О ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ БЕСКОНЕЧНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ В ${\mathbb R}^n$ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 2. № 3 (2010). С. 54-62.

УДК 517.982.3

О ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ БЕСКОНЕЧНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ В Rn

И.Х. МУСИН, С.В. ПОПЁНОВ

Аннотация. Рассматривается пространство бесконечно дифференцируемых функций в М", построенное при помощи некоторого семейства р весовых функций в М", растущих быстрее любой линейной функции. Изучаются задача приближения полиномами в этом пространстве и проблема описания сопряженного пространства в терминах преобразования Фурье-Лапласа функционалов при дополнительных условиях на р.

Ключевые слова: полиномиальная аппроксимация, преобразование Фурье-Лапласа функционалов, целые функции, теорема типа Пэли-Винера.

1. Введение

Постановка задач. Пусть р = {рт}„=1 — семейство вещественнозначных функций рт € С(М") таких, что для любого т € N

11- рт(х) Л| и

1). 11т ——— = (|| • || — евклидова норма в М");

||х||

2). 11т (рт(х) - рт+1(х)) = +ТО.

Для произвольного т € N пусть

£(р" = {/ € С""(М") : р„(/) = вир 1(Да/)(.Х).' < <»}.

х€Мп,|а|<" ехр(р"(х))

Очевидно, £(р"+1) С £(Р"). Пусть £(р) = П £(Р"). С обычными операциями сложения

"=1

и умножения на комплексные числа £(р) становится линейным пространством. Наделим £(р) топологией проективного предела пространств £(рт).

Так как для каждого т € N пространство £(рт+1) вложено вполне непрерывно в £(рт) [1], то £(р) — пространство (М*) [1], [2].

Интерес к изучению пространств типа £(р) был проявлен в работах [3]-[5].

В данной заметке рассматриваются следующие две задачи:

1. аппроксимация полиномами в £(р);

2. при условии, что семейство р состоит из функций степенного роста, описать сильное сопряженное пространство к £(р) в терминах преобразования Фурье-Лапласа линейных непрерывных функционалов на £(р).

Известно [6], [7], что полиномы плотны в £(р), если семейство р состоит из функций рт(х) = Ф(х) — т 1п(1 + ||х||), где Ф — непрерывная вещественнозначная функция в М" такая, что при некоторых С> 0, Б € М и ^ > 1

Ф(х) > С||х|^ — Б, х € М".

I.Kh. Musin, S.V. PopEnoy, On a weight space of infinitely differentiable functions in Rn. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты №08-01-00779, 08-01-97023).

Поступила 20 мая 2010 г.

При тех же условиях на р ив предположении выпуклости Ф в М" вторая задача изучалась для п =1 в [6], а в случае нескольких переменных — в [7] при условии, что при некоторых р> 1,р € (1,р], А> 0,В € М, С > 0,Б € М всюду в М"

С||х||м — Б < Ф(х) < А||х||р + В.

При определённых условиях на р в работе [8] изучалась сюръективность преобразования Фурье-Лапласа линейных непрерывных функционалов на £ (р).

Определения, результаты. Пусть £;(р) — пространство линейных непрерывных функционалов на £(р), £*(р) — сильное сопряженное к £(р).

Для произвольной вещественнозначной функции Ф в М" такой, что

Ф(х) 11т ——— = +то,

х х

пусть

Ф(х) = — inf ((ж,у) + Ф(у)), x G R".

y€Rn

Через р обозначим семейство функций р".

Отметим, что для любого г € С" функция /(£) = ехр(г(£,г)) принадлежит пространству £(р), поскольку при любом т € N

Pm(fz) < (1 + INI)™ exp(pm(/m z)).

