Область сходимости рядов экспоненциальных многочленов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. № 4 (2013). С. 84-90.

УДК 517.5

ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ

О.А. КРИВОШЕЕВА

Аннотация. В работе изучаются вопросы сходимости рядов экспоненциальных многочленов, которые построены по почти экспоненциальным последовательностям таких многочленов. Частными случаями этих рядов являются ряды экспоненциальных мономов, ряды экспонент, ряды Дирихле и степенные ряды. Получен аналог теоремы Абеля для таких рядов, из которого, в частности, вытекают результаты о продолжении их сходимости. Получен также аналог теоремы Коши-Адамара. Приводится формула, позволяющая восстанавливать область сходимости указанных рядов по их коэффициентам. Полученные результаты включают в себя результаты, связанные с теоремами Абеля и Коши-Адамара для рядов экспоненциальных мономов, рядов экспонент, рядов Дирихле и степенных рядов.

Ключевые слова: экспоненциальный многочлен, выпуклая область, ряд экспонент, инвариантное подпространство, область сходимости.

Mathematics Subject Classification: 41A05, 4130

1. Введение В работе изучается сходимость рядов

ГО

^4efc (z), (1.1)

к=1

где (вк}fe=i — почти экспоненциальная последовательность.

Для каждой выпуклой области D С C зафиксируем последовательность выпуклых компактов K(D) = (Kp}c^=l, которая строго исчерпывает ее, т.е. Kp С intKp+1, p = 1, 2,... , (int - внутренность множества) и D = U^==1Kp. Пусть Л = (Лк}^=1 — последовательность комплексных чисел такая, что |Лк| ^ то при к ^ то, и вт — целая функция, m = 1, 2,... Будем говорить (см. [1]), что (вк}^=1 — почти экспоненциальная последовательность с показателями (Лк}, если для любой выпуклой области D С C выполнены два условия:

1) для каждого p > 1 существуют постоянная а > 0 и номер s такие, что

sup |вк(w)| ^ а exp (Hks (Лк)) , к =1, 2,...;

wEKp

2) для каждого p > 1 существуют постоянная b > 0 и номер s такие, что

b exp (Hkp (Лк)) ^ sup |вк (w)|, к = 1, 2,...

wEKs

O.A. Krivosheyeva, Convergence domain for series of exponential polynomials. © Кривошеева О.А. 2013.

Поступила 7 апреля 2013 г.

Здесь Hm(Л) обозначает опорную функцию множества M (точнее говоря, комплексно сопряженного с M множества):

Hm(Л) = sup Кв(Л'ш), Л е C.

wEM

Условия 1) и 2) означают, что последовательность (вт}^=1 в некотором смысле схожа с последовательностью экспонент (exp^mz)}^=1. Действительно, из условия 1) с учетом определения опорной функции получаем соотношения:

sup |em(w)| ^ а exp(HKs (Лт)) = а sup exp(Re^mw)) = а sup | exp^mw)\, k = 1, 2,...

wEKp wEKs wEKs

Условие 2) дает аналогичную оценку снизу на модуль функции em(w). Очевидно, что указанная последовательность экспонент является почти экспоненциальной последовательностью. В качестве примера последней рассмотрим еще семейство функций (zn exp^mz)}~=Tra=0. В предложении 2.3 работы [2] по существу показано, что при условии km/^m| ^ 0 это семейство является почти экспоненциальной последовательностью. Сходимость рядов экспоненциальных мономов, т.е. рядов по элементам такой системы изучалась в работе [3]. В ней получены аналоги теорем Абеля и Коши-Адамара для рядов экспоненциальных мономов. Почти экспоненциальные последовательности более общего вида рассматривались в работе [4]. Они состоят из линейных комбинаций экспоненциальных многочленов, показатели которых образуют так называемые "относительно малые" группы. Подобные последовательности используются в теории представления элементов инвариантных относительно оператора дифференцирования подпространств функций, аналитических в выпуклой области (см. [5]), и, в частности, пространств решений однородных уравнений свертки и их систем. В этой связи возникает задача исследования сходимости рядов экспоненциальных многочленов, построенных по почти экспоненциальным последовательностям таких многочленов. В настоящей работе изучаются области сходимости указанных рядов. Для них получены аналоги теорем Абеля и Коши-Адамара.

