Изоморфная классификация пространств ультрадифференцируемых функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.982

ИЗОМОРФНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОСТРАНСТВ УЛЬТРАДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ1

© 2012 г. А.В. Абанин, П.С. Сергунин

Абанин Александр Васильевич - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090; ведущий научный сотрудник, Южный математический институт Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, 362027, е-mail: [email protected].

Abanin Alexander Vasilievich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Head of Department of Mathematical Analysis, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Mil-chakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090; Leading Scientific Researcher, Southern Institute of Mathematics of Vladikavkaz Scientific Center RAS, Marcus St., 22, Vladikavkaz, 362027, e-mail: [email protected].

Сергунин Павел Сергеевич — аспирант, кафедра математического анализа, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: paviol88@mail. ru.

Sergunin Pavel Sergeevich - Post-Graduate Student, Department of Mathematical Analysis, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, e-mail:[email protected].

Рассматриваются пространства Фреше ультрадифференцируемых функций типа Берлинга, задаваемые последовательностями весов. Получены теоремы вложения и совпадения пространств такого типа. Основной результат — теорема об изоморфной классификации указанных пространств. Доказано, что при некоторых дополнительных ограничениях два пространства изоморфны в том и только в том случае, когда они совпадают.

Ключевые слова: пространства ультрадифференцируемых функций, изоморфная классификация.

We consider Frechet spaces of ultradifferentiable functions ofBeurling type defined by weight sequences. It is obtained theorems of inclusion and coincidence of spaces of such a type. The main result is a theorem on isomorphic classification of such spaces. Under some additional conditions it is proved that two spaces are isomorphic if and only if they coincide.

Keywords: spaces of ultradifferentiable functions, isomorphic classification.

В настоящей статье исследуется задача об изоморфизме между пространствами Фреше ультрадифференцируемых функций (УДФ) с ограничениями роста всех производных, задаваемыми последовательностями Ф весов. Ранее она была рассмотрена в [1] (см. также [2,§ 6.4]) в случае, когда Ф определяется одним неквазианалитическим весом р и имеет вид

Ф = (п<р)™=1. С помощью классической диаметральной размерности в [1] было установлено, что пространства УДФ, задаваемые такими Ф , изоморфны в том и только в том случае, когда они совпадают.

Наша цель - исследовать возможность распространения этого результата на весовые последовательности произвольного вида. Мы покажем, что с помощью схемы, предложенной в [1], такое распространение можно осуществить при достаточно общих ограничениях на весовые последовательности. Основной результат об изоморфной классификации получен нами для УДФ на вещественной оси. В связи с этим отметим, что часть наших вспомогательных результатов (о структуре пространств УДФ, действии элементарных

операторов и теоремы вложения) верны также для УДФ на компактных или открытых множествах в Ям . Применяемые для их доказательства методы стандартны и не претерпевают существенных изменений при переходе к многомерной ситуации и к компактным или открытым подмножествам. Поэтому, чтобы не загромождать суть дела техническими деталями, всюду в статье мы будем рассматривать пространства УДФ на вещественной прямой.

Используемые ниже без дополнительных пояснений или комментариев понятия и факты можно найти в монографии [2].

Пространства УДФ. Вспомогательные результаты

Через W обозначим семейство всех функций р: [0, да) ^ [0, да), которые не убывают и выпуклы на [0, да) и для которых t = о(<)) при t ^ да . Сопряженная с ре Ш по Юнгу функция р(8):= эир^я-р(0),

> 0) принимает конечные значения и выпукла; для

'Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашения 14.А18.21.0356 «Теория функциональных пространств, операторов и уравнений в них» и 8210 «Синтетические методы изучения операторов и уравнений в функциональных пространствах».

< да, Vn е N;

нее t = о(р (t)) при t ^ да и р := (р ) = р. Без ограничения общности считаем, что р нормирована условием р(0) = 0. Тогда и р* (0) = 0.

