О существовании базиса в весовом пространстве целых функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Уфимский математический журнал. Том 1. № 1 (2009). С. 3-15.

УДК 517.982.3 + 517.550.4

О СУЩЕСТВОВАНИИ БАЗИСА В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ

Н.Т. АХТЯМОВ, И.Х. МУСИН

Аннотация. Изучается проблема базиса в весовом пространстве целых функций.

Ключевые слова: целые функции, преобразование Лапласа функционалов, выпуклые функции.

1. Введение

Всюду далее для u = (u^...,un) £ Cn,v = (v^...,vn) £ Cn полагаем < u, v >= u1v1 + • • • + unvn, ||u|| - еклидова норма в Cn. Через H(Cn) обозначаем совокупность целых функций в Cn.

С выпуклой в Cn функцией удовлетворяющей условию

lim =

z—x ||z||

ассоциируем пространство

E(p) = {f £ H(Cn) : ||f ||v = sup i^Ml < .

^ zec"

С нормой || • пространство E(<^) - банахово.

Пусть Ф = {^m}m=1 - произвольное множество выпуклых в Cn функций >ßm таких, что Vm £ N:

1) lim W =

m

z—x II z I

2) lim (<£m(z) - ^m+l(z)) = + ГО.

z—

x

Очевидно, E(<^m+i) С E(<^m). Положим E(Ф) = E(<^m). С обычными операциями

m=1

сложения и умножения на комплексные числа Е(Ф) становится линейным пространством. Наделим Е(Ф) топологией проективного предела пространств Е(^т). Таким образом, базис окрестностей нуля в Е (Ф) образуют множества

= {/ £ Е(Ф): ||/Н^ <*}, т £ N ¿> 0.

Очевидно, Е(Ф) - пространство Фреше.

Важным этапом при изучении ряда вопросов анализа [1] - [3] является описание сопряженных пространств в терминах преобразования Лапласа (Фурье-Лапласа, Коши) функционалов. Для пространств типа Е (Ф) (в нетривиальных ситуациях) задача описания сопряженного в терминах преобразования Лапласа функционалов изучалась в работах

Ahtyamoy N.T., MusiN I.Kh. On existence of a basis in a weighted space of entire functions. © Ахтямов Н.Т, Мусин И.Х. 2009.

Работа второго автора выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты №08-01-00779, 08-01-97023), программы государственной поддержки ведущих научных школ Российской Федерации (грант Президента Российской Федерации НШ 3081.2008.1). Поступила 5 марта 2009 г.

В.С. Ткаченко [4], С.В. Попёнова [5], Ф. Хаслингера [6]. Пространства, рассматривавшиеся в [4] - [6], относятся к классу локализуемых аналитически равномерных пространств в смысле Эренпрайса-Паламодова-Хансена [7]. Отметим, что для некоторых пространств целых функций, не входящих в данный класс, указанная задача рассматривалась в [8].

В данной работе продолжается изучение пространства E(Ф) целых функций в Cn при тех же предположениях на систему Ф весовых функций, что и в [8]. А именно, пусть числа ^ и р таковы, что 1 < ^ ^ р. Пусть Ф = {<^m}^=i - совокупность выпуклых функций в Cn, удовлетворяющих условиям:

ii) ЗА > 0 3B > 0 Vm G N 3Cm > 0 3Dm > 0:

CmlNr - Dm ^ ^m(z) ^ A||z||p + B , z G Cn;

¿2) За > 0 Vm G N 3bm > 0:

^m(z) - <£m+l(z) > а ln(1 + ||z||) - 6m, Z G C".

Определение 1. Преобразование ^m Юнга-Фенхеля функции ^m определим по формуле

^m(A) = sup (Re < A,z > -^m(z)), A G Cn.

zecn

Функция принимает конечные значения и является выпуклой в Cn. Известно, что

Ш* = ^rn [9].

Отметим, что для любого A G Cn функция /л(z) = e<A'z> принадлежит E(Ф). Действительно, Vm G N

I р<Л,2> I

IIAL = sup J-Т-1 = в^(Л) < ГО.

Пусть Ф* = {^m}rn=l. Поскольку ^(z) < ^m+1 (z) + bm всюду в Cn, то для любого

те

m G N пространство E(<^m) непрерывно вложено в E(^m+1). Пусть P(Ф*) = E(^J.

m=1

С обычными операциями сложения и умножения на комплексные числа P(Ф*) становится линейным пространством. Наделим P(Ф*) топологией индуктивного предела нормированных пространств E(^m).