2. Предварительные результаты

Пусть D — выпуклая область в C, K(D) = (Kp}^=1, Л = (Лк}£=1 и p = 1, 2,...

Рассмотрим банахово пространство комплексных последовательностей

ОДЛ) = (d = (4} : ||dp|| = sup |41 exp Нкр(Лк) < то}.

к>1

Символом ^(Л, D) обозначим проективный предел пространств Qp, p > 1. Пространство ^(Л, D) является пересечением Qp, p > 1. Топология в Q^,D) эквивалентна топологии, определяемой метрикой

d/) = ^ 2-p ||d - d'\\p ) ^ 1 + \\d - d/\\p.

С этой метрикой ^(Л, D) становится, очевидно, пространством Фреше.

Покажем, что последовательность коэффициентов сходящегося ряда (1.1) принадлежит пространству Q(D) для некоторой специальной выпуклой области D.

Символом S будем обозначать окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Пусть E — множество в C, 0 — замкнутое подмножество окружности S.

0-выпуклой оболочкой E называется множество

E(0) = (z е C : Re(z£) < HeШ е 0}.

Отметим, что внутренность E лежит в E(0). В самом деле, если z — внутренняя точка E, то из определения опорной функции следуют неравенства Re(z£) < He (С), VC е 0. Это означает, что z е E(0). В частном случае, когда 0 = S, 0-выпуклая оболочка множества совпадает с его обычной выпуклой оболочкой (точнее говоря, с внутренностью этой выпуклой оболочки) и, таким образом, является выпуклой областью. Последнее имеет место и в общем случае, что и подтверждает

Лемма 2.1. Пусть E — множество в C, 0 - замкнутое подмножество окружности S. Тогда множество E(0) является выпуклой областью.

Доказательство. По определению, множество E(0) есть пересечение полуплоскостей, а потому выпукло. Выпуклость влечет за собой связность E(0). Остается показать, что E(0) — открытое множество. Предположим, что это не так. Тогда существует точка z0 е E(0) и последовательность ^к} такие, что Zk ^ z0 при к ^ то и Zk е E(0) для всех к > 1, то есть Яв^кСк) > НЕ(Ск) для некоторого Ск е 0, к =1, 2,... Переходя к подпоследовательности, можно считать, что (Ск} сходится к точке С0 е 0. Тогда из последнего неравенства с учетом полунепрерывности снизу опорной функции получаем

Re(z0^) = lim Яв^кСк) = lim Яв^кСк) > lim He(Ск) > He(С0).

к^те к^те к^те

Это противоречит определению E(0), так как z0 е E(0), а С0 е 0. Лемма доказана.

Пусть Л = (Лк}r=1. Через 0(Л) обозначим множество всех частичных пределов последовательности (Лк/\Лк\}те=1 (исключая точку Лк = 0, если она есть). Очевидно, что 0(Л) — замкнутое подмножество окружности S. Символом B(x,8) будем обозначать открытый круг с центром в точке x и радиусом 8.

Лемма 2.2. Пусть Л = (Лк}^=1 — последовательность комплексных чисел, \Лк\ ^ то при к ^ то, (вк}те=1 — почти экспоненциальная последовательность с показателями (Лк}те=1- Предположим, что общий член ряда (1.1) ограничен на каждом компакте K открытого множества E С C, т.е. \4вк(z)\ ^ A, к = 1,2,..., z е K. Тогда имеет место включение d = (4} е ^(Л, D), где D = E(0(Л)).

