О гильбертовом пространстве целых функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 9. № 3 (2017). С. 111-118.

УДК 517.982.3

О ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ

И.Х. МУСИН

Аннотация. Рассматривается гильбертово пространство F^ целых функций п переменных, построенное при помощи выпуклой функции р в Cn, зависящей от модулей переменных и растущей на бесконечности быстрее аЦ^Ц для любого а > 0. Изучается задача описания сопряжённого для него в терминах преобразования Лапласа функционалов. При определённых условиях на весовую функцию р получено описание преобразований Лапласа линейных непрерывных функционалов на F^. Доказательство основного результата основано на использовании новых свойств преобразования Юнга-Фенхеля и одного результата об асимптотике многомерного интеграла Лапласа, установленного Р.А. Башмаковым, К.П. Исаевым и Р.С. Юлмухаметовым.

Ключевые слова: гильбертово пространство, преобразование Лапласа, целые функции, выпуклые функции, преобразование Юнга-Фенхеля.

Mathematics Subject Classification: 32А15, 42В10, 46Е10, 46F05, 42А38

1. Введение

1.1. О проблеме. Пусть Н(Сп) - пространство целых функций в Сп, - мера Лебега в Сп и для и = (и1,... ,ип) € Еп (Сп) аЪзи := (|«1|,... , |ип|).

Обозначим через V(Кп) множество всех выпуклых функций д в Мп таких, что:

1) д(х1,.. .,Хп) = д(1х^,..., | х,п |), (Х1, ...,Хп) € Еп;

2) сужение д на [0, <х>)п не убывает по каждой переменной;

д(х)

3) Иш -—- = (||ж|| - евклидова норма точки х € Кп) С каждой функцией <р € V(Кп) свяжем гильбертово пространство

= {/ € Н(Сп) : ||/||„ = и(г)|2е-2^ *> фп(^) 2 < со скалярным произведением

(/,9)„ = [ f (гШе-МаЬз й!Лп(г), 1,д € ^

3 С"

2

Если р(х) = то - пространство Фока.

Очевидно, какова бы ни была функция <р € V(Кп) при любом А € Сп функция = принадлежит Поэтому для любого линейного непрерывного функционала Б на пространстве ^ корректно определена в Сп функция

¿(А) = 5(е{х'г)), А € Сп,

- преобразование Лапласа функционала Б. Легко видеть, что Б - целая функция. Обозначим через (^ )* сопряжённое пространство к прострапству

I.Kii. Musin,On а Hilbert space of entire functions. © Мусин И.Х. 2017.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант №15-01-01661) и Программы Президиума РАН (проект «Комплексный анализ и функциональные уравнения».)

Поступила 22 мая 2017 г.

Цель работы - нахождение условий на ф € V(Кга), при выполнении которых пространство ( Е^ ) * преобразований Лапласа линейных непрерывных функционалов на Е^ допускает описание как Е^*,

Если ф(х) = ^т-, то (Е^)* = Е^. Действительно, в этом случае проблема описания пространства ( Е^)* в терминах преобразования Лапласа функционалов легко решается благодаря классическому представлению: для любого f € Е2

КX) = f(z)e<A^-|N|2 d^(z), X G С

/С"

Для случая, когда функция y G V(Rn) - радиальная, решение указанной проблемы было получено В,В, Напалковым и C.B. Попёновым [5, 6].

1.2. Обозначения и определения. Для и = (и1,... ,un), v = (v i,..., vn) G Rn(Cn) пусть (и, v) := u1v1 + • • • + unvn, ||и|| - евклидова норма и.

Для а = (а1,..., an) G Z+, z = (z1,..., zn) G Cn |a| := a1 + ... + an - длина мультиин-

декса а а:= (а1 + 1,..., an + 1) z" := z"1 • • • z"", D" := aa?^dcn ■

1 n

Для a =(a1,...,an) G Z+ y G V(Rn)

са(ф) := |^ • • • |^е-2^^ с1(1п(г).