Преобразование Фурье-Лапласа S функционала S G E;(p) определим по формуле

ЗД = S(ei<?’z>), z G C"

Точно так же, как в [7, лемма 4]) показывается, что S — целая функция, причем для любого а G Z+

(d;S)(z) = s(«)V«'z>), z g с". (i)

Пусть H(C") — пространство целых функций в C", P(р) = (J P(рт), где

P(р™) = {f G H(C") : В/II™ = sup ,,J/WJ~ „-)) < <»

[ zecn (1 + ||z||)m ехр(рт(1т z))

С обычными операциями сложения и умножения на комплексные числа P (р) становится линейным пространством. Пространство P(р) наделим топологией индуктивного предела нормированных пространств P(рт).

В работе установлены следующие основные результы.

Теорема 1. Пусть р — семейство вещественнозначных функций pm G C(R"), удовлетворяющих условиям 1), 2). Тогда полиномы плотны в E(р).

Теорема 2. Пусть р > 1, р = {pm}m=i — совокупность выпуклых функций в R", удовлетворяющих условиям:

1) lim Р™^..) = Vm G N;

x^<x ||ж||

2) 3C > 0 3d > 0: p1(x) < C||x||p + D, x G R";

3) 3a > 0 Vm G N 3bm > 0: pm(x) — pm+1 (x) > aln(1 + ||x||) — bm, x G R".

Тогда преобразование Фурье-Лапласа устанавливает топологический изоморфизм между пространствами E*(p) и P(р).

2. Аппроксимация ПОЛИНОМАМИ в E(p)

Для функции u : [0, то) — R такой, что

u(x) , .

lim --------= +то (2)

ж^+те x

пусть u*(x) = sup(xy — u(y)), u[e](x) = u(ex), x > 0.

y>0

Лемма 1. Пусть непрерывная функция u : [0, то) — R удовлетворяет условию (2). Тогда

(u[e]))*(x) + (u*[e])*(x) < xlnx — x, x > 0. (3)

Доказательство. Пусть x > 0. Найдутся точки t > 0 и £ > 0 такие, что

(u[e])*(x) = xt — u(e*),

(u*[e])* (x) = x£ — u*(e?).

Таким образом,

(u[e])*(x) + (u*[e])*(x) = xt — u(e*) + x£ — sup(e? n — u(n)).

n>o

Следовательно, для любого n > 0

(u[e])*(x) + (u*[e])*(x) < xt — u(e*) + x£ — e?n + u(n).

Полагая здесь n = e*, имеем

(u[e])*(x) + (u*[e])*(x) < xt + x£ — e?+*.

Следовательно,

(u[e])*(x) + (u*[e])*(x) < sup(xy — ey) < sup(xy — ey) = xlnx — x.

y>0 yeR

Замечание. В работе [9] рассматривался класс функций u, для которых в (3) имеет место равенство.

Доказательство теоремы 1. Следуем схеме доказательства леммы 6 из [7], повторяя для полноты изложения часть использованных там рассуждений.

Для краткости пусть 0m(x) = exp(pm(x)), x G R".

Пусть f G E(p), то есть, f G C^(R") и для каждого m G N существует постоянная cm > 0 такая, что

|(Daf)(x)| < cm6m(x), x G R", |а| < m. (4)

Приблизим f полиномами в E(p). Это будет проделано в три этапа.

1. Для r > 0 пусть Пг = {x G R" : |xj| < r,j = 1,... , n}. Выберем функцию x G C^(R) так, что supp x ^ [—2,2],x(x) = 1 для x G [—1,1], 0 < x(x) < 1 Vx G R. Положим

n(xi, x2,... , x") = x(xi)x(x2) ■ ■ ■ x(x").

