Теорема деления в некоторых весовых пространствах целых функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2010, Том 12, Выпуск 3, С. 3-20

УДК 517.547.2+517.982

ТЕОРЕМА ДЕЛЕНИЯ В НЕКОТОРЫХ ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ

А. В. Абанин, Д. А. Абанина

Рассматриваются весовые пространства целых функций, двойственные пространствам ультрадиф-ференцируемых функций Берлинга нормального типа. Основной результат — теорема деления, в которой полностью характеризуются все делители данных пространств. В качестве приложения установлен критерий разрешимости уравнений свертки в классах Берлинга нормального типа.

Ключевые слова: оператор умножения, теорема деления, ультрадифференцируемые функции, оператор свертки.

Введение

Решая задачу о разрешимости уравнений свертки в пространстве всех бесконечно дифференцируемых функций, Л. Эренпрайс [1] установил критерий замкнутости образа оператора умножения на фиксированную функцию (главного идеала) для алгебры целых функций /, рост которых на бесконечности ограничен весом ехрп(11т г\ +1п(1 + \г\)) при некотором п = п(/) £ N. Р. Майзе, Б. А. Тейлор и Д. Фогт [2] распространили этот результат на случай пространств ультрадифференцируемых функций Берлинга минимального типа и соответствующую алгебру А(Ш)(С), задаваемую весами ехрп(| 1тх\ + ш(\г\)), где ш — весовая в смысле [3] функция. З. Момм [4] установил критерий замкнутости главных идеалов для весовых алгебр более общего, чем в [2], вида, когда от ш не требуется неквазианалитичность, а 11тх\ заменяется на у(| 1тг|), где V — выпуклая на [0, то) функция, для которой ш(Ь) = о^(Ь)) при Ь ^ то.

Как и во многих других случаях (см., например, [5-7]), во всех упомянутых работах было установлено, что замкнутость образа оператора умножения на данную функцию у эквивалентна выполнению для у теоремы деления. Таким образом, в [1, 2, 4] фактически были получены критерии того, что фиксированная функция у из рассматриваемой алгебры А является делителем А.

В настоящей работе задача описания делителей изучается для пространств целых функций И(-ш)(С), двойственных пространствам ультрадифференцируемых функций Берлинга нормального типа. Они задаются весами вида ехр(п\ 1т х\ + дпш(\г\)), где дп | 1. В отличие от [2] рассматриваются как неквазианалитические, так и квазианалитические веса ш. Принципиально новым моментом по сравнению с [1, 2, 4] является то, что И^) (С) не является алгеброй. В связи с этим сначала дается описание всех мультипликаторов пространства И(ш)(С). Затем формулируется основной результат работы — теорема 2, в которой полностью характеризуются делители пространства И^-ДС). Доказательство теоремы 2 проводится поэтапно в третьем параграфе. Заключительная часть

© 2010 Абанин А. В., Абанина Д. А.

работы посвящена приложениям доказанной теоремы к разрешимости уравнений свертки в пространстве E(1^(R).

1. Пространства целых функций и их мультипликаторы

Всюду далее вес ш — это непрерывная неубывающая функция ш : [0, то) ^ [0, то), удовлетворяющая условиям:

(a) w(2i) = O(w(i)), t ^ то; (а') u(t) = O(t), t ^ то;

(Y) ln t = o(w(t)), t ^ то; (¿) (x) := ш(ех) выпукла на [0, то).

Если дополнительно известно, что

сс

(в) / Щг dt< то, 1

то вес ш называется неквазианалитическим; в противном случае — квазианалитическим. Без ограничения общности считаем, что ш(1) = 0.

Отметим нужные для дальнейшего изложения свойства весовых функций. Из (а') с учетом ш(1) = 0 вытекает, что при некотором A > 0

ш^) < At, t ^ 0. (1)

В [8, неравенство (5)] доказано, что при том же A

ш^ + 1) - шф < Ae2, t ^ 0. (2)

Условие (а), очевидно, эквивалентно тому, что при некотором К > 0

ш(ж + у) < К(ш(ж) + ш(у) + 1), ж, у ^ 0. (3)

Наконец, как известно [2, лемма 1.10; 9, лемма 2.2],

lim lim sup ш(Г^) = 1. (4)

r^1+0 t^c ш(t)

Обозначим ш(я) := ш(|г|), z G C. Для положительных чисел q и l определим банахово пространство целых функций

H ,q,i := J f G H(C) : ||/||ш ,,,г := sup-( ^-¡у < то 1

[ zee exp (^(z) +1| Im z|) J

и положим

H(l)(C):= U U Hu,9)i(C)= U H^,,n>ra(C),

qe(0,i) ie(0,c) neN

где qn t 1. Будем рассматривать пространство H1^ (C) с его естественной топологией внутреннего индуктивного предела ind H^q„n(C).

n '

Основная цель настоящего параграфа — дать описание всех мультипликаторов пространства H1aj)(C). Напомним, что целая функция ß называется мультипликатором H(1^)(C), есл/ß ■ H^C) С H(1^)(C), где ß ■ Hj^C) := {ßf : f G H^C)}. Заметим, что каждый такой мультипликатор является непрерывным, т. е. соответствующий ему

оператор умножения Л^ : f ^ yf действует из Н^^С) в Н^^С) непрерывно. В самом деле, топология Н^^С), очевидно, мажорирует топологию поточечной сходимости в С. Поэтому Н^- (С) отделимо и, значит, является отделимым ультраборнологическим пространством (пространством типа (в) в терминологии Д. А. Райкова [10, приложение 1, с. 225]). Одновременно оно относится к классу UF отделимых локально выпуклых пространств, покрываемых счетным числом своих подпространств Фреше. В соответствии с известным результатом А. Гротендика [10, приложение 1, теорема 2]) для пространств этого класса справедлива теорема о замкнутом графике. Из сказанного, как отмечено в [11, §2], следует непрерывность произвольного мультипликатора Н^^С). Это обстоятельство позволяет нам применить общие результаты Ю. Ф. Коробейника из [12] об описании непрерывных мультипликаторов внутренних индуктивных пределов весовых нормированных пространств.

