Продолжение бесконечно дифференцируемых функций до целых с согласованными оценками роста и теоремы типа Пэли - Винера - Шварца Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Апрель-июнь, 2004, Том 6, Выпуск 2

УДК 517.5 + 517.98

ПРОДОЛЖЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ ДО ЦЕЛЫХ С СОГЛАСОВАННЫМИ ОЦЕНКАМИ РОСТА И ТЕОРЕМЫ ТИПА ПЭЛИ - ВИНЕРА - ШВАРЦА1

А. В. Абанин, Ю. С. Налбандян, И. С. Шабаршина

Рассматривается задача о взаимосвязи между оценками роста целых функций ] в С¥ и роста всех последовательных производных их сужений на Кл". Указаны применения полученных на пути ее решения результатов к новым, не выходящим за рамки действительного анализа формулировкам теорем типа Пэли — Винера — Шварца для ультрараспределений с носителями в выпуклых симметричных относительно всех координатных гиперплоскостей Кл" компактах.

Введение

В работе [1] был установлен следующий результат (мы используем стандартную терминологию и обозначения теории распределений из [2]).

Теорема М. Пусть К — выпуклый компакт в Ж^, симметричный относительно всех координатных гиперплоскостей. Тогда следующие условия на распределение и € D'(RN ) эквивалентны:

(i) носитель и лежит в К;

(ii) преобразование Фурье — Лапласа и распределения и удовлетворяет при некоторых С > 0 и m € N оценке

\u{z)\ < С{ 1 + \z\)meHKi-lmz) (W € С*),

где Нк(-) — опорная функция К;

(iii) имеется такое m € N, при котором преобразование Фурье и распределения и удовлетворяет условию: для любого е > 0 существует такое С = С{е) < ос, что при каждом a € Nq

|«(a)(0l < С( 1 + |С|Г тах(И + еГ • • • (Ы + (V£ € RN).

х^К

Утверждение об эквивалентности (i) и (ii) составляет содержание классической теоремы Пэли — Винера — Шварца (см. [2; теорема 7.3.1]), а новым моментом, появившимся в [1], было доказательство равносильности (i) (или (ii)) условию (iii). Недавно в [3] были установлены аналогичные теореме M результаты для пробных ультрадифференцируе-мых функций, ультрараспределений и гиперфункций из пространств, рассматриваемых в рамках подхода, известного в литературе под названием подхода Данжуа — Карлемана

© 2004 Абанин А. В., Налбандян Ю. С., Шабаршина И. С.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 02-01-00372.

(см. по этому поводу, например, [4]). Они были названы в [3] вещественными версиями теорем типа Пэли — Винера.

На самом деле рассмотренные в [1] и [3] задачи имеют лишь косвенное отношение к теориям ультрараспределений или гиперфункций, а прямо они связаны со следующим вопросом. Имеется целая в функция /(г), рост модуля которой во всем ограничен некоторым весом Ах(;г). Берется сужение /(ж) этой функции на вещественное подпространство Ж^ и требуется найти такую мажоранту ¡л\(х, а), которая подавляла бы |/^(ж)| при каждом а € и всех х € Ж^. Обратно, имея бесконечно дифференцируемую на Ж^ функцию /(ж) с оценкой через /Л2{х,а), нужно выяснить условия, при которых она продолжается до целой в С^ функции с ростом, не превышающим какого-либо веса Ясно, что нас должны интересовать такие мажоранты роста, что совершив полный цикл (С^ 4- Ж^ ^ С^ или Ж^ ^ С^ 4- Ж^), мы не слишком «испортим» первоначальную оценку.

Настоящая статья посвящена решению поставленной задачи для мажорант достаточно общего вида и ее приложениям. Отметим, что по сравнению с [1] и [3] мы существенно расширяем классы целых и соответствующих им бесконечно дифференцируемых функций. В частности, если в [1, 3] речь идет лишь о целых функциях экспоненциального типа, то в данной статье изучаются функции произвольного положительного порядка. Последнее представляет интерес хотя бы потому, что в аналогах теоремы Пэли — Винера — Шварца для некоторых типов пространств бесконечно дифференцируемых функций фигурируют целые функции порядка выше первого (см., например, [5]).