Пусть fv(x) = f(x)n(x), v G N, x G R". Очевидно, fv G E(p). Покажем, что fv - f в E(p) при v — то. Для каждого m G N

|fv(x) - /(x)| ^ |f(x)| ^ Cm+i0m+i(x)

SUP -----ГП----------- sup - SUP

xGMn ^m(x) ^m(x) ж(/П^

I v

Mx) _ Xffll Mx) _ XfflV (x)

Следовательно, при v ^ то

sup Mi/U 0. (5)

x’Rn ^m(x)

Далее,

|Da(/v(x) - /(x))|

sup

®€Rn,1<|a|<m ^m(x)

| Е (£) (De/)(.r)vW-l“l(D“-e4)(x) + (D“f)(x)(n(x) - 1)|

в<а,|/в|<Ы

sup -----------------------------------------------------------------------------

£€Rn,1<|a|<m ^m(x)

E (£) v|e|-H|(De/)(x)||(D«—en)(X)| ^m (x)

|(Da/ )(x)|

в<а,|в|<|а|

- suP -----------------------------------------ГТа------------------------------+

ХЄП2^\П ,1<|a|<m (x)

+ 8иР а (х)

х(/И^ ,1<|а|<т ат(х)

Пользуясь неравенством (4), заключаем, что при V ^ то

Б (/ (х) — / (х))| 0

Р Й (гЛ 0.

хЕКп ,1<|а|<т ат(х)

Отсюда и из (5) следует, что для каждого т € N рт(/ — /) ^ 0 при V ^ то. Следовательно,

последовательность (/)^=1 сходится к / в £(р) при V ^ то.

2. Зафиксируем V € N. Пусть к — не равная тождественно нулю целая функция экспоненциального типа не выше 1, принадлежащая классу Ь1(М), и неотрицательная

sin2 —

на вещественной прямой. Можно взять, например, h(z) = ——2, z Є C. Положим

z 2

H(z1, z2,..., zn) = h(z1)h(z2) • • • h(zn). Воспользовавшись теоремой Пэли-Винера [10, гл. 6], найдем постоянную С| > 0 такую, что для любого а Є Z+

|(DaH)(x)| - Ch , x Є Rn. (6)

Пусть JR„ H(x) dx = A. Для A > 1 положим

A” Г

/v,A(x) = ^ fv(y)H(A(x - y)) ^ x Є R”.

A JR"

Очевидно, /v,a Є E(<^). Покажем, что /v,a ^ /v в E(<^) при A ^ +to. Пусть m Є N

/ \ — 2n

произвольно, r(A) = A 2n+1. Для любых а Є Z+, x Є R”

A” I'

(D“/v,a)(x) - (D/)(x) = — ((D/v)(y) - (D“/v)(x))H(A(x - y)) dy =

A JR"

A” /*

= -y / ((Da/v)(y) - (Da/v)(x))H(A(x - y)) dy+

A ||y—x||<r(A)

A” Г

+— ((Da/v)(y) - (D/v)(x))H(A(x - y)) dy.

A ./||y—X|>r(A)

Обозначим слагаемые в правой части последнего равенства через I1,a(x) и I2,a (x), соответственно. Пусть Kv,m = max |(De/v)(x)|. В результате элементарных оценок

получим

v,m

xGRn,|e|<m+1

It / \ I ^ п 2 ^nCH Kv,m л-------2-

max |/1,a(x)| -— | A 2n+i;

®€Rn,|a|<m АГ( ” + 1)

max |I2a(x)| — —Vim [ H(u) du.

xeR",|a|<m 2,"V Л “ A J K J

1

||u|| >A 2n+1

Из этих двух оценок следует, что

max |(D“/v,a)(x) - (D/)(x)| ^ 0

®€Rn,|a|<m

при А ^ +то. Следовательно, рт(/^,л — /) ^ 0 при А ^ +то. Отсюда, в силу произвольности т € N имеем: /,,л ^ / в £(р) при А ^ +то.

3. Зафиксируем Л > 0, v Є N. Приблизим /v,a многочленами в E(<^). Для N Є N, x(xi,... , xn) Є Rn пусть

Е ■■■ Е (0)x

N ^ ^ ÖXj1 ■ ■ ■ ÖXj x%k

Un (x) = H (0) + Е 1^n------------------^-----------------------

fc=i '

Для любого x Є Rn

^ ^ ÖN+1H

■ ■ ■ /_v SUP

|H(x) - UN(x)| < 1SilS" 1SiN+‘S"{6'(°,x)

-(f)xii ■ ■ ■ xi

dx • • • dx 11 iN+i

О'Луіі о* +1

(# +1)!

