О проблеме деления в нерадиальных весовых пространствах целых функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2013, Том 15, Выпуск 3, С. 7-18

УДК 517.547

О ПРОБЛЕМЕ ДЕЛЕНИЯ В НЕРАДИАЛЬНЫХ ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ1

Д. А. Абанина, А. В. Кузьминова

В работе рассматривается индуктивное весовое пространство целых функций Н1'^, задаваемое последовательностью нерадиальных двучленных весов {дпм(|;г|) + гаи(| 1т, где 0 < дп | 1. При дополнительном предположении на функцию V в пространстве установлена теорема деления.

Получен также ряд результатов, касающихся выметания масс на границу круга субгармонической функции v(| 1т

Ключевые слова: пространство целых функций, теорема деления, субгармоническая функция.

Введение

Как известно, задача о разрешимости уравнения свертки в различных пространствах бесконечно дифференцируемых и аналитических функций обычно эквивалентна проблеме деления для его символа. Более точно, пусть Е и Р — некоторые локально выпуклые пространства бесконечно дифференцируемых или аналитических функций; А и В — пространства целых функций, представляющие собой изоморфные реализации сопряженных пространств Е' и Р' (с помощью преобразования Фурье — Лапласа и др.); ц — мультипликатор пары пространств А и В, т. е. такая целая функция, что цА С В; Т^ — оператор свертки с символом ц, действующий из Е в Р. Тогда оператор Т^ сюръективен в том и только в том случае, если ц является делителем пары А и В, т. е. если из того, что д £ В, ^ € Н(С), следует, что ^ £ А. Впервые это было независимо установлено Б. Мальгранжем и Л. Эренпрайсом для оператора свертки в пространстве С(по этому поводу см. [1, с. 40-41]). Затем Л. Эренпрайс в [2] получил необходимое и достаточное условие на символ ц, названное условием медленного убывания и формулируемое через оценки роста на бесконечности, при котором соответствующий оператор свертки Тм : С^ Ссюръективен. Заметим, что в этом случае символ представляет собой функцию из алгебры целых функций f, рост которых на бесконечности ограничен весом п 1п(1 + |г|) + п| 1тх\ при некотором п = n(f) £ N.

В дальнейшем было множество работ (см., например, [3-12]), посвященных сюръек-тивности операторов свертки и теореме деления в различных пространствах. В основе всех доказательств лежит предложенный О. В. Епифановым и В. А. Ткаченко метод (см. [5, 6]), основанный на процедуре выметания масс субгармонической функции на границу круга.

© 2013 Абанина Д. А., Кузьминова А. В.

1 Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашения № 14.А18.21.0356 и № 8210, а также гранта ЮФУ № 213.01-24/2013-63 «Весовые пространства бесконечно дифференцируемых функций. Общая теория и приложения».

Остановимся подробнее на результатах, касающихся операторов свертки в так называемых классах ультрадифференцируемых функций (УДФ). Теория УДФ и ультрараспределений возникла в 60-е годы XX века благодаря работам Ш. Румье [13], А. Берлинга и Г. Бьорка [14]. В конце XX века она была значительно модифицирована и дополнена группой немецких и американских математиков (см. [15]). Первоначально, основное внимание уделялось классам УДФ Берлинга максимального типа и классам Румье минимального типа, задаваемым соответственно весовыми последовательностями (пш) и (« ш)°п-1' где ш = — некоторая весовая функция. В частности, в [7] для пространств Берлинга максимального типа была решена задача о сюръективности оператора свертки. Или, другими словами, в сопряженном пространстве, которое представляет собой алгебру целых функций, рост которых на бесконечности ограничен весом пш(|г|) + п| 1т п € N была установлена теорема деления. Вслед за [2] соответствующее необходимое и достаточное условие на символ также было названо условием медленного убывания. Позднее в [11] З. Момм доказал теорему деления для более общих алгебр целых функций, задаваемых нерадиальными двучленными весами пп(\г\) + п^(| 1тя|), п € Н, где и и V — некоторые весовые функции.

