Почти экспоненциальный базис Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 2. № 1 (2010). С. 87-96.

УДК 5І7.5

ПОЧТИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ БАЗИС

А.С. КРИВОШЕЕВ

Аннотация. В работе изучаются почти экспоненциальные последовательности функций, аналитических в выпуклой области. Рассматриваются ряды по системам таких функций. Получено описание пространства последовательностей коэффициентов подобных рядов. Показывается также, что почти экспоненциальный базис всегда является и базисом Кете.

Ключевые слова: аналитическая функция, выпуклая область, экспонента, базис.

Пусть D — выпуклая область в C и {Kp}р^=1 — последовательность выпуклых компактов, исчерпывающая область D, т.е. выполнено следующее: 1) Kp С intKp+1 для всех p > 1 (int обозначает внутренность множества), 2) D = Ур= Kp. Пусть Hm(z) обозначает опорную функцию множества M (точнее говоря, комплексно сопряженного с M множества):

Hm(z) = sup Re(zw), z E C.

weM

Тогда из условия 1) следует, что для каждого p > 1 существует число ар > 0 такое, что

Hkp(z) + ap|z| ^ Hkp+1 (z), z E C. (1)

Последовательность функций |em}^=1, аналитических в области D, будем называть почти экспоненциальной, если найдутся числа Am E C, m > 1, |Am| ^ ж при m ^ ж, для которых выполнены два условия: 1) для каждого p > 1 существуют постоянная а > 0 и номер s такие, что

sup |em(w)| ^ аexp(Hks(Am)), m =1, 2,...;

weKp

2) для каждого p > 1 существуют постоянная b > 0 и номер s такие, что

b exp( HKp (Am)) ^ sup |em(w)|, m = 1, 2,...

weKs

Числа Am E C, m > 1 будем называть показателями функций |em}^=1. Условия 1 и 2 означают, что последовательность |em}^=1 в некотором смысле схожа с последовательностью экспонент (exp(Amz)}^=1. Действительно, из условия 1 с учетом определения опорной функции получаем соотношения:

sup |em(w)| ^ а exp(HKs (Am)) = а sup exp(Re(Amw)) = a sup | exp(Amw)|, m = 1, 2,...

wGKp weKs weKs

Условие 2 дает аналогичную оценку снизу на модуль функции em(w). Очевидно, что указанная последовательность экспонент является почти экспоненциальной последовательностью. В качестве примера последней рассмотрим еще семейство функций

A.S. Kriyosheyey, An almost exponential basis.

© Кривошеев А.С. 2010.

Поступила 10 января 2010 г.

ST

|ггаехр(Лтг)}^’^т1га=1. В работе [1] в предложении 2.3 по сути показано, что в случае ограниченной области О при условии кт/|Лт| ^ 0 это семейство является почти экспоненциальной последовательностью. Более того, можно показать, что в случае ограниченной выпуклой области О условие кт/|Лт| ^ 0 является необходимым и достаточным для того, чтобы семейство функций |гга ехр(Лтг)}т=гГп=1 было почти экспоненциальной последовательностью.

Перейдем теперь к исследованию вопросов сходимости рядов вида

ГО

^ ^ ^тет (^) , (2)

т=1

где {ет}ГО=1 — почти экспоненциальная последовательность функций в выпуклой области

О.

Прежде всего опишем пространство коэффициентов d = {^т} рядов (2), сходящихся равномерно на компактах в области О. Пусть Л = {Лт}^=1, |Лт| ^ ж при т ^ ж. Для каждого р > 1 введем банахово пространство числовых последовательностей

Фр(Л) = ^ } : р||р = вир(^т| ехр(Якр(Лт))) < ж}.

т

Положим ^(Л, О) = П^=1 ^р(Л). На пространстве ^(Л, О) определим метрику по формуле

Р(а!,а!) = р=12 1 + |И - ^.

С этой метрикой ^(Л, О) становится пространством Фреше. Сходимость по метрике равносильна сходимости в каждом ^Р(Л), р > 1. Таким образом, ^(Л, О) является проективным пределом пространств ^Р(Л).

Лемма 1. Пусть О — выпуклая область в С. Предположим, что для системы {ет}^=1 выполнен пункт 2 из определения почти экспоненциальной последовательности в О с показателями Лт € С, т > 1. Предположим, что ряд (2) сходится равномерно на каждом компакте области О. Тогда верно включение d = ^т} € ^(Л,О).