где /(0,х) — интервал, соединяющий начало и точку х. Воспользовавшись неравенством (6), получим

|Н(х) — Г/„(х)| < СнД”+1 ■ <7)

Пусть Я > 0 таково, что зирр/ С П^. Положим

А"

УУ(х) = ^ /(у)Ц^(А(х — у)) ^у, х € М".

A Jn

R

У/у — многочлен степени не выше N. Покажем, что последовательность (У^)^=і сходится к /^,л в Е(<^) при N ^ то. Пусть т Є N произвольно. Для любых а Є 2+, х Є Кга

А” Г

(£>в/*,л)(х) - (Я*Ум)(х)) = А (Я/)(у)(Я(А(х - у)) - (А(х - у))) ¿у.

А ./Пд

Отсюда, пользуясь неравенством (7), найдем положительные числа С1 и С2 такие, что при любых N Є N |а| < т, х Є Ега

КВ“/,,л)(х) - (ВП^)(х)| < +1 ■

Таким образом, для любого N Є N

У ^ (1 + ||х|Г+1

Рт(Дл - ) < ,т , ЙПр -------—------- ■

(N + 1)! хЄКп Рт(х)

Пусть б'”-1 = {х Є Кга : ||х|| = 1}. Для а Є 5'”'-1 пусть

рт,<г(^) ^тХ^^ ^ ^ 0.

Проведя элементарные выкладки и воспользовавшись неравенством (3), получим

СаС^ (N + 1)м+1

pm(/v,A — VN) <

(N + 1)! exp( inf 1(^m,a [e])*(N +1))

ctGS"-1 ,

где C3 и C4 — некоторые положительные постоянные, не зависящие от N. Отсюда, пользуясь формулой Стирлинга и тем, что равномерно по а Є Sn-1

«,„ [e])’(N +1)

um -------^;---------= +сю,

N N +1

делаем вывод, что pm(/v,A — VN) ^ 0 при N ^ то. Это означает, что функцию /v,a удалось приблизить многочленами в E(<^) (поскольку m Є N было произвольно).

Из 1) — 3) следует полнота многочленов в E (<^).

3. О сильном сопряженном пространстве к E(<^) в специальном случае весовых функций

При доказательстве теоремы 2 понадобятся два следующих результата.

Лемма 2. Пусть v > 1, а функция h : Rra ^ R непрерывна и такова, что для некоторых положительных чисел Ch, Dh

h(x) > Ch||x||v - Dh, x Є Rra.

Пусть £0(x) — точка, в которой достигается точная верхняя грань в Rra функции

Ux(£) =<x,e> -h(£), е Є R”.

Тогда при некотором Kh > 0 для любого x Є Rra

||eo(x)H ^ Kh||x|!+ Kh.

Доказательство. Пусть x Є Rra произвольно. Пользуясь условием на h, имеем

Ux (Є) - llxH • не I- Chlieir + Dh.

Так как sup ux(£) > -h(0), то sup ux(£) достигается на множестве

£€Rn ?€Rn

Gx = {Є Є Rra : ІІЄІІ • ||x| > Ch|eiv - Dh - h(0)}.

Положим Lh = Dh + h(0). Из условия на h следует, что Lh > 0. Пусть для A > 0 Ta — множество решений неравенства

Ax > Chxv - Lh,

принадлежащих R+. Это множество — отрезок вида [0,x2], где x2 < то. Оценим x2 сверху. Имеем

Ax2 = Chx2 - Lh.

Предположим, что x2 > 1 . Тогда

А = Chx2 1------> Chx2 1 - Lh.