В силу условий на Ф пространство E(Ф) является пространством (M*), а пространство P(Ф*) - пространством (LN*)(см. определения в [10], [8]).

Через E'(Ф) обозначим пространство линейных непрерывных функционалов на E(Ф), через E*(Ф) - сильное сопряженное пространство к пространству E(Ф).

Определение 2. Преобразованием Лапласа функционала S G E'^) называется функция

5(A) = (S,e<^z>), A G Cn. Пространство E*(Ф) допускает следующее описание [8].

Теорема A. Отображение L : S G E*(Ф) ^ S устанавливает топологический изоморфизм пространств E*(Ф) и P(Ф*).

В данной заметке изучаются свойства пространства E(Ф). Показано (Теорема 2), что E(Ф) - ядерное пространство [11]. В частности, E(Ф) - счётно-гильбертово пространство. В работе построена эквивалентная исходной счётно-гильбертова топология (Теорема 1). Также в работе дано применение теоремы A к задаче о существовании базиса в весовом пространстве целых функций типа E^) в одном специальном случае. Отметим, что по вопросу существования и построения базисов в счётно-гильбертовых пространствах [11] имеется много работ (см., напр., [12], [13]). Интерес к данной проблематике усилился после появления примеров ядерных пространств Фреше [12], [14], не имеющих базиса (см., напр.,

[15]). В весовых пространствах целых функций типа E (Ф) данная проблема рассматривалась Ф. Хаслингером [6] для случая весовых функций ^m(z) = rmp(z), где rm ^ r0 > 0 при m ^ то, p - выпуклая функция в Cn, удовлетворяющая условию

lim p( ) = +то.

z^x Z

В четвёртом разделе работы показано (Теорема 3), что базис в E(Ф) существует в ситуации, когда система Ф состоит из выпуклых в Cn функций имеющих при ||z|| > R (где R > 0 - некоторое число) вид:

( \ / Ч '"V llZl

<m(z) = <(z) +

m

где < - выпуклая функция в Cn, удовлетворяющая условию: существуют положительные числа Ap, Bp, Cp, Dp такие, что

CJzf - Dp ^ <(z) ^ Ap||z||р + Bp , z e Cn,

а h - непрерывная неубывающая положительная функция на [0; +то) такая, что: л т h(r)

r^+x ln(1 + r)

p-i

b) Vb > 1 h(br) = O(h(r)), r ^ +то.

c) h(|z|) = O(<(z)), z ^то.

В ходе решения задачи используются (как ив [6]) методы Митягина-Хенкина [16] и Д. Фогта [17], а также теорема A.

2. Вспомогательные утверждения

Лемма 1. Пусть v > 1, а функция < : Cn ^ R такова, что для некоторых чисел Cp > 0, Dp > 0

<(z) > Cp||z||v - Dp, z e Cn. Тогда найдется постоянная Mp > 0 такая, что

|<*(z) - <*(Z)|< Mp

для всех z, Z e Cn, удовлетворяющих условию

llz - Zll -г^-т".

(1 + llZ ll) 77-1

Доказательство. Для произвольного z e Cn рассмотрим функцию

u(Z) = Re<z,Z> -<(Z), Z e Cn.

Пусть точная верхняя грань в Cn функции uz достигается в точке Zo(z). Тогда найдется число Kp > 0, не зависящее от z, такое, что

llZo(z)ll ^ Kp ■ (1 + llzl^). Покажем это. Пользуясь условием леммы, имеем

Uz (Z) < llzlHlZ ll- CplZ г + Dp.

Так как <*(z) = sup uz(Z) > -<(0), то sup uz(Z) достигается на множестве

Cecn Cecn

Gz = {Z e Cn : llZ ll ■ llzl > CplZ Г - Dp - <(0)}.

Положим Lp = Dp + <(0). Из условия на < следует, что Lp > 0. Пусть для А > 0 Та -множество решений неравенства

Ах > CpX — Lp,

принадлежащих К+. Это множество - отрезок вида [0,жл], где ж л < то. Оценим ж л сверху. Имеем Ажл = С^жЛ — Предположим, что жл > 1. Тогда

А — С—ЖД 1--— > С—ЖД 1 — L—.

