Построение базиса в одном пространстве ультрадифференцируемых функций с компактными носителями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

ПОСТРОЕНИЕ БАЗИСА В ОДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ УЛЬТРАДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ С КОМПАКТНЫМИ НОСИТЕЛЯМИ

© 2008 г Ф.И. Никишин

Южный федеральный университет, Southern Federal University,

344090, Ростов н/Д, ул. Мильчакова 8а, 344090, Russia, Rostov-on-Don, Milchakov str. 8a,

[email protected] [email protected]

Рассматривается пространство ультрадифференцируемых функций D^ [—1;1], определяемое весовой функциональной

последовательностью Q . Получены достаточные условия на вес Q , обеспечивающие абсолютную базисность в этом пространстве системы функций {AK(?g(yx))}™=0 , где hn(x), п > 0, - функции Эрмита.

Ключевые слова: ультрадифференцируемые функции, абсолютный базис, функции Эрмита.

The paper studies the problem of constructing absolute basis in a space of ultradifferentiable functions with compact supports. This space is determined by weight functional sequence. It is proved that for weight sequences of special type one can construct the special absolute basis.

Keywords: Ultra-differentiated functions, Absolute basis, Hermit's functions.

В 1961 г. Б.С. Митягин [1] в числе многих других результатов доказал базисность системы функций {/*„(/&(■§■ х))К?=о в пространстве С0°°[-1;1], где

hjx)--

(-1)" *-( -S

Î2

(n)

n > 0, - система функ-

ций Эрмита. Рассуждения, проводившиеся Митяги-ным, можно разбить на два этапа. Во-первых, получено утверждение об изоморфности С"[-1;1] пространству быстро убывающих функций S. Во-вторых, доказана базисность функций Эрмита в S. Цель данной работы - найти достаточные условия на вес, при выполнении которых аналоги результатов Митягина сохраняются для пространств ультрадифференцируе-мых функций в модифицированном подходе Берлин-га-Бьорка.

Пусть со : [0; со) —» [0; оо) - непрерывная неубывающая функция, удовлетворяющая условиям:

(а)ЗК > 11 co(2t) < К( 1 + co(t)\ t > О ; (б) < оо ;

1 t

(в) lim ^ттг = 0 ; (г) <P(t) ) - выпуклая на [0; со).

Такая функция со называется весовой или просто весом. Примеры весов можно найти в [2]. Всюду далее, не нарушая общности рассуждений, мы будем предполагать, что оА1) - 0 при t <= [0;1].

Набор весов Q. = {со р}™=1 будем называть весовой

последовательностью, если выполняется условие

Ур е N3Cp | сор(х) + 1п(1 + х) < <яр+1 (х) + С р , х>0. (1)

Для каждой функции <р (t) := со (е* ) определим

ее сопряженную по Юнгу ср*р : [0;со) —> Я ;

ср*р(х) \= - сррЦ)). Отметим, что <р*р не убывает

г>о

на [0;оо). Справедливо равенство <р*р = <р р ; при всех а > 1 имеет место неравенство <рр (ах) > а<р"р (х). х > 0.

Далее будем рассматривать следующие пространства ультрадифференцируемых функций:

АтНД] = (/ е С°°[-1;1] | /(к\±\) = 0,к > 0 ;

и\/р <=N\\ f^p.= sup sup I (х) I е

j>0 |х|<1

S^W^feCmVpeN-,

-<Pp(j)

<оо};

\f\p:= sup sup sup(1+lxl)-7 | /<*>(x) | е-""' <«}.

j>0 0<k< j x<eR

В каждом из них соответствующим набором преднорм ■ или ■( р s \') задается топология

пространства Фреше.

Основной результат данной работы состоит в следующем.

Теорема 1. Пусть весовая последовательность Q = ! а) р I гр | удовлетворяет условию

VpeN3q<=N3Cp >0 , а>р(х2)<a>q(x) + Cр , х>0. (2).

Тогда система функций {hn(tg(^x))}„=0 образует

абсолютный базис в пространстве 1;1].

Подробное обоснование данного утверждения весьма громоздко, поэтому опустим ряд технических деталей и сосредоточимся на основных идеях. Отметим лишь, что в приведенных ниже рассуждениях важную роль играют следующие соотношения. Во-

-<PpU)

первых, из условия (б) в определении весовой функции вытекает, что для любого веса О) найдется постоянная С >0 такая, что

О) '

xlnf <<р\х) + Са, х>1. (3)

Во-вторых, условие (2) можно записать в эквивалентной форме: Ур <= ЛЯ с/ е N30 > 01,

<р*р{х)><р*ч{2х)-Ср,х>0. (4)

Наконец, в-третьих, при выполнении условия (2) в пространстве Л'|;ч>:1 можно ввести новую систему пред-

норм \f\p:=sup sup

j>0 о<k,l<j

-<Рп( ])

е

IIх1/(к)(х)\2 ах

р> 1, эквивалентную исходному набору.

