CC BY
16
УДК 517.982.3
ОПИСАНИЕ СОПРЯЖЕННЫХ К ПРОСТРАНСТВУ ФРЕШЕ БЕСКОНЕЧНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ С ВЕСОВЫМИ ОЦЕНКАМИ ВСЕХ ПРОИЗВОДНЫХ В
© 2011 г. Фам Чонг Тиен
Южный федеральный университет, Ул. Мильчакова 8а, г. Ростов н/Д, 344090
Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090
Задача об удобном для приложений описании сопряженных к пространствам бесконечно дифференцируемых функций с весовыми оценками всех производных на прямой или в пространстве с помощью преобразования Фурье — Лапласа ранее рассматривалась Б.А. Тейлором, С.В. Попеновым, И.Х. Мусиным. В настоящей работе будет представлен новый, более общий по сравнению с известными, результат в этом направлении. Он касается пространств бесконечно дифференцируемых в пространстве RN функций, рост производных которых определяется двумя весовыми последовательностями общего вида, регулирующими рост всех производных в зависимости от номера и удаления в бесконечность.
Ключевые слова: бесконечно дифференцируемые функции, сопряженное пространство, преобразование Фурье — Лапласа.
We obtain a new result for a description of the duals to spaces of infinitely differentiable functions with weighted estimates of all derivatives in RN. This description is given by Fourier — Laplace transform and useful in applications. Our result generalizes previous ones of B.A. Taylor, S.V. Popenov, and I.Kh. Musin. It concerns spaces of infinitely differentiable functions in RN with growth conditions on all derivatives which are given by two weighted sequences of a general type. These sequences manage the growth of derivatives with respect to the number of a derivative and the distance to infinity.
Keywords: infinitely differentiable functions, dual space, Fourier — Laplace transform.
Постановка задачи и формулировка основного результата
v
Пусть v > 1, j е (1, v], e е [1,-]. Обозначим че-
v-1
рез Y совокупность всех последовательностей ^ = (У )ж= выпуклых функций в удовлетворяющих следующим условиям: |x | U = O(yn (x)), у(x) = O(| x |v) при | x |^ж, Vn е N; 3a > 0; Vn е N
3bn > 0 : у(x) - ¥n+1(x) > aln(1+ | x |)-bn, Vx е RN.
Через W обозначим множество всех функций а:[0,ж) ^[0,ж) таких, что: 1) а не убывает на [0,ж); 2) ю(1)=0; 3) т(ех) выпукла на R; 4) logt = o(a(t)), t ^ж.
Пусть W := {а е W: a(t) = O(te),t ^ ж} и символом Q.a обозначается множество всех последовательностей Q = (ап )Ж=1 функций из W таких, что Vn е N3Cn > 0: an (t) + ln(1 +1) < an+1 (t) + Cn, Vt е [0,ж).
Положим (pn (t) := an (et), n е N. Тогда последнее условие принимает вид
Vn е N 3 Cn > 0 :pn (t) +1 < pn+, (t) + Cn, Vt е [0, ж).
Для данной функции у: RN ^ R , подчиненной условию | x |= o(y(x)) при x ^ ж , обозначим
y~(x) := у* (-x), x е RN , где у* - сопряженная по Юн-
гу к функции ц. Для Теи образуем
следующие функциональные пространства:
G{an Ц ):= {f е C" (Rn ):||/|L :=
:= sup
If (a)( x)|
xeRN ,aeNN exp(^(I aD+ Цп (x))
)(Цп ):= {/ е H (CN ): Pn (f) :=
If ( z)|
:= sup-~
zeCN exp(i~n (Im z) + &n (I z I))
О(П)(Т) := );:= и)(у).
П=1 П=1
Наделим пространство 0(а }(Т) топологией проективного предела банаховых пространств О^ ){уп), т.е.
топологией, задаваемой семейством норм (||.||и,пеN), а пространство Р(п) (Т) - топологией индуктивного предела банаховых пространств р (уп ).
Преобразование Фурье - Лапласа Т функционала
Т е (О(п-,(¥))' определим по формуле Т(7):= Т(е'<'2>),
7 е Сы . В настоящей работе доказывается следующий результат.
Теорема 1. Для любых весовых последовательностей Т е Ту м и П е отображение
Г: Т е (О(П) (Т))'ь ^ Т устанавливает топологический изоморфизм между пространствами (О(П)(Т))' ь
и Р(П)(Т).