о Сп

Для функции и с областью определения, содержащей множество (0, то)п, определим функцию и[е] в Кга по правилу:

и[е](х) = и(еХ1,..., ех"), х = (х]_,... ,хп) € К1.

Через Б(Кга) обозначим множество всех непрерывных функций и : Кга ^ К, удовлетво-

и( х)

ряющих условию пт ——[Г = х^те ЦхУ

Преобразование Юнга-Фенхеля функции и : Кга ^ [—то, +то] есть функция и* : Кга ^ [—то, определяемая по формуле: и*(х) = вир((х,у) — и(у)), х €

Если Е - выпуклая область в Кга, к - выпуклая функция в Е, Е = {у € Кга : к*(у) < то}, р> 0, то ^у('р) := {х € Е : к(х) + к* (у) — (х, у) <р}, у € Е. Через V(Б) обозначаем п-мерпый объём множества О с Кга, 1.3. Основной результат.

Теорема. Пусть ф € V(Кга) и при некотором К > 0 V« = (а-\_,..., ап) € Мга

1 п

К < V(Б^(1/2)^(О^(1/2))Ца3 < К.

3 = 1

Тогда отображение С : Б € (Е^)* ^ Б устанавливает изоморфизм между пространствами ( Е2)* и Е2

о* •

Доказательство Теоремы (п, 3,2) основано на использовании новых свойств преобразования Юнга-Фенхеля (п, 2,1) и одного результата об асимптотике многомерного интеграла Лапласа из работы [9] (п. 2,2),

2. Вспомогательные сведения и результаты

2.1. О некоторых свойствах преобразования Юнга-Фенхеля, Легко проверить, что справедливо следующее

Предложение 1. Пусть и € Б(Ега). Тогда (и[е])*(х) > — то для х € (и[е])*(х) = + то для х € [0, то)п, (и[е])*(х) < + то для х € [0, то)га.

Отметим лишь, что последнее утверждение Предложения 1 следует, например, из того, что каково бы ни было M > 0, найдётся постоянная А > 0 такая, что

№])» < £ (Xj in g - ) + л, х G [0, *>)».

ï<j<n:xj =0

Предложение 2. Пусть и G S(Rra). Тогда

(u[e])*(x)

Jim и Y =

Доказательство, Для любых x G [0, и t G Rra имеем

(u[e])*(x) >(x,t)- (u[e])(t). Пользуясь этим неравенством, получаем, что для любого M > 0

/ Мт\

(и[е])*(х) > MИ - «[е^щ) ,х G [0, œ)n \ {0}.

Отсюда утверждение следует, □

Следующие три утверждения были доказаны в работе [1] (Lemma 6, Proposition 3, Proposition 4),

Предложение 3. Пусть и G $(Rra). Тогда

(и[е])*(х) + (и*[е])*(х) < ^ (хз in хз - хз ), х = (xi,...,xn) G [0, œ)ra \ {0};

1 <j<n: xj =0

(и[е])*(0) + (и*[е])*(0) < 0. Предложение 4. Пусть выпуклая функция и G S(Rra) П С2(Rra). Тогда,

п

(и[е])*(ж) + (и*[е])*(х) = in Xj - Xj), x = (x\,..., xn) G (0, <x>)n.

3 = 1

Предложение 5. Пусть выпуклая функция и G V(Rra) П C2(Rra). Тогда,

(и[е])*(х) + (и*[е])*(х) = ^ (xj in Xj - Xj ), x = (x1,... ,xn) G [0, œ)ra \ {0};

1<j<n: xj =0

(u[e])*(0) + (u*[e])*(0) = 0.

Предложения 4 и 5 можно усилить, пользуясь результатами Д, Асагры [2, 3], Им была доказана следующая

Теорема А. Пусть U Ç Rra - открытое и выпуклое. Для любой выпуклой функции f : U ^ R и для, любого £ > 0 существует вещественно а,политическая, выпуклая функция g : U ^ R такая, ч, то f (х) - £ < g(x) < f (x), x G U.