Возьмем последовательность Ф = (ри функций из W, удовлетворяющих условию неубывания по подчинению: рп(t) < рп+1 (t) + Cn t > 0;n e N, где Cn - некоторые постоянные. По каждой такой последовательности образуем двойственную с ней последовательность Ф* = (р< )^=1 и пространство бесконечно дифференцируемых на вещественной оси функций

Е(ф.)(Я):=

:=■) / e C°( R): | f | .:= sup sup1 f' ](x)l

наделенное топологией, задаваемой набором пред-норм (l • l^,)^ . Здесь и далее N := N ^{0}. Как известно, Е(ф,j(R) является пространством Фреше. Естественно рассматривать лишь те Ф, для которых Е(ф.) (R) инвариантно относительно дифференцирования, т.е. такие, которые вместе с каждой функцией содержат и ее производную (а тогда и все ее последовательные производные). Нетрудно видеть, что необходимым и достаточным условием инвариантности относительно дифференцирования является следующее : Уп Зт ЗСп > 0 : срп (/) +1 < <рт (/) + Сп (t > 0)..

За счет перехода к подпоследовательности (что не влияет на пространство и топологию в нем) его можно записать так:

Рп (t)+1 <Pn+i (t) + Cn (t > 0; n e N) . (1)

Двойственное (1), эквивалентное ему условие имеет вид рП+1 (5 + 1)<pn*(s) + Cn (s > 0; п e N) . т

Символом W обозначим семейство всех весовых последовательностей Ф= (р, удовлетворяющих (1).

Приведем простые достаточные условия, при которых Е (R) является алгеброй относительно операций поточечного сложения и умножения функций. Нам потребуется следующая лемма.

Лемма 1. Пусть р и у - два веса из W, удовлетворяющие при некоторой постоянной С условию p(t +1) < у (t) + C (t > 0). Тогда справедлива оценка

у (s) + s <p*(s) + C (s > 0).

Доказательство. Из условия леммы следует, что

для всех s > 0 у (s) = sup((t -1) s - y/(t -1)) < t>i

< sup(ts -p(t)) + C - s <р* (s)- s + C.

t>1

Лемма доказана.

Обозначим через W% совокупность всех последовательностей Ф= (< )^=1 функций из W, для которых при каждом n e N имеется такое Cn, что при любом t > 0

Рп (t + 1)<Pn+1 (t) + Cn. (2)

Из условия (2) и леммы 1 следует, что для Ф из W% последовательность Ф* := (р<)"=1 при некоторых

постоянных Си удовлетворяет условию:

(•*) + * < Рп (■*) + С (я > 0;п е К) . (3)

Предложение 1. Для любой последовательности Ф из пространство Е(ф,) (Я) является алгеброй относительно операций поточечного сложения и умножения функций. При этом оператор А^ : f а ^ поточечного

умножения на фиксированную функцию g еЕ(ф,}(Я)

является непрерывным из Е.ф, (Я) в Е.ф, (Я).

Доказательство. Пусть f, g е Е^ (Я) и п е N . Заметим, что поскольку р*+1 выпукла и р*+1 (0) = 0 , то р*+1 субаддитивна на [0, да), т.е.

рп+1 (х)+рп+1 (у) < рп+1 (х+у) > ^ у е [0, да). Использовав этот факт и условие (3), для любого х е Я с

к

|х| < п + 1 имеем | (fg )(к) (х) |< (х)|| g^»(х)| <

<\f Ul+i

j=0

j=0

j С '.+i(j )„ %+i(k -j)

eTn*iyj'e^n+i(k-f) <

^ 2k\f I. \g\

0V*i(k )

< e

k

\f\ IgI e'

П (k)

Следовательно, 1 р. < еСп и1 , ^ 1 . .

рп рп+1 рп+1

Отсюда заключаем, что fg е Е^ф*) (Я) и что оператор умножения действует непрерьшно из Е(ф,)(Я) в Е(ф,)(Я). Предложение доказано.

Напомним, что срезающей функцией компакта А К называется бесконечно дифференцируемая на Я функция /, которая удовлетворяет условиям:

77(х) = 1 на К ; 0 < ?/ (х) < 1. Ух е Я ; вирр ;/ К.

В дальнейшем нам потребуется существование срезающих функций, принадлежащих пространству Е(ф,)(Я). В [2, с. 148] отмечено без подробного обоснования, что достаточными, близкими к необходимым, условиями этого являются

Рп (')

J1¿dt n = 1,2,^) .