Доказательство. Фиксируем номер р > 1. По условию существуют постоянная Ь > 0 и номер в такие, что

Ьехр(Якр(Лт)) ^ йир |бтМ|, т =1, 2,... (3)

В силу равномерной сходимости ряда (2) на компакте К найдется номер N такой, что для всех т > N и всех w € К выполнено неравенство ^т||ет(и’)| ^ 1. Следовательно, имеет место также оценка ^т| 8ир^к3 |ет(^)| ^ 1, т > N. Отсюда с учетом (3) получаем:

Ь^т| ехр(Якр(Лт)) ^ 1, т > N.

Таким образом, d = {dm} € ^Р(Л). В силу произвольности р это означает, что верно включение d = ^т} € ^(Л, О). Лемма доказана.

Далее мы покажем, что при некотором условии на рост показателей Лт верно утверждение, обратное к лемме 1. Введем следующую характеристику роста последовательности Л:

-1п т

3(Л) = Иш

т

1 |Лт|

В книге [2] величина ^(Л) использовалась для оценки расстояния между абсциссами простой и абсолютной сходимости ряда Дирихле. В частности, там показано, что при ^(Л) = 0

эти абсциссы совпадают. Такое становится возможным благодаря тесной связи между величиной 3(Л) и сходимостью ряда

£■

ехр(—є|Ат|). (4)

т=1

Эта связь отражена в следующей лемме.

Лемма 2. Ряд (4) сходится для любого є > 0 тогда и только тогда, когда ^(Л) = 0. Доказательство. Пусть ^(Л) = 0. Тогда для каждого 8 > 0 существует номер N(8)

такой, что 1пт < 8|Ат| для всех т > N(8). Фиксируем є > 0 и выберем 8 < є. Имеем:

ОО ОО -і ГО

^ ехР( є 1 Ат1) < ^ ехР(-) = ^ —г < ж

а—/ а—/ 8 А' т ^

т=М (£) т=М (£) т=М (£)

Следовательно, ряд (4) сходится для любого є > 0. Покажем обратное. Пусть верно последнее утверждение. Поскольку члены ряда (4) положительны, то их перестановка не влияет на сходимость ряда. Поэтому можно считать, что Ат пронумерованы по возрастанию модулей, т.е. |А1| ^ |А2| ^ • • •. Кроме того, если последовательность {Ат}О=1 ограничена, то ряд (4) расходится. Следовательно, |Ат| ^ ж, когда т ^ ж. Дальнейшее доказательство проведем от противного. Предположим, что 3(Л) = 4с > 0. Тогда существует подпоследовательность натуральных чисел {т(і)}О=1 такая, что 1пт(і) > 2с|Ату)|, і = 1, 2,... Переходя еще раз к подпоследовательности, можно считать, что 2|Ату)| ^ |Ату+1)|, і = 1, 2,... Составим теперь новую подпоследовательность т(і, /), і = 1, 2,..., / = 1, 2,... ,і', где і' — целая часть числа т(і )/2. Положим т(і,/) = т(і) — і' + /.В силу возрастания модулей Ат имеем:

1пт(і,/) 1пт(і,/) 1пт(і, 1) 1пт(і) — 1п2 1п2

^ —л;-і— ^ —г;-----і— ^ ---г;----і--- ^ 2с —

| Ат(і,1)| | Ат(3)| | Ат(3)| | Ат(3)| | Ат(3)|

Так как |Ат| ^ ж, то найдется номер і0 такой, что

1п т(і,/) , ,

,Л > с, і > і0, / = 1,2,...,/.

| Ат(і,1)|

Отсюда для всех і > і0 и є = с получаем:

т(з) з' з' _є

^ ехР( —є|Ат|) = ^ехр( — є|Ат(і,г)|) > ^ ехР( — 1п т(і,/)) =

т=т(3)—з'+1 1=1 1=1

з' з'

= 1 = 1 > У > 2 т(і) — 1

^ т(і, /)I ^ т(і,/) > т(і') > т(і') .

Поскольку т(і) ^ ж, когда і ^ ж, то это противоречит сходимости ряда (4) при є = с. Таким образом, ^(Л) = 0 и лемма доказана.