Таким образом, справедливо [3]

Следствие А. Пусть U Ç Rra - открытое и выпуклое. Для любой выпуклой функции f : U ^ R и для, любого £ > 0 существует бесконечно дифференцируемая, выпуклая функция g : U ^ R такая, ч, то f (х) - £ < g(x) < f (x), x G U.

Пользуясь Предложением 4 и Следствием А, легко убеждаемся в справедливости следующего утверждения.

Предложение 6. Пусть выпуклая функция и G <B(Rra). Тогда,

п

(м[е])*(ж) + (м*[е])*(ж) = in Xj - Xj ), x = (x\,..., xn) G (0, œ>)n.

3 = 1

Кроме того, справедливо следующее

Предложение 7. Пусть выпуклая функция и Е V(Rra). Тогда,

(и[е])*(х) + (и*[е])*(х) = ^ (xj lnxj — Xj), х = (xi,... ,хп) Е [0, то)п \ {0};

1 <j<n: xj = 0

(и[е])*(0) + (и*[е])*(0) = 0.

Доказательство, Согласно Предложению 6 наше утверждение справедливо для точек х Е (0, то)п. Пусть теперь х = (х-]^,..., хп) принадлежит границе [0, то)п и х = 0, Для простоты рассмотрим случай, когда первые к (1 < к < п — 1) координат х положительны, а все другие равны 0. Для всех £ = (..., £п), j = (ji,..., уп) Е Rn имеем

к

(и[е])*(х) + (и*[е])*(х) > (0 + j) — (и(е^.., ) + и*(е *.., е^)).

j=i

Из этого неравенства получаем, что

к

(и[е])*(х) + (и*[е])*(х) > ^& + ^) —

=i

— (и(е?1,..., е ^, 0,..., 0) + и* (е w,..., , 0,..., 0)). Определим функцию ик на Rk то правилу: (Л1,..., Хк) Е Rk ^ и(Х1,..., Хк, 0,..., 0), Отметим, что для любых t = (ti,..., tк) Е Rk, t = (ti,..., tк, 0,..., 0) Е Шп

u*(t) = sup((t,v) — u(v)) <

vew,n

к

< sup tjVj — u(v ]_,..., Ук, 0,..., 0))=sup((i, v) — ик(и)) = и* (t).

vi,...,vkGR j=i v€Rfc

Пользуясь этим и вышеприведённым неравенством, имеем для х = (х1,..., хк) Е Rle и всех

£ = (6,...,Ск),j = (»1,...,»к) е R1"

(и[е])*(х) + (и*[е])*(х) > (х, $ — ик[е](|) + (хх,j) — ик[e](jl).

Следовательно,

(и[е])*(х) + (и*[е])*(х) > (ик[е])*(х) + (ик[е])*(х). Так как по Предложению 6

к

(ик[е])*(х) + (ик[е])*(х) = ^(xjlnxj — xj),

=i

к

то (и[е])*(х) + (и*[е])*(х) > Y1 (xj lnxj — xj). Отсюда и из Предложения 3 следует справед-

=i

ливость первого утверждения настоящего Предложения,

Если х = 0, то"(и[е])*(0) = — inf и[е](£) = —и(0), (и*[е])*(0) = — mf и*[е](£) = —и*(0) =

= inf и(£) = и(0). Следовательно, (и[е])*(0) + (и*[е])*(0) = 0 □

2.2. Асимптотика многомерного интеграла Лапласа, В работе [9] установлена следующая

Теорема В. Пусть Е - выпуклая область в R71, h - выпуклая функция в Е, Е = {у Е Ril : h*(y) < то} и внутренность Е - не пустое множество. Пусть

Dh = {(х, у) Е Ril х Ril : h(x) + h*(y) — (x, у) < 1},

Dy = {x Е Ril : (x, y) ED}, уЕ Ri\

Тогда

e-1V(Dy)eh*(y) < / e{x'y)-h(x) dx < (1 + n\)V{D%)eh*(y), у E E.