Теорема 1. Множество всех мультипликаторов пространства Н^- (С) совпадает с пространством целых функций

М^С) := П U (С) = {У G Н(С) : (Vе > 0) (3l G N) ||у||ш>е>г < то}.

е>о гем

< Положим fn(z) := exp(qnw(z)+n| Imz|), n G N, и обозначим через 5Н(С) множество всех субгармонических в С функций. Из условия ($) на вес ш следует, что w(z) G 5Н(С). Так как функция | Imz| также субгармонична в С, то ln fn G 5Н(С) при любом n G N.

В силу (2),

/П(z) := sup fn(z + w) = exp sup (qnw(|z + w|) + n| Im(z + w)|)

^ exp (qn^(|z| + 1) + n(| Im z| + 1)) ^ exp (qn(w(z) + Ae2) + n(| Im z| + 1)) = СП fn(z), где Cn := exp (qnAe2 + n). А из (7) вытекает, что при некоторых постоянных С2 > 0

(1 + |z|2)2 < Cn exp (qn+i - Qn) w(z), z G С.

Поэтому

(1 + |z|2)2fn(z) < Cn Cn fn+i (z), z G С, n G N.

Таким образом, для весовой последовательности (fnвыполнены все условия предложения 5 из [12]. Применив его вместе с предложением 3 из [12], получим, что множеством всех (непрерывных) мультипликаторов пространства Н1ш-(С) является

у G Н(С) : (Vn) (3 m) sup M^f"^ < то

zee Jm(z)

которое, как нетрудно видеть, совпадает с М^-ДС). >

В заключение текущего параграфа приведем техническую лемму, которая будет использоваться в последующем изложении.

Лемма 1. В определении пространств Н1ш-(С) и М^-ДС) можно заменить w(z) на w(Re z).

< В случае М^-ДС) утверждение леммы легко получается из неравенств (1) и (3), поскольку при любых е, l G (0, то) и всех z G С

ew(Rez) + l| Imz| ^ ew(z) + l| Imz| ^ еш(| Rez| + | Im z|) + l| Imz| ^ eK(w(Re z) + w(Im z) + 1) + l| Imz| ^ eKw(Re z) + (eKA + l)| Im z| + eK.

В случае Н^-ДС) придется еще воспользоваться равенством (4) и рассмотреть отдельно две ситуации. Зафиксируем s и s': 0 < s < s' < 1 и l > 0. В силу (4) существует такое 5 > 0, что

(1 + 5)t) < s' lim sup —-—^—- < —.

t^^ w(t) s

Значит, найдется C > 0 такое, что

s'

(1 + 5)t) < -w(t) + C, t ^ 0.

Тогда, если z € С таково, что | Imz| ^ 5| Re z|, то

sw(z) + 1| Im z| ^ sw(| Re z| + | Im z|) + 1| Imz| < sw((1 + 5) Rez) + 1| Imz| < s'w(Rez) + 1| Imz| + C.

Если же | Imz| > 5| Rez|, то, воспользовавшись (1), получим:

sw(z) + 1| Imz| ^ sA|z| + 1| Imz|

Г

^ вА(| Яе+ 11т+ 1| 1тг| ^ 1 + 1) + 11т

Таким образом, при всех z £ С

вш^) + 1| 1тz| ^ в'и(Яеz) + ^вА ^ 1 + ^ + ^ 11тz| + С.

Отсюда и из очевидного неравенства ш(И,е z) ^ и^) следует требуемое утверждение для Н(Ы)(С)- >

2. Делители пространства Н*Ш)(С)

Делителем пространства Н1^ (С) называется такой его нетривиальный мультипликатор для которого справедлива теорема деления:

/ £ Н^С), 1 £ Н(С) ^ £ £ 4,)(С).

Сформулируем критерий, содержащий полное описание делителей пространства Н(1)(С)-

Теорема 2. Пусть и — весовая функция, а ^ — нетривиальный мультипликатор пространства Н(ш)(С). Следующие условия эквивалентны: (г) ^ — делитель Н(ш)(С);

(гг) образ оператора умножения А^ : Н(ш)(С) ^ Н(ш)(С) замкнут в Н(ш) (С); (ггг) (Vе > 0) (V5 > 0) (3 го > 0) (Vж £ Ж, |ж| ^ го) (3 ш £ С) :

|ш - ж| ^ 5и(ж), |^(ш)| ^ в-еш(ад);

(ги) (Vе > 0) (V5 > 0) (3 го > 0) (3 С > 0) (Vж £ Ж, |ж| ^ го) (3 г £ Ж, |г| > |ж|) :

|г - ж| ^ 5и(ж), |^(г)| ^ Св-еш(*);

(V) (Vе > 0) (3 5е > 0) (V5 € (0,5е)) (3 го > 0) (3 Ь > 0) (3 с > 0) (Vг € С, |г| ^ го) найдется окружность Сх, содержащая точку г внутри себя и обладающая следующими свойствами:

(а) если 11т г| ^ 5ш(Ие г), то для всех ( € С

| Ие( - Кег| < 65ш(Иег), 11т(| ^ 65ш(Иег), |у(()| ^ се-еш(Кес);

(б) если 11тг| > 5ш(Ие г), то для всех ( € С

| Ие( - Иег| ^ 11тг|, 11т( - 1тг| ^ 11тг|, |у(()| ^ се-Ь| 1тс|.

Таким образом, для пространства Н(ш)(С) замкнутость образа оператора умножения на мультипликатор у эквивалентна выполнению для у теоремы деления (при этом существенной является справедливость импликации (гг) ^ (г), поскольку утверждение (г) ^ (гг) носит общий характер). Условие (ш) означает, что вблизи каждой достаточно большой по модулю вещественной точки найдется близкая относительно веса ш точка ад комплексной плоскости, в которой делитель у имеет оценку снизу, в определенном смысле мало отличающуюся от оценки у сверху как мультипликатора. В условии (¿V), занимающем в теореме 2 центральное место, утверждается, что точка ад может быть выбрана вещественной. В свою очередь, условие (V) говорит о том, что каждую точку плоскости можно окружить целой окружностью малого относительно весов д„ш(г) + п| 1т г| радиуса, на которой выполняется нужная для справедливости теоремы деления оценка снизу для у.

3. Доказательство основного результата

В данном параграфе проводится доказательство теоремы 2. Ввиду технической сложности оно разбито на отдельные леммы, часть из которых представляет самостоятельный интерес.