В последнее десятилетие достаточно интенсивно изучаются классы УДФ Берлинга и Румье нормального типа, задаваемые последовательностями где дп | 1 ли-

бо дп I 1 (см. [16-18]). Проведенные исследования выявили ряд существенных отличий данных пространств от предельных случаев. В [17] задача о сюръективности оператора свертки была решена для пространств УДФ Берлинга нормального типа. Основной результат из [17] (теорема 2) полностью характеризует все символы сюръективных операторов свертки, т. е. все делители сопряженного пространства — пространства целых функций, задаваемого весами дпш(^|) + п| 1тя|, п € Н, дп ] 1. Следует отметить, что и в [17], хоть и со значительными техническими трудностями, был реализован упоминавшийся выше традиционный метод.

В свете работы [11] теперь представляется интересным рассмотреть проблему деления в пространстве целых функций, задаваемом двучленными весами дпи(\г\) + 1тz|), где дп | 1, и и V — весовые функции. Этому и посвящена настоящая работа. Была сделана попытка распространить существующую методику, основанную, как уже говорилось выше, на выметании масс субгармонической функции v(| 1тz|), на данные пространства. Однако, их специфика: одновременное наличие второго веса V (по сравнению с [17]) и конечность коэффициента перед весом и (по сравнению с [11]) — выявила ряд новых и неожиданных эффектов, которые не позволяют получить законченный результат в случае произвольных весов. Тем не менее, на основе проведенного анализа было сформулировано ограничение на вес V, при котором для указанных пространств удалось установить теорему деления. В этом заключается основной результат работы (теорема 1). Кроме того, в работе указываются классы весов, удовлетворяющие этому дополнительному предположению и не удовлетворяющие ему. Это позволяет говорить о теореме 1 как о значительном обобщении теоремы 2 из [17].

Структура работы следующая. В § 1 вводятся весовые функции и и V, определяется изучаемое пространство целых функций и описывается множество всех его мультипликаторов, из которого в дальнейшем будет выделяться подкласс делителей. В § 2 формулируется и доказывается основной результат работы — теорема деления для пространства Н^^. При этом подробно излагаются лишь те моменты доказательств, которые существенно отличны от [17]. Все аналогичные рассуждения опущены. Наконец, §3 посвящен выметанию масс субгармонической функции v(| 1тz|) и анализу дополнительного ограничения на вес V, при котором установлена теорема 1. Результаты § 3

представляют самостоятельный интерес и относятся больше, по-видимому, к теории субгармонических функций.

1. Пространство целых функций H^?0

Всюду далее веса u и v — это непрерывные неубывающие на [0, ж) функции, удовлетворяющие условиям:

(а) u(2t) = O(u(t)), t ^ ж; (ai) v(2t) = O(v(t)), t ^ ж; (7) ln t = o(u(t)), t ^ ж; (¿i) v(t) выпукла на [0, ж);

(¿) u(ex) выпукла на [0, ж); (Z) u(t) = O(v(t)), t ^ ж.

Заметим, что условия (а), (y) и ($) идентичны соответствующим условиям на вес ш при определении классов УДФ (см. [15-18]); ограничения (ai) и (¿1) на функцию v те же, что и в [11]; между собой веса u и v связываются естественным соотношением (Z). В [11] использовалось более жесткое условие u(t) = o(v(t)), которое нам удается ослабить за счет различия коэффициентов перед весами u и v в определении пространств нормального типа.

Веса u и v обладают следующим полезным свойством (см. [16]):

lim lim = lim lim = \ _ (1)

rji u(t) r|1 v(t)

Без ограничения общности можно считать, что u(0) = v(0) = 0. Обозначим еще u(z) := u(|z|), v(z) := v(|z|), z e C.

Для положительных чисел q и l введем в рассмотрение следующее банахово пространство целых функций:

■■= {/е я(с): =^JSL <

Основным изучаемым пространством будет

:= U U Hqu,iv = U H q6(0,l) Je(0,ro) n=1

где 0 < qn t 1. Пространство HU,'T наделяется естественной индуктивной топологией indn HqnUnv и является в ней (БРВ)-пространством (см. [19]).