2 x2 2

Отсюда

Ch

С учётом случая x2 < 1, имеем

A + Lh

1

v — 1

Отсюда, если 0 - A - 1, то

Если A > 1, то

1

1 + L^ v—1

1 I 1 + Lh

1

v — 1

1

Положим Kh = ^ 1(CL^ V 1 +1. Тогда

x2 ^ Kh(1 + Av-1).

Правую часть последнего неравенства обозначим через ¿л. Итак, ТЛ С [0; ¿л]. Поскольку £ € Сх ^ ||С|| € Т||х||, то € Сх имеем

||£|| ^ К - ||х||^ + К*.

В частности,

Н&М ^ Kh||x||^ + К^.

Лемма 2 доказана.

Для преобразования Фурье обобщенной функции / € $'(М") используем символ Т [/]. Т[/] — это функционал из $'(М"), определяемый формулой

(Т[/],д) = (/, Т[д]), д € 5(М"),

где Т[д] — преобразование Фурье функции д:

Т[д](х) = / д«)е‘<х,£> ^

¿Жп

Определение [11], [12]. Спектральной функцией функции / € Н(С") называется обобщенная функция д € Р'(М"), обладающая свойствами:

1). д(£)е-<у,?> € 5'(М") при всех у € М";

2). /(г) = Т[д(£)е-^>](х) при всех г = х + ¿у € С".

Следующий результат был получен в работе [8].

Теорема А. Пусть ф — положительная выпуклая в М" функция такая, что для любого х € М" существует у = у(х) € М", что

ф(х) = (у,х) — ^у),

и, кроме того, для некоторых постоянных А > 0,В > 0,в > 0,

||у(х)|| < А||х||в + В, х € М".

Пусть /(г) — целая в С" функция, удовлетворяющая оценке

|/(г)| < С(1 + ||;||)‘е«»>,

где г = х + ¿у, х, у € М", С > 0, к > 0.

Тогда ее спектральная функция д(£) представляется в виде суммы конечного числа обобщенных производных от непрерывных функций да(£), удовлетворяющих при всех £ € М" и некоторых /а € N са > 0 оценке:

|д.К)| < + 1КИ)'"е-ф<«

Теорема А является обобщением теоремы Г.И. Эскина [13] (см. также [11], [12]), в которой ф(х) = ||х||р, р > 1.

Заметим ещё, что топология пространства £*(р) может быть описана следующим образом. Пусть Ут = {/ € £(р) : рт(/) < 1}, т € N. Пусть

У^ = {^ € £'(р) : |^(/)|< 1, V/ € Ут}

— поляра в £'(р) окрестности У^. Образуем векторное подпространство = иа

в £'(р), порождённое полярой У^. Наделим топологией, введя норму

5т(^) = вир |^(/)|, ^ € фт.

/ еУт

Очевидно, £'(р) = и^=1^т. Определим в £'(р) топологию А внутреннего индуктивного предела пространств ^т. Поскольку £(р) — пространство (М*), то £(р) — монтелевское [2, Предложение 7], а значит, и рефлексивное пространство. Поэтому £(р) относится к

классу так называемых правильных пространств [14, стр. 699]. Следовательно, сильная топология в £'(р) совпадает с топологией А.

Доказательство теоремы 2. Если Б € £'(р), то найдутся числа с > 0,т € N такие, что

|Б(/)| < Фт(/) , / € £(р).

Следовательно,

|Б(г)| < с(1 + ||г||)техр(рт(/т г)), г € С".

Таким образом, линейное отображение А, сопоставляющее всякому функционалу Б € £*(р) целую функцию Б, действует из £*(р) в Р(р).

Отображение А непрерывно. Пусть Б € ^т, т € N. Тогда

|Б(/)| < ?т(Б)рт(/), V/ € £(р).

Следовательно, для Б €

|5(г)| < дт(Б)(1 + |И|)те^(/т *>, г € С".

