CC BY
11
УДК 517.983
О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ СВЕРТКИ, ЛИНЕЙНО И НЕПРЕРЫВНО ЗАВИСЯЩЕГО ОТ ПРАВОЙ ЧАСТИ1
© 2012 г. Д.А. Абанина
Абанина Дарья Александровна - кандидат физико-математических наук, доцент, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090; научный сотрудник, Южный математический институт Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, 362027, е-mail: abaninа@math.sfedu.ru.
Abanina Daria Alexandrovna - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Department of Mathematical Analysis, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090; Scientific Researcher, Southern Institute of Mathematics of Vladikavkaz Scientific Center RAS, Marcus St., 22, Vladikavkaz, 362027, e-mail: [email protected].
В пространстве ультрадифференцируемых функций Берлинга нормального типа на конечном интервале рассматривается разрешимое уравнение свертки. Полностью охарактеризованы все символы, при которых данное уравнение имеет решение, линейно и непрерывно зависящее от правой части. В качестве частного случая изучены дифференциальные уравнения конечного и бесконечного порядка с постоянными коэффициентами.
Ключевые слова: ультрадифференцируемые функции, уравнение свертки, дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
We consider a solvable convolution equation in the Beurling space of ultradifferentiable functions of mean type on an interval. We completely describe all symbols for which such equation has the solution, linearly and continuously depending on the right-hand side. As a particular case, differential equations with constant coefficients of infinite or finite order are studied.
Keywords: ultradifferentiable functions, convolution equation, differential equations with constant coefficients.
В работе рассматривается уравнение свертки
Т/=% (1)
в классах е\т)(1) ультрадифференцируемых функций (УДФ) Берлинга нормального типа на конечном интервале I, задаваемых весовой функцией ю. Здесь Т -
действующий линейно и непрерывно в е\т) (I) оператор свертки с характеристической функцией ¡1(2). Заметим, что в качестве частного случая уравнение (1) содержит в себе дифференциальные уравнения конечного и бесконечного порядка с постоянными коэффициентами.
Предполагается, что оператор Т/ сюръективен, т.е. уравнение (1) имеет решение f в классе е\т)(1)
при любой правой части g из е\т)(1). Критерий сюръективности оператора Тм в терминах его символа / был недавно получен автором в [1]. Возникает вопрос, всегда ли у уравнения (1) имеется решение, линейно и непрерывно зависящее от правой части g. Ранее аналогичная задача решалась для уравнений свертки в различных весовых классах как бесконечно дифференцируемых, так и аналитических функций [2-10]. В частности, в [2] ответ на рассматриваемый вопрос был получен для классов УДФ Берлин-га максимального типа. Что касается пространств нормального типа, они изучаются относительно недавно - последние 10 лет, так что данная задача решается для них, по-видимому, впервые. По своей структуре классы нормального типа являются гораздо более «тонкими», чем классы минимального и
максимального типов, что вносит существенные изменения как в технику исследования, так и в получаемые результаты.
Классы УДФ и оператор свертки
Весовой функцией [11, 12] будем называть непрерывную неубывающую функцию ю: [0, те) ^[0, да), для которой выполняются условия:
(а) Ур> 1 ЗС> 0 : ю(х + у)< р(ю(х) + ю(у)) + С,
Ух, у > 0;
(б) Г—У- йг < те;
1 г г
(в) 1п/ = о(ю(/)), г ^ те;
(г) (х):= ю(ех) выпукла на [0, те).
Пусть фт (у) := 8ир(ху - фю (х)), у >0, - сопряжен-
х>0
ная по Юнгу к функции .
Пространством УДФ Берлинга нормального типа на заданном конечном интервале I = (- а, а) называется следующее весовое пространство бесконечно дифференцируемых на I функций:
4) (I) := {/ е С" (I): Уд е (0,1), V/ е (0, а) \ /\ ^ = \/ 0)( х)\
= sup sup-
■ < да}.
jеN0 х\</ еЧЧ>т(]'Ч)
Оно наделяется естественной топологией, задаваемой набором преднорм {\ • : д е (0,1), / е (0, а)}, и
является в ней (FS)-прострaнством [13].
'Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашения 14.А18.21.0356 «Теория функциональных пространств, операторов и уравнений в них» и 8210 «Синтетические методы изучения операторов и уравнений в функциональных пространствах».