жд

Отсюда жд ^ ^ • Принимая во внимание случай жд < 1, получаем

А + L—

жд ^ + 1.

1

v-1

Отсюда, если 0 < А < 1, то жд ^ ^ +1, а если А > 1, то жд ^ Аv1 ^ j + 1.

Положим K^ = ^ + 1. Тогда

жл ^ КД1 + А^).

Правую часть последнего неравенства обозначим через ^л. Итак, ТЛ С [0; ^л]. Поскольку С € ^ ||С || € Т||г||, то е имеем

11СII ^ К -||г||^ +

В частности,

1Ко(*)|| ^ K—||z||^ + K

— || ^ || 1 — ' V

Далее для z,e G Cn таких, что ||е - z|| ^ (1 + ||е||)1—

) - p*(z) — sup (Re < С,£ > -p«)) - sup (Re < Z,z > -p«)) <

Сecn Сecn

< Re < е,Со(0 > -p(Co(£)) - Re < z,Co(0 > +^(Со(£)) —

— Re<e - z,Co(o ><||е - z ||-||Co(e )|| ^

< (i + не ||) ^ k—(i + ||en ^) ^

Аналогично,

^ (1 + ||е||)^ —2K—.

(1 + ||Ш ^ —

p*(z) - p*® ^ Re < z - e,Zo(z) ||z - е||||Co(z)|| ^

^ k—(1 + ||z||^) ^ K—(1 + (1 + ||е||)^) . ^ i ^ i ^ (1 + нею ^ (1 + нею v—i

2K—(1 + не ||) v—i

^ -—v ■ ,,^ — 2K—.

(1 + ||е||)

v — 1

Осталось положить M^ = Лемма 1 доказана.

Следствие 1. Пусть ^ - выпуклая функция в Cn такая, что:

1) lim -# = +то;

z—x || z ||

2) существует число п > 1 такое, что

у- ^(z) ^

lim < то.

z—||z||n

Тогда существует постоянная C^ > 0 такая, что

Hz) - )| ^ Cv,

если ||z - £|| ^ (1 + ||Ш1-П.

Доказательство. В силу условия 2) на <^(z) имеем при некоторых C > 0, D > 0

<^*(z) > C||z||П- - D.

Таким образом, функция удовлетворяет условиям леммы 1. Поэтому найдется число Cp > 0 такое, что для всех z,£ Е Cn с условием

||z - en ^ (1 + не||)1-п

будем иметь | (<£*)* (z) — (<£*)*(£)| ^ Cp. Так как (<£*)* = то следствие 1 доказано.

Лемма 2. Пусть числа ß и р таковы, что 1 < ß ^ р. Пусть Ф = {^m}m=1 - совокупность выпуклых функций в Cn, удовлетворяющих условиям i1), i2). Пусть для любого z Е Cn и любого m Е N £m(z) - точка, в которой достигается точная верхняя грань на Cn функции Vz,m(e) = Re < z,e > -^m(e).

Тогда существует число 7 > 0 такое, что для любого m Е N найдется число dm > 0 такое, что для всех z Е Cn

||£m(z)|| > Y ||z || ^ - dm.

Доказательство. Докажем от противного. Предположим, что для каждого k Е N найдутся числа m,fc Е N и Е Cn такие, что

||£mfc (zfc )|| ^ 1 ||zfc || ^ - k. Таким образом, zk ^ то при k ^ то. При этом Vk Е N

< (zfc) = Re < zfc,emfc (zfc) > -^rnfc (Cmfc (zfc)) ^ ^ ||zfc|| ■ ||emfc (zfc)|| - (£mfc (zfc)) ^

1 P 1 P

^ 1 ||zfc || ^ - Cmfc ||£mfc (zfc )Г + Dmfc ^ £ ||zfc || ^ + Dmfc , что противоречит тому, что при любом m Е N

!

1W 1 \ р-1 ,, ,

л(z) -11 - ||z|R — B,z ё C"

Итак, допущение было неверно. Значит, утверждение леммы верно.

3. Топологические свойства пространства E(Ф)

Пусть числа ^ и р таковы, что 1 < ^ ^ р, Ф = {^m)m=i - совокупность выпуклых функций в Cn, удовлетворяющих условиям il), ¿2).