Покажем теперь, что при условии ^(Л) = 0 имеет место утверждение, обратное к лемме 1 и даже более сильное.

Лемма 3. Пусть О — выпуклая область в С. Предположим, что для системы {ет}О=1 выполнен пункт 1 из определения почти экспоненциальной последовательности в О с показателями Ат Є С, т > 1 такими, что ^(Л) = 0. Пусть далее ^ = {^т} Є ^(Л,О).

Тогда для каждого номера р > 1 существует номер в и постоянная А > 0, не зависящие

от ^ = {^т}, для которых выполнено неравенство

те

У2 |dm| sup |em(z)| ^ A||d||s.

^єкр

m=1 p

В частности, ряд (2) сходится абсолютно и равномерно на каждом компакте области D.

Доказательство. Пусть d = {dm} Є Q^,D). Фиксируем номер p У І. По условию найдется номер s и постоянная а > О такие, что

sup |em(w)| ^ а exp^^- (Am)), m = І, 2,....

адєкр

Следовательно, мы имеем:

тете

V] |dm| sup |em(z)| ^ У |dm| exp^^- (Am)) =

m=1 p m=1

те

= aj^ |dm| Є^Як, (Am^exp^K- (Am) - Як (Am)) ^

m=1

тете

^ a||d||s^ exp^^- (Am) - Як (Am)) ^ exp(-as-1|Am|).

m=1 m=1

При получении последней оценки мы воспользовались неравенством (1). Учитывая лемму 2, окончательно получаем:

те

У |dm| sup |em(z)| ^ A||d||s < TO,

1 2бкр

m=1 p

где номер s и постоянная A зависят лишь от функций em, чисел Am, m У І и номера p. Лемма доказана.

Сравнивая лемму 1 и лемму 3, легко заметить, что при условии ^(Л) = О равномерная сходимость ряда (2) влечет за собой его абсолютную сходимость. Более точно, имеет место следующее утверждение.

Следствие. Пусть D — выпуклая область в C; {em}^^=1 — почти экспоненциальная последовательность в D с показателями Am Є C, m У І, такими, что ^(Л) = О. Предположим, что ряд (2) сходится равномерно на каждом компакте области D. Тогда для каждого номера p У І существует номер s и постоянная A > О, не зависящая от d = {dm}, для которых выполнено неравенство

те

У" |dm| sup |em(z)| ^ A||d||s.

^єкр

m=1 p

В частности, ряд (2) сходится абсолютно в области D.

Отметим, что условие 3(Л) = О в лемме 3 в случае ограниченной выпуклой области D является необходимым на всем классе последовательностей d = {dm} Є Q^,D), что и подтверждает следующая лемма.

Лемма 4. Пусть D — ограниченная выпуклая область в C; {em}^^=1 — почти экспоненциальная последовательность в D с показателями Am Є C, m У І. Предположим, что для всех d = {dm} Є ф(Л, D) и каждого номера s = І, 2,... сходится

У'] |dm| sup |em(z)|. ^ек8

m=1

Тогда верно равенство ^(Л) = О.

Доказательство. Фиксируем е > 0. Поскольку последовательность компактов {Кр}р^=1 исчерпывает область Д, а последняя ограничена, то найдется номер р = 1, 2,... такой, что выполняется неравенство

Яд (г) ^ Якр (г) + е|г|, г е С. (5)

Согласно определению почти экспоненциальной последовательности существуют постоянная Ь > 0 и номер 5, удовлетворяющие условию

Ь ехр(Якр (Ат)) ^ вир |ет(^)|, т = 1, 2,... (6)

wGKs

Положим йт = ехр(-Якт (Ат)), т = 1, 2,... Используя неравенство (1) для каждого I = 1, 2,... , имеем:

вир(|^т| ехр(Як (Ат))) = 8ир(ехр(Якг (Ат) - Якт (Ат))) ^

т>1 т>1

^ вир (ехр(ЯКт (Ат) - Якт (Ат))) = 1 т>1

Это означает, что й = (йт) е фг(Л). В силу произвольности номера I верно также включение й е ф(Л, Д). Тогда по условию леммы сходится ряд ^^=1 |йт| вир^к |ет(г)|. Учитывая это, неравенства (5),(6) и то, что Якт (г) ^ Яд (г), г е С, (в силу вложения Кт С Д), т = 1, 2,... , получаем:

^ехр(-е|Ат|) ^ ^ ехр(Якр (Ат) - Яд (Ат)) ^ ^ ЄХр(Якр (Ат) - Якт (Ат)) =

т=1 т=1 т=1

го го го

У ^т ЄХр(Якр (Ат)) ^ Ь-1 ^ ^т ЙИр |бт(*0| = Ь- ^ |йт| йИр |бт(*0| < ТО.