Как уже отмечалось выше, утверждение (г) ^ (гг) в теореме 2 следует из общих соображений и, как известно, справедливо для нетривиальных мультипликаторов произвольного локально выпуклого пространства целых функций, топология которого мажорирует топологию равномерной сходимости на компактах С.

Чтобы доказать справедливость импликации (гг) ^ (ггг), сначала устанавливается функциональный критерий замкнутости образа оператора умножения на нетривиальный мультипликатор пространства Н1ш)(С). Затем по субгармонической функции 11тг| и произвольному кругу с помощью процедуры выметания масс строится новая

субгармоническая функция, которая совпадает с 11т г| вне этого круга и имеет максимально возможное значение в его центре г = а. Это позволяет воспользоваться методом, предложенным для доказательства подобных импликаций О. В. Епифановым [6] и В. А. Ткаченко [7], а также результатами А. В. Абанина из [13, 14] о существовании специальных семейств целых функций с заданными значениями в фиксированных точках и равномерными оценками во всей плоскости.

Лемма 2. Пусть ш — весовая функция и у — фиксированный нетривиальный мультипликатор из М1ш)(С). Следующие условия эквивалентны:

(г*) образ оператора : Н*^ (С) ^ Н(-ш)(С) замкнут в Н(-ш)(С);

(^2) Л^ : Н1ш)(С) ^ Н1ш)(С) — топологический изоморфизм «в»;

(¿э) если семейство В С Я^^С) таково, что множество ц • В содержится и ограничено в некотором НШЛп,П(С), то найдется т £ N такое, что В содержится и ограничено в Нш,дт,т(С);

(¿4) для каждого п £ N существуют т £ N и С > 0 такие, что при всех / £ Н^-ДС) вир , |/(г)| , „ < Свир Ш(г) /(г)|

zee exp (qmw(z) + m| Imz|) ^ zee exp (q„w(z) + n| Im z|)'

< (¿1) ^ (¿2)- Из теоремы единственности для аналитических функций следует, что оператор Л^ : Я^^С) — Я^^С) инъективен. Далее, так как

qnw(z) + n| Im z|

Qn+iw(z) + (n + 1)| Imz|

— 0, z —► то,

то Я1^ (С) относится к классу (БЕЯ) локально выпуклых пространств (по поводу (БРЯ)-пространств см. обзор В. В. Жаринова [15]; в терминологии работы [16] их называют (ЬК*)-пространствами). Если Л^(Я^-ДС)) — замкнутое подпространство в Я1^(С), то, как известно [17, теорема 4], оно само будет (БРЯ)-пространством, а следовательно, и отделимым ультраборнологическим пространством. Тогда по теореме А. Гротендика [10, приложение 1, теорема 2] отображение Л^ : Я^-ДС) ^ Я^-ДС)) открыто. Из сказанного заключаем, что Л^ : Я1ш-(С) ^ Я^^С) — топологический изоморфизм «в».

Импликация (¿2) ^ (¿1) тривиальна.

(¿2) ^ (¿3). Пусть Л^ : Я 1ш)(С) ^ Я^^С) — топологический изоморфизм «в». Тогда обратный оператор Л-1 : Л^ (Я^^С)) ^ Я^^С) непрерывен и, следовательно, переводит ограниченные множества в ограниченные. Поскольку Я1^ (С) — (БРЯ)-простран-ство, то в нем множество ограничено тогда и только тогда, когда оно содержится и ограничено в некотором ЯШ;дт;ТО(С). Отсюда легко получаем (¿3).

(¿э) ^ (¿2). Эта импликация стандартным образом вытекает из леммы А. Баернстей-на [18].

Остается заметить, что (¿4) — это лишь другая форма записи условия (¿3). >

Замечание. Из доказательства леммы 1 следует, что в лемме 2 можно всюду заменить ш(г) на ш(И,ег).

Лемма 3. Пусть и(г) := 11тг\, а £ Ж, К > 0 и Ка>д := {г £ С : \г - а\ < К}. Тогда функция и (г), определяемая равенством

U (z) =

u(z), |z — а| ^ R,

Д2-Г2 у u(a+Reie) dO z = a +

2п 0 R2+r2-2Rrcos (, 0 < r < R, p G [0, 2n),

непрерывна и субгармонична в С, гармонична в Ка>д и обладает следующими свойствами:

(а) и (а) = П К;

(б) и (а - г) = и (а + г) < | К при всех г £ (0, К); (с) и (г) ^ П2 К + \ 1т г\ для любых г £ Ка>д.

< Функция и (г) получена из субгармонической в С функции и(г) за счет выметания масс на границу круга Поэтому и (г) субгармонична в С и гармонична в . Равенство (а) получается прямым подсчетом из определения и (г):

2п 2П

и (а) = I I "т(а + Де") | « = £ /|зт «|« = 2 я.

2п У I2 2п ,/ п

оо

Докажем (6). Пусть г € (0,1). Легко видеть, что

и (а ± г) = 1-— 1п 1 + Г.

пг я — г

Отсюда, использовав, что 1п |++у < ^2—1 при всех £ > 1, получаем требуемое.

Чтобы доказать (с), заметим, что на окружности |г — а| = I выполняется равенство и (г) = 11т г|, а на интервале действительной оси (а — I, а + I) — неравенство (6). Следовательно, всюду на границе как верхнего, так и нижнего полукруга

2 2

и (г) I + 11т г| или и (г) -| 1т г| I. п п

Так как функция и (г) — 11т г| гармонична в обоих этих полукругах, то по принципу

максимума и (г) — 11т г| ^ П I всюду в >

Лемма 4. (гг) ^ (ш).

< Пусть оператор А^ : Н^С) ^ Н^^С) имеет замкнутый образ. Предположим, что условие (ш) не выполняется, т. е. что имеются числа ео,5о € (0,1) и последовательность (а^)|=1 вещественных чисел с |а^| | то такие, что для каждого Э € N

|у(ад)| < е-еош(ад) (ад € С, |ад — а,| < 5ош(а,)). (5)

Для определенности предположим, что а^ > 0 при всех Э € N. Будем считать, не

2А,

ограничивая общности, что 5о < , где постоянная А определяется условием (1), и что

ш(£) ео 11т вир —т^-т—) < 1 +--

ш(Л — ^ 2

(последнее возможно в силу (4)). Тогда существует такое ¿о > 0, что

ш(£)<(1+е°)^(1—^>¿о.