Замечание 1. Отметим, что пространства, исследованные И.Х. Мусиным в [1], являются частными случаями пространств, рассмотренных в настоящей
работе. Именно в [1] Т = (уп )П=1 и О = (юп) Ж=1 имеют
специальный вид: \уп (х) = у(х) - п 1о§(1+1 х |) и
СО
СО
соп (х) = а(х/п), где | х 0(у(х)) и у(х) = 0(| х Г) при | х |—ж, у выпукла, а а определяется с помощью некоторой последовательности положительных чисел и удовлетворяет условиям 1) - 4).
Вспомогательные результаты
В этом пункте приводятся вспомогательные результаты, касающиеся свойств весовых последовательностей, преобразования Фурье - Лапласа и целых функций. Они будут использованы в доказательстве теоремы 1, обобщают соответствующие результаты из [1 - 3] и имеют самостоятельное значение. Поскольку методы доказательства (за исключением леммы 2) не претерпевают по сравнению с [1 - 3] существенного изменения, мы их опускаем.
Обозначим через Фст множество неубывающих выпуклых функций р:[0, ж) — [0, ж), для которых р(0) = о и г = о(р(г)), р(г) = 0(еа), г — ж.
Лемма 1 (ср. [2, лемма 6.1.2; 3, неравенство (5)]). Для любой функции р е ф найдется положительное число М = М(р) такое, что при всех г > 0
(á ln+ (t +
1
(1 + ty
l) l-((ln + t) < M,
ется неравенство
1
к (И )-юя(| z'| )|<Mn,
Vz,z'e CN :| z -z'|<-1--
' 1 1 (1+1 z |)--1
(1)
Заметим, что для функций у весовой последовательности Те^, у*(х) = 0(| х ц) , х —^ ж ,
Уп е N. Кроме того, справедлива лемма.
Лемма 2 (см. [1, лемма 1]). Для любого п е N найдется постоянная Ь > 0 такая, что
i W*(x) -Wn(y)i< Ln, Vx,y e RN :| x - y |<
1
(1+ | x | )J
,1/(^-1)'
Из леммы 2 вытекает, что для любого п е N найдется постоянная Ьл > 0 такая, что |уп(!т2)~¥п(!т^^ Ьп,
1
Vz,z'e CN :| z-z'|<
(1+|z|)
1/(^-1)'
(2)
Тогда для всех 5 > 0 справедливы следующие оценки: р*(5 +1) <рР"(5) + С и р*(в) — р*(в) <
1 5
<--1п--+ С, где А = А(р2)- постоянная.
а Аеа
Из леммы 3 следует, что для ассоциированной с (рп) Ж=1 последовательности О = (ап )Ж=1 еО при каждом п е N, некотором Сл > 0 и всех 5 > 0 справедливы соотношения
рЩ+1(5 + 1) <рп(5) + Сп , (4)
1
(n+1(s) -(n(s) <--ln s + Cn •
a
(5)
где 1п+ г = тах{0,1п г}.
Из этой леммы непосредственно следует, что для ассоциированной функции а(г):=р(1п + (г)) выполня-
Лемма 3 (ср. [2, лемма 6.1.5; 3, лемма 1]). Пусть р ,р2 - 2 функции из Фст , для которых при некотором числе С > 0 имеет место неравенство
р (г)+г <р2 (г) + С, у г е[0, ж). (3)
| а(г) — а(г')|<М, Уг,г'е[0,ж):|г — г'|<- 1.
(1 +г)
Тогда для любой функции ап из весовой последова-
т
тельности й еО^ существует число Мп > 0 такое, что
Отсюда с учетом свойств последовательностей Q е и Те Ту м , в частности, следует, что G(n} (Т) является (Р8)-пространством, а Р(п) (Т) -
(БР8)-пространством.
Следующие 2 леммы посвящены свойствам преобразования Фурье-Лапласа T функционала T е (^П)(Т))'.
1-я из них доказывается стандартной оценкой через использование определения двойственной по Юнгу функции.
Лемма 4. Для любых n е N и z е CN функция e'<''z> принадлежит ^^ ->( уп), и выполняется оценка
Ц^Щ<exp(i~n(Imz) + ^(I z|)).
Отсюда следует, что e'«'z> е G(Q)(T) при любом
z е CN, а значит, преобразование Фурье - Лапласа T(z) = T(e'< 'z>) функционала T е (G(n)(T))' опреде-
riN
лено всюду в C N .