Здесь предполагается, что h(x) = для х E Е.

3. Описание сопряжённого пространства

3.1. Вспомогательные леммы. При доказательстве теоремы будут полезны следующие четыре леммы.

Лемма 1. Пусть р E V(Rn). Тогда система, {exp(\, z)}AeCn полна, в F^.

Доказательство, Пусть S - линейный непрерывный функционал на пространстве F2 такой, что S= 0 для любого A E Cn. Поскольку для любого мультиипдекса a E Z+

(D"S)(\) = S(zae), то го этого равенства получаем, что S(zа) = 0, Так как функция ^(1^1,..., |zn|) - выпуклая в Cn, то из результата Б,А, Тейлора о весовой аппроксимации целых функций полиномами [4, Theorem 2] следует, что полиномы плотны в F^. Значит, S - пулевой функционал. По известному следствию из теоремы Хана-Банаха получаем, что система |exp(A, z)}Aec™ полна в F^. □

Отметим, что система {^а}|а|>о ортогопальна в F^. Кроме того, она полна в F^- Следо-

вательно, система {za}|a|>0 - базис в F^ Лемма 2. Пусть <р E V(Rn). Тогда

са(р) > —-e2(ipa E Z+.

«1 ■■ ■ an +

В частности, для любого М > 0 найдётся, постоя,нная См > 0 такая, что для, любого

а Е Z+ са(ф) > См М К

Доказательство, Для любого а Е и для любых положительных чисел ..., Еп имеем

те те

са(р) = (2п)п J • • • ^ г1а1+1 • • • г1ап+1е-Мг1>->Гп' drl ••• йгп >

0 0

К1 яп

> (2п)п I ••• I г1а1+1 • • • г2па"+1е-2 ^ ,••• drl ••• drn = 00

г>2а1+2 п2ап+2 = (2п)п —1____Лп е-2 1'••• 'В-п)

У ' 2а1 + 2 2ап + 2 '

Отсюда получаем, что для любых Ь Е Кга

са(у) > ^—мт. &1 ••• ап

Следовательно,

■жп

с*(<р) >—-е2^}')*.

а.1 • • • ап

Теперь, пользуясь Предложением 2, легко получим и второе утверждение Леммы, □ Лемма 3. Пусть целая, функция в С f (г) = ^ аага Е Е^- Тогда, ^ |аа 12са(р) < то

|а|>0 |а|>0

и ii/= ен>0 К^сМ.

Обратно, пусть последовательность (аа)|а|>0 комплексных ч,исел, аа такова, что сходится, ряд |аа|2са(<р). Тогда /(г) = ^ аага Е Н(Сп). Причём, / е Е^-

|а|>0 |а|>0

и

Доказательство, Пусть аага — целая функция в С го маееа Е". Тогда

Н>о

^ =[ 11(г)12е-2а(аь° ^¿А(г)=[ ^ аага ^ Щ^е-2а(аЬ° ^

^С" ^С" |а|>0 |/|>0

= Е КI2 I^ • • • |е-2а(аЬа * ¿^(г) = £ |аа|2са(ф).

|а|>0 |а|>0

Обратно, из сходимости ряда Е |аа\2са(ф) и Леммы 2 следует, что для любого е > 0

|«|>0

найдётся постоянная с£ > 0 такая, что для любого а € ^^ < се£1а|. Это означает, что

1(г) = Е а>аха ~ целая функция в Сга, Легко видеть, что € Б2. □

| а|> 0

7~Тп ! г\ СИ ^) /'Ю1^ /71л ъЛп г) я а /)ал/т"лол гм СИ *77,

Лемма 4. Пусть ф € V(Ега). Тогда для любого а € И1

(2тг)пе-V(0^(1/2))е2(а[е])*(а < Са(ф) < (2тт)п(1 + п\^(в2е](1/2))е2(а[е]])*(а Доказательство, Пусть а = (а^_,..., ап) € И+. Тогда

