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982.

2. Розен В. В. Цель - оптимальность - решение. М.: Радио и связь, 1982.

УДК 517.927.25

В. С. Рыхлов

О ПОЛНОТЕ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ПУЧКОВ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ*

Рассмотрим пучок обыкновенных дифференциальных операторов Цк). порожденный на конечном интервале [0,1] дифференциальным выражением

!(у,Х):= Р%к еС, р0н*0,

и линейно независимыми двухточечными краевыми условиями, которые считаем нормированными:

* Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1), РФФИ (проект 03-01-000169) и программы «Университеты России» (проект ур.04.01.375).

107

и} (у. к) = и}й (у, к) + и п {у, л)

х+к<<5 ]

где а,р ^ еС, еО,и-1 есть порядок /-го краевого условия. Пусть а = а, + +„.+ ап есть суммарный порядок краевых условий (1).

Рассмотрим уравнение /(уД) = 0. Предположим, что корни его характеристического уравнения попарно различны и отличны от нуля. Тогда при к*0 система функций ук(х,л) = ехр(Лсокх), к=\,п, является фундаментальной системой решений (ф.с.р.) уравнения 1(у,к) = 0.

Введем в рассмотрение следующие вектор-еголбцы при £ = 1,и:

н к (V=({Л (у к > Ч и2 (у к (у к,

Ука) = {и10(ук,Х),и20(ук,Ы:.,им{ук Д))г3 Щ(к) = 0и,,(укЯ), и21 (ук,А),...,ип](ук,\)У . С использованием этих обозначений характеристический определитель (х.о.) пучка ¿{к) будет иметь вид

Мк) = Нх(к),Н2(.к), ..,//, ;л)Н

и У{ (л) + екщ (к), У2 (к) + еХо1ЧГ2(к),...,К:(к) + еХа» УГп(к) |. (2)

Известно, что отличные от нуля собственные значения пучка ¿(к) есть нули А(А.).

По аналогии с [1] положим Ху, = X05« , где к- 1,2,...,Л', ~ про-

aeJt

извольный набор из к различных натуральных чисел, изменяющихся от 1 до п. При к = 0 считаем % = 0 .

Далее будет использоваться обозначение

[л]а = По+т1 + - + 7^ . п < еС.

л А

Учитывая определение форм и ¡(-,к) в (1), чисел . > ВИД ф.с-Р-ук(х,к), к = \,п, и раскрывая х.о. (2), будем иметь

= • (3)

¿к

Обозначим через Мд выпуклую оболочку тех точек XJk > Для которых Многоугольник МА назовем характеристическим многоугольником (х.м.) функции

Далее будем рассматривать следующее семейство решений уравнения 1(у,к) = 0 при к Ф 0 (это семейство было введено в [2]):

|-Щ)| Я, (А.) ... Нп(Х) Г

зависящее от вектор-столбца Г:=Г(А.) = (у1(Х.),у2(Я,),...,7п(Я.))/, который является параметром.

Раскладывая определитель (4) сперва по элементам первой строки, а затем каждое алгебраическое дополнение на сумму определителей аналогично тому, как это было сделано при получении формулы (3), находим

7=1 ->к ЧЛ

Обозначим через М. г) выпуклую оболочку тех точек со ¡х + > Д-та

которых Пусть М(Г) есть выпуклая оболочка всех много-

угольников ^¡,(х г) ПРИ х е [ОЛ] ■ Назовем М(Г) характеристическим многоугольником вектора I (а) .

Будем говорить, что целая вектор-функция экспоненциального типа (ц.в.-ф.э.т.) Г(А) удовлетворяет условию (а), если Мл имеет не менее двух точек касания с М{Г), причем перпендикуляры, проведенные из некоторой фиксированной внутренней точки к сторонам М{Г), на которых лежат точки касания (если точка касания — вершина, то таких перпендикуляров два), разбивают комплексную плоскость на секторы раствора меньше л.

Справедливы следующие результаты.

ТЕОРЕМА 1. Если существуют ц.в.-ф.э.т. ГДА,) е (га), / = 1 ,п, такие, что для всех А. е С за исключением конечного множества гапк(Г1(л.),Г2(А),...,Гл(/.)) = и,

то система собственных и присоединенных функций (с.п.ф.) пучка Цк) /7-кратно полна в £2[0,1] •

Естественными кандидатами на роль таких Г, (А) являются векторы

К,-<70 и Я)(к), у = 17п.

СЛЕДСТВИЕ 1. Если ^ е(а),* = Ц, IV^ е (а), (= 1,7, к + / > п, и

для всех л, е С за исключением конечного множества

гапк(К,. Л,, ) = " ,

то система с.и.ф. пучка Ь(к) и-кратно полна в ¿2[0,1].

ТЕОЕ'ЕМА 2. Если существуют да пар (0 < т < п) векторов {V,,} таких, что К- 6 (а), ТУ/ е (а), то система с.п.ф. пучка Ь(Х) т -кратно полна в £2[0,1] с возможным конечным дефектом.

109

Проверить, удовлетворяют или нет векторы V, и 1¥/- условию (а).

позволяют следующие леммы из [2], ко торые приводятся в новой формулировке, учитывающей введенные обозначения.

ЛЕММА 1. Для фиксированного / (1 < ]<п) х.м. М(К ) содержится

в выпуклой оболочке х.м. Мл и всех тех точек ^ , для которых множество содержит число у.

ЛЕММА 2. Для фиксированного / (1 < _/'<и) х.м. М(И/'!) содержится в выпуклой оболочке х.м. Мд и всех тех точек Х/к < Для которых множество .!к не содержит число /.

Имеются примеры простых пучков Да), которые не являются нормальными по терминологии [2] (то есть георема об л-кратной полноте системы их с.п.ф. в пространстве ¿2[0,1] из [2] здесь не имеет места), по, тем не менее, из сформулированных теорем вытекает и-кратная полнота в /.п [0,1] системы их с.п.ф. Из-за офаниченности объема статьи эти примеры здесь не приводятся.

1. Шкаликов А. А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. М.. 1983. Т. 9. С. 190-229.

2. Рыхлое В. С. On completeness of eigenfunctions for pencils of differential operator // Spectral and Evolutional problems: Proceedings of the Seventh Crimean Autumn mathematical School-Symposium. Simferopol, 1997. Vol. 7. P. 70-73.

Л. В. Сахно

ТЕОРЕМА ЭКВИВАЛЕНТНОГО ВЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ВЕСОВОГО КЛАССА С. Л. СОБОЛЕВА

В статье дана в терминах -нормы характеристика весовых классов С. Л. Соболева IV'р а.

Пусть I = (/],...,/„) - вектор с натуральными координатами, а Ст - область в К" вида б = : х'= (х1,...,х„„,)е ф(х') < д;,, < х}, где функция ф удовлетворяет уравнению Гельдера

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

УДК 517.51

<=1

(очевидно, что при lj >ln функция ф не зависит от Xj).