22

Проредим, если это необходимо, последовательность (а^и, не меняя обозначений, будем предполагать, что а* > ¿о и а^+1 > 3а^ (Э € N). Первое неравенство обеспечит то, что

5оАч 2 ) " \ \ ' 2

ш(а,-) < (1 + ео) ш((1 — Ъ) , э € N. (6)

а второе — то, что круги |ад — а-/| ^ 5ош(а^), Э € N, в которых имеется быстрое относительно ш убывание мультипликатора у (см. оценки (5)), не будут пересекаться. Действительно, так как 5о < 2А, то

а^+1 — 5ош(а^+1) — (а^ + 5ош(а^)) ^ — а^ — 5оА(а^+* + а^)

^ (а^+1 - а) — 2 (а+1 + а) =1 (а+1— 3а) >

1) Осуществляем процедуру выметания масс для субгармонической функции п(^) =

з = "2 ш(аз)

| Im z| и круга Ka. r , где Rj = w(aj). В результате, в соответствии с леммой 3,

получим функцию ^з, непрерывную и субгармоническую в С, гармоническую в Ки удовлетворяющую условиям:

п

^з(г) = — 11тесли — аз| ^ Щ; 00

из (аз) = ^(аз);

п 00

Тогда, так как в силу (6) при всех г £ С с — аз| < Щ

Uj(z) ^ w(aj) + 7- | Im z|, если |z — aj | < Rj.

(l + I) w(z) > (l + |) "(a,- — Rj) = (l + f) ш (a,- — I w(a,-))

2 / \ 2 / w J' \ 2 £o ) /Л ¿0A

т) П I1 — ^

то

^ (1 + ^) ш 1 — a, ^ w(a,),

Uj(z) < (1 + §) w(z) + ¿0 | Imz|, z G C. (7)

2) Использовав лемму 1 из [14] (она является уточнением леммы 4 из [13]), по субгармонической функции Uj (z) и точке aj построим целую функцию fj такую, что

fj (aj) = ехР Uj (aj) = exp w(aj); (8)

|fj (z)| < 1(1 + |z|2)2 exp Uj (z), z G C, (9)

где Uj (z) := sup Uj(z + w), а A — абсолютная постоянная, которая от j не зависит. НО

Заметим, что в силу условия (7) на вес ш найдется C > 0 такое, что

(1 + |z|2)2 < C exp w(z), z G C, (10)

и продолжим оценку (9) отдельно для z G Kajи z G Kaj ,2щ. Без ограничения общности будем далее предполагать, что Ri = I? w(ai) > 1. Тогда все Rj > 1 и, значит, Kaj,2щ содержит 1-расширение Kaj. .

а) Если |z — aj| ^ 2Rj, то для всех w с |w| ^ 1 точка z + w находится вне Kaj., так

что

Uj(z + w) = — | Im(z + w)| ^ — (| Imz| + 1) ¿0 ¿0

и, соответственно, Uj (z) ^ J? (| Im z| + 1). Подставляя эту оценку и (10) в (9), получаем, что

'eo , ч п 4 "(z) + ¿0

где Ci := A С exp J?.

б) В случае, когда |z — aj| < 2Rj, воспользуемся оценкой (7) и неравенством (2). Для w G C с |w| ^ 1 имеем:

п

2 1ш(г + w) + п

2У~х|~' 1 ~' 1 ¿0

. ¿01Imz| + (1 + f) Ae2 + ¿0.

|fj(z)| < Ci exp -0 w(z) + - | Imz| , |z — aj | ^ 2Rj, (11)

Uj(z + w) < (1 + eo) w(z + w) + ¿0 I Im(z + w)|

< (1 + w(|z| + 1) + ¿0 (| Im z| + 1) < (1 + I) W(z) + ¿01 Imz| + (1 + I) Ae2 + ¿0.

П

Возвращаясь к (9) и снова используя (10), получаем:

|/ (z)| < C2 exp( (1 + ^) w(z) + -П0 | Im z| ) , |z - a, | < 2Rj, (12)

где С2 := АСехр ((1 + 2) Ае2 + .

3) Покажем, что для семейства {/ : ] £ нарушается условие (¿3) критерия замкнутости в НШ)(С) образа 1т Л^ (см. лемму 2).

В первую очередь заметим, что из (11) следует, что / £ Н^-ДС) при всех ] £ N. Далее, в силу (8) для любого т £ N

/ И -8ир_/М!_> /'М

= ьир _____ ^ / Л _____л >

6C exp w(z) + m| Imz|) ^ exp w(aj) = exp((1 - qm) w(aj)) ^ +то, j ^ то.

Поэтому семейство {/ : j G N} не ограничено ни в одном (C)

/ : j G N}. Так как у G Mj^

Рассмотрим теперь семейство {у/ : j G N}. Так как у G Mi n (C), то найдутся C3 > 0

и no G N такие, что

|у(z)| ^ C3 exp ^-40 w(z) + n0| Imz|) , z G C.

Тогда с учетом (11)

|y(z)/(z)| ^ Ci C3 exp ^-2 w(z) + ^no + ^ | Imz|^ , |z - aj| ^ 2Rj = ¿ow(aj), а с учетом (5) и (12)

|y(z)fj(z)| < C2 ex^(1 - ^o) ^(z) + П | Imz|) , |z - aj| <^W(aj).

Выбрав номер n так, чтобы > 1 - ^j1 и n>no + Jj, получим отсюда, что при каждом j G N

|y(z)fj(z)| ^ Cexp (qnw(z) + n| Imz|), z G C,

где C := max{Ci Сз,С2}. Значит, семейство {у/j : j G N} ограничено в H^)gn;„(C).

Таким образом, не выполнено условие (¿3) леммы 2, что противоречит замкнутости ^ в Hf^C). >

Для доказательства следующих двух импликаций нам потребуется теорема об оценке снизу модуля аналитической в круге функции [19, гл. 1, теорема 11] в удобной для нас форме, приведенной в лемме 2 работы [4].