Обозначим через Ап меру Лебега в Cn. Для произвольных z ё Cn и числа r > 0 пусть Br(z) = {£ ё Cn : ||£ — z|| < r} - шар радиуса r в Cn с центром в точке z ё Cn, vn(r) = vn(1)r2n - обьём шара Br(z).

3.1. Счётно-гильбертовость пространства Е(Ф).

Теорема 1. Топология в Е(Ф) может быть определена эквивалентным способом с помощью семейства норм

[ |/¿Лга(^П 2 , т Е N. I сп )

Доказательство. Покажем, что топология т2 в Е(Ф), заданная с помощью семейства норм || ■ ||т (т € М) не слабее топологии п в Е(Ф), заданной с помощью семейства норм II ' II^т (т е М). Возьмём произвольное натуральное число т. Заметим, что для любого 5 е N при некотором > 0 всюду в Сп

— > ва 1п(1 + ЦгЦ) — . (1)

Пусть / - произвольная функция из Е(Ф). В силу плюрисубгармоничности I/(г)! в Сп имеем при любом г > 0

I/(г) ^ / I/(О! ¿А„(£). (2)

Вг (г)

Положим в (2) г = (1 + ЦгЦ)1-р и для произвольного в € N продолжим это неравенство, пользуясь по ходу неравенством Коши-Буняковского и следствием из леммы 1:

I/с^ ^ / I/(еж^+^в^« ¿А„(£) ^

Вг (г)

^ Ц I/(е^в-2^« 2 ■ (7 в2^(« (еЛ т ^

^(г) V Звг (г) / \./вГ (г) /

^ —^ (/ I/(е)Гв-^т+*(?) ^А„(е^2 ■ =

^га(г) \ ■¡С" /

= (^га(г))-2 Ц/^ ■ в^+^^т+с =

-.,(г)||

Отсюда Уг € Сп

(^„(1))-2 в^ + з (1 + Цг Ц)п(р-1)в^т + 3(г)

I/(^в^т + ^Ь^^а+ИО ^ (^га(1))-Т в^ + з

Пусть теперь в = [га(ра 1)] + 1. Пользуясь неравенством (1), получим

I/(^в-^ ^ в^+с +Ьт,* ■ (^(1))-2 ■ II/Цт+в, г € Сп.

Отсюда

8пр I/(г)^(г) ^ в^+с +Ьт,* ■ (^(1))-2 ■ Ц/Цт+в,

,гесп

то есть,

Т

Итак, доказано, что топология т2 в Е(Ф) не слабее топологии Т1 в Е(Ф).

Покажем теперь, что топология п не слабее топологии т2. А именно, докажем, что для любого т € N найдутся числа > 0, к € N такие, что для каждого / € Е(Ф)

т ^ ^||/|Ц . (3)

Пусть в = [^] + 1. Для любого / € Е(Ф)

2 = / I/ (г) |2в-2^т( т I

и С"

I/(г)^-2*»« (г) =

I/(г^в^т+^в^т+^Ь^» ^А„(г) ^

С

п

^ II/С+. / в-2(п+1)1п(1+||г||)+2Ь- ¿А„(г)

Сп

2 „2Ь

т.й

в ,

^в ]Сп (1 + ЦгЦ)2(п+1)

i

Отсюда, полагая dm = ebm's ^fc„ (^^"(С^) ) , k = m + s, получим неравенство (3). Таким

образом, топологии ti и т2 в E(Ф) совпадают. Теорема 1 доказана.

3.2. Ядерность пространства E(Ф).

Пусть E и F - нормированные пространства с нормами || • ||в и || • ||f, соответственно. Через ||S||в' обозначим норму функционала S G E'

||S||в' = sup |(S,x)|.

I N | E <1

Определение 3. Линейное непрерывное отображение T : E ^ F называется ядерным, если существуют функционалы an G E' и элементы yn G F (n = 1, 2,...) такие, что

Tx = ^ ara(x)y„, x G E,

^n

n=1

П=1

Пусть и - абсолютно выпуклая окрестность нуля в локально выпуклом пространстве Е. Пусть Е(и) = (ж С Е : ЗА > 0 ж Е Ли}. Норму в Е(и) зададим с помощью функционала Минковского окрестности и.

Определение 4. Локально выпуклое пространство Е называется ядерным, если в нем имеется фундаментальная система окрестностей нуля и такая, что для каждой окрестности нуля и Е и существует окрестность нуля V Е и такая, что V С Ли при некотором А > 0 и каноническое отображение пространства Е(V) на Е(и) ядерно.