Для дальнейшего нам понадобится удобное описание пространства (е1(Я)(/, сильного сопряженного к е\Ю)(1). Известно [14, теорема 1], что преобразование Фурье-Лапласа функционалов F: у а ф(г) := у(е~'хг), г ее, устанавливает топологический изоморфизм между (е\Ю) (/и следующим пространством целых функций:
Н(I),/ = {/ <Н(С) | Зд е(о, 1), 3 е(0, а): I /1 щдГ
= sup-
f (z )|
)+/|lm z|
< °4. Пространство )7 наделя
ется естественной индуктивной топологией и является в ней (DFS)-пространством.
Характеристическими функциями г операторов свертки Тг в 8(ш)(/), как обычно, служат мультипликаторы пространства Н(и^ . В соответствии с [1, предложение 1] множеством всех мультипликаторов Н(и)/ является М(ш) = {и <Н(С) | Уе > 01 /1 г < ° причем оператор умножения Л : / а и/ действует непрерывно в Н(и^ для любого и еЩт) .
Оператор свертки Тг с символом г действует на функции / из £1(а)(/) следующим образом:
(/) := /(* + У)),Х .
Здесь ^ := ^ 1 (и) - соответствующий г линейный непрерывный функционал на е(И)(/). Оператор Тг действует линейно и непрерывно в е(И)(/) и является сопряженным к оператору умножения Л .
Итак, рассмотрим в е(И)(/) уравнение свертки (1). В [1, теорема 1] было доказано, что для того чтобы это уравнение имело решение в е(И)(/) при любой правой
части g е е(И)(/), необходимо и достаточно, чтобы
его символ ¡г был делителем пространства Н(и^ . По-
Г еН(С), то
и
следнее означает, что если f еH1
еи|и^ . Там же все делители были охарактеризо-
/ и
ваны в терминах оценок снизу.
Основная цель настоящей работы - получить условия на делитель ¡, при которых у уравнения (1) имеется решение / е е(И)(/), линейно и непрерывно
зависящее от правой части g е е(Я)(/). Как известно, наличие такого решения равносильно тому, что ядро кег Тг оператора Тг дополнимо в е(И)(/). В связи с
этим интерес представляет лишь случай бесконечного множества нулей у символа ¡, поскольку, если число нулей конечно, то кег Тг конечномерно [15, с. 3], а значит, дополнимо в в(ш)(/).
Основной результат
Основным результатом работы является Теорема 1. Пусть и - делитель Н(и^ ; Я-
последовательность нулей функции г (без учета кратности), Я | Т°°. Следующие утверждения эквивалентны:
(I) уравнение свертки (1) имеет решение / в классе е(И)(/), линейно и непрерывно зависящее от правой
части g е£(Ю)(I);
(II) Цт"^ = о.
ю(Х3)
Доказательство данной теоремы технически сложное, поэтому здесь мы приведем очень коротко лишь его схему. Заметим, что доказательство неконструктивное, основано на построении специального семейства субгармонических функций (или специального семейства целых функций в пространстве Н(и). Данный метод был предложен в [2-4, 7] и
реализовывался ранее как для классов Берлинга максимального типа, так и для некоторых весовых пространств аналитических функций. Как обычно, «тонкие» классы нормального типа потребовали значительных модификаций традиционной схемы. Отметим, что существенную роль в доказательстве играет
построенное в [15, с. 6-7] открытое покрытие (и
нулевого множества (^ делителя ¡, обладающее определенными свойствами.
Итак, прежде всего, применяя различные результаты функционального анализа и решая д-задачу Хер-мандера, получаем, что условие (1) равносильно
(ш) в Н(и)г имеется семейство функций ^ такое, что gs (Я) = 1 и Уд е(о,(), У! е(о, а), Уе > 03С > 0: 1п | gJ(2) | +(д®(Яе2) +! 11т2 |) < <(д + е)®(Яе2) + (1 + е)|1тг| +С, У? е Ы,У2 е С.
В этом заключается первая основная часть доказательства. Вторая часть состоит в переходе от условия (111) к условию (11) и базируется на применении принципа Фрагмена-Линделефа.
В заключение приведем некоторые следствия теоремы 1, касающиеся дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В [1, теорема 2] было установлено, что если целая функция
) = ^а (_ ')к2к удовлетворяет условию
Уе > 03С> 0: |и(г)| < Сеею(г), У2 еС, (2)
то соответствующий оператор свертки Т представляет собой дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами: Т / = £ ак/ , / ее(И)(/).