Лемма 5. Пусть 0 < r < R и a G C. Предположим, что функция F аналитична в круге |z - a| ^ 2eR и F(a) = 0. Тогда существует р с r < р < R такое, что

min |F(Z)| ^ |F(a)|H+i ( max |F(Z)f

где H := 2 + In (24e/ (1 - R)).

Лемма 6. (¿¿¿) ^ (iv).

< Пусть выполнено (ш). Зафиксируем е,0 £ (0,1) и возьмем какое-нибудь 7 £ (0, 8Кя), где константа К определяется условием (3), а Н := 3 + 1п48. Поскольку р £ М1ш)(С), то найдутся С > 0 и 1 > 0 такие, что

|р(,г)| < Се7ш(г)+г| 1т(г £ С). (13)

Далее, выберем положительные числа £1 и О1 так, чтобы

е . Г е 0 1 £1 < 7777-77, 01 < тш ■

4(H + 1)' \2H7(1 + 4e)' 3' 4eA

В силу (iii) для £i и найдется такое Го > 0, что, если x G R и |x| ^ Го, то имеется w G C, для которого

|w — x| < ¿iw(x), |p(w)| ^ e-£l^(w). (14)

Обозначим для удобства |w — x| =: Г, Г ^ ¿iw(x).

Применим к функции р лемму 5, взяв данное г, R = 2г и точку w в качестве а. Получим, что при некотором р, г < р < 2г,

min |р(()| ^ |p(w)|H+1( max |р(£)|'

|£—-ш|=4ег

Окружность |£ — = р пересекает действительную ось в двух точках. Обозначим большую из них по модулю через Ь. Тогда |Ь| > |ж|, так что г ^ О1 ш(ж) ^ (¿).

Покажем, что данная точка Ь является искомой. Действительно, первое из двух нужных в (¿V) неравенств уже выполнено:

|Ь — ж| ^ |Ь — + — ж| = р + г < 3г ^ 301ш(ж) < 0ш(ж).

Установим теперь второе неравенство. Имеем, что

/ \ —н

|р(Ь)| > |рИ|я+1( тах |р(е)|) . (15)

Из геометрических соображений ясно, что |ад| ^ |Ь|, так что ^ ш(Ь) и, соответствен-

но,

|р(ад)| ^ е-£1ш№. (16)

Далее, пусть £ таково, что — = 4ег. Имеем, что

|£| ^ N + |ш — £| = N +4ег ^ |Ь| + 4е^1^(Ь) ^ (1 + 4е01 А)|Ь| ^ 2|Ь|,

а 11т^ 11т+ 4ег ^ г + 4ег ^ (1 + 4е)01ш(Ь). Поэтому ^ 2Кш(Ь) + К, так что из (13) следует, что

|М0| < С1е(2К^+(1+4е)"11)-(^), где С1 := Се^7. Подставляя последнюю оценку и (16) в (15), заключаем, что

|М*)| ^ С2е-(£1 (Я+1)+2К7Я+(1+4е)51«Я)ш(*),

где С2 := С-Н. В силу выбора чисел £1, О1 и 7

ее е

£1(Н + 1) < 4, 2К7Н< 4, (1 + 4е)011Н< ^.

Поэтому |р(Ь)| ^ С2е-еш(*), что и требовалось. >

Следующий шаг — это доказательство импликации (¿у) ^ (у). Именно, произвольную точку г плоскости необходимо окружить окружностью, на которой у имеет подходящую оценку снизу. В отличие от [2] и [4] рассуждения приходится проводить по-разному, в зависимости от того, что имеет большее значение: ш(И,е г) или 11тг|.

Лемма 7. (¿V) ^ (у).

< Зафиксируем е > 0. Пусть, как и выше, Н := 3 + 1п48, а константы А и К определяются условиями (1) и (3). Возьмем 7 так, чтобы 0 < 7 < 4Д, и найдем для мультипликатора у числа С и I такие, что

|у(ад)| < Се7ш(Кеад)+г| 1т(ад £ С). (17)

Пусть 5е := тш {64кнег' 8еА}, а 5 < 5е. Далее, выберем е1 так, чтобы 0 < е1 < 8К(Н+1), и в соответствии с (¿у) найдем по е1 и 5 такие Го и Со, что для любого х £ Ж с |х| > Го существует Ь £ Ж с |Ь| > |х|, для которого

|Ь - х| < 5ш(х) и |у(Ь) | > Сое-1^. (18)

Зафиксируем произвольное г = х + ¿у £ С и предположим сначала, что |х| > Го. Тогда для этого х имеется Ь £ Ж с |Ь| > |х|, для которого выполняется (18). Обозначив г := |г — Ь|, получим, что

г ^ |у| + |Ь — х| ^ |у| + 5ш(х).

Рассмотрим отдельно два случая.

I. |у| ^ 5ш(х). Тогда

г ^ 25ш(х) ^ 25ш(Ь) ^ 25А|Ь| ^ 4е |Ь|. (19)

Применив лемму 5 к функции у, данному г, К = 2г и точке Ь в качестве а, найдем р, Г < р < 2г, такое, что для всех ( £ С с |£ — Ь| = р справедливо неравенство

-н

|у(с)| > |у(*)|н+1(, тах • (20)

Покажем, что в данной ситуации в качестве С можно взять окружность {£ : |£ — Ь| = р}. Ясно, что г лежит внутри нее. Рассмотрим любое ( £ С с |£ — Ь| = р. Заметим, прежде всего, что

| Яе( — х| ^ | Яе( — + — х| ^ р + г ^ 3г ^ 65ш(х), 11т(| ^ р ^ 2г ^ 45ш(х) ^ 65ш(х),

т. е. первые два неравенства в (у)(а) выполнены. Остается доказать третье неравенство в (у)(а).

Сначала оценим |у(Ь)| через ш(И,е(). Так как с учетом (19) | Яе (| > |Ь| — р > |Ь| — 2г > |Ь| — м = ^,

то |Ь| ^ 2| И,е (| и ш(Ь) ^ 2Кш(И,е ()+ К. Поэтому из второго неравенства в (18) получаем, что

|у(Ь)| > С1е-2е1Кш(Кес), (21)

где С1 := Сое-£1К.