Перейдем непосредственно к схеме доказательства теоремы 1.

Доказательство. 1. Топологический изоморфизм пространств Зф) и ¡\<_>)\ — 1 ;11 реализуется оператором Т:0(П)[-1Л]^8(П), (^)(х) = /(^агс/£х).

Строгое обоснование этого факта заключается в воспроизведении доказательства изоморфизма классических пространств 1;1] и 5" с учетом специфики ультрадифференцируемого случая.

2. Докажем базисность функций Эрмита в пространстве . Ключевой момент в рассуждении -

получение оценок сверху норм элементов предполагаемого базиса и сопряженных норм коэффициентных

функционалов (рп (/) = | / (х)Ип (х)с?х. Получение

к

данных оценок основано на приведенных ниже рекуррентных соотношениях [3]:

5вдое из них - либо Ьг С 0<г,д<п + к + 1, либо

С2 ' либ° О»

0<т<п+к + 1, О 0 < р < к , с коэф-

фициентом, по модулю не превосходящим С +1 х

+ ^ +1 3' Ц +1У . Поскольку система

функций Эрмита ортонормирована в пространстве Х2 К ^, сложности возникают лишь при интегрировании слагаемых 2-го и 3-го типов.

Рассмотрим сначала \ (ххЬ^/1' (х))2 с/х. Применяя к

я

-1/4

функции к0 (х) = к ехр(-х / 2) формулу Фа-ди-Бруно многократного дифференцирования сложной функции [4], имеем

xsh(p\x) = ^xs X

P-

-(-l)kl(-\)k2xkle~ 2

У* к1+2к2=р кг\к2\

(суммирование ведется по всем целым неотрицательным решениям уравнения кх +2к2 = р). Отсюда

х2

\+\х\к1+2к2=рку\к2\ Определив максимальное на К значение функции

| х | 1 ехр(-х / 2) и приняв во внимание неравенство X

кг+2к2=р ! к2!

,2 2j+l

1 2

— < е , последнюю оценку можно про-

( 1 2е

должить | х'^клр> (х) |<-у'!(2у' + 1) 2 . Но тогда

1+1*1

я

Далее, рассматривая слагаемые 3-го типа, с помощью интегрального неравенства Гельдера и предыдущей оценки получаем 11 х

'к ( р)( х)кт (х) | йх<

К

Г —

<2у12е

./1(2/ +1) 2 . В итоге, несколько огрубляя приведённые выше оценки, имеем

^¡\х1к(пк)(х)\2 ахj <4е216;(« + 1);0+1)3; .

В таком случае при всех р е N | кп \< 4е28ирехр(/1п16 + у1п(п +1) +

A) кп(х) = -^4пкп_ 1 (х)-1 (х), п> 1;

B) хкп(х) = -^4пкп_ 1 (х) +1 (х), п> 1;

C) Н'п(х) = 2пН„_1(х), п> 1;

Нп (х) = (-1)" е*2 (е~*2 )(й) - многочлен Эрмита.

Предложение 1. Пусть О - весовая последовательность, подчиненная условию (2). Тогда

Мр&ШСр >№т&ТЯ\\Ьп \р<СреС0*"(п), п> 0. (5)

Доказательство. Получим сначала аналогичную оценку сверху для эквивалентного набора преднорм {| ■ \р}Р=!. Из соотношений А) и В) вытекает, что выражение х1кП1к'1 (х) представляет собой сумму не более

чем 2Ы слагаемых, каждое из которых - либо функция Эрмита с индексом от 0 до п+к+1, либо

х*к(0р)(х), 0<5</, 0<р<к, с коэффициентом, по

модулю не превосходящим % + % + В

результате возведения х1 И'пк' во 2-ю степень получаем сумму не более чем \<+1 ^ < 42' слагаемых. Ка-

j* о

+3jino+i)-^;o)). (6)

Оценим сверху конструкцию в правой части (6). В силу (3) для yln(/ + l) справедлива оценка

3jln(j +1) < 3 j + 3cp*q (2 j) + Aq , j > 0, где q е N -произвольное натуральное число; Aq - некоторая вещественная постоянная, зависящая лишь от q. Тогда jIn 16 + j In(« +1) + 3 j In(j +1 )-<p*p (j) < < 2j ln(16e3 (n +1)) + 3<p*q (2j) - <p*p (J) + Aq .