(4)

Приведем доказательство этого факта, поскольку нам будут важны некоторые технические моменты. Справедлива следующая лемма. Лемма 2. Пусть последовательность Фе Ш ^ удовлетворяет (4). Тогда существует такой вес ре Ш, для которого

Р) Л < да (5)

е 0 е

и при некоторых постоянных С > 0

р* (^)<р>) + Сп (/ > 0; п е К) . (6)

Доказательство. Положим соп (/) := рп (1п+/), где х+ :=тах(х,0). Тогда (4) перепишется так:

1сп (х)

J^nW dx < да(n = 1,2,...) .

k

0

Согласно [2, предложение 1.3.2, утверждение 1.3.3(3)], выполнение этих неравенств влечет существование такого канонического веса а , что

ап (г) = о(ст(0), г ^ да, п е N. (7)

Напомним, что в соответствии с [2, п. 1.3.3(1)] термин «канонический вес» означает, что а: [0, да) ^ [0, да) не убывает и удовлетворяет следующим условиям:

а) а(2г) = О(а(г)) при г ^да ; б) да^^Ж <да;

1 г

в) 1пг = о(а(г)) при г ^да; г) р(х) :=а(ех) выпукла на [0, да).

Условие в) равносильно тому, что г = о (р(г)) при г ^ да . Отсюда и из условия г) следует, что <р принадлежит При этом условие б) равносильно (5).

Далее из (7) следует, что при некоторых постоянных Cn имеют места неравенства рп(х)<р(х) + Ся (х > 0, п е N), двойственным эквивалентом которых являются (6). Лемма доказана.

Предположим, что весовая последовательность Ф удовлетворяет (4), и вес р из " построен в соответствии с утверждением леммы 2. Обозначим Е( , ^(Я) пространство, задаваемое весовой последовательностью (пр)да=1. Ясно, что сопряженная с ней последовательность, по которой фактически строится это пространство, имеет вид (рр*(г / р))да=1. Так как

рр*| — |<р*(/) при всех р е N и г е[0, да) , то

IР )

рр ^г| < р< (г) + С при всех р, п е N и г е [0, да) .

Отсюда следует, что пространство Ер*) (Я) вложено непрерывно вЕ (Я) .

Далее в соответствии с [2, предложение 1.6.2] для любых компакта К К и числа е > 0 существует функция /еЕ(?),}(Я), удовлетворяющая условиям:

7 (х) = 1 на Ке; 0 < / (х) < 1, Vx е Я; 8ирр/ с К3г.

Здесь К_ 5 -расширение компакта K, т.е. К5 :={^ е R: с!1з1(>-,К) <5} .

В силу сказанного выше эта функция будет срезающей функцией компакта ^ принадлежащей Е(ф,) (Я).

Итак, мы приходим к такому результату.

Лемма 3. Пусть весовая последовательность Ф удовлетворяет (4). Тогда для любых компакта K в Я и числа е > 0 имеется срезающая функция этого компакта, носитель которой расположен в е -расширении К.

Теоремы вложения

В данном параграфе рассматривается вопрос о вложении весовых пространств вида Е (Я) друг в друга. Именно предположим, что мы имеем две весовые последовательности Ф= (<)да=1 и Т= (ц)да=1

из W . Спрашивается, при каких условиях

Еф*)(Я) с Е(ф,-,(Я) ? Достаточные условия для наличия такого вложения указать нетрудно. С этой целью введем некоторые дополнительные определения.

Будем говорить, что вес у из " подчинен весу р

из " (пишем у р р), если ЗС > 0: у(г)<р(— )+С,

г > 0. Далее последовательность Те W ^ называется подчиненной последовательности Фе Wт (Тр Ф), если каждый вес из Т подчинен некоторому весу из Ф, т.е. Vn е N Зт е N ЗСл > 0: уп(г)<рт(г) + Си, г > 0 .

Следующее утверждение доказывается стандартно.

Предложение 2. Пусть Т и Ф - весовые последовательности из Wт. Если Тр Ф, то Е(ф,ДЯ) непрерывно вложено в Е (Я) .

Чтобы получить обратное утверждение, воспользуемся результатами из [2, § 2.3], установленными для пространств ультрадифференцируемых функций в подходе Берлинга-Бьорка.