1. Согласованные оценки роста следов и продолжений

1.1. Обозначения. Будем использовать следующие стандартные обозначения многомерного анализа: {г,(} := ^Сх Ч-----\-znCn Для г = ... и С = (Ci.---.Cjv) из

||;г|| := тах{|^-| : 1 ; Щ и аЬвг; := (^х],..., 1^1) для г = (г;ь ..., € См; \а\ := а,\ + • • • + од — длина мультииндекса а = (ах,..., адг) € где Ко := N и {0}; а! = щ! ■ ■-алг!, га := (г'," • • • ГдЧ ) для а € и г = (п,...,гм) € [0, оо)7^";

' /л/г','1... дха/'

Любую функцию V : [0,00)^ —> [0, оо), которая непрерывна и не убывает по каждой переменной на [0, оо)7^, будем называть весовой (или просто весом). Их совокупность обозначим символом V л .

Начнем с более простого по методу исследования вопроса о «спуске» оценок из С^ на Ж^, который относится к так называемым теоремам о следах.

Теорема 1.2 (о следах). Пусть весовые функции и, V из Vм и ш из таковы, что + г,г) ^ и(в) + и(г) + и(г), .ч.Г (г и. х.)Л . (1)

Тоща для всякой целой в С^ функции /, для которой

|/(г) | < е^аЬ8ж'аЬ8?/), г = ж + %у € С*, (2)

имеет место оценка

<1 Применив к / в каждой точке х € Ж^ интегральную формулу Коши и воспользовавшись (1) и (2), получим при каждом г € (0,00)^:

\^аЦх)\ =

а\

(2*)

я

/(Съ • • •, См) Лд • • •

а'

< |/(Съ • • •) С-Лг)| : |Сл = »"Л. 1 < к < ^

<»• о;(аЬзж+г,г) ^ц(аЬ8ж)+ц(г)+г;(г)

Отсюда следует требуемая оценка (3). >

Замечание. Напомним, что сопряженной по Юнгу (говорят также по Лежандру — Юнгу — Фенхелю, см. [6; стр. 10]) к функции (р : Ж^ —> Ж называют

ср*(у) := 8пр((х,у) - <р(х) : ж € Ж^), у € М*.

В свете этого понятия оценку (3) можно дать в такой интерпретации:

|/(а)(ж)| < Ых\ х € Жж, а € (3')

где ~ сопряженная по Юнгу к (х) := и(еХ1,..., еХм) + у(ех1,..., еХм).

Перед формулировкой результата, обратного к теореме 1.2 характера, который естественно классифицировать как теорему о продолжении, введем следующее определение. Будем говорить, что функция V : [0,00)^ —> [0, ос) позитивно полуоднородна порядка р > 0, если г>(£г) ^ ^и(г) при всех 4 > 0 и всех г € [0, оо)^.

Теорема 1.3 (о продолжении). Пусть и, V — весовые функции из У1^, причем V позитивно полуоднородна порядка р > 0. Тогда всякая бесконечно дифференцируемая на Ж^ функция /, для которой

|/(а>(®)| <еи(аЬ8а:> ш£ а!ехРг,(г)> жеж^, (4)

ге(о,оо)л> га

однозначно продолжается до целой в

СМ

функции / (г), удовлетворяющей оценке

|/(г)| < СМуР{ 1 + уЯаЬзу))2ЛГ_1еи(аЬ8а:)+,'(аЬ8!'), г = ж + %у € С*, (5)

где Сн;Р — постоянная, зависящая лишь от размерности пространства и числа р. <1 Прежде всего отметим, что позитивная полуоднородность V при порядке р влечет,

. „ ехри(г) . „ 1 . „ехр^и(г) . „ 1 /еру(г) \ ш£ — ^ ш£ — ш£ — , , = ш£ — 1

ге(0,оо) га ге(о,оо)Л' га г>о № ге(о,оо)л' га \ |а|

Отсюда и из (4) заключаем, что при любом г € (0, ос)

|/(а)Н| < (р^р) х(ЕЖм, а € (4')

Здесь и ниже считаем, что 0° = 1.

