CC BY
12
УДК 517.9
АБСОЛЮТНО ПРЕДСТАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ ПОДПРОСТРАНСТВ В ПРОСТРАНСТВАХ ПРОБНЫХ УЛЬТРАДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
© 2009 г. К.А. Михайлов
Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, <1гуте@та1Ь. sfedu.ru
Южный математический институт ВНЦРАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, 362027
Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, dnjme@math. sfedu.ru
Southern Mathematical Institute VSC RAS, Marcus St., 22, Vladikavkaz, 362027
Получены необходимые и достаточные условия, при которых последовательность подпространств является абсолютно представляющей системой подпространств в пространстве Dq(G) пробных О. -ультрадифференцируемых функций. Построены примеры абсолютно представляющих систем подпространств в пространстве Dq(G) .
Ключевые слова: абсолютно представляющие системы, ультрадифференцируемые функции, разбиение единицы.
Necessary and sufficient conditions under which a sequence of subspaces is an absolutely representing system of subspaces in spaces Dq(G) of ii -ultradifferentiable functions are obtained. Examples of absolutely representing system of subspaces in the space Z)q(G) are constructed.
Keywords: аbsolutely representing system, ultradifferentiable functions, partition of unity.
1. В соответствии с определением из [1] последовательность С//. нетривиальных векторных подпространств локально выпуклого пространства (ЛВП) Е называется абсолютно представляющей системой подпространств (АПСП) в Е , если для любого х е имеется хотя бы одно абсолютно сходящееся в Е
представление вида х = Xх/.- • гДе хк с Нк
к=1
В частном случае, когда каждое И к - одномерное подпространство {се^:сеС}, последовательность
И к ^=1 является АПСП в Е тогда и только тогда,
когда 4.к 1 образуют абсолютно представляющую
систему (АПС) в E . Одним из направлений в исследованиях Ю.Ф. Коробейника было изучение АПС в индуктивных пределах банаховых пространств. В работах [2 - 4] получены различные критерии того, что данная последовательность элементов является АПС в некотором (Дга)-пространстве. Впоследствии А.В. Абани-ным эти результаты были распространены в [5] на случай АПСП. Однако для произвольных индуктивных пределов банаховых пространств подобных критериев пока не получено. Даже в случае строгих индуктивных пределов, которые довольно близки по своим свойствам к (0^5)-пространствам, используя технику из [2 - 4], получить схожие результаты для АПС или АПСП не удается.
В статье приводятся новые результаты в данном направлении. Получены условия того, что данная система подпространств является АПСП в пространстве пробных ультрадифференцируемых функций, и с их помощью строятся конкретные примеры АПСП в пространствах такого вида.
2. Введем некоторые необходимые для дальнейшего изложения определения из [6]; N -весом будем называть произвольную измеримую по Лебегу, ло-
11 функцию
< оо,
кально a>:RN
ограниченную в " i'®3для которой
rn
J—< оо, 1
где a>(f) :=sap{a>(0 :|| £\\<t}\
N
II ¿г l|:= max | ^ | для ¿Г = из r
1 <k<N
С каждым N -весом со и компактом К с непустой внутренностью в RN свяжем банахово пространство D0)(K) бесконечно дифференцируемых в R функций с носителем в К с нормой
|| g \\т:= sup \Ж)\е°КО 1i^Dm{K)l.
Здесь g(£):= Jg(x)e
-i<x,u >
dx - преобразование
RN
Фурье функции g; <x.C >— X^i + ... + Хдг^дг ДЛЯ
N
Х=(Х1,...,ХДГ) И С = И3 К
Т I
Пусть IVу (IVу ) - совокупность таких последовательностей N -весов О = , что для любого натурального п найдется такая постоянная
Сп , что для всех ^ей" соп(£) < соп+1(£)+Сп (0}п+1(О<0}п(О + Сп).
По Q из П'
(1Г\-) образуем векторное простран-
^
, кото-
ство D(Ü)(K) = П D0n (К) U D0)n (К)
11—\ V п=\
рое будем рассматривать с топологией проективного
(индуктивного) предела последовательности пространств \>со '"'
СЮ 'j относительно отображений
п "77—1
вложения.