т

По каждой весовой последовательности Фе W образуем последовательность ОФ = (юп (г ))да=1 = (рп (1п+/))да=1. По этой последовательности можно определить весовые пространства пробных функций типа Берлинга Б, ^(Я) (подробности см. в [2, § 2.1]). Пусть

Цф*) (Я)" подпространство тех функций из Е(ф,}(Я),

носители которых являются компактными в Я . В соответствии с [2, предложение 6.2.5] Ц^ (Я) = Ц ;(Я), кат

кова бы ни была последовательность Фе W . Отсюда следует, что если Е(Ф.)(Я) с Е^.^Я), то и Ц >(Я) с Ц >(Я). Если при этом Оф правильна, то из

последнего вложения по [2, предложение 2.3.2(1)] получаем, что р Оф, что равносильно, очевидно, подчинению Тр Ф. Напомним в связи с этим, что последовательность Оф является правильной (см. [2, п. 2.3.1]), если для нее найдутся такие канонические веса уп , что рп (1п+ +г+^)) < рп+1 (1п+г ++у (^), г, * > 0. (8)

Итак, мы приходим к такому результату. Предложение 3. Пусть Т и Ф - весовые после-

т

довательности из W , причем Ф удовлетворяет (8). Если Е(Ф.)(Я) сЕ(у.)(Я), то Тр Ф.

Докажем теперь следующую лемму.

Лемма 4. Для любой последовательности Ф из

, удовлетворяющей условию (4), существуют такие канонические веса vn, относительно которых выполняется условие (8).

Доказательство. Положим ап (г) := рп (1п+г) (г > 0, п е N). Тогда условие (2), которому удовлетворяет Ф как последовательность из , перепишется в виде

Vn е N ЗСп: рп (1п+г +1) < рп+1 (1п+ г) + Сп, Vt > 0.

Заметим, что рп (1п+г+1)= рП (1п + (ег)) = тп (ег) > тп (2г) Vt > 0. Тогда

ч (2г) < ®п+1 (г)+Сп ,vt > 0. (9)

Далее берем канонический вес а , существование которого было установлено в доказательстве леммы 2. Так как для а выполняется условие (7), то тем более юп(()<а(г) + В (г > 0, п е N), где В - некоторые постоянные. Тогда, считая для определенности, что 0 < 5 < г, имеем соп (5 + г) <ап (2t) <®и+1 (г) + Сп <

< юп+! (/) + юп+! (5) + Сп < ап+! + а (5) + Вп+1 + Сп.

Полагая уи (5) := а(5) + Ви+1 + Си , получаем условие (8). Лемма доказана.

Из предложений 2, 3 и леммы 4 следует такой результат.

Теорема 1. Пусть Т и Ф - весовые последова-

т

тельности из Ш1 . Для того чтобы Е(ф1)(Я) с Е(Т.)(Я),

ником ир относительно ир (по Колмогорову).

Возьмем функцию / из Е(ф, }(Я) с зирр / с [-2,2] и /(х) = 1 на [-1, 1]. Она существует

по лемме 3. Положим /(х) = /( — I. Ясно, что

V п )

/п (х) = 1 на [—п, п] и /п (х) = 0 для х й (—2п, 2п).

Дальнейшие оценки будем проводить, считая, что т > 4(п +1) . Тогда, в частности, [—2и,2и]с [—да, т]. Учитывая это, для любых ] е N и х е Я имеем

W,"

достаточно, а если Ф принадлежит классу и удовлетворяет условию (4), то и необходимо, чтобы Тр Ф.

Назовем две весовые последовательности Т и Ф из Ш^ эквивалентными ( Т Ф), если они подчинены друг другу. Другими словами, Т Ф, если одновременно Уп еN Зт еNЗСИ > 0: уп(г) <рт (г) + Си , г > 0, и Уп е N Зт е N ЗСп > 0: р (г)<ут (г) + Сп, г > 0 .

Из теоремы 1 получаем такой критерий.

Т е о р е м а 2 . Пусть Т и Ф - весовые последовательности из Ш , причем хотя бы одна из них принадлежит классу и удовлетворяет условию (4). Для того чтобы Е(¥,}(Я) = Е(ф,}(Я), необходимо и достаточно, чтобы Т Ф.