Далее, из (4) следует, что при каждом К > 0 и всех х € Ж^ с ||ж|| II

|/(а)(ж)| < 4«!, где 4к:= е«(Д,.,Д)+»(1,.,Ц

Поэтому / продолжается до целой в С^ функции, за которой мы сохраним то же самое обозначение / (см., например, [7; предложение 1.1.14 и лемма 1.1.5]). Однозначность продолжения вытекает из теоремы единственности для голоморфных функций многих переменных (см. [8; стр. 32]).

Зафиксируем, теперь, произвольное у € Ж^ с ненулевыми координатами. Разложив /(г) в ряд Тейлора с центром в точке х € Ж^ и применив (4') с г = аЬву, получим при г = х + гу:

1/(г)1 < /(a)(aVi ^с"(аьы Y1 (epv(ahsyAlal/p

л- л- \ ^ /

= „«(abss) Сх , ( еРУ(аЫУ)\ П/Р

= е

п

п=О

где

Сх.„ := X) 1 = при п > 1 и CN,о = 1. Ясно, что CN,n < (2«)*-1

при п ^ 1, и поэтому справедливо следующее продолжение предыдущей оценки (для простоты записи полагаем О^-1 = 1):

\f(z) | < 2JV-1e"(abs") flnN(epVi'AhS V)) П/Р. (6)

n=О \ n /

Асимптотическое поведение суммы ряда, стоящего в правой части этого неравенства, при w(absу) —> оо известно. Именно, из [9; отдел четвертый, задачи 46, 47, 68 и 70] следует, что при г ^ оо

ОО , ч п/р _

EJV-l I еРг \ - ЛГ-1 N г

п I - I ~ V2nrr р е .

п=о V п / Поэтому существует DnjP < оо такое, что

ОО , \ п/р

J^n*-i(eJL\ ^ DN,p{l + Vr)2N-ler (Vr> 0).

п=О ^ П '

Полагая = 2Л 1 1)\.Р. получим отсюда и из (6) требуемую оценку (5). >

Покажем согласованность полученных нами в теоремах 1.2 и 1.3 оценок следов и продолжений на примере используемых в приложениях пространств целых в CN и бесконечно дифференцируемых в Ж^ функций.

Пусть uii v — две весовые функции из V^, р > 0 — фиксированное число. Положим

Hu,v,p := {/ € H(CN) : (Ve > 0)

\№\

u,v,p,£ gJ„ exp(«(abs®) +t>(absy) + e||?/||p)

где Н(СМ) — пространство всех целых в С^ функций, и где, как и выше, г = х + %у. Определим далее такое подпространство пространства А(Ж^) всех вещественно аналитических в Ж^ функций:

Au,v,p ■■= {/ е A(RN) ■ (Ve > 0) |/|W£ := sup sup , ^"l^L^ < 00

где (а, е) := ш£ ехр(и(г) + е||г||р).

ге(о,оо)л'

Наделенные топологиями, задаваемыми наборами норм (|| ■ ||и,у,р,е)£>а и (|' \и,у,р,е) £>^ соответственно, пространства НиуЮуР и АиуЮуР являются пространствами Фреше.

Из теорем 1.2 и 1.3 легко следует такой результат.

Теорема 1.4. Пусть и, V — весовые функции из Vм, причем и полуаддитивна сверху V позитивно полуоднородна порядка р > 0, и и(г) = о(||гпри ||г|| —> ос. Тогда оператор сужения / € Ни^,уР ^ /(ж) € Аи^,уР является топологическим изоморфизмом пространства Ни^,уР на Аи^кр.

<1 Пусть / € НиуУу/)7 т. е. для любого е > О

^ г = х + 1у € С*.