Лемма 5 (ср. [1, лемма 4]). Для любого функционала T е (G(Q) (Т))' его преобразование Фурье -
Лапласа T(z) является целой функцией в CN, причем T(a)(z) = T(('4)ae'<s'z>) для всех z е CN при каждом а е Nn .
Приведем структурную теорему, которая дает представление функционала T е (Gq (Т))' при некотором n = n(T) е N рядами по системам линейных непрерывных функционалов на банаховом простран-
стве Cv„ :=\f e C(RN):
|f(x)|
нормой
exp( Wn (x)) |f ( x)|
0, x ^ ж^ с
с := sup
Wn xeRN exp(Wn (x))
Структурная теорема (ср. [4, с. 42-44; 5, лемма 2]). Пусть номер п е N и число С > 0 таковы, что для
Т е (0(в) (Т))' выполняется неравенство | Т(/) |< С || /11, V/ е С(П)(Т) .
Тогда найдутся Тае С , а е ^^^, такие, что
T(f) = z (f(а)), Vf e G(Q)(T), и | retf)|< C
Vf e Cw„ •
Ifl
exp(„(|a|)
C
0
При доказательстве инъективности преобразования Фурье - Лапласа в теореме 1 используется следующий результат.
т
Для весовых последовательностей Qefi^, Т е Т введем вспомогательное пространство
и U A©){Wm), где A©W) - линейное
m=1 n=1
пространство всех целых в CN^CN функций f (z,C) , удовлетворяющих при некотором М = М (f) > 0 оценке | f (z, С) | < M (1+1 z | )т exp( Wm (Im z) + © „ (| С |)),
Vz,^e CN.
Лемма о разложении (ср. [1, лемма 8; 2, лемма 6.5.6]). Для любой функции S е А(2^ (Т) со свойством S (z,z) = 0, z е
CN
существуют функции S1,S2,...,SN е А(2^(Т) такие, что S(z,C) =
N
= 1 Sj (z,C)(zj -Cj ), Vz,C е CN .
j=i
Замечание 2. Доказательство леммы о разложении и ниже сюръективности преобразования Фурье - Лапласа в теореме 1 основано на следующем утверждении.
Теорема о продолжении [6, лемма 1]. Пусть р — плюрисубгармоническая в
CN
функция, удовлетворяющая при некотором у > 0 условию
| р(z) - р(С) | < Мр, если | z - С | < —-Ц-.
< (1+| z | )у
Тогда для любого подпространства £ в
CN
и любой голоморфной на £ функции f с условием ln | f (z) |< p(z)( z е £) существует целая функция F в CN
такая, что F |Е = f и ln| F(z)|<p(z) + Pln(1+1 z |)+P, Vz е CN , где постоянная Р зависит лишь от N,М^, у и не зависит от f ,р, £.
В качестве отправной точки в доказательстве теоремы 1 нам понадобится аналог теоремы Пэли - Винера - Шварца из [7] для следующего пространства быстро убывающих функций.
Для весовой последовательности Т = (щп) ™=1 положим
Е{¥я):=jf еCn(Rn):||f|^:= sup |f^X)| <»!
Р(Ц~п ):=
:= \f е H (CN): p~ (f):= sup-
xeRN ,\а\<п eXp Цп (x)
| f(z) |
< да
(1+ | 7 |)п ехр(|~п(1т7))
да
и образуем пространства Е(Т) := П Е(уп) и
п=1
~ да
Р(Т) := и Р(^„), наделив их топологиями проек-
п=1
тивного и индуктивного предела банаховых пространств Е(ул) и Р(~„) соответственно. Очевидно,
что Е(Т) является (FS)-пространством, а Р(Т) -(DFS)-пространством.
В [7] получено утверждение.
Т е о р е м а 2 . Преобразование Фурье - Лапласа устанавливает топологический изоморфизм между
пространствами (Е(Т)) ь и Р(Т).
Для каждого nеN обозначим через Е(w„) замыкание Е(Т) в Е(у/п) с топологией, индуцированной из Е( w„). Тогда Е(Т) плотно в Е(w п) и пространство Е(у„+1) компактно вложено в Е(у) для любо-
да ~
го n е N. Более того, Е(Т) = р| Е( у) и топология
n=1
Е(Т) совпадает с топологией проективного предела пространств Е(у). Поэтому для (FS)-пространства Е(Т) [8, теорема 5] справедливо равенство
да
(Е(Т))4 = U (Е(Wn ))ь. При этом (Е(Т))'ь - (DFS)-про-
n=1
странство, и по [9, п. 2.13] топология (Е(Т))4 совпадает с топологией индуктивного предела пространств
(Е( Wn)) ь.