Нетрудно видеть, что пространство HU;'T не является алгеброй (так же, как в [17], и в отличие от [7, 11]). Аналогично [17, теорема 1] имеет место

Предложение 1. Множеством всех мультипликаторов пространства hU,S° является M (hU;'t) = G H (C) : (V e > 0) (3 l > 0) ||^||eU)iv < œ}, причем каждый мультипликатор ^ G M(hU;'t) непрерывен, т. е. соответствующий оператор умножения : / ^ действует непрерывно в Hu,v .

Как обычно, нетривиальный мультипликатор ^ пространства hU,S° будет его делителем тогда и только тогда, когда образ ImAM оператора умножения замкнут в HU,'T (см. §2). Поэтому сформулируем функциональный критерий замкнутости ImAОн аналогичен [17, лемма 2], так что доказательство здесь опускаем.

Предложение 2. Пусть ^ — нетривиальный мультипликатор из М(Н^^). Следующие утверждения эквивалентны: (Ц) 1т замкнут в Н^^0;

(^2) Л^ : — — топологический изоморфизм «в»;

(13) если семейство В С иЩ'^0 таково, что ^В содержится и ограничено в некотором Ндпи, пу, то найдется т € N такое, что В содержится и ограничено в Н?ти, то;

(14) для любого п € N существуют т € N и С > 0 такие, что

г) £ еЧп'и(х)+п'о( 1тг) ^ и

Lu,v

Замечание. Так же, как в [17, лемма 1] и [18, лемма 1], проверяется, что в определении пространств нщ'^0, М(Н^^0) и в условии (г4) можно заменить и^) на и(И,еz).

2. Основной результат

Прежде чем сформулировать основной результат работы, сделаем несколько предварительных замечаний. Как уже говорилось выше, в основе традиционного метода лежит процедура выметания масс субгармонической функции v(Im z) на границу круга КО'Я = {z : ^ результатом которой является функция

V(z) :=

v(Imz), |z| ^ R,

^ I do, z = Teiip, r £ [0, R), (p G [0, 2ir)

0

Функция V(z) непрерывна и субгармонична в C и гармонична в Ko,r, причем V(z) ^ v(Imz) в C.

При проведении исследований большое значение имеет «дефект субгармоничности» функции v(Im z), т. е. разность V(z) — v(Im z). До сих пор он всегда оценивался через V(0). В случае пространств максимального типа (см. [7, 11]), поскольку константы перед весами можно увеличивать неограниченно, использовалась очень грубая оценка (см. [11, с. 48]):

1 C

V{z) - f(Imz) < V{z) < - F(0) + - .

о о

Здесь C и 0 — некоторые положительные постоянные, не зависящие от R. Пространства нормального типа потребовали уже более точных оценок. В [17, лемма 3] для случая v(t) = t было доказано, что имеет место неравенство

(Ao) V(z) — v(Imz) < V(0), z G Ko,r.

Предполагалось, что данная оценка справедлива и для других функций v. Это позволило бы распространить традиционную схему на более общие системы весов. Однако, как оказалось (см. §3), это не так. В связи с этим в дальнейших исследованиях возможны два пути. Первый естественный путь обсуждается в настоящей работе и заключается в наложении дополнительных ограничений на функцию v, при которых удастся реализовать стандартный метод и установить для рассматриваемых пространств теорему деления. Именно, проведенный анализ показал, что даже для «тонкого» случая пространств нормального типа будет достаточно выполнения следующего, несколько более слабого, чем (A0), условия:

(А) для любого е > 0 найдется До > 0 такое, что при Д ^ Яо справедливо неравенство V(г) - и(1т г) < (1 + е)У(0), г £ Ко ,д.

Обсуждению условия (А) посвящен § 3.

В качестве альтернативного метода возможен отказ от традиционной оценки дефекта субгармоничности через V(0). В этом случае придется задействовать точку гд в круге Код в которой дефект субгармоничности максимален. Исследования в данном направлении в настоящей работе и, насколько нам известно, в других работах не проводились.

Итак, основным результатом работы является следующая теорема деления для про-

и',ь .