Для открытого в Л множества О определим
пространство := и^пСЮ* гДе объединение
к^а
берется по всем компактам К из О, и наделим его топологией внутреннего индуктивного предела пространств /)(_)(К). Здесь и далее будем писать О без скобок в тех случаях, когда какое-либо обозначение
Т
или утверждение касается как О е II'у , так и О е П'у . В задании ((/) можно ограничиться произвольной исчерпывающей О изнутри последовательностью
= и
компактов
и Т.е. Оп(в)= и £>а(^), а исходная
7=1 7=1
топология /Л) (С,) совпадает с топологией
¡не! 1)(}(К . Функции из /Л,(С,) называются проб-
з
ными Г) -ультрадифференцируемыми функциями на С. Нетрудно видеть, что /) является тополо-
гическим подпространством ) ■ а значит,
/Л) (С/) принадлежит классу строгих индуктивных пределов. Также заметим, что
О>щ(О)=1псИпс1П(0 (КЛ=1псЮт (Кп). ] и и
Из сказанного выше следует, что /)(>((}) - строгий индуктивный предел последовательности ЛВП
3. Пусть □ - произвольная последовательность Ж -весов из И'\- или П V . Будем говорить, что в пространстве Д, (С,) последовательность функций
($1- является абсолютным разбиением единицы на
компакте К , если X (Рк (х) = 1 Для всех хе^Г и ряд
к=1
^<Рк(х) абсолютно сходится в 1),_1(а). Поскольку
¿=1
топология Д) (("7) мажорирует топологию поточечной сходимости в О, этот ряд будет сходиться в I)()((!) к некоторой срезающей функции компакта К -такой функции у/ из /А> ((>), что ц/ = 1 на К . Назовем последовательность нетривиальных векторных т»
подпространств пространства /А)((г) ло-
кальным разбиением единицы в /)()_ (О), если для любого компакта К<^0 существует такая последовательность функций (<Рк Н¡.. к —1,2,...),
которая является абсолютным разбиением единицы на К .
Следующая теорема описывает характеристическое свойство всех АПСП в , удовлетворяющих дополнительному свойству замкнутости относительно операции умножения.
Теорема. Для того чтобы последовательность
нетривиальных векторных подпространств С/ ¡, была АПСП в /)(,((}), необходимо, а в случае замкнутости каждого И^ относительно операции умножения на произвольную функцию из /Л,(С/) и достаточно, чтобы (/была локальным разбиением единицы в !)(_)_ (О).
Доказательство. Необходимость. Зафиксируем произвольный компакт К в О и некоторую срезающую для него функцию ц/ е /Л2((') (существование такой функции доказано в [6, следствие 3, с. 51]). Так как последовательность /. является АПСП в /)()((}), то найдется такая последовательность функ-
ций (<pk^Hk, к —1,2,...), что у/(х) = Z<Рк(.х)
к=1
для всех хеО, а ряд X'Рк абсолютно сходится в
к=1
/)(>((}) к (//. Другими словами, последовательность является абсолютным разбиением единицы на компакте К . Поэтому (/ /. - локальное разбиение единицы в пространстве 1),_1(а).
Достаточность. Рассмотрим произвольную функцию g из /)<)_((,) с носителем, лежащим в некотором компакте К . По условию последовательность И является локальным разбиением единицы в /Л2(С,). а значит, существуют функции (р/( <еН¡.. к-1,2,..., которые образуют абсолютное разбиение
единицы на компакте К . Тогда я(х) =
к=1
при всех хев, причем из абсолютной сходимости в
/)<_,((,) ряда к некоторой срезающей функции
к=1
компакта А" следует, что ряд 'Х.Я'Рк абсолютно схо-
к=1
дится в /Л, (С/) к функции £. А так как все замкнуты относительно операции умножения на произвольную функцию из /)()((}). то ■= 8<Рк принадлежат НI- для всех к е N. Итак, для произвольной функции имеется ее представление функциями gk из Ик в виде абсолютно сходящегося
ряда X ёк ■ Таким образом, последовательность
к=1
(//. является АПСП в 1)(_}((г). Теорема доказана.
4. Воспользуемся теоремой, чтобы привести пример АПСП в ¡)0_((,).
Пусть, как и выше, О - открытое в Я1^ множество, щ>п - последовательность N -весов из ÍГV или wN . Рассмотрим открытое локально конечное покрытие К^к множества О, в котором Ок - компакт в О (к = 1.2....). Напомним, что открытое покрытие (г, (где /)((г) - некоторое семейство индексов) назьшается локально конечным покрытием П - , если для любого компакта К , лежащего в
О, можно указать лишь конечное число множеств этого покрытия, которые имеют с К непустое пересечение. Согласно [6, следствие 2, с. 51], в пространстве /Л) (С/) существует разбиение единицы, подчиненное
к , т.е.
найдутся такие неотрицательные функции из Оп(Ок), что 1п(1+1| ^ ||) <| соп+1 (О - а>„(О I +С„ всюду на О. Тогда для любого компакта К последовательность 4рк | является на нем абсолютным
разбиением единицы. В самом деле, так как (/'/_- ~ локально конечное покрытие, то имеется только конечное число функций <рк, отличных от нуля на К . Поэтому для некоторого достаточно большого
М=М{К)>0 хеК.
00 м
Z <РЛХ)= 2>i(*) = 1 k=1 k=1
М
Л
ций. Поэтому результаты, полученные выше, справедливы и для пространства Б(О).