те те

\п

Са( ф) = (2тг)п ••• г2а1+1 • • • г2пап+1е-2 а(г 'Гп) ¿Г1 ••• ¿Гг,

00 те те

\п , I „(2а-\+2! +-----г\2ап+2 1 ьп-

(2п)П • • • е(2а1+2)Н+-+(2ап+2) 1п-2ар[еЩ 1,...,1п) ^ 1

—те —те

Са(ф) = (2тт)п [ е{2а,^-2а[е](г) (И.

По Теореме В имеем

(2ж)пе-^(О^е])е2(^]У(а) < ^(ф) < (2п)п(1 + п\^(оЦ[е])е2(а[е])*(а)

Так как = оО^ ("), то отсюда и из предыдущего неравенства следует справедли-

□

3.2. Доказательство Теоремы, Покажем, что отображение С действует из (Е")* в Е2*. Пусть Б € (Е")*. Тогда найдётся функция д$ € Е" такая, что Б(/) = (¡, )а, то есть

Б (Л = [ ¡(г) -2а(аЫ I € Е2.

./с™

При этом, \\в|| = ||д8\\а- Если д8(г) = Е &а*а, то ¿(А) = £|а|>0 А € Сга Следо-

|а|>0

\\S\ll* = Т(^^)2 <а(ф*). (1)

|а|>0 4 7

По Лемме 3 для любого а €

Са(ф) < (2тт)п(1 + п\^(Оаа[е](1/2))е2(а[е])*(а),

Са(ф*) < (2п)п(1 + п\^(о£[е](1/2))е2(а*[е])*(а). Следовательно, для любого а €

Са(ф)Са(ф*) < (2тт)2п(1 + п!)2V(0^(1/2)^(ОаМ(1/2))е^(а)+2(а*[^*(а).

Согласно Предложению 6 для любого а = (а1,..., ап) Е

п

(ф])*(а) + (<р'[е]У(а) = ^((®з + 1)Ы(а3 + 1) - (ц + 1)).

3 = 1

Так как по формуле Стирлинга [10, С, 792] для любого т Е Ъ+

1 в

(т + 1)1п(т + 1) - (т + 1) = 1пГ(т + 1) - \nVbi + - Ы(т + 1)---.-г,

2 12(т + 1)

где 9 Е (0,1) зависит от т, то

__1 п

( ф]У(а) + (<р*[е])* (á) = -п^(1пГ(áj + 1) + - ln(a3 + 1) - 3

2 12(á3 + 1)

где 9j G (0,1) зависит от áj. Тогда

e2((i[e])*(a)+(i*[e])*(a)) 1 __

" " «j + 1)е 6(а>+1)

]J(áj + 1)е 6(а>+1). (2)

а!2

=1

Таким образом,

< (2пТ(1 + п!)2У(0^(1/2))Уфр'\1/2)) и&3.

^ * л

=1

Пользуясь условием на получаем, что для любого а Е

< (2пГ(1+-п!.)2К.

а!2

Отсюда и из (1), полагая М1 = (2т1)п(1 + п!)2К, получаем

llalli* <М1 £ Са(ф)1 bal2 = М4gsЩ = Ml\\sII2.

|a|>0

Значит, S G F'*. Кроме того, го последней оценки следует, что линейное отображение С действует из ( F')* в F'* непрерывно.