Приведём критерий ядерности пространства. В его формулировке для локально выпуклого пространства Е через || ■ ||и обозначена калибровочная функция (функционал Минковского) окрестности и, через V0 - поляра множества V С Е, через (■, ■) - двойственность между Е и Е' (пространством, сопряжённым к Е). Известно (см., напр., [14], п. 4.1.5), что локально выпуклое пространство Е - ядерное тогда и только тогда, когда для любой абсолютно выпуклой окрестности нуля и существует окрестность нуля V и конечная положительная мера Радона на слабо компактном множестве V0 такие, что

1|ж||и < [ |(у,ж)|ф(у), ^х Е Е.

Зу о

Теорема 2. Пространство Е(Ф) - ядерное.

Доказательство. Пусть и - абсолютно выпуклая окрестность нуля в Е(Ф). Найдутся числа т Е N,6 > 0 такие, что ит,£ С и. Если ри - калибровочная функция окрестности и, то

Ри(/) < 11|/|и, / Е Е(Ф). (4)

Пусть / Е Е(Ф). В силу плюрисубгармоничности |/ (г)| в Сп имеем при любом г > 0

If (z)|< Vn-1(r) / |f(Ol dÀn(£).

• V)

I Br (z)

Полагая здесь r = (1 + ||z||)1-p, имеем

If(z)| ^ i |f(£)|e-^(«)+^(« dÀn(0 ^

vn(r) J Br (z)

U

^ v-1(1)(1 + ||z||)2n(p-1) / |/(fdA„(f) ^

JBr (z)

^ v-1(1)e^m(z)+c^ / |/ (f)|e-^m(«)+2n(p-1)ln(2+||«||) dAn(f) ^ J C"

^ 22n(p-1)e / |f(f)|e-^m(i)+2n(p-1)in(1+||i||) dAn(f). vra(1) «УС"

Воспользуемся неравенством (1). Положим

"2n(p - 1)

s =

Тогда

+ 1, Km = 22n(p-1)ec^m V-1(1).

|/(z)| ^ Kme^m(zW |/(f)|e-^m+s(« dAn(f). C"

Следовательно, V/ £ E(Ф)

I/IU ^ Km f |/(f)|e-^m+s(i) dAn(f)• (5)

C"

Положим k = [2n+1 ] + 1. Принимая во внимание (1), найдём число bm,s,k > 0 такое, что Vz £ Cn °

^m+s(z) - ^m+s+fc(z) > (2n + 1) ln(1 + ||z||) - &m,s,fc• Положим V = Um+s+k,1. Введем метрику на V0 по формуле

d(F1,F2) = sup |(F - F2,/)|, F1,F2 £ V0.

f ev

Определим функционал v на пространстве C (V0) непрерывных функций на V0, рассматриваемом с нормой

||g||c(v0) = max |g(F)|, Fev0

по правилу

(v,g) = Km / g(i(f)e-^+s+fc(Ö) . e^m+s+k(«)-^m+s(i) dAn(f), C"

где g £ C(V0), $(f) - дельта-функция с носителем в точке f. Так как

|(i(f)e-^m+s+k(i),/)| = |/(f)e-^m+s+k(«)| ^ 1, / £ V, то ¿(f)e-^m+s+fc(i) £ V0. Далее, Vg £ C(V0)

|(v,g)| ^ K^ |g(i(f)e-^m + s + k (i))| ■ e^m + s + k («)-^m + s(«) dA„ (f) ^

Lm

C"

^ Km max |g(F)| / e^™+s+fc(i)-^m+s(i) dA„(f) ^ fev0 Je"

^ ||g||c(V0)Kmebm,s,k i dAn(f)

IС" (1 + нею**1'

Таким образом, функционал V корректно определен, линеен и непрерывен. Очевидно, V -положительный функционал.

По / € Е(Ф) определим функцию 2/ на V0 по правилу

2/(^) = №/), ^ € V0.