Замечание 3. Можно показать, что
Еу) = jf е Е(Wn): sup | f ^^ ^ 0,x . [ M<n exp Wn (x) J
Доказательство теоремы 1. Очевидно, что отображение F линейно и в силу лемм 4 и 5 действует из (G(o) (Т)) ь в Р(П) (Т) .
Отображение F непрерывно. Действительно, используя лемму 4, получим, что F непрерывно отображает (G(©n)(Wn ))ь в P©)(Wn) для любого n е N. Тогда в силу того, что С(П)(Т) является (FS)-про-странством, отображение F непрерывно отображает (С(П)(Т)) ь в Р(П) (Т) .
Теперь покажем поочередно инъективность и сюръективность оператора F: (G(n} (Т))'4 ^ рп) (Т).
Инъективность. Пусть для T е (G(n-,(Т))' имеем, что T = 0 в
CN.
Покажем, что Т = 0. Так как T е (G(n) (Т))', то по структурной теореме при некоторых C > 0 и n е N найдутся функционалы Ta е C , а е Nn (в частности, Ta е (Е(Т))') такие, что
\Taf) |< C-
exp^„(| а |)
f е C
4>п '
(6)
и T(f) = YTa(f (а)), f е G(0)(T).
VN
Тогда T(z) = ^(iz)aTa(e'<'z>) = ZVa(z)za , где
NN
Уа(г) = гаТа(е'<,>). Стандартно проверяется, что Уа е Н(CN). При этом в силу (6) Va удовлетворяет оценке
| Уа (7) |< С ехр1~:(1т 7) при любых а е Щ, 7 е С1" .
exp<M а|)
C
Положим 5 (2, С) = ТК (2)^а(2,^е Сы). Оче-
аеИ^
видно, что 5(2,0) - целая функция в С2N. Покажем, что 5 е А^ (Т) . Действительно, зафиксируем произвольно к е N: к + 1 > N0. В силу (5) при некотором Сп>0 выполняется неравенство
» к +1 »
р*+к+1 (5) <--1П5 + р„(5) + Сп , > 0 .
а
Отсюда следует, что ряд 2 ехр^+м (| а |) — р* (| а |))
|а|>1
\UUa(i )\< A-
— V/ е Е(у) . (9)
ехрр* (| а|)
Нам будет удобно считать, что для а е 211 с отрицательными компонентами С. а - нулевой функционал из (Е(Т))4 и = 0 в СN . Имеем
N
5 (2,0) = Т 5,. (2,0)( 2,- — С) =
j-1
- Z Z (ZjSj,(ai,...ßj ,...aN )(z) SjXai,...Vj-1,... aN )(z))C •
N
Z'
\а\>0 j-1
сходится. Обозначим через Нп сумму этого ряда. В Следовательно, для любого ае NN Уа (2) =
силу оценки для \ Fa (z) \ при любых z, 0 е C имеем
\s(z,0)\< Z\ va(z)\ \ о \\ а\ <с I cxpi//".(lmZ}) \0\\ а \<
\ а\>0 \ а\ >0 cxpp*(\ а \ )
= Z (zjSj,(ai,...ßj ,...w )(z) - Sj,(ai,... ßj-1,... ,N )(z)), Vz е C .
j=1
Отсюда и из теоремы 2 следует, что для любых
<CH" cxp/(Imz)supexp(\ а \ln+ \ 0\ -^„*+i+10 а \))< f е ' а е NN T"(f) =(-i)
\ а\+2 ,
| a | >0
< CHn exp((~ (Im z) + an+k+1(KI)).
Итак, S(z,0) e A™ (T) . Кроме того, S(z, z) = Г(z) = 0, Vz e CN . Тогда по лемме о разложении найдутся функции S. e A^N (T)(1 < j < N) такие,
N
что S(z,0) = ZS(z,C)(zj ) , Vz,0 e CN .
j=1
Так как Sj e A^(T), j = 1,2,...N, то при некоторых p e N и A > 0 для любых z, 0 e CN и j = 1,2,...,N выполняются неравенства
| Sj (z, 0) | < Ap (1+1 z | )p exp(y~p (Im z) + 0p (| 01)). (7) Разложим S. (z,0) в ряд Тейлора по переменной 0 Sj (z,0) = Z Sj, a (z)0 a , Vz, 0 e CN .
| a|>0
Функции Sj a является целыми в CN и для них в
силу неравенств Коши для тейлоровских коэффициентов и (7) имеем при любом r > 0
| Sj а (z)|< r-|a| m^ax | Sj (z,0)|<
|0|<r
N
XI
j-1
f
iU
j,(ai,...,j,... ,N)(q^ f) + Uj,( ai,...,j-1, .. да)(f)).