^т ^т^Л и / ^т

г£Кв і г€Кв

т=1 т=1 * т=1 *

Таким образом, ряд (4) сходится для любого є > 0. Следовательно, по лемме 2 мы получаем требуемое утверждение. Лемма доказана.

Из доказанных утверждений следует, что для почти экспоненциальной последовательности {ет}ГО=1 в выпуклой области О с показателями Л = {Ат} такими, что ^(Л) = 0, множество последовательностей коэффициентов й = {йт}, при которых ряд (2) сходится равномерно на компактах из О, совпадает с множеством ^(Л,О). Оказывается верно и обратное. Более точно, имеет место

Теорема 1. Пусть О — выпуклая область в С, Л = {Ат} — последовательность комплексных чисел такая, что ^(Л) = 0. Тогда равносильны следующие утверждения.

1) {ет}ГО=1 — почти экспоненциальная последовательность в О с показателями Ат.

2) Множество последовательностей коэффициентов й = {йт}, при которых ряд (2) сходится равномерно на компактах из О, совпадает с множеством ^(Л,О), и функции вт(и>) отличны от тождественного нуля, т > 1.

Доказательство. 1)^2). Эта импликация уже установлена в леммах 1 и 3.

2)^1). Предположим, что ряд (2) сходится равномерно на компактах из области О для каждой последовательности коэффициентов й Є ^(Л,О). Покажем, что в этом случае выполнен пункт 1 из определения почти экспоненциальной последовательности. Проведем доказательство от противного. Допустим, что пункт 1 не выполняется. Тогда найдется номер р > 1 такой, что для каждого в > 1 и некоторого номера т5 верно неравенство

вир |Єт* М! > ехр(Якз (Ат* )). адЄКр

При этом очевидно можно считать, что ms ^ то, когда s ^ то. Рассмотрим последовательность d = {dm}, где dms = exp(-HKs (Ams)), s > 1, и dm = 0 для всех номеров m, отличных от ms, s > 1. С учетом (1) и определения dm для каждого номера l > 1 имеем:

|dm| ехр(Якг (Am)) ^ 1, m > l.

Следовательно, d = {dm} является элементом пространства ^(Л, D). Тогда по условию ряд (2) с этими коэффициентами dm сходится равномерно на компактах из D. В частности, это означает, что |dm| supweKp |em(w)| ^ 0 при m ^ то. С другой стороны, в силу (7) и определения чисел dms верно неравенство

dms sup |ems (w)| = exp(-#^ (Ams)) SUP lems (w) | > 1, S > 1.

wGKp wGKp

Это противоречит предыдущему, поскольку ms ^ то, когда s ^ то. Таким образом, наше допущение неверно, т.е. для {em}~=1 выполнен пункт 1 из определения почти экспоненциальной последовательности. Покажем, что для {em}^=1 выполнен также и пункт 2 из этого определения. Предположим, что это не так. Тогда, учитывая, что em(w) отлична от тождественного нуля, m > 1, найдем номер p > 1 такой, что для каждого s > 1 и некоторого ms имеет место неравенство

exp(HKp (Ams)) > sup |ems (w)|. (8)

При этом можно считать, что |Ams | > s для всех s > 1. Рассмотрим последовательность d = {dm} где dms = exp(-HKp+1 (Ams)), s > 1, и dm = 0 для всех остальных номеров m. В силу определения чисел dm для всех l > 1 имеем:

со ГО ГО

m V |dm| sup |e(z)| = V |dms | sup |ems (z)| = Y] exp(-HKp+i (Ams )) sup |ems (z)| =

, z^Ki ^ zGK; ^ zGK;

m=1 1 s=1 1 s=1 1

1 ro

= y]exp(-HKp+i (Ams )) sup |ems (z)| + V exp(-HKp+i (Ams )) sup |ems (z)|.