2

X

Далее, трижды применяя к <р*р условие (4), получаем, что существуют s <=N и постоянная Вр > 0, такие, что ср*р (/) > ср* (8 / ) - В . Но тогда, выбирая q,

равным s , и учитывая свойства cp*s, приходим к следующей цепочке неравенств:

./In 16 + ./ In (и +1) + 3 j In (j +1 )-<p'p(j)<

< 2 j ln(16e3 (n +1)) - £ (2 j) + As+Bp <

< sup (x ln(l 6e3 (w +1)) - (pi (x)) + As+Bp =

x>0

срп (/) = /У(х)Л„ (х)с1х можно переписать в виде

я

9п (/) = ««I(/(*) ехр(-х2 ))Я„ (х)<Ух, где

к

ап = (2 Пп\ , а Н п (х) — п -й многочлен Эрмита.

Из С) вытекает, что одной из первообразных для Нп(х) на Я является функция 2(^+Г)Нп+1(х). Поэтому, применяя у -кратно формулу интегрирования по частям, получаем

<Рп (/) = ап

ei)j

= a>s{\6ei{n + \)) + As+Bv.

2j (n + 1)...(n + j) R

\\f ( x)e

-x 12

(j)

Hn+j (x)dx.

Формула Лейбница для дифференцирования про-

[ которых для многократного дифференцирования сложной нкции ех

<P„(f) = -

функции ехр(-х / 2) приводят к равенству

(-1У

42](n + \)...(n + j) 1

j!

! х

Итак, мы показали, что существуют номер \еЛ' и изведения двух функций и формула Фа-ди-Бруно [4] постоянная Б > О, зависящие липп> от р, для ] при всех j>0 справедливо следующее неравенство: /1п 16+ /1п(/7 + 1) +3/ 1п( / +\)-<р*р(у) < < ю!,(16е3(п + 1У) + Ор .

Далее, учитывая неубывание сох и применяя условие (2), мы убеждаемся в том, что существуют номер т е N и постоянная Ер > 0 , зависящие лишь от р,

для которых выполняется оценка

Rk=0«! kl+2k2=j-k K-i'-К2

k! ^ -^(x)dx.

Но тогда при любом qeN \cpn(f)\<n jl2ß

j 1

,/ln 16 + ./ ln(« +1) + 3 j In (J +1 )-<p*p (j) < o)m (n) + Ep . Отсюда, очевидно, вытекает, что

Ур е AGC > 03»? е N |, \hn\< Срет™(п), п > 0 .

iZ-(^|x|) j+1|f(k '(х)|

Rk=0 k!

1

1

k1+2k2 - j—k k1!k2! ^ | x |

| j(x)| dx<

Эквивалентность наборов преднорм {|-L}p=1 и <n -j/2ß\\f\\q exP(<?^О + 1))е3 j"—j—г I hn+j (x) I dx.

\р> р=

{| • | }Р=1 гарантирует выполнение неравенства (5).

Предложение 2. Справедливы следующие утвер ждения:

1) для любого п> 0 функционал <р„(/) - \ / (х)1гп(х)с1х, линеен и непрерывен;

п ' S(Sl) * С >

Сомножитель у! можно оценить сверху с помощью неравенства (3). Также необходимо учесть, что |р*ч (у +1) < <р* (2у), у > 1. Наконец, оценку сверху ин-

теграла можно получить с помощью неравенства

Гёльдера. Объединяя все сказанное, легко убедиться в

том, что существует константа /1у > 0 такая, что при

2) система {/г„,<г>„}Г-п биортогональна, т.е. .. ,. „„

/ < » > п~и г ' всех J >о справедливо неравенство

п / п—О

<р„ф„) = 1 при всех п > 0 и (рп(Ик) = 0 при пфк\

3) последовательность {српУ„тотальна на • т.е. справедлива импликация: если / е Sí(1¡ и

Фп(/) = 0 ПР11 всех «>0,то / = 0 .

Доказательство. Линейность и непрерывность очевидны. Биортогональность системы {Ьп,<рп}^=0 -

известный факт (см. [3]). Тотальность \(рп\'п о вытекает из полноты функций Эрмита в пространстве

ь2(Ю ■

Предложение 3. Пусть О - весовая последовательность, удовлетворяющая условию (2). Тогда

| срп (/) |< Ад е?ф (/' - у 1п 4п + 2(р*д (2у)) 11 /\\д. Отсюда

| срп \_д<Ад е?ф (/' - у 1п 4п + 2ср* (2у)), у > 0. (8) Минимизируем по у > 0 вьфажение в правой части последнего неравенства:

т^-у1п(и1/2е-1) + 2^(2у)) =

j2 0

V9eiV3C? >0||ри \_q<Cq4nехр(-2ю?(е ^w®)) и> 0,

где |_r=sup{| ^й(/)|:|/|?<1,/е5(П)}. Доказательство. Выражение

(7)

= -2 sup (2([x^1)ln(n1/8^1/4^

-^(2[х]))+1п(«1/2е-1)< < —2sup (2xln(n1/8^1/4)-

-^(2х)) + 1п(и1/2е-1)<

^^(/i^V^^ + ln^'V1).