Доказательство. Предположим, что d е Q(^-,D). Тогда d е ^р(Л) для некоторого номера p = 1, 2,... Это означает, что найдется подпоследовательность (d^} такая, что

Икг \ exp Нкр(Лкг) ^ +то, l ^ то. (2.1)

Переходя еще раз к подпоследовательности, можно считать, что (Лкг/\Лкг \} сходится к некоторой точке х0 е 0(Л). Поскольку Kp — компакт в области D = E(0(Л)), то из определений множества E(0(Л)) и опорной функции следует, что для некоторого z0 е E верна оценка: Re(z0x0) > Нкр (х0). Тогда с учетом непрерывности опорной функции компакта найдется 8 > 0 такое, что

Re(z0x) > НКр(х), х е B(x0,8). (2.2)

По условию E — открытое множество. Поэтому оно содержит некоторый круг D с центром в точке z0. Пусть K(D) = (KKm}те=1. Выберем номер s, для которого компакт Ks содержит z0. Тогда верно неравенство

Hks (x) > Re(z0x), x е C. (2.3)

Поскольку (вк}r=1 — почти экспоненциальная последовательность с показателями (Лк}те=1, то существуют постоянная b > 0 и номер n такие, что

b exp(HKKs (Лк)) ^ sup \вк (w) \, к = 1, 2,... (2.4)

wEKп

Выберем номер lQ так, что Лк;/^k;I Є B(xQ,^), l У lQ. Тогда из неравенств (2.2)-(2.4) и положительной однородности опорной функции для всех l У lQ получаем:

sup Iek;(w)I У bexp(HKp(Лд)).

w€Kn

Таким образом, в силу (2.І) имеем:

Idk; I sup Iek;(w)I ^ +то, l ^ то.

w€Kn

С другой стороны, согласно условию верно неравенство

Idk; I sup Iek; (w) I ^ A, l = І, 2,...

w€Kn

Полученное противоречие завершает доказательство леммы.

Из леммы 2.2 вытекает один из результатов работы [І] (лемма І).

Следствие. Пусть D — выпуклая область в C, Л = {Лк}£=1 — последовательность комплексных чисел, !ЛдI ^ то, k ^ то, {ek}^=1 — почти экспоненциальная последовательность с показателями {Лк}£=1. Предположим, что ряд (1.1) сходится равномерно на каждом компакте области D. Тогда верно включение d = {dk} Є Q^,D).

Доказательство. Достаточно заметить, что D С D(©^)), а потому имеет место вложение Q^,D(©^))) С Q^,D).

В работе [І] доказывается, что при условии а(Л) = lim ln k/1ЛдI = О имеет место утвер-

k^-ro

ждение обратное к этому следствию и даже более сильное утверждение:

Лемма 2.3. Пусть D — выпуклая область в C, Л = {Лк}^=1 — последовательность комплексных чисел, !ЛкI ^ то, k ^ то, {ek}ГО=1 — почти экспоненциальная последовательность с показателями {Лк}£=1, такими, что а(Л) = О, и d = {dk} Є Q(Л,D). Тогда для каждого номера p У І существуют номер s и постоянная Cp > О, не зависящие от d = {dk}, для которых выполнено неравенство

ГО

^ IdkI sup Iek(z)I ^ CpIIdIIs. (2.5)

k=1 zeKp

В частности, ряд (1.1) сходится абсолютно и равномерно на каждом компакте области D.

3. Аналог теоремы Авеля Следующий результат является аналогом теоремы Абеля для ряда (І.І).

Теорема 3.1. Пусть Л = {Лк}£=1 — последовательность комплексных чисел, !ЛкI ^ то, k ^ то, такая, что а(Л) = О, {ek}^=1 — почти экспоненциальная последовательность с показателями {Лк}£=1- Предположим, что общий член ряда (1.1) ограничен на каждом компакте K открытого множества E С C. Тогда для каждого номера p = І, 2, . . . найдутся номер s и число Cp > О (не зависящие от последовательности d) такие, что выполнено (2.5), где нормы IIdpII построены по последовательности K(D) = {Kp}pTO=1 и D = E(©(Л)). В частности, ряд (1.1) сходится абсолютно и равномерно на любом компакте области D.

Доказательство. Пусть выполнены условия теоремы. Тогда по лемме 2.2 имеет место включение d = {dk} Є Q^, D). Отсюда по лемме 2.3 для каждого p = І, 2,... найдутся номер s и число Cp > О (не зависящие от последовательности d) такие, что выполнено (2.5). Теорема доказана.