Теперь оценим |у(£)|, когда |£ — = 4ег. Используя (17) и оценку |Ь| ^ 2| Яе(имеем:

| Яе£| < |Ь| + 4ег < 2|*| < 4 | Яе( 11т£| < 4ег < 8е^(Ь) < 8е^ш(2Ке () < 8еЖ(2ш(Яе() + 1).

Следовательно,

ш(Яе £) < ш(4Яе () < 4К2ш(Яе () + 2К2 + К, так что из (17) имеем, что

|у(0| < С2е4К(7К+4е51)ш(Кес), (22)

где С2 := Сет(2К2+к)+8е*к.

Подставляя (21) и (22) в (20), приходим к окончательной оценке для |у(£)| снизу

|У(()| ^ Сзе-2К((Я+1)£1+27КЯ+8е«НМКеС),

где С3 := СН+1 С2-Н. Поскольку

£ . £ „„„ £

2К(Я + 1)е1 <-, 47К2Н < -, 16еЖ/Я< , 4 2 4

получаем, что

|у(С)1 ^ Сзе-еш(КеО,

что и требовалось.

II. |у| > $ш(ж). В этом случае нам придется применять лемму об оценке снизу минимума модуля аналитической функции дважды. Связано это с тем, что в первый раз окружность получается слишком большого радиуса (из-за большого |у|), так что для точек ( этой окружности | Яе(| и | Яемогут сильно отличаться. Поскольку это недопустимо в случае пространств нормального типа, приходится применять лемму второй раз и строить другую окружность. Заметим, что в данном случае

г < |у| + МХ < 2|у|. (23)

Возьмем какое-нибудь в с 0 < в < 1 .По лемме 5 для функции у, чисел г, Я = (1 + в)г и точки Ь найдем р, г < р < (1 + в)г, такое, что для всех 2 £ С с |2 — = р выполняется неравенство

|у(2)| > |р(Ь)|Я1+^ тах |у(£)|) ' , (24)

где Н1 = 3 + 1п .

На окружности |2 — = р возьмем точку ад такую, что а^(ад — Ь) = а^(,г — Ь). Для нее, в частности, выполняется (24). Кроме того,

|у| < 11тад| < (1 + в)|у|, | Кеад| < |ж| (25)

(последнее неравенство следует из |ж| ^ |Ь| и элементарных геометрических соображений). Применив лемму 5 к функции у, числам Г1 = вг, Я1 = 2г1 и точке ад, найдем р1, Г1 < р1 < 2г1, такое, что для всех ( £ С с |£ — ад| = р1 имеет место неравенство

-н

ИС)| > |уИ|Н+Ч тах |у(^)|

Подставляя сюда оценку (24) с 2 = ад, имеем для всех ( £ С с |£ — = р1:

ИС)| ^ ИЬ)|(Я+1)(я1+1) ■ А-Я1(Я+1) ■ А-н, (26)

где

А1 :=„ ,тах „ч ^^ А2 := тах ИО^

*|=2е(1+в)г |£—ш|=4ег1

Покажем, что окружность С = {£ : |С — М = р1} является искомой в рассматриваемом случае. Во-первых,

— = р — г < вг = г1 < р1, поэтому г лежит внутри С. Во-вторых, из-за (23) и выбора в при всех ( £ С

К — г| < К — И + |ш — г| < Р1 + г1 < 3г1 = 3вг < 6в|у| < |у|,

так что оба первых неравенства в (г>)(6) выполняются. Остается получить из (26) третье неравенство в (г>)(6).

Сначала оценим |р(Ь)| снизу. Так как в силу (18), (1) и выбора 0

|Ь| < |ж| + |Ь — ж| < |ж| + 0ш(ж) < (1 + А0)|ж| < 2|ж|,

то с учетом (3) в рассматриваемом случае

2К

ш(Ь) < ш(2ж) < 2Кш(ж) + К < — |у| + К.

0

С другой стороны, если ( £ С, то, использовав (23) и выбор в, получим

11т(| ^ 11тН — р1 ^ |у| — 2г1 = |у| — 2вг ^ |у| — 4в|у| ^ ^. Следовательно,

< 4К 11т(| + К.

Отсюда и из (18) заключаем, что

|р(Ь)| ^ С4е— ^11тс|, (27)

где С4 = Со е-£1К.

Теперь оценим |р(£)| при — Ь| = 2е(1+ в)г. Использовав установленные выше неравенства |Ь| ^ 2|ж|, г ^ 2|у| и |у| ^ 2| 1т£|, получим, что

| Яе£| < |Ь| +2е(1 + в)г < 2|ж| +4е(1 + в)|у| < 2|ж| +8е|у|, (28)

11т£| ^ 2е(1 + в)г ^ 8е|у| ^ 16е| 1т(|. (29)

Пусть константа К1 такова, что

ш(2в + 8еп) ^ К^^(в) + ш(п) + 1) (в П ^ 0). Существование К1 следует из (3). Тогда в силу (28) и (1)

е) < К1(^(ж) + ^(у) + 1) < К^0 |у| + А|у| + < 2К^ 1+ ^ 11т(| + Кь

Подставив эту оценку и (29) в (17), будем иметь, что

И0| ^ Се7Ш(Ке£)+'!1ш« ^ С5е(2тК1(1/5+А)+16еО| 1тС|,

где С5 := СеК1. Поэтому

А1 ^ С5е(2^К1 (1/«+А)+16ег)| 1тС|. (30)

Наконец, рассмотрим |у(£)|, если |£ — ад| = 4ег1 = 4евг. Используя оценки (25), имеем:

| Яе£| ^ | Яеад| + 4евг ^ |ж| + 4евг ^ |ж| + е|у|, 11т£| ^ 11тад| +4евг ^ (1 + в)|у| + 8ев|у| < 4|у| < 8| 1т(|.

Отсюда, учитывая выбор К1, аналогично предыдущему получаем, что

и(Ие£) < 1 + ^ 11т(| + Кь

и (17) дает, что

|у(0| < Се7Ш(Ке^)+1| ^т^ С5е(27К1(1/5+А)+8«)| 1тС|.