Отметим, что 2/ € С(V0). В случае / = 0 это очевидно. Пусть / - ненулевой элемент пространства Е(Ф) и пусть € V0. Для ^ € V0 имеем

(^) — 2/ (^ = ^ — ^0, / )| = ^ — ^ ^--||/||„т + . + к )l ^

а

^ II/ ll^m + s + k ■ SUP |(F - F0,g)| = d(F,F0) * |f ||^m + s + fc .

gev

Отсюда следует непрерывность gf в точке F0. В силу произвольности F0 Е V0 функция gf непрерывна на V0. Значит, и |gf | Е C(V0). Далее

(v, |gf |) = Km / |g(£(f)e-^m+s+v(«))|e^m+s+k(i)-^m+s(i) dA„(£) =

Jcn

= Km У |(i(C)e-^m + s + k(«),/ )|e^m + s + v (i)-^m + s(i) dA„ (£) =

= Km J I/(£)|- e-^m+s(i) dA„(£).

Зададим функционал ^ Е C'(V0) по правилу: (^,g) = ( , g), g Е C(V0). Пользуясь последней оценкой и неравенствами (4), (5), получаем

Ри(/) < fa, |gf |), / Е Е(Ф). Тем самым ядерность пространства E(Ф) доказана.

4. О существовании базиса в Е(Ф) в специальном случае весовых

функций

Определение 5. Пусть X - сепарабельное локально выпуклое пространство над полем комплексных чисел. Система элементов {xk, k =1, 2,...} называется базисом в X, если для всякого элемента x Е X существует разложение

<х

x ^ ^ ckxk, k=1

где ряд сходится по топологии пространства X, а числа ck Е C (k =1, 2,...) однозначно определяются элементом x. При этом базис {xk, k = 1, 2,...} называется абсолютным, если для любой непрерывной полунормы p на X существует непрерывная полунорма q на X такая, что

<х <х

у^ |cfc |p(xfc) < q(^ cfcxfc) k=i k=i

для всех fc=1 cfcxk Е X.

По теореме Б.С. Митягина и А.С. Дынина (см., напр., [12], теорема 8) в ядерном пространстве Фреше всякий базис является абсолютным.

Известно [17] (см. также [6]) что, если X - ядерное пространство Фреше с топологией, определяемой системой норм (||| ■ |||)mez+, то X имеет базис при выполнении следующих двух условий:

(DN) : Vm Е Z+ ЗА Е (0,1) 3/ Е Z+ 3cm > 0 Vx Е X

Ш^П ^^ c III I • I || 'x I I I 1 *

||| m ^ °m П^Пю ||| "Ч|Ц )

(П): существует ограниченное множество B С X такое, что Vm Е Z+ и Vp. Е (0,1) существуют числа / Е Z+ и cm^ > 0 такие, что

||L||i ^ cm,^||L||mm ■ HlH^,

где

" - sup{|L(x)| : |||x|||m ^ 1}, ||L||'B = sup{|L(x)| : x Е B}, L Е X'.

m

Отметим, что если числа р и р таковы, что 1 < р ^ р, Ф = {^т)т=1 - совокупность выпуклых функций в Сп, удовлетворяющих условиям ¿1), ¿2), то пространство Фреше

Е(Ф) - сепарабельное. Это следует из того, что полиномы плотны в Е(Ф) [8]. Кроме того, по теореме 2 пространство Е (Ф) - ядерное.

Рассмотрим проблему базиса в Е(Ф) для случая, когда система Ф состоит из выпуклых в Сп функций таких, что при ||г|| > Я (где Я > 0 - некоторое число) функции имеют вид:

, , , , , Н(||г||)

ym\

m

где ^ - выпуклая функция в Сп, удовлетворяющая условию: существуют положительные числа Др, Вр, Ср, Рр такие, что

Ср||гГ — Рр ^ <^(г) ^ Др||г||р + Вр , г € Сп,

Н € С[0, +то) - неубывающая положительная функция такая, что:

ч ,. Н(г)

a) 11т —-- = +то;

г^+х 1п(1 + г)

р-1

b) У6 > 1 Н(6гм-1 ) = О(Н(г)), г ^ +то;

c) Н(||г||) = ОМ*)), г ^то.

Отметим, что в случае 1 < ^ < р условие 6) можно поменять на условие:

Н(*2) = О(Н(*)), * ^ +то.

В данных предположениях о системе Ф имеет место Теорема 3. В пространстве Е(Ф) существует базис.