s=1 z€Ki s=1+1 z€Ki

Так как Kj — возрастающая последовательность компактов, то с учетом неравенств (8) и

(1) получаем отсюда

ГО 1

m У"' |dm | sup |e(z)| ^ У"' exp(-#K„+i (Ams )) sup |ems (z)| +

, z€Ki , z£Ki

m=1 i s=1 i

ro 1

+ У] exp(-HKp+i (Ams )) sup |ems (z)| ^ V exp(-HKp+i (Ams )) sup |ems (z)| +

s=1+1 z€Ki s=1 z€Ki

ro 1

+ X! exp(-HKp+i (Ams ))exp(HKp (Ams )) ^ exp(-HKp+i (Ams )) sup |ems (z)| +

sup

s=1+1 s=1 zeKi

+ X! еХР(-ар|Ат3 |).

8=1+1

Поскольку |Ат31 > в для всех в > 1, то 1п в/|Ат,,1 ^ 0, когда в ^ то. Тогда по лемме 2 последний ряд сходится. Это означает, что ряд (2) с выбранной нами последовательностью коэффициентов d = сходится равномерно на каждом компакте Кг, I > 1, а

так как последовательность {Кг} исчерпывает область Д, то и на любом компакте из Д.

Следовательно, по условию d = ^т} должна принадлежать множеству ф(Л, Д). С другой стороны, в силу определения последовательности d = ^т} с учетом неравенства (1) имеем:

^^+1 = 8ир(Нт ехр(Якр+2 (Ат))) = йир(^т3 1 ехр(НКр+2 (Ат3))) =

т 8

= 8Ир(ехр(Якр+1 (Ат3 ))ехр(Якр+2 (Ат3 ))) > 8Ир(ехр(ар+11 Ат3 |) = ТО,

т.е. d = ^т} не принадлежит ^(Л,Д). Полученное противоречие означает, что для {ет}т=1 выполнен пункт 2 из определения почти экспоненциальной последовательности. Таким образом, теорема полностью доказана.

Приведем еще некоторую модификацию теоремы 1.

Теорема 2. Пусть Д — ограниченная выпуклая область в С. Тогда следующие утверждения эквивалентны.

1) {вт}^=1 — почти экспоненциальная последовательность в Д с показателями Ат € С, т > 1 и ^(Л) = 0.

2) Множество последовательностей коэффициентов d = ^т}, при которых ряд

Е

|^т| вир |бт(г)| (9)

і

сходится для каждого в > 1, совпадает с множеством ^(Л,Д), и функция ет(и>) отлична от тождественного нуля, т > 1.

Доказательство. 1)^2). Эта импликация уже установлена в леммах 1 и 3, поскольку сходимость ряда (9) для всех в > 1 влечет за собой равномерную сходимость ряда (2) на каждом компакте из области Д.

2)^1). Пусть ряд (9) сходится для каждой последовательности коэффициентов d € ^(Л, Д) и всех в > 1. Тогда ряд (2) сходится равномерно на компактах из области Д для всех d € ^(Л,Д). Повторяя далее дословно рассуждения из теоремы 1, убеждаемся, что для {ет}~=1 выполнен пункт 1 из определения почти экспоненциальной последовательности. Пункт 2 из этого определения также выполнен для {ет}^’=1. Действительно, в противном случае в теореме 1 построена последовательность коэффициентов d = ^т}, не принадлежащая множеству ^(Л, Д), такая, что ряд (9) сходится для всех в > 1. Таким образом, {вт}~=1 — почти экспоненциальная последовательность. Тогда с учетом утверждения 2 настоящей теоремы по лемме 4 получаем равенство ^(Л) = 0. Теорема доказана.