В итоге, учитывая неравенство (8), приходим к оценке (7).

x> O.^R

Перейдем теперь непосредственно к доказательству базисности функций Эрмита в : докажем, что

при выполнении условия (2) любая функция / е

представима (и при том единственным образом) в виде абсолютно сходящегося по топологии ряда

X/пкп , где /п - определяемые функцией / ком-

п=о

плексные коэффициенты.

Выберем произвольное число р е N и оценим сверху выражение | <р„(/) || Ип | . Отметим вначале,

ЧТО I <Р„ СО 1=1 /\Ч\<Рп (щ) М /\ч\<Рп \-д при любом д е N, а значит,

у^лп^сп\\к \р<\<рп \-я\к \р\лд.

Из предложений 1 и 3 вытекает, что найдутся числа те И, Ар> О и Вд> О такие, что при всех

п > О справедливо неравенство | <рп{/) \\Ип\р< <АрВч |/|, ехр(®т («) + 1п(1 + «) - 2®, («1/8е~1/4)).

Учитывая свойства веса сот (неубывание и выполнение условия (в)), а также неоднократно применяя к сот(п) условие (2), получаем, что найдутся натуральное число 5 и константа Ит > О , такие, что при всех натуральных п , начиная с некоторого п (зависящего лишь от т ), предыдущую оценку можно продолжить: \<рп(/)\\Ип\р<

<АрВчОп |/|, ехр(§т,(пше-1/4)-2фд(пше-1/4)).

Всюду в этих рассуждениях д - произвольное число. Выбрав конкретное значение <г/ = .V. убеждаемся в том, что существуют натуральное число п и постоянная С > О, зависящие лишь от р, такие, что при всех п>п0 справедлива оценка:

| <рп(Л II К Iр<Ср | /|, ехр(-^,(«1/8е-1/4)).

Из условия (в) в определении весовой функции вытекает, что последнее неравенство, а также полнота пространства обеспечивают абсолютную

СХОДИМОСТЬ ряда (/)/*„ по топологии к

п-0

некоторой функции g.

Совпадение g с / и единственность подобного представления функции / в виде ряда вытекают из

биортогональности системы {кп, срп }™=0 и тотальности последовательности функционалов \срп на пространстве .

3. Остаётся отметить, что базисность \hn(x)\'п_{] в и изоморфизм = Z)(n)[-l;l], реализуемый оператором T, обеспечивают базисность в Цо;,Н:1| системы функций {h„(tg(fx))}^0.

Замечание. Если весовая последовательность Q состоит из элементов вида а>р = рсо, где со - некоторый вес, то пространство Z)(Q)[-1;1] описывается в

рамках стандартного подхода Берлинга-Бьорка. Подчёркивая тот факт, что это пространство определяется, по сути, одной весовой функцией со, большинство авторов [2, 5] обозначают его символом £>(й))[-1;1]. Условие (2) при этом приобретает вид

ВС > О1 ®(х2) < C(ü)(x) +1), х > 0, (9)

что согласуется с результатами [6]. Известны весовые функции как подчиненные условию (9) (например, co(t) = (1п(1 + /))а, сс> 1), так и не удовлетворяющие ему (например, «(/) = . О < ß < 1 ). Для пространств такого типа У. Франкен [5], подчинив вес со менее жёсткому ограничению на рост, нежели (2), доказал более сильное утверждение о существовании базиса. Необходимо отметить, что рассуждения Франкена неконструктивны: они позволяют установить наличие базиса в пространстве, однако выписать элементы, составляющие базис, не удаётся.

Литература

1. Митягин Б.С. Аппроксимативная размерность и базисы в ядерных пространствах // УМН. 1961. Т. 16. Вып. 4. № 100. С. 63-132.

2. Braun R. W., Meise R., Taylor B. A. Ultradifferentiable functions and Fourier analysis // Result. Math. 1990. Vol. 17. P. 206-237.

3. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М., 1979.

4. Зобин Н.М., Крейн С.Г. Математический анализ гладких функций. Воронеж, 1978.

5. Franken U. Continuous linear extension of ultradifferentiable functions of Beurling type // Math. Nachr. 1993. Vol. 164. P. 119-123.

6. Абанин А.В., Никишин Ф.И. Базисы в пространствах ультрадифференцируемых функций типа Берлинга // Тр. участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Абрау-Дюрсо, 5-11 сентября 2004 г. Ростов н/Д, 2004.

Поступила в редакцию

11 октября 2007 г.