Таким образом, ||Б||т ^ ?т(Б). Отсюда следует непрерывность А.

В силу теоремы 1 и формулы (1) при г = 0 отображение А инъективно.

Отображение А сюръективно. Действительно, пусть целая функция и при некоторых т € N с > 0 удовлетворяет в С" неравенству

|и(г)| < с(1 + |И|)техр(рт(/т г)).

Действуем, как в [8]. По теореме А для каждого у € М" функция и(х + ¿у), рассматриваемая как элемент из Б'(М"), есть преобразование Фурье обобщенной функции медленного роста ду(£) = д(£)е-^>, где для обобщенной функции д(£) € Р'(М") имеет место представление в виде суммы конечного числа дифференциальных операторов конечного порядка от непрерывных функций да(£):

д«) = Ед»Ю- ^ € М").

а

причем функции да(£) удовлетворяют при некоторых /а € ^ са > 0 оценке

|д«(£)| < са(1 + ||£||)г“е-^т(?>, С € М".

Определим функционал Т на £(р) по формуле

Т(/)= / Е да«)«"^“/Ж) ¿е , / €£(р).

^ а

Очевидно, Т € £'(р).

Заметим, что для любой функции / € Б(М")

?>) ^ /(х) ¿х.

Отсюда вытекает, что Т(х) = и (х), х € М". По теореме единственности Т(г) = и (г), г € С".

Итак, А — линейное непрерывное взаимно однозначное отображение пространства £*(р) на Р(р). По теореме об открытом отображении [14] отображение А-1 непрерывно. Следовательно, отображение А осуществляет топологический изоморфизм между пространствами £*(р) и Р(р).

Теорема 2 доказана.

и(х)/(х) ¿х

Е даККЬ-СГе^

п

п

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Жаринов В.В. Компактные семейства ЛВП и пространства FS и DFS // УМН. 1979. Т. 34, вып. 4(208). С. 97-131.

2. Себаштьян-и-Сильва Ж. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // сб. пер. Математика. 1957. Т. 1. № 1. С. 60-77.

3. L. Hormander La transformation de Legendre et la théorème de Paley-Wiener // Comptes Rendus des Seances de l’Academie des Sciences. 1955. V. 240. P. 392-395.

4. L. Ehrenpreis Fourier analysis in several complex variables. New York: Wiley-Interscience publishers. 1970.

5. B.A. Taylor Analytically uniform spaces of infinitely differentiable functions // Communications on pure and applied mathematics. 1971. V. 24. № 1. P. 39-51.

6. Мусин И.Х. О преобразовании Фурье-Лапласа функционалов на весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций // Матем. сб. 2000. Т. 191, № 10. С. 57-86.

7. Мусин И.Х. О преобразовании Фурье-Лапласа функционалов на весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций в Rn // Матем. сб. 2004. Т. 195, № 10. С. 83-108.

8. Попенов С.В. Об одном весовом пространстве целых функций // Исследования по теории аппроксимации функций. Уфа. БФАН СССР. 1986. С. 89-96.

9. Напалков В.В., Попенов С.В. О преобразовании Лапласа на весовом пространстве Бергмана целых функций в Cn // Доклады РАН. 1997. Т. 352(5). С. 595-597.

10. Кусис П. Введение в теорию пространств Hp. М.: Мир. 1984.

11. Владимиров В.С. Функции, голоморфные в трубчатых конусах // Известия АН СССР. 1963. Т. 27, №1. С. 75-100.

12. Владимиров В.С. Методы теории функций многих комплексных переменных. М.: Наука. 1964.

13. Эскин Г.И. Обобщение теоремы Палея-Винера-Шварца // УМН. 1961. Т. 16, вып. 1. С. 185188.

14. Эдвардс Р. Функциональный анализ. М.: Мир. 1972.

Ильдар Хамитович Мусин,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]

Сергей Викторович Попёнов,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]