Оценки поперечников сверху

Обозначим через семейство тех последовательностей Ф из , для которых выполнено (4) и дополнительное условие, состоящее в том, что для каждого п е N имеются такие I е N и В > 0, что

2рп(г)<р(г)+Вп (г>0). (10)

Другими словами, Ф состоит из тех последовательностей весов, которые удовлетворяют (1), (2), (4) и (10). В текущем параграфе мы займемся оценкой колмогоровских поперечников пространства Е (Я)

сверху при предположении, что Ф е \~0Т. Это позволит нам использовать то, что оно является алгеброй относительно операций поточечного сложения и умножения функций, и в нем имеются срезающие функции, а также получить требуемую для установления основного результата оценку поперечников.

Фундаментальную систему замкнутых абсолютно выпуклых окрестностей нуля пространства Е (Я) образуют множества

ирп := \f е Е(ф*) (Я) :\/\ = supsupf-^—)■ < А .

Рп I ( ) Рп ,/е^ \х|<п еРпО) I

Величина <1 (и ,и ):= ММ(<5>0:и с8и +1),

5 \ рт рп / \ рт рп )

где т > п , 5 е N и - совокупность всех 5 -мерных подпространств в Е(ф,} (Я), называется 5 -попереч-

Щ e

n

pm (j)

T1<J)\ -

n

1

< — max, i x nj

e[-2,2] №

(j )

(x) <

(11)

Заметим, что правая часть этой оценки не зависит от п.

Пусть f еи^ . Тогда для всех ] е N и | х |< т

^>(х)|< еРр М . (12)

Рассмотрим функцию g = f/. Поскольку Е(ф,) (Я) -алгебра относительно операций поточечного сложения и умножения функций, то g е Е(ф,(Я). Учитывая субаддитивность функции р* на [0, да) и условия (11) и (12), для всех х е Я с | х |< т имеем

k(j)( x )|-

ШП x) f(j-k) (x)

<£С>1р eimike1) <

<| /Р IС>ра) =| 2 ерР(л . (13)

к=0

Так как g^' (-т) = g^' (т) = 0 для всех ] е N , то

+да

g (х )= I ске'л1а1 т при всех |х| < т, где

к=—да

т 1лкх

с, =- fg(х)е т <х, к = 0, +1,....

к 2т J

—т

Интегрируя по частям, получим, что для к ф 0 при

— 1лкх

любом jeN0 ск mg(x)| ' —

/tri J ^ tri

2m J 'V m

-m 4

Тогда из (13) заключаем, что при кф0

dx.

| Ск |< ^ | | g(У) (х) 11 — I <х < еР- ' -'2т У е N0.

т —т V т )

Отсюда слезет, что для к Ф 0 (ниже используется стандартный символ [х] для обозначения целой части числа х):

|с*|<Нр ехР^пС |рр ()—1п л

—к

* (j )-j In—

j>0

2m

-H.m eXP (-(j ^ ^-Vm (j ))]--Я. eXP (-(№ ^-Vm ([У]))]<

eXP(-( (^-1)ln ^-Vm (y ))]-

= H —e9m \ln^= Amke^" -I 2m m

m

m

где A := -— Ы зависит только от m . Положим, как 2m1 ^m

и выше,

« (') := ) . ТогДа

k* |< Cmke

(14)

i—kx

является элементом L (ек

f2s-1 (Х) = eXP,

V m

те же, что и выше). Обозначим h(x) = f (x)- f2s_j (x) . Если | x | < n, то g (x) = f (x) и, следовательно,

h ( x) = g ( x) - f 2 s-1 ( x) = XC* eXP

|k|>s

i—kx

m

при Ix < n .

С помощью (14) для Ix < n имеем m

ФI „-V*(J)

|kN

< Am У

V m

—k V I in— —k 1 ke m Г 2m

Тогда h = sup | hu> (x) | e^(j) <

< Am T i k | exp

|k |>s

—

— \ \eXP „ 2m

f—kk f—k

I - \+«n I —

I 2m \ V m

SUP I j 1П (j) l l<

< Am T | k | e

|k|>s

Отсюда и из условия (9), эквивалентного (2), имеем

« v^—m )+«+if——m )

(15)

h n k I e

\k\>s

-«m f !