Применив теорему 1.2 с = и(в) + и (г) + еЦгУ (условие (1) выполняется в силу

полуаддитивности и) и воспользовавшись тем, что и(г) = о(||г||')) при ||г|| —> оо, получим при некотором С£ < оо, что при всех х € Ж^ и а €

^Ч^^Ши^ее^ ы а- ехр(ц(г) + у (г) + £||г||р)

ге(о,оо)Л' га

«$С£ ||/|и„£е"(аЬ8ж) ш£ а!ехР("(г) + 2е||гГ) = ^ ^ 2е)еи{*Ых)_

ге(о,оо)л' га

Отсюда \/\и,у,р,2£ ^ Се||/|| и,у,р,е для всех / из НиуУуР. Таким образом, оператор сужения действует непрерывно из НиуЮуР в Аи у р. Его инъективность следует из упомянутой ранее теоремы единственности.

Остается установить сюръективность обратного оператора (оператора продолжения), так как его непрерывность следует из теоремы Банаха об обратном операторе для пространств Фреше. А сюръективность легко получается из теоремы 1.3, если заметить, что появляющиеся после ее применения множители вида СдтуР(1 + ^/у(аЬву) + еЦуЦ^)2^-1 являются 0(е£Н2,НР) во всем Ж^. >

2. Вещественная трактовка аналогов теоремы Пэли — Винера — Шварца

Доказанная нами в предыдущем параграфе теорема о следах и продолжениях получена для мажорант, подчиняющихся достаточно общим по характеру ограничениям. Это обстоятельство позволяет применять их для широкого спектра задач, посвященных, прежде всего, двойственной взаимосвязи между различными пространствами бесконечно дифференцируемых в Ж^ и целых в функций. Например, с их помощью легко получить все результаты работ [1, 3], касающиеся вещественных версий теорем Пэли — Винера, Пэли — Винера — Шварца и их аналогов для ультрадифференцируемых функций, ультрараспределений и гиперфункций. Здесь мы ограничимся демонстрацией использования теорем 1.2 и 1.3 в теории ультрараспределений Бёрлинга — Бьорка [10, 11], точнее, в одном из вариантов этой теории, разработанном в [12].

Определение 2.1. Весовой функцией в смысле Брауна — Майзе — Тейлора (см. [13]) будем называть непрерывную неубывающую на [0, оо) функцию ш : [0, оо) —> [0, оо), которая обладает следующими свойствами: (а) ш(2г) = ОМ*)) на [0,оо);

00

00) ft-2oj(t)dt < оо;

1

(7) lni = o(w(i)), t —> +оо;

(5) <Pw(t) '■= выпукла на [0, оо).

Определение 2.2. Пусть f2 = — последовательность весовых в смысле Бра-

уна — Майзе — Тейлора функций. Будем говорить, что f2 — весовая последовательность типа Бёрлипга, если для любого п € N имеются такие т = т(п) € N и С = С(п) < оо,

(1) u>n(s + г) ^ urm(s) + urm(r) + С для любых S, г ^ 0;

(2) шп(г) + 1п(1 + г) ^ шт(г) + С для любого г ^ 0.

Определение 2.3. Пусть G — открытое в Ж" множество и О = — весовая

последовательность, введенная в предыдущем определении. Следующее пространство называют пространством ультрадифферепцируемых функций типа Бёрлипга;.

%)(G) := (/ € С°°(G) : (Vn € N) (Ш ш G) \\f\\n,K := sup sup '^J.f1,. < 00},

где ip*n — функция, сопряженная по Юнгу с

Нетрудно видеть, что в определении можно ограничиться любой последова-

тельностью (Kn)^=i компактов, исчерпывающей G изнутри (напомним определяющие

оо

свойства таких последовательностей: Кп С intiT^+i (п = 1,2,...) и |J Кп = G). Поэто-

n=i

му в топологии, задаваемой набором преднорм || ■ |\п>к, когда п пробегает N, а К — все компакты, лежащие в G, оно является пространством Фреше.

В [12; теорема 3] был доказан такой аналог теоремы Пэли — Винера — Шварца: Теорема AT. Пусть G — выпуклая в Ж" область, а {Кп)^=1 — последовательность выпуклых компактов, исчерпывающая G изнутри. Тоща преобразование Фурье — Лапласа функционалов является топологическим изоморфизмом сильно сопряженного к £(n) (G) пространства на пространство целых в CN функций

H{n,G)(cN) := \з G H(CN) : (Зп € N) \\g\\n := sup < оо},

наделенное естественной топологией внутреннего индуктивного предела. Здесь Нп(-) — опорная функция компакта Кп.