Отметим, что отображение С действует из ( F')* в F'* пнъектпвно, поскольку по Лемме 1 система |exp( A, z)}\^cn полна в F

Покажем, что отображение С действует из (F')* на F'*, Пусть G G F^*. Пользуясь представлением целой функции G в виде ряда Тейлора G(A) = daAa, A G Cn, имеем

|а|>0

I|G||2* = ldal2ca(ф*). Для каждого á G Z+ определим числа ga = и рассмотрим

|a|>0

вопрос о сходимости ряда |gal2ca(ф). Имеем

|a|>0

2 á!2

á' 1 ' 12„

19 a12 C-a (ф) Ca( ф) = E „j ,Z. (,n*) 1 ^ Ca( ^

, , Ca( ф) Ca( ф*) |a|>0 a a

|a|>0 |a|>0

По Лемме 4 для любого á G Z+

Ca(ф) > e-1V(Df\1/2))e2('e])*(a),

Ca(ф*) > e-1V{Di*[e](1/2))e2('*[e])*(a). Следовательно, для любого á G Z+

Ca(ф)Ca(ф*) > e-2V(Di[e\1/2))V(Dit[e](1/2))e2((i[e\)*(a)+(i*[e\)*(a)).

Отсюда и из равенства (2) для любого а = (а\,..., ап) £ Z+ имеем

а!^ < е2(2етт)п

Са(Са(^ V(Df](1/2))V(Di*[е](1/2)) П (а, + 1)

3 = 1

Пользуясь условием на <р, получаем, что ( а ( < Ке2(2етг)п, Уа £ Z+. Следовательно,

Zji

Ca((p)ca(ip*) — KLj \2П ) 1 G +•

для рассматриваемого ряда имеем

£ 19а12са\ф) — Ке2\2еп)п £ |dal2са\ф) = Ke2\2en)n\\G\\J*• (3)

|«|>0 |«|>0

Итак, ряд Iда12са\ф) сходится. Но тогда по Лемме 3 функция д\X) = gaXa, X G Cra, |«|>0 |«|>0 является целой, причём, в силу (3) д принадлежит F2 и

\\g\\l — Ке 2\2e*r\\G\\J* • (4)

Определим функционал S на F2 формулой

^(f) = f(z)g(z)e-2i(absz) d^n(z), f £ F¡.

JC"

Очевидно, Б - линейный непрерывный функционал на Р2. Причём, Б = С. Поскольку IIБII = то оценка (4) показывает, что обратное отображение С-1 непрерывно. Таким образом, С устанавливает изоморфизм между пространствами ( Р2)* и Р2*. □

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. I. Kh. Musin On a space of entire functions rapidly decreasing on Rn and its Fourier transform // Concrete Operators. 2015. Volume 2, Issue 1. P. 120-138.

2. D. Azagra Global and fine approximation of convex functions // Proc. London Math. Soc. (2013) 107 (4). P. 799-824.

3. D. Azagra Global approximation of convex functions. arXiv:1112.1042v7.

4. B.A. Taylor On weighted polynomial approximation of entire functions // Pacific Journal of Mathematics. 1971. V. 36, №2. P. 523-539.

5. Напалков В.В., Попёнов С.В. О преобразовании Лапласа функционалов в весовом пространстве Бергмана целых функций в Cn // Доклады Академии наук. 1997. Т. 352, №5. С. 595-597.

6. Попёнов С.В. О преобразовании Лапласа функционалов в некоторых весовых пространствах Бергмана в Cn // Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. Уфа, 1996. Т. 2. Комплексный анализ. С. 125-132.

7. Юлмухаметов Р.С. Асимптотика многомерного интеграла Лапласа // Исследования по теории приближений. Уфа, 1989. С. 132-137.

8. Напалков В.В., Башмаков Р.А., Юлмухаметов Р.С. Асимптотическое поведение интегралов Лапласа и геометрические характеристики выпуклых функций // Доклады Академии наук. Т. 413. № 1. 2007. С. 20-22.

9. Башмаков Р.А., Исаев К.П., Юлмухаметов Р.С. О геометрических характеристиках выпуклых функций и интегралах Лапласа // Уфимск. матем. журн., 2010. Том 2, № 1. С. 3-16.

10. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. II. М.: Наука, 1970.

11. п>. lap Хамитович Мусин Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул.Чернышевского, 112, 450077, г, Уфа, Россия E-mail: [email protected]