Обратимся теперь к основной задаче данной работы. Пусть Д С С — выпуклая область, Н(Д) — пространство функций, аналитических в Д с топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах Д, {ет}^’=1 — последовательность функций из Н(Д). Через Ш обозначим замыкание в Н(Д) линейной оболочки системы {ет}^=1. Проблему, стоящую перед нами, можно сформулировать следующим образом: при каких условиях на {ет}щ>=1 каждая функция из Ш разлагается в ряд вида (2)? При этом наиболее интересна ситуация, когда такое разложение является единственным, поскольку в этом случае подпространство Ш С Н(Д) получает наиболее простое описание. В связи с этим приведем соответствующий результат. Но прежде введем еще некоторые определения и обозначения. Будем говорить, что {ет}~=1 является почти экспоненциальным базисом с показателями Ат € С, т > 1 в подпространстве Ш, если {ет}^’=1 — почти экспоненциальная последовательность в Д с показателями Ат, и каждая функция из Ш единственным образом разлагается в ряд вида (2), который сходится равномерно на каждом компакте из области Д.

Определим оператор Н, действующий на пространстве Q^,D), со значениями в подпространстве W С Я(D) по правилу: последовательности d = {dm} Є Q^,D) поставим в соответствие сумму ряда (2), сходящегося в топологии пространства Я(D).

Пусть Я*(D) обозначает пространство линейных непрерывных функционалов на Я(D), называемое еще пространством аналитических функционалов в области D. Последовательность {^}„=1 С Я*(D) называется биортогональной к {em}^=1, если ^m(em) = І и

(em) = о при k = m.

Теорема 3. Пусть D — выпуклая область в C, Л = {Am} — последовательность комплексных чисел такая, что ^(Л) = 0. Предположим, что {em}^=1 — почти экспоненциальный базис с показателями Am в W. Тогда оператор Н является изоморфизмом линейных топологических пространств ^(Л, D) и W, и существует биортогональная к {em}m=1 последовательность функционалов {^}„=1 С Я*(D).

Доказательство. Пусть {em}^=1 — почти экспоненциальная последовательность в D с показателями Am такими, что ^(Л) = 0. Тогда по лемме 3 для любой последовательности d = {dm} Є ф(Л, D) ряд (2) сходится равномерно на каждом компакте области D. Поэтому оператор Н определен на всем пространстве Q^,D). Поскольку {em}0= — базис в W, то любая функция из W раскладывается в ряд (2), сходящийся в топологии Я(D). При этом по лемме І последовательность его коэффициентов является элементом множества ^(Л, D). Следовательно, оператор Н сюръективен. Заметим еще, что по определению почти экспоненциального базиса указанное разложение единственное. Это влечет за собой инъективность Н. Таким образом, Н — биективный линейный оператор. Далее по лемме З для любого p У І существует номер s и постоянная A > О, не зависящие от d = {dm} Є ^(Л, D), такие, что

оо го

sup IH(d)(z)I = sup I У2 dmem(z)I ^ V] |dm| SUp ^m(z)| ^ A||d||s. (І0)

zGKp zGKp , , zGKp

p p m=1 m=1 p

Отсюда следует непрерывность оператора Н. Как уже отмечалось ранее, ф(Л, D) является

пространством Фреше. W как замкнутое подпространство пространства Фреше Я(D) также является пространством Фреше. Тогда по теореме Банаха об обратном операторе для пространств Фреше Н есть изоморфизм линейных топологических пространств Q^,D) и W.

Остается доказать существование последовательности {^m}0=1 С Я*(D) биортогональной к {em}0=1. Пусть g — произвольная функция из W, и d = {dm} Є Q^,D) — последовательность коэффициентов разложения g по системе {em}0=1 (т.е. Н(d) = g). Для каждого m У І положим ^m(g) = dm. В результате мы получили линейный функционал ^m на пространстве W. В силу (І0) имеем

о

I dm I sup Iem(z)I ^ V] sup |em(z)| ^ A||d||s, (ІІ)

zGKi zGKi

1 m=1 1

где постоянная A и номер s не зависят от d = {dm} Є ф(Л,ф), а значит и от g Є W. По доказанному обратный оператор Н-1 непрерывен. Поэтому найдется номер І и постоянная C > 0 такие, что ||d||s = ||Н-1^)||5 ^ CsupzGK; |g(z)I для всех g Є W. Отсюда с учетом

(ІІ) и определения ^m получаем

I^m(g)| = I dm I ^ A( sup |em(z)|)-1||d||s ^ A(sup |em(z)|)-1C sup |g(z)|, g Є W.

zGKi zGKi zGK;

По теореме Хана-Банаха ^m продолжается на все пространство Я(D) как линейный функционал с сохранением последней оценки, которая влечет за собой непрерывность ^m на

Я(D). По определению ^m имеем: ^m(em) = І и ^m(e&) = 0 при k = m. Таким образом, последовательность {^m}0=1 лежит в Я*(D) и является биортогональной к {em}0=1. Теорема полностью доказана.