к=0
Было также показано [1, теорема 3], что если ю -
строгий вес, т.е. если 3K > 1: lim sup
<Kt) (t)
<K, то
все операторы свертки являются дифференциальными операторами с постоянными коэффициентами.
Как уже было отмечено выше, в случае конечного числа нулей символа г утверждение (1) теоремы 1 выполняется автоматически, так что всякое дифференциальное уравнение конечного порядка с постоянны-т (к)
ми коэффициентами £ ак/() = g, ат ^0, имеет в
t
k=0
е\т)(!) решение, линейно и непрерывно зависящее от правой части. Для дифференциальных уравнений бесконечного порядка из теоремы 1 вытекает
Следствие. Пусть целая функция ^(z) = £ a (- if zk
k=0
имеет бесконечное множество нулей (Л , удовлетворяет условию (2) и является делителем пространства H(a)j . Для того чтобы дифференциальное уравнение бесконечного порядка с постоянными коэффициента-
со
ми £akf(k) = g имело решение f e e\m)(I), линейно
k=0
и непрерывно зависящее от правой части g e е(И)(/),
необходимо и достаточно, чтобы для нулей символа ^ этого уравнения выполнялось условие (ii).
Заметим, что на основании данного следствия можно привести пример символа разрешимого дифференциального уравнения бесконечного порядка с постоянными коэффициентами, у которого тем не менее нет решения, линейно и непрерывно зависящего от правой части.
Литература
1. Абанина Д.А. Разрешимость уравнений свертки в пространствах ультрадифференцируемых функций Берлинга нормального типа на интервале // Сиб. мат. журн. 2012. Т. 53, № 3. С. 477 - 494.
2. Meise R., Vogt D. Characterization of convolution operators on spaces of С-functions admitting a continuous linear right inverse // Math. Ann. 1987. Vol. 279. P. 141 - 155.
3. Meise R., Taylor B.A., Vogt D. Equivalence of slowly decreasing conditions and local Fourier expansions // Indiana Univ. Math. J. 1987. Vol. 36, № 4. P. 729 - 756.
4. Meise R., Taylor B.A. Splitting of closed ideals in (DFN)-algebras of entire functions and the property (DN) // Trans. Amer. Math. Soc. 1987. Vol. 302. P. 341 - 370.
5. Meise R., Taylor B.A., VogtD. Characterization of the linear partial differential operators with constant coefficients that admit a continuous linear right inverse // Ann. Inst. Fourier, Grenoble. 1990. Vol. 40. P. 619 - 655.
6. Коробейник Ю.Ф. О правом обратном для оператора свертки // Укр. мат. журн. 1991. Т. 43, № 9. C. 1167 - 1176.
7. Langenbruch M., Momm S. Complemented submodules in weighted spaces of analytic functions // Math. Nachr. 1992. Vol. 157. P. 263 - 276.
8. Momm S. On the dependence of analytic solutions of partial differential equations from the right-hand side // Trans. Amer. Math. Soc. 1994. Vol. 345. P. 729 - 752.
9. Langenbruch M. Continuous linear right inverses for convolution operators in spaces of real analytic functions // Studia Math. 1994. Vol. 210, № 1. P. 65 - 82.
10. Мелихов С.Н., Момм З. О линейном непрерывном правом обратном для оператора свертки на пространствах ростков аналитических функций на выпуклых компактах в С // Изв. вузов. Математика. 1997. Т. 420, № 5. C. 38 - 48.
11. Brawn R.W., Meise R., Taylor B.A. Ultradifferentiable functions and Fourier analysis // Results Math. 1990. Vol. 17. P. 206 - 237.
12. Abanin A.V., Pham Trong Tien. Almost subadditive weight functions form Braun-Meise-Taylor theory of ultradistributions // J. Math. Anal. Appl. 2010. Vol. 363. P. 296 - 301.
13. Жаринов В.В. Компактные семейства ЛВП и пространства FS и DFS // Успехи мат. наук. 1979. Т. 34, № 4. С. 97 - 131.
14. Абанин А.В., Филипьев И.А. Аналитическая реализация пространств, сопряженных к пространствам бесконечно дифференцируемых функций // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47, № 3. С. 485 - 500.
15. Абанина Д.А. Экспоненциально-полиномиальный базис в пространстве решений однородного уравнения свертки на классах ультрадифференцируемых функций // Владикавк. мат. журн. 2011. Т. 13, вып. 4. C. 3 - 17.
Поступила в редакцию
3 сентября 2012 г.