Значит,

А2 < С5е(2тК (1/5+А)+81)|!тс|. (31)

Подставляя (30), (31) и (27) в (26), окончательно получаем, что

|у(С)| ^ Сбе-Ь| 1т<|, (32)

где

п _ ^,(н+1)(Н1 +1) п-Н1Н-Н-Н1 С6 = С4 • С5

Ь = ^Кр (Н + 1)(Я1 + 1) + 1 + ^ (Я1Я + Я + Я1) + 16е/Я1(Я + 1) + 8/Н.

Заметим, что Сб и Ь зависят от е и но не зависят от г.

Итак, мы доказали выполнение условия (у) для г = ж + ¿у с |ж| ^ Го. Остается проверить его для достаточно больших по модулю г с |ж| < г о. Пусть г = ж + ¿у, |ж| < г0, |г| ^ 5г0. Тогда |у| ^ 4г0 и

¿ш(ж) ^ ¿А|ж| ^ ¿еА|ж| ^ — г0 < |у|,

8е

так что для данной точки г мы должны строить такую окружность, как в (г>)(6). Положим ¿0 := г0 ж + ¿у. Для нее также

20) ^ -1 г0 < |у| = 11т^0|, 8е

причем | Яе 201 = г0. Следовательно, для 20 применимы все рассуждения из пункта II. На первом шаге, как и выше, по ж0 := г0 sgn ж находится точка Ь, а по ней, в свою очередь, — точка ад. Второй шаг мы несколько модифицируем, применив лемму 5 к функции у,

и

числам Г2 := Го + вг, R2 = 2r2 и точке w (здесь r = |zo —1|). В результате получим число Р2, Г2 < Р2 < 2Г2, такое, что при всех ( с |Z — w| = Р2

|Р(С)| > |p(w)|H+1 ( max |p(e)ñ

-H

: |p(f)|]

t-w|=4

С учетом (24) тогда имеем, что для любых Z с |Z — w| = Р2 справедлива оценка

|p(Z)1 > |p(t)|(H+1)(Hl+1)A-H1(H+1)A-H,

где A1 — то же, что и выше, а A3 := max|^-w|=4er2 |p(£)|.

Покажем, что окружность Cz := {Z : |Z — w| = Р2} является искомой для точки z. Во-первых,

|z — w| ^ |z — Zo| + |zo — w| ^ Го + вг = Г2 < P2,

так что z лежит внутри Cz. Далее, как и выше в пункте II, учитывая (23) и оценку Г0 ^ |y|/4, для Z G Cz имеем:

|Z — z| < |Z — zo| + |zo — z| < P2 + ro < 2Г2 + Го = 3ro + 2вг < 4 |y| +2 • 8 ' у < М-

Значит, оба первых неравенства в (f)(6) выполнены. Проверка аналога неравенства (32), т. е. третьего неравенства в (f)(6), проводится так же, как в заключительной части пункта II, и даже с некоторыми упрощениями, поскольку в данном случае |x| < Го и за ростом |x| и w(x) следить не приходится. Лемма полностью доказана. > Лемма 8. (v) ^ (i).

< Пусть выполнено утверждение (v) теоремы 2 и пусть f G fíj^C), а ^ G Н(C). Покажем, что тогда ^ G Н1ш)(С).

Для функции f найдем q G (0,1), l > 0 и Cf > 0 такие, что

|f (z)| < Cfeqa,(ReImz| Vz G C.

Далее, возьмем e > 0 так, чтобы (q + e)(1 + e) < 1. Для него в силу (v) имеется соответствующее 6е. Кроме того, из (4) вытекает, что существует 6 > 0, 6 < min {6е, б1; (1 — (q + e)(1 + e ))}, для которого

w((1 + 6A6)t)

lim sup-—- < 1 + e,

w(t)

и, значит, при некотором M > 0 имеем ш((1 + 6A6)t) ^ (1 + e)w(t) + M, t ^ 0. Для данного 6, используя (v), находим соответствующие Го, L и с.

Пусть теперь z = x + iy G C, |z| ^ ro, а Cz — окружность, обладающая свойствами

(v)(a) или (v)(6). Оценим

Ш для Z G C

I. Если |y| ^ 6ш(х), то при всех Z G Cz получаем

f (Z)

p(Z)

^ Cf e(q+e)^(Re СЖ| Im Z|.

с

Поскольку при этом | ReZ — х| ^ 66ш(х) ^ 6A6|x|, то | Re Z| ^ (1 + 6A6)|x|. Поэтому (q + e)w(ReZ) < (q + е)ш((1 + 6A6)x) ^ (q + e)(1 + е)ш(х) + M.

Кроме того, 11т(| < 6$ш(ж). Следовательно,

/ (С)

у(С)

< С1е'

где С1 := ^ ем, а д1 = (д + е)(1 + е) + 6Ы < 1.

II. Если же |у| > $ш(ж), то из (у)(Ь) для любого ( £ С имеем

/ (С)

у(С)

При этом, во-первых, | Яе(| < |ж| -

< С£ ^(Ие 0+(«+Ь)| 1тС|.

так что с учетом (1) и (3)

дш(И,е() < дш(|ж| + |у|) < дК(ш(ж) + ш(у)+1) < дК (^ |у| + А|у| +

< дК{ 1 + А) |у| + К.

Во-вторых, 11т(| < 2|у|. Отсюда имеем, что

/ (С)

у(С)

< С е'

«1 |у|

где

С := ^ ек, а ¿1 := дК (1 + А) + / + Ь.

Объединяя случаи I и II, окончательно получаем, что для всех ( £ С

/ (С)

у(С)

< се?1ш(х)+11|у|

где С = С1 + С1. Тогда по принципу максимума аналитических функций

/ (г)

у(г)

< Се?1ш(^е11т

При этом С не зависит от г. Значит, ^ £ Н(ш)(С). >

4. Разрешимость уравнений свертки

Доказанная только что теорема 2 имеет естественные приложения в вопросе о разрешимости уравнений свертки в классах ультрадифференцируемых функций нормального типа.