Из теоремы З вытекает, что почти экспоненциальный базис {em}0=1 в W является базисом Шаудера, т.е. координатные функционалы ^m(g) = dm (которые образуют биор-тогональную к {em} систему) непрерывны. Почти экспоненциальный базис обладает и более сильным свойством. Напомним, что базисом Кете в линейном топологическом пространстве L называется система его элементов {em} такая, что для любого g Є L верно представление

0

g — ^ ^ dmem, m=1

где ряд сходится в топологии пространства L, и, кроме того, выполнено следующее: для каждой полунормы || || существует полунорма || ||; и в > 0, не зависящие от g Є L, такие, что

0

Е IdmIIIemII в /%||'-

m=1

Следствие. Пусть D — выпуклая область в C, Л = {A} — последовательность комплексных чисел такая, что ^(Л) = 0 . Предположим, что {em}0=1 — почти экспоненциальный базис с показателями Am в W. Тогда {em}0=1 — базис Кете в W.

Доказательство. По условию каждая функция g Є W раскладывается в ряд (2), сходящийся равномерно на компактах из области D. При этом, как и в доказательстве теоремы З, из непрерывности оператора Н-1 и неравенства в лемме З следует, что для любого p У І существуют номер І и постоянная в > 0, не зависящие от g Є W, такие, что

0

У2 |dm| sup |em(z)| в в sup |g(z)|.

m=1 zGKp zGKi

Это означает, что {em}0=1 — базис Кете в W. Следствие доказано.

В заключении параграфа докажем теорему, обратную к теореме З, и даже формально несколько более общий результат.

Теорема 4. Пусть D — выпуклая область в C, Л = {A} — последовательность комплексных чисел такая, что ^(Л) = 0. Предположим, что оператор Н определен на всем пространстве Q^,D), сюръективен, и существует биортогональная к {em}0=1 последовательность функционалов {^m}0=1 С Я*(D). Тогда {em}0=1 — почти экспоненциальный базис с показателями Am в W.

Доказательство. По условию оператор Н : ^(Л, D) ^ W сюръективен. Следовательно, любая функция g Є W раскладывается в ряд (2), сходящийся равномерно на компактах

из области D. Это разложение единственно, так как его коэффициенты dm однознач-

но определяются при помощи биортогональной системы функционалов. Таким образом, {em}0=1 — базис в W. Остается показать, что {em}0=1 — почти экспоненциальная последовательность с показателями Am в W. Согласно теореме І, для этого достаточно проверить истинность утверждения 2 из этой теоремы.

Отличие от тождественного нуля функций em следует из существования биортогональ-ной системы {^m}0=1, поскольку ^m(em) = І, m У І. По условию оператор Н определен на всем пространстве ^(Л, D). Поэтому для каждого d = {dm} Є ^(Л, D) ряд (2) сходится равномерно на компактах из области D. Обратно. Пусть ряд (2.2) сходится равномерно на компактах из D к функции g. Нужно показать, что последовательность его коэффициентов d = {dm} принадлежит Q^,D). По определению подпространства W оно должно

содержать g. По условию оператор Н сюръективен. Следовательно, функция g раскладывается в ряд вида (2) с коэффициентами d7 = {dm} Є ф(Л, D), равномерно сходящийся на компактах из D. В результате мы имеем два разложения для g. Однако, как и выше, из существования биортогональной к {em}0=1 системы функционалов {^m}0=1 С Я*(D) вытекает, что коэффициенты ряда (2), сходящегося в топологии пространства Я(D), однозначно вычисляются как значения функционалов ^m на функции g. Поэтому d = d7 Є ^(Л, D). Таким образом, утверждение 2 из теоремы 1 выполнено. Это завершает доказательство данной теоремы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кривошеев А.С. Фундаментальный принцип для инвариантных подпространств в выпуклых областях // Известия РАН. Серия математическая. Т. 68. № 2. 2004. С. 71—136.

2. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука. 1976.

Александр Сергеевич Кривошеев,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, ІІ2,

450008, г. Уфа, Россия

E-mail: [email protected]