4 m\2m)

<

--Г—! --f—l

< 2AeC- + E"e 2 Г2m^Te 4 Г2m 1

k\>s

Так как для wm выполняется условие в), то — 1 1 < да.И, следовательно,

(16)

I 1

Вт :=TkexPI-ö

2«+1 V 2m

< D e

— m

f—-I

2 " V 2 m )

где Dm = ^AmßmeCn +En

виде / = + й , где принадлежит некоторому (2^-1)-мерному подпространству Е(ф,}(Я), а h удовлетворяет оценке (16). Поэтому при всех т > тп и

f—s I

2 m V 2 m )

Отметим, что exp Лх принадлежит Е(ф,->(R) при

любом Л е C (это следует, например, из [2, лемма 6.1.3]), и рассмотрим (2^-1)-мерное подпространство

L := span -j exp [ ]: |k| < si в Е(ф,) (R). Функция

любых s е N d2s_J (U^ ,U9n) < Dme 2 v 2m'. Отсюда при тех же т и s ds (UЛ ,' )< d Г* 1, (Um ' U )<

(

< Dm eXP

1

--«n

2

s

— _ 2 _

\\

2m

< ^ eXP|-2 Ю ,

Щр < АтеСп Хк!

Из условия (10), примененного дважды, следует, что найдутся такие номер т и постоянная

Еп > 0 , что рп+1 )< 1 рт ) + Еп(— > 0) или

®п+1 (г)< \®т (г)+Еп (г > 0).

Учитывая последнее неравенство, продолжим оценку (15):

Итак, мы приходим к такому результату Предложение 4. Пусть Ф - весовая последовательность из W^. Тогда для любого n существует такое mn, что при всех m > mn имеет место оценка

ds (U,m ) < Dm eXP(-1 «m l—m)]'S е N ' (17) где Dm - некоторые постоянн^1е, зависящие только от m. Оценки поперечников снизу В силу известного неравенства В.М. Тихомирова

ds К 'U,n) > supsup{^ > О: (ISU^n rf) ^ Um }.

Leb,

Отметим, что в правой части этого неравенства стоит половина бернштейновского ^-1)-поперечника Uv относительно Uv . Рассмотрим следующее s-мер-

ное подпространство в Е(ф,} (R):

L = span <! eXp | '-—kx |: 0 < k < s-1 ^.

Пусть f (x) = Takei—kx'n e 2SUv . Это означает, что

|f(J) ( x)|

|f | 2S , т.е. supsup

je No |x|<n eS

A j)

*(j )

< 2S.

Откуда имеем sup

|f1J' (x)|

x |<и e

*( j)

< 2S, Vj e N0o

Таким образом, мы получаем, что для каждого п существует такое тп, что при т > тп произвольная функция / еП при любом * е N представима в

Полагая ] := 0 и учитывая, что р (0) = 0, получаем sup | /(х) |< 25. Поскольку f есть 2л-пери-

|х|<п

одическая функция, то | / (х) | < 25 при всех х е Я. А 1 п

так как ^ = — |/{x)eiжkc/ndx , к = 0,...,-1, то

2п —п

| ак |< 25 при каждом & = 0,^ — 1 и, значит,

!/! р < Х !ак 11 е"кх/п ! р < * I а,| /п) < 25*еи- (^*/п). к=0 к=0 Из этой оценки следует, что если

5 < (2*)—1 /п), то !/! 1. Поэтому

d* (Пр ,Пр)> (2*)-1 е-"/п).

Отметим, что данная оценка справедлива для всех п и т таких, что т > п .

Таким образом, справедливо

ю

k=0

Предложение 5. Для любой весовой последовательности Фе Ш имеет место следующая оценка:

d (U ,U )> — e-m- (—s/n\s > 1, m > n .

Л Pm ' Pn) 2S

(18)

для которой при всех m

Cm (Sk )

Ж при k — Ж .

tk — 0 и tk

О (st)

Cm (Sk )

Например, можно взять tfe :—

> ж при к —^ ж и всех m . (20)

Критерий изоморфности

Теперь мы готовы доказать основной результат работы - критерий изоморфности пространств вида Е(ф*) (Я).