Отметим, что для последовательности f2 = задаваемой одной весовой в

смысле Брауна — Майзе — Тейлора функцией, этот результат был установлен в [13].

Легко заметить, что если G есть выпуклая симметричная относительно всех координатных гиперплоскостей область в Ж", то и компакты, фигурирующие в определении введенных выше пространств, можно брать с такими же свойствами. Тогда Нп(у) = Hn(absy) всюду в Ж" (n = 1, 2,...), причем эти функции позитивно однородны порядка 1. Далее, из ограничения ((3) на весовые функции шп следует, что ujn(t) = o(t) при t —> оо, п = 1,2,... . Поэтому условие (1) определения 2.2 влечет, что для любого п € N существуют m € N, С < оо такие, что

+ г||) + Нп(г) ^ wm(||s||) + Hm(r) + С, s,r G [0,+оо)".

Это дает возможность провести практически те же рассуждения, что и при доказательстве теоремы 1.4, и придти к следующей, вещественной трактовке теоремы AT.

Теорема 2.4. Пусть Q и G те же, что в теореме AT. Тогда преобразование Фурье функционалов устанавливает топологический изоморфизм между пространством, сильно сопряженным к E^(G), и пространством вещественно аналитических в M.N функций

A{n,G)(RN) ■= (9 е A(Rn) : (Зп € N) \g\n := sup sup , Д^1...... < ос

»(INI)

наделенным естественной топологией внутреннего индуктивного предела. Здесь ßn(a) = ехр (Нп(г))

inf

ге(о,оо)л'

Литература

1. Mandache N. A Paley-Wiener theorem and pseudolocal operators // Rev. Roumaine Math. Pures Appl.—1990.—V. 35.—P. 321-328.

2. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 1. Теория распределений и анализ Фурье.—М.: Мир, 1986.— 464 с.

3. Chung J., Chung S.-Y., Kim D. Real version of Paley-Wiener theorem for hyperfunctions and ultradistributions.—Seoul, 2002.—13 c.—(Preprint).

4. Komatsu H. Ultradistributions I. Structure theorems and a characterization // J. Fac. Sci. Tokyo, Sec. IA.—1973.—V. 20.—P. 25-105.

5. Мусин И. X. О преобразовании Фурье — Лапласа функционалов на весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций // Матем. сб.—2000.—Т. 191, № 10.—С. 57-86.

6. Тихомиров В. М. Выпуклый анализ // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 14.-М.: ВИНИТИ, 1987.-С. 5-101.

7. Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях.—М.: Мир, 1971.—232 с.

8. Шабат В. В. Введение в комплексный анализ. Часть II. Функции нескольких переменных.—М.: Наука, 1976.—400 с.

9. Полна Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Часть II.—М.: Наука, 1978.—431 с.

10. Beurling A. Quasi-analyticity and general distributions. Lectures 4 and 5.—Stanford: AMS Summer Institute, 1961.

11. Bjorck G. Linear partial differential operators and generalized distributions // Ark. Mat.—1966.—V. 6.— P. 351-407.

12. Абанин А. В., Тищенко E. С. Пространства ультрадифференцируемых функций и обобщение теоремы Иэли — Винера — Шварца // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки.—1997.—№ 2.— С. 5-8.

13. Braun R., Meise R., Tailor В. A. Ultradifferentiable functions and Fourier analysis // Results Math.— 1990.—V. 17.—P. 206-237.

Статья поступила 20 января 2004 г-

Авднин Александр Васильевич, д. ф.-м.н. г. Ростов, Ростовский государственный университет; E-mail: [email protected]

Ндлвдндян Юлия Сергеевна, к.ф.-м.н. г. Ростов, Ростовский государственный университет E-mail: nalbOmath. rsu. ru

Шдвдршинд Ирина Сергеевна, к.ф.-м.н. г. Ростов, Ростовский государственный университет E-mail: [email protected]