Доказательство. Для семейства Ф функций условие (ДА) выполнено. Действительно, пусть / € Е(Ф). Пусть т - произвольное натуральное число. Для любых А € (0,1) и I € N

1/М _ I/(*)|л I/(г)11—л влР1(г)+(1-л)Р'(г)

вРт(г) влрт (г) в(1-л)Р'(г) вРт(г) '

Отсюда У/ € Е(Ф)

Рт ^ ||/||рт ■ ||/||р-л ■ ехр(8пр(А^1 (г) + (1 — АЬ(г) — ^(г))).

^есп

вир (А^(г) + (1 — А)^г(г) — ^т(г)) = вир ( (А + А — — ) Н(г) И>я и>я \\ I ту

то можно выбрать А € (0,1) и I € N так, что правая часть равенства будет конечна. Пользуясь непрерывностью функций ^ в Сп, окончательно получаем

вир (А^(г) + (1 — А)<#(г) — )) < то.

^есп

Итак, найдутся числа А € (0, 1), I € N ст > 0 такие, что

||/|рт ^ Ст|/||рт ■!/||Р-л, / € Е(Ф). Проверим выполнение условия (П). Для 2 € Н(Сп) положим

II и I/(г)| и и |2(г)|

гее

Так как

zee" e—гес" e—

Для F G E*(Ф) пусть

||F||m — sup |(F, f)|, ||F— sup |(F, f)|.

Il/Il^m <1 ll/ll„<1

Положим B — {f G H(Cn) : ||f || — < 1}. Очевидно, B - ограниченное множество в E(Ф). Кроме того, ||L||B — ||L|L, L G Е'(Ф).

Заметим, что Vk e N 3/ e N 3ck > 0:

l|FIll ^ cfc||F||k, F e E*(Ф). (6)

Действительно, пусть k e N. Рассмотрим множество

W = {g e P(Ф*) : ||g||fc ^ 1}.

Оно ограничено в P(Ф*). Пусть W' = {F e E*(Ф) : F e W}. В силу изоморфизма между E*(Ф) и P(Ф*) множество W' ограничено в E*(Ф). Тогда найдутся числа / e N и ck > 0

||Р|Ц ^ ск, УР е Ж'. (7)

В противном случае, для дюбого ? е N найдется функционал р е Ж' такой, что || р||} > ?. Следовательно, найдутся функции /, е Е(Ф) такие, что ||/}||р; ^ 1 и |(р,/,)| > ?. Пусть

- (г) = 7?/; • ?е

Поскольку для / е Е(ф) при любом т е N ||/^ ||/, то ||—,||Рт ^ 0 при ? ^ то. Итак, — ^ 0 в Е(Ф). Таким образом, множество В = {—2,...} ограничено в Е(Ф). Так как Ж' - ограниченное множество в Е*(Ф), то найдется число Л > 0, такое, что Ж' С ЛВ0, где В0- поляра множества В в Е'(Ф). Таким образом, для любого Р е Ж' и для любого

— е В |(Р, —)| ^ Л. Между тем, для — е В и р е Ж' (р, —) ^ то при ? ^ то, так как

)' = / > ^

Получено противоречие. Значит, неравенство (7) справедливо. А из него немедленно получаем неравенство (6). Принимая ещё во внимание, что УР е Е'(Ф)

||ри™ ^ ||тнт, ||р||х ^ НЕн^,

выводим, что для доказательства условия (П) достаточно показать, что Ут е N и Ур е (0,1) существуют числа /' е N и с^ > 0 такие, что УР е Е'(Ф)

|Р|| ^ С||Р||т -||Р

Это будет так, если докажем, что Ут е N и Ур е (0,1) найдутся числа /' е N и Ам,т > 0 такие, что

+ (1 - Р^*(г) ^ Р?'(г) +

или эквивалентно

р(р*(г) - ^(г)) > ) - р?(г) - Ар, т. (8)

По лемме 2 найдется число 7 > 0 такое, что для любого т е N при некотором > 0 для всех г е Сп

||Ст(г)|| >7||г||^ - ¿т. Выберем число г > тах(1, ()р-1) так, что ||£т(г)|| > Л, если ||г|| > г. Для любого т е N и всех г е Сп с ||г|| > г

) - ) > )) - = ~МНЫ^Ю >

т

1 1 1 / У 1

> -й(7||,г||^ - ¿т) > -Ц ¿||г||^| т т \2

Пусть £(г) - точка, в которой достигается точная верхняя грань функции ■и(£) = Ле < г, £ > -р(£). При некотором К > 0 (оно найдётся по лемме 1) для любого V е N и любого г е Сп с ||г|| > г

*>*(*) - р?(г) ^ ^(£(*)) - (г)) = МШШ ^

< Н(К + К||г||^) < Н(2К||г||^)

< < .