Замечания. 1. Из теоремы 3.1 следует, что при условии а (Л) = 0 внутренность множества равномерной сходимости ряда (1.1) всегда является выпуклой и даже 0 - выпуклой областью (т.е. областью, которая представляет из себя пересечение полуплоскостей

(z : Re(zC) < h(C),С е 0}).

2. Если из теоремы 3.1 изъять условие а (Л) = 0, то ее утверждение становится неверным. В лемме 4 работы [1] доказывается, что из сходимости ряда

те

У Ик\ sup \вк(z)\ к=1 zeKp

при любой последовательности d = ^к} е ^(Л, D), где D — ограниченная область, вытекает равенство а (Л) = 0.

4. АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ КОШИ-АдАМАРА

Приведем результат, который является аналогом теоремы Коши-Адамара для степенных рядов. Прежде чем его сформулировать, введем еще обозначения. Пусть С е 0(Л). Для последовательности коэффициентов d = ^к} ряда (1.1) положим

h(d,0 = inf iim 1п(1/^к^,

•?^те \ Лк( j) \

где инфимум берется по всем подпоследовательностям (Лк^)} последовательности (Лк} таким, что Лк^)/\Лк(j) \ сходится к С, когда j ^ то. Таким образом, мы получили функцию h(d, С), С е 0(Л). Она является полунепрерывной снизу. Действительно, пусть С, Ср е 0(Л), p > 1, Ср ^ С и последовательность (Ср} такая, что

limh(d, Z) = lim h(d, Ср) = а.

р^те

По определению функции h(d, Z) для каждого p > 1 найдем точку Лк(р), удовлетворяющую условиям: \Лк(р)/\Лк(р)\ — Ср\ < 1/p и ln(1/\dk(p)\)/\Лк(р) \ < а + 1/p. Тогда последовательность Лк(р)/\Лк(р)\ сходится к С и

1п(1/\4(р)0 lim---—----^ а.

р^те \Лк(р)\

Это означает, что

iimh(d,C) > М^С)

т.е. h(d, Z) полунепрерывна снизу. Тогда, как и в лемме 2.1, показывается, что множество

D(d,Л) = (z : ДфС) < h(d,С),С е 0(Л)}

является 0(Л) — выпуклой областью. Символом D(d, Л) обозначим множество точек плоскости, в окрестности каждой из которых ряд (1.1) сходится равномерно.

Теорема 4.1. Пусть Л = (Лк}£= — последовательность комплексных чисел, \Лк\ ^ то, к ^ то, такая, что а(Л) = 0, (вк}^=1 — почти экспоненциальная последовательность с показателями (Лк}^=1. Тогда области D(d, Л) и D(d, Л) совпадают.

Доказательство. Покажем, что d = (dk} е Q^,D(d,Л)). Пусть K — произвольный элемент множества K(D(d, Л)). Достаточно доказать, что

lim ^к\ exp Нкр (Лк) < +то. (4.1)

к

Предположим, что это не так. Тогда для некоторой подпоследовательности |к(^')} имеем:

lim ^к \ exp Нкр (Лк) = +то, к

или, что эквивалентно

Ііт (1п |4(Л| + Як(А^))) = +то.

З^ж

Отсюда

1іт |Ак(З)! (1п КЗ + (Ак(з'))) > 0. (4.2)

З^ж

Переходя еще раз к подпоследовательности, можно считать, что Ак(^)/|Лк(^)| сходится к некоторой точке £ Е ©(Л). Тогда с учетом непрерывности, положительной однородности опорной функции компакта и определения величины Л,(д, £) получаем

1іт |Ак(З)! 1(1п КЗ + (Ак(з'))) ^ 1іт ^(З)! 11п КЗ + 1іт |АЗ ^

З^-ж З^ж З^ж

^ 1іт 1 Ак(З)1 1 1п КЗ + ЯК (С) ^ -М^£) + НКр (£).