5. В заключение покажем, что в случае правильных весовых последовательностей существуют такие
последовательности пробных функций, на
основе которых можно строить АПСП сразу в целом семействе пространств ультрадифференцируемых функций. Следуя [6, п. 2.3.1], весовую последователь___ л/ Т / и/ -I ■
ность О = из 1Г\- (II) будем называть пра-
вильной, если при каждом п е N:
1) найдется Сп > 0 :
1п(1+ II II) <| (О - со„(01 +с„ (е ^
2) существует такой N -вес \>п , что при всех С,
соп{^ + г!)<соп+1 (С) + у(т7)
(юп+\ (£ + 11)^ (оп (О+Лч) )•
Далее четную неотрицательную на Я и неубывающую на [0; со) функцию со назовем каноническим весом [6] или весом в смысле Брауна, Майзе, Тейлора [7, определение 1.1], если она удовлетворяет услови-
ям: co{2t) = 0{co{t)) при / —» со ;
со;
1 t
при всех
Кроме того, X (Рк (х) является срезающей функ-
к=1
цией компакта Я, а значит, последовательность т»
<Вк _к=х - абсолютное разбиение единицы на К .
Символом (' г ((¡) будем обозначать множество бесконечно дифференцируемых на О функций. По выбранной последовательности
14
Щ построим
векторные подпространства в IIследующего вида:
Н{<Рк)= ¿рке0п(0):8еС°(0) , ¿ = 1,2,....
Очевидно, что сами функции <рк принадлежат Н(срк), и все подпространства Н(срк) являются замкнутыми относительно операции умножения на произвольную функцию из DQ(G).
Наконец, используя тот факт, что для любого компакта К в £»и+1 + 77) < Й>„ (40 + у(| I ?711) последовательность функций {цк образует на нем абсолютное разбиение единицы, и применив теорему, получим, что </((рк- АПСП в /А, (Г,).
Отметим, что для весовой последовательности □ = 0 ' гда ®о(О = 1п(1+ II СII) > С е я" , пространство 1)((Л)(а) совпадает с классическим швар-цевским пространством Б(О) пробных на О функ-
Ьи = о(й#)) при / оо ; <рсо{х) ■= со(ех) выпукла на Я .
Как показано в [6], для любой правильной весовой последовательности О = (¡)п из или можно указать такой канонический вес V, что при всех п^К и 4-, пеЯ", соп(£+ Т1)<а>п+1(0 + у(\\г!\\),
Л
если О из \¥ы, или ®и+1(4- + 7)<й^(4") + у(||^||),
если О из Ч у . Такой вес V называется ассоциированным с Г2 .
Возьмем произвольный канонический вес V и
правильную весовую последовательность П = 4$п
из 1Г\- или . Рассмотрим функции у/к е 1)(л,) (О),
к <е N. которые являются абсолютным разбиением единицы в В^)(О) на каждом компакте К в О
(один из примеров такого разбиения единицы был построен в предыдущем пункте). Под Б^О) понимается пространство пробных ультрадифференцируе-мых функций /Л2 (О), соответствующее весовой последовательности О] = , которая естественно
Т
будет принадлежать классу 1Г\- . Так как вложение в 1)(л,)((г) в /Л)С') непрерывно [6, предложение
2.3.3(1)], то из абсолютной сходимости ряда в
к=1
Б(у)(О) следует его абсолютная сходимость в 0^(0).
Положим НкС1\= £у/к :g е, кеЫ.
В [6, предложение 2.3.3(1)] также установлено, что gy/]{&Dc¡(G) для всех g<ED^¡(G). Поэтому Н¿ о - векторные подпространства в 1),_1(а). Далее нетрудно видеть, что при каждом к е N подпространства Нк о_ замкнуты относительно операции умножения на произвольную функцию из 1\)((г) и содержат в себе образующие их функции . Тогда
является АПСП в
последовательность %7/^с) ^ /)(■,(( г). Действительно, для любой функции / из /)(у((г) элемент принадлежит Нк ^, а из абсо-
лютной сходимости ряда X У к в Dq(G) следует,
к=1
что ряд X /Ч'к абсолютно сходится в /)(>((}) к
к=1
функции /.
Таким образом, выбранная последовательность ¡{ универсальна в том смысле, что по ней с по-
мощью подпространств вида Н¿ q , строится АПСП в /)()((}), где П - произвольная правильная весовая последовательность, с которой ассоциирован вес v.
Литература
1. Коробейник Ю. Ф. О представляющих системах подпространств // Мат. заметки. 1985. Т. 37,. № 5. С. 741-755.
2. Коробейник Ю.Ф. Об одной двойственной задаче. I. Общие результаты. Приложения к пространствам Фреше // Мат. сб. 1975. Т. 97, № 2. С. 193-229.
3. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы // Изв. АН СССР. Серия Мат. 1986. Т. 42, № 2. С. 325-355.
4. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы // Успехи мат. наук. 1981. Т. 36, № 1. С. 73-126.
5. Абанин А.В. Индуктивные абсолютно представляющие системы подпространств // Комплексный анализ. Теория операторов. Математическое моделирование. Владикавказ, 2006. С. 27-34.
6. Абанин А.В. Ультрадифференцируемые функции и ультрараспределения. М., 2007. 222 с.
7. Braun R.W., Meise R., Taylor B.A. Ultradifferentiable functions and Fourier analysis // Results Math. 1990. Vol. 12. P. 206-237.
Поступила в редакцию
3 февраля 2009 г.