В силу условия 6) на функцию Н найдутся числа ак,7 > 0 и 6&>7 > 0 такие, что

аК;7Н ^2Кж) < Н (^жр-Т ) + 6К;7, ж > 0. Для произвольно взятых ^ € (0,1) и т € N положим = [^] + 1. Тогда для г € Сп

^ Пи..и ^ ^ - - ------ ■■ 1

таких, что ||г|| > г

Мр*(*) — ^т(г)) > тН 2 ||г|| ^) > т("*"Н(2К||г| ^) — 6к)7) >

т 2 т

аК,7 ■ ^ ■ 1 / */ ч * / чч ^ * / ч * / ч

> —^-(г) — (г))--^ > ^ (г) — (г)--^.

т т т

В силу непрерывности функций ^г* можно найти постоянную > 0 такую, что

всюду в Сп

) — )) > Р* (г) — (г) — ДМ,т. Итак, неравенство (8) получено. Значит, условие (П) выполнено. Теорема 3 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ehrenpreis L. Fourier analysis in several complex variables. New York: Wiley-Interscience publishers, 1970. 506 p.

2. Напалков В.В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука. 1982. 240 с.

3. Кривошеев А.С., Напалков В.В. Комплексный анализ и операторы свертки // УМН. Т. 47. выпуск 6(288). 1992. С. 3-58.

4. Ткаченко В.С. Об операторах, коммутирующих с обобщенным дифференцированием в пространствах аналитических функционалов с заданным индикатором роста // Матем. сб. Т. 102. № 3. 1977. С. 435-456.

5. Попёнов С.В. О весовом пространстве функций, аналитических в неограниченной выпуклой области в Cm // Матем. заметки. Т. 40. № 3. 1986. С. 374-384.

6. Haslinger F. Weighted spaces of entire functions // Indiana Univ. Math. J. 1986. V. 35. P. 193-208.

7. Hansen S. Localizable analytically uniform spaces and the fundamental principle // Transactions of the AMS. V. 264. № 1. 1981. P. 235-250.

8. Ахтямов Н.Т. О весовом пространстве целых функций в Cn // Матем. заметки. Т. 83. вып. 4. 2008. С. 483-492.

9. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир. 1973. 472 с.

10. Себаштьян-и-Сильва Ж. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // сб. пер. Математика. 1957. Т. 1, № 1. С. 60-77.

11. Гельфанд И.М., Виленкин Н.Я. Некоторые применения гармонического анализа. Оснащённые гильбертовы пространства. М.: Государственное издательство физико-математической литературы. 1958. 472 с.

12. Митягин Б.С. Аппроксимативная размерность и базисы в ядерных пространствах // УМН. Т. 16. № 4. 1961. С. 63-132.

13. Кондаков В.П. Замечания о существовании безусловных базисов в весовых счетно-гильбертовых пространствах и их дополняемых подпространствах // Сиб. матем. журн. Т. 42. № 6. 2001. С. 1300-1313.

14. Пич А. Ядерные локально выпуклые пространства. М.: Мир. 1967. 266 с.

15. Зобин Н.М., Митягин Б.С. Примеры ядерных метрических пространств без базисов // Функ-цион. анализ и его прил. Т. 8, № 4. 1974. С. 304-313

16. Митягин Б.С., Хенкин Г.М. Линейные задачи комплексного анализа // УМН. 1971. Т. 26. № 4. С. 93-152.

17. Vogt D. Eine Charakterisierung der Potenzreihenraume von endlichem Typ und ihre Folgerungen // Manuscripta Math. 1982. V. 37. № 3. V. 269-301.

Наиль Тагирович Ахтямов,

Уфимский филиал Самарского государственного

университета путей сообщения,

ул. К. Маркса, 50,

450077, г. Уфа, Россия

E-mail: nail9119@rambler.ru

Ильдар Хамитович Мусин Институт математики c ВЦ УНЦ РАН, ул.Чернышевского, 112, 450077, г. Уфа, Россия E-mail: musin@matem.anrb.ru