З^ж

Поскольку Кр — компакт в области Д(^,Л), то верно неравенство Якр(£) < Яд(^л)(£). Кроме того, в силу определения области Д(^, Л) и ее опорной функции Яд(^, Л) верно также неравенство Яд(^;л)(£) ^ М^, £). Таким образом, с учетом предыдущего получаем:

1іт |Ак:(З)| (1п М&(З)1 + НКР (Ак(З))) ^ — М^,£) + НКР (С) < — М^,£) + Н^(Й,Л)(С) ^ °.

З^ж

Это противоречит (4.2). Следовательно, (4.1) верно, т.е. д Е ^(Л,Д(д,Л)). Тогда, согласно лемме 2.3, ряд (1.1) сходится абсолютно и равномерно на каждом компакте области Д(д,Л). Это означает, что верно вложение Д(д,Л) С _0(д,Л).

Покажем, что имеет место и обратное вложение. Пусть г Е _0(д, Л). По определению области _0(д, Л), в некоторой окрестности Е точки г ряд (1.1) сходится равномерно. Поэтому общий член этого ряда ограничен на множестве Е. Тогда по лемме 2.2 последовательность д = {4} является элементом пространства ^(Л,Е(©(Л)). Выше отмечалось, что множество Е лежит в области Е(©(Л)). Поэтому один из компактов Кр последовательности К(Е(©(Л)) содержит точку г в своей внутренности. Согласно определению пространства ^(Л,Е(©(Л)) для некоторого С > 0 верно неравенство

|41 ^ С ехр(-Я^р (Лк)), к = 1, 2,... (4.3)

Фиксируем произвольную точку £ Е ©(Л). Согласно определению величины Л,(д, £) найдем подпоследовательность {к(^')} такую, что Л^(^)/1Л^(^) | сходится к точке £ и

1- 1п(1/|дк(3)|)

Мд,£) = 11т ----гг----,--.

3^~ 1Лк(з')1

Отсюда, с учетом (4.3), положительной однородности и непрерывности опорной функции компакта получаем

,, ^ 1- 1п(1/С ехР( —(Лк(з)))) = 1. (Ч1/С) + (Лк(3))) =

'Цл, £) — 1-т | Л | пш . .

3^~ |Лк(3)1 3^~ 1 Лк(3)1

Поскольку точка г лежит внутри компакта Кр, то верно неравенство Яе(г£) < Нк (£). Следовательно, в силу предыдущего неравенства имеем: Яе(г£) < Л,(д, Л). Напомним, что £ — произвольная точка множества ©(Л). Поэтому согласно своему определению область Д(д, Л) содержит г. Теорема доказана.

Замечание. Формула, определяющая величину h(d, Л) как частные случаи содержит в себе соответствующие формулы для рядов экспоненциальных мономов, рядов экспонент и формулу Коши-Адамара для степенных рядов. В частном случае для ряда ^ dk exp^z) имеем формулу

h(d, 1) = lim —( /\ кВ = lim (— ln k\dk\).

к^-те к к^-те

Делая преобразование w = exp z, переводящее этот ряд в степенной ряд, получаем следующую формулу для радиуса сходимости последнего

R = exp h(d, 1) = lim — --.

к^те у\dk\

Таким образом, мы получили формулу Коши-Адамара для степенных рядов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кривошеев А.С. Почти экспоненциальный базис // Уфимский математический журнал. 2010. Т. 2. № 1. С. 87-96.

2. Кривошеев А.С. Фундаментальный принцип для инвариантных подпространств в выпуклых областях // Известия РАН. Серия матем. 2004. Т. 68, № 2. С. 71-136.

3. Кривошеева О.А.Область сходимости рядов экспоненциальных мономов // Уфимский математический журнал. 2011. Т. 3. № 2. С. 43-56.

4. Кривошеев А.С. Почти экспоненциальная последовательность экспоненциальных многочленов // Уфимский математический журнал. 2012. Т. 4. № 1. С. 88-106.

5. Кривошеев А.С. Базисы „по относительно малым группам11 // Уфимский математический журнал. 2010. Т. 2. № 2. С. 67-89.

Олеся Александровна Кривошеева,

Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32,

450074, г. Уфа, Россия

E-mail: [email protected]