Пусть ш — весовая функция, (у) := 8ир|жу — (ж) : ж ^ 0}, у ^ 0, — сопряженная по Юнгу к функции (ж) = ш(ех). Для положительных чисел в и I определим следующее пространство бесконечно дифференцируемых функций

^(М) = { / £ С~(К) : |/Ця>г := «пр 8пр ^^М < ~

I ^бМс |х|<г е5^-

Пространством ультрадифференцируемых функций Берлинга нормального типа называется пространство

Е(^(М):= П П ЕЩ,М(М)=П Е

56(0,1) «6(0,те)

П=1

С

где, как и выше, | 1. Данный класс будет неквазианалитическим, если вес ш удовлетворяет условию (в), и квазианалитическим в противном случае. Пространство Е(^)(М) наделяется естественной топологией пространства Фреше, задаваемой набором преднорм (| ' |о1,5п,п)^=1. Как известно [8, теорема 1], преобразование Фурье — Лапласа функционалов

Е : р ^ £(*):= ^ж(е—^^), г £ С,

устанавливает топологический изоморфизм между пространством (Е(^)(М)) в, сильным сопряженным с Е(^)(М), и Н*Ш)(С).

Пусть теперь р — произвольный нетривиальный мультипликатор пространства Н(Ш)(С). Оператор умножения Л^ : / ^ р/ действует непрерывно и инъективно в пространстве Н1ш)(С), так что Е—1 о Лм о Е — линейное непрерывное инъективное отображение в (Е(1^)(М))в. Сопряженное с ним отображение Т^, действующее в Е(^)(М), будем, следуя А. Мартино [20], называть оператором свертки. В соответствии с общим результатом теории двойственности [21, теорема 8.6.13 и соотношение (с) на с. 705], оператор Т^ сюръективен тогда и только тогда, когда образ отображения Е—1 о Л^ о Е замкнут в (Е(1^)(М))в. Последнее, очевидно, равносильно тому, что образ оператора Л^ замкнут в Н(Ш)(С). Таким образом, с учетом теоремы 2 получаем следующий результат.

Теорема 3. Пусть ш — весовая функция, а р — произвольный нетривиальный мультипликатор пространства Н1ш)(С). Для того чтобы уравнение свертки Т/ = д было разрешимо в классе (Ж) при любой правой части д £ (Ж), необходимо и достаточно, чтобы для р выполнялось одно из эквивалентных условий (¿) — (у).

Литература

1. Ehrenpreis L. Solution of some problems of division // Amer. J. Math.—1960.—Vol. 82.—P. 522-588.

2. Meise R., Taylor B. A., Vogt D. Equivalence of slowly decreasing conditions and local Fourier expansions // Indiana Univ. Math. J.—1987.—Vol. 36, № 4.—P. 729-756.

3. Braun R. W., Meise R., Taylor B. A. Ultradifferentiable functions and Fourier analysis // Results Math.—1990.—Vol. 17.—P. 206-237.

4. Momm S. Closed principal ideals in nonradial Hormander algebras // Arch. Math.—1992.—Vol. 58.— P. 47-55.

5. Коробейник Ю. Ф. О решениях некоторых функциональных уравнений в классах функций, аналитических в выпуклых областях // Мат. сб.—1968.—Т. 75, № 2.—С. 225-234.

6. Епифанов О. В. Разрешимость уравнения свертки в выпуклых областях // Мат. заметки.—1974.— Т. 15, № 5.—С. 787-796.

7. Ткаченко В. А. Уравнения типа свертки в пространствах аналитических функционалов // Изв. АН СССР. Сер. матем.—1977.—Т. 41, № 2.—С. 378-392.

8. Абанин А. В., Филипьев И. А. Аналитическая реализация пространств, сопряженных к пространствам бесконечно дифференцируемых функций // Сиб. мат. журн.—2006.—Т. 47, № 3.—С. 485-500.

9. Abanina D. A. On Borel's theorem for spaces of ultradifferentiable functions of mean type // Results Math.—2003.—Vol. 44.—P. 195-213.

10. Робертсон А. П., Робертсон В. Дж. Топологические векторные пространства.—М.: Мир, 1967.— 257 с.

11. Абанин А. В. О мультипликаторах пространства целых функций, задаваемого нерадиальным двучленным весом // Владикавк. мат. журн.—2008.—Т. 10, вып. 4.—С. 10-16.

12. Коробейник Ю. Ф. О мультипликаторах весовых функциональных пространств // Anal. Math.— 1989.—T. 15, № 2.—С. 105-114.

13. Абанин А. В. О некоторых признаках слабой достаточности // Мат. заметки.—1986.—Т. 47, № 3.— С. 485-500.

14. Абанин А. В. Густые пространства и аналитические мультипликаторы // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки.—1994.—№ 4.—С. 3-10.

15. Жаринов В. В. Компактные семейства ЛВП и пространства FS и DFS // Успехи мат. наук.— 1979.—Т. 34, № 4.—С. 97—131.

16. Себаштьян-и-Силва Ж. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // Математика.—1957.—Т. 1, № 1.—С. 60-77.

17. Райков Д. А. О двух классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // Тр. семинара по функц. анализу.—Воронеж, 1957.—Вып. 5.—С. 22-34.

18. Baernstein A. Representation of holomorphic functions by boundary integrals // Trans. Amer. Math. Soc.—1971.—Vol. 160.—P. 27-37.

19. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций.—М.: Гостехиздат, 1956.—632 с.

20. Martineau A. Équation differentielles d'ordre infini // Bull. Soc. Math. Franc.—1967.—Vol. 95.—P. 109154.

21. Эдвардс Р. Функциональный анализ.—М.: Мир, 1969.—1072 c.

Абанин Александр Васильевич, Южный федеральный университет, заведующий кафедрой математического анализа РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а; Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, ведущий научный сотрудник лаб. теории операторов РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: [email protected]

Абанина Дарья Александровна, Южный федеральный университет, доцент кафедры математического анализа РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а; Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, старший научный сотрудник лаб. компл. анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: [email protected]

DIVISION THEOREM IN SOME WEIGHTED SPACES OF ENTIRE FUNCTIONS

Abanin A. V., Abanina D. A.

We consider weighted spaces of entire functions which are dual to the Beurling spaces of ultradifferentiable functions of mean type. We prove a division theorem, which completely characterizes all divisors of these spaces. With the help of this theorem, we obtain a criterion for the solvability of convolution equations in the Beurling classes of mean type.

Key words: multiplication operator, division theorem, ultradifferentiable functions, convolution operator.