Теорема 3. Пусть Ф и Т - весовые последовательности из . Пространства Е(ф,}(Я) и Е(¥,}(Я)

топологически изоморфны тогда и только тогда, когда весовые последовательности Ф и Т эквивалентны.

Доказательство. В доказательстве нуждается лишь необходимая часть теоремы.

С каждым пространством Е (Я) свяжем пространство числовых последовательностей Г = {№ :7, > 0' и УпЗт |у<(РРр Рр) — 0' при 5 -) да}.

Как известно [3, предложение 7], Гф является топологическим инвариантом, т.е. если пространства Е(ф,)(Я) и Е(¥ .)(Я) топологически изоморфны, то

Г = Г

Предположим, что две весовые последовательности Ф и Т не эквивалентны. Тогда одна из них не подчинена другой. Пусть для определенности Т не подчинена Ф .

Рассмотрим произвольную последовательность 7 е Гф. По определению Гф для п = 1 имеется такое

т, что у< (и ,и )< 1 для всех достаточно больших 5 . В силу оценки (18) из предложения 5 заключаем, что у < 28еСт (л5) для тех же 5. Так как ст (л$) < с т (4т)<юи+2 (5)+- Ат и^В/^ , где Ат и В не зависят от 5, то уу < 2BmeA"e2с'+2(í). Итак, для каждой последовательности у из Гф существуют такие С е (0, да), что

7 < СУ^5 для всех 5 > 0. (19)

Теперь вспомним, что Т не подчинена Ф. Из этого следует, что найдется вес у из последовательности Т такой, что а (г) = у (1п + г) растет на бесконечности быстрее любого веса ют (г) = рт (1п+г). Тогда существует возрастающая последовательность (^),

а(^)

Л Л1/2

с (skk

°nAS kk

|0, 5 ф ^ (к = 1,2,.); Рассмотрим у =\ еащ(Л) я = !1

Из (19) и (20) следует, что у = (у5)да=1 й ГФ. С другой стороны, уе Г. Действительно, заметим, что для любого т е N существует такое А е (0, да) , что

о

(-)<0

2m —- | < Kmo '0 \ 6m,

Л 5 \ . Л ч

— 1 + а для всех 5 , (21)

6т )

где К - некоторая постоянная, определяемая по весу а . Согласно оценке (17) из предложения 4, примененного к весовой последовательности Т, для любого п (считаем без ограничения общности, что п > п0) существуют т и такие, что

-1 о» — | 2 V 6т I

< De

(—)

< (и ,и )<Бе

5 \ Ут Уп ' т

Отсюда и из (21) заключаем, что

у < (и ,и )< Б ег(%] ~++

' \ Ут^ Уп ) т

к — да . Поэтому у = у )да=1 е ГТ.

Итак, для неэквивалентных Ф и Т соответствующие классы Гф и Г не совпадают. Это и доказыва-

— 0 при

В силу неубывания а и условия (9) для ют

можно считать ^ натуральными.

Возьмем последовательность положительных чисел (гк), для которой

ет теорему.

Отметим, что весовая последовательность Ф- (прЖ с функцией p(ln+t), являющейся каноническим весом, принадлежит W^ . Поэтому теорема 3 содержит как частный случай результаты работы [1] в случае вещественной прямой. Ясно также, что сфера применения этой теоремы не ограничивается подобными весовыми последовательностями.

Рассмотрим следующий пример. Пусть сп (t) — ntPn, где рп - возрастающая положительная числовая последовательность такая, что lim рп — р,

n—Ж

ре (0,1). Тогда весовая последовательность

Ф— (Pn)Ж—1, где Pn(x) — с (ex) — nePnx, принадлежит WW0 .

Литература

1. Абанин А.В. Об изоморфизме пространств ультра-дифференцируемых функций типа Берлинга // Изв. вузов. Математика. 2005. № 4. С. 3 - 7.

2. Абанин А.В. Ультрадифференцируемые функции и ультрараспределения. М., 2007. 222 с.

3. Митягин Б.С. Аппроксимативная размерность и базисы в ядерных пространствах // УМН. 1961. Т. 16, № 4. С. 63 - 132.

Поступила в редакцию

5 мая 2012 г.