Пусть BM :-{a-(c^, a2,... aN)еN0 : a <M,... aN <M} • Нетрудно показать, что при любых M е N и
f е G(„)(T) Tm (f) - ZTa (f( a )) - Z Z (-i)\a+2 x
( а К _
| |+2
iU
j,(a1,... Сj,... W) 4Q^
аеВм
Я
(^ f(a))+U
аеВм j-1
j,( а1,... p;j-1,... p;N)
(f(а))
M M
- Z... Z (-i)
а2-0 а^-0
M+\ а2\+...+\а N \
iU1,(M ,а2,... (ZN)
Я
( ^ /(М,а2... )) + + ..
мм Я
+ 2... 2 (—/)|а1|+..+|ад—1+М/С„,(а2,..,„—/(а1'.""—1,М)). а1=0 аЫ—1=0 ^Ь«
Возьмем натуральное число к > р + 5 +1+N0. В силу (4) и (5) при некоторых С, Ск > 0 имеют место неравенства р*(1 + 5 + 1) < рр_5_| (I) + Ск <
<р*(/) — к — 5 —1 — р 1па + С,V/ >0. р а
Использовав эти неравенства и (9), получим, что
< Ap (1+\z\)P cxp/p (Im z)cxp(-\ а \ln r + Pp(ln r)) • для любых f е G(n)m а е N^ и j - 1,2,...,N
Поэтому, беря инфимум по всем r > 1, получим, что
\S, а (z)\< Ap
(1+ \ z\)p cxp p(Imz)
Vz е CN • (8)
Р р* (| а |) Тогда по теореме 2 существуют функционалы С а а е (Е(Т)), такие, что С., а = 5.., а, V. = 1,2,...Д,
а е N(N. При этом в силу (8) и определения индуктивной топологии в Р(Т) семейство |ехррр(| а |)5^.а :- = 1,2,...,^, а еNN] ограничено по норме рр (.) и тем более в Р(Т). Следовательно, множество |ехр рр (| а |)С/.. а : - = 1,2,...,^, а е NN ] ограничено в (Е(Т))4. Так как (Е(Т))4 - (ЭР8)-пространство, то это множество содержится в некотором (Е(у)) и ограничено там. Поэтому при некотором А > 0
U, Л^ f( а))
j, а
A
л
f(а+ß)(t)\ sup ---<
exp Фр (\ а ,ß\<s exp is
A\\f\i
sup cxp(pk*(\ а \ + \ß\+1) + /(#)) ^
cxp <Pp (\ а \) íеRN,lßl<s cxp is <£)
< A,
0 \ а \(k-s-1-p)/c
где A0 - некоторая положитель-
ная постоянная. Следовательно, для любых f е G(„)(T)
м м
\Tm (f)\< Z ••• ZA,
а2 -
M M
0'а7-0 0 (M + \ а2 \ +...+ \ аN \)(i-s-p-1)/-
+
+ Z z a _
' а^-1--0 0 (\ а \ +...+ \ aN-1 \ +M)(k-s-p-1)/CT
а1-
N
X
<
<
k
k
<
(М +1)1 -1
<NА,| | fl к -М+1--> 0 при М ^да .
М
Отсюда заключаем, что Т(/) = 11т Тм (/) = 0,
М ^да
V/ е О(п-> (Т). Таким образом, Т = 0, и тем самым инъективность доказана.
Сюръективность. Пусть g е Р(п) (Т). Тогда при некоторых п е N и С„>0 | g(z) |< Сп ехр(~ (1т 7) + тп (| 71)), Vz е С1.
Отметим, что функция Ф(7,^):=1~л(1т 7) + ®л (| О |) является плюрисубгармонической в Сж В силу (1) и (2) имеем | Ф(7,0)-Ф(^О'ЖМп + Ь„, V(7,0) ,
(¿,С) е С21 :|(7,0 - (7,Г)|<-1-, где
(1+ ^О)!)
у := тах{а-1,1/(^-1)}. Тогда по теореме о продолжении найдется целая функция О(х,£) в такая, что О(7,7) = g (7), 7 е С1 и при некоторых С > 0 и ц е N | О(7,0) |< С(1+ 171 )ц ехр(~ (1т 7) + Шп+д (О |)) (10)
Vz,0 е CN.
Разложим О( 7,0) в ряд Тейлора по переменной 0
О(7,0) = I gа (7)Г^а(7) е НС) , Vа е NN .
|а|>0
Использовав неравенство Коши для тейлоровских коэффициентов и (10), получим | ga(z) |<
< С(1+1 7 |)ц ехр ~ (1т 7) ехр т£(-1 а 11п+ г + фп+ч (1п + г)) =
(1+ | 7 ^ еХр (1т 7) = С-;---, Vz е С ,ае N0 .
ехр Фп+ц (| а|)
По теореме 2 найдутся такие функционалы и а е (Е(Т)) ь, что и а= ga,aе N° . При этом по тем же соображениям, что и выше, семейство {ехр ф^, (| а |^а} N ограничено в индуктивном пре-
Тогда для любых f е G(Q)(Y)
Ua (f (а))|<
Q
| f (a+ß\%)\ , - sup --— <
expФ„+ч(| а |)^jß|<s exp YsC£)
^ UfH am expj¥k + ф,(| а | +1 ß |))
< C 1 * /-1 IN sup <
exp Фп+q (| a|)íеRN
|ß|<s
exp Ц
< C
2 -—,(k_s_n_q, V | а |> 1, где C2>0 - некоторое число.
| а |(
Так как k - s - n - q > Na, то ряд ^ | а |
-(k-s-n-q)/ a
|а|>0
сходится. Отсюда следует, что функционал
U (f) := Z ИТ Ua (f(а)), f е G(a, (Т)
определен
корректно и непрерывен на G(n) (Т). Чтобы завершить доказательство сюръективности, остается заметить, что U = g .
Итак, доказали, что F - линейное непрерывное биективное отображение пространства (G(Q)(T)) b на рп) (Т). Применив теорему Гротендика об открытом отображении, заключаем окончательно, что F :(G(Q)(Y))4 ^ Р(П)(Т) - топологический изоморфизм.
Литература
1. Мусин И.Х. О преобразовании Фурье - Лапласа функционалов на весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций в Rn // Мат. сб. 2004. Т. 195, № 10. С. 83 - 108.
2. Абанин А.В. Ультрадифференцируемые функции и ультрараспределения. М., 2007. 222 с.
3. Абанин А.В., Филипьев И.А. Аналитическая реализация пространств, сопряженных к пространствам бесконечно дифференцируемых функций // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47, № 3. С. 485 - 500.
4. Neymark M. On the Laplace transform of functionals on classes of infinitely differentiable functions // Ark. Mat. 1968.
деле P(T), а тогда поскольку F: (E(Y))4 ^ Р(Т) - изо- Vol. 8. P. 557 - 594.
морфизм, множество {ехрфп+ц (| а | иа } N ограничено в (DFS)-пространстве (Е(Т))4. Тогда найдется такое
£ , что оно содержится в некотором (Е(у ))4 и ограничено там. Поэтому при некотором ^>0 справедливо
|Uа(f) |< C,-
||f|L
, Vf е E (ц), а е < .
^Фп+д (| а|)
Возьмем натуральное число к > п + ц + £ + Nа . В силу (4) и (5) при некоторых Вл, Вл > 0 выполняется неравенство ф* (/ + £) < ф*-£ (/) + В <
<ф'п+9 (I) - к - ' - п - Ц 1п I + Вп, V/ > 0 . а
5. Мусин И.Х. О преобразовании Фурье - Лапласа функционалов на весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций // Мат. сб. 2000. Т. 191, № 10. С. 57 - 86.
6. Юлмухаметов Р.С. Целые функции многих переменных с заданным поведением в бесконечности // Изв. РАН. Сер. Мат. 1996. Т. 60, № 4. С. 206 - 224.
7. Мусин И.Х., Попенов С.В. О весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций в К" // Уфимский мат. журн. 2010. Т. 2, № 3. С. 54 - 62.
8. Себаштьян-и-Сильва Ж. О некоторых классах ЛВП, важных в приложениях // Математика : сб. пер. 1957. Т. 9, № 1. С. 60 - 77.
9. Жаринов В.В. Компактные семейства ЛВП и пространства FS и DFS // УМН. 1979. Т. 34, № 4(208). С. 97 -131.
Поступила в редакцию
25 марта 2011 г.
N
0