Теорема 1. Пусть и и V — весовые функции, причем функция V обладает свойством (А); ц — нетривиальный мультипликатор пространства Н"'^. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

(1) ц — делитель Н"'^;

(И) образ 1т оператора умножения замкнут в Н"'^;

(ш) Vе > 0 V ¿> 0 3 го > 0: Vж £ Ж с \ж\ ^ Го 3 ю £ С :

\ю - ж\ < ¿V-1 (и(ж)) и \ц(ю)\ ^ е-еи(ад);

(IV) Vе > 0 V¿> 0 3 го > 0 | Vж £ Ж с \ж\ ^ го 3 г £ Ж (с \г\ > \ж\) :

\г - ж\ < ¿V-1 (и(ж)) и \ц(г)\ ^ е-6"®;

(V) V е > 0 3 ¿е > 0 : V¿ £ (0, ¿е) 3 го > 0, 3 Ь > 0, 3с > 0 : для любого г £ С с \г\ ^ го найдется окружность С, содержащая точку г внутри себя и обладающая следующими свойствами:

(a) если \ 1тг\ ^ ¿V-1 (и(Ие г)), то для всех ( £ С

\ Ие( - Кег\ ^ 6¿v-1 (и(Иег)), \ 1тг\ ^ 6¿v-1 (и(Иег)) и \ц(()\ ^ е-еи(Кес);

(b) если \ 1т г\ > ¿V-1 (и(Ие г)), то для всех ( £ С

\ Ие( - Иег\ ^ \ 1тг\, \ 1т( - 1тг\ ^ \ 1тг\ и \ц(()\ ^ се-^(1шс).

Как следует из результатов § 3, сформулированный результат является нетривиальным обобщением теоремы 2 из [17], установленной для случая v(t) = г. Доказательство, как и в [17], проводится по схеме (11) ^ (111) ^ (IV) ^ (V) ^ (1); импликация (1) ^ (И) носит общий характер. При этом существенно отличается от [17] лишь доказательство утверждения (И) ^ (111). Поэтому его мы приведем подробно, а остальное опустим.

Итак, пусть 1т Л^ замкнут в Н"'^. Предположим, что условие (111) нарушено, т. е. что имеются ео^о £ (0,1) и последовательность (aj)?=1 вещественных чисел с \aj\ | такие, что для каждого ] £ N

\ ц(ю) \ < е-£0"(ад) при всех ю £ С : \ ю - а^ \ ^ ¿^-1(и^-)). (3)

Пусть для определенности aj > 0, ] £ N.

Сделаем несколько предварительных замечаний. Условие (£) позволяет считать, что

и(г) ^ Av(í), г ^ 0,

при некотором А > 1. В силу вогнутости V 1, из этого следует, что

v-1(u(í)) < V-1 ^(¿)) < А*, г ^ 0. (4)

Предполагаем сразу ¿о настолько малым, что 5оА <

Далее, так как имеют место условие (а1) и равенства (1), то найдутся К > 0, ¿0 > 0 и С > 0 такие, что при всех * ^ *о выполняются неравенства

и(Ь + 1) < (1 ++ + + (5)

г'(~ > Кь(1). (6)

Будем предполагать, что а1 > ¿0 и а/+1 > 3а/. Тогда, во-первых,

(1 + у)«((1-<МЫ (7)

А во-вторых, круги — а/| ^ $^-1(и(а/)) попарно не пересекаются, так как на основании (4)

[%+1 — ¿0г>-1 (и(а/+1— [aj + ^-1(и(%))] ^ (%+1 - - <М (а^+1 + а,) > \ {а>з+1 - 3%) > 0. Пусть числа Л/, ] € Н, определяются равенствами

п/2

2 Г

—- / втА) йб = и(а,). пК у

0

Очевидно, можно считать, что Л1 > ¿о. Используя интегральное неравенство Йенсена и оценку (6), имеем:

7Г/2

1 /2 /■ Л \ 1 /2ЛЛ 1 /2Л,- 50\ /2Л,-0

откуда 2Л/ < ¿0V-1 (и(а/)).

1) Осуществим процедуру выметания масс для функции и круга =

^ : |z — а/1 < Л/}. В результате получим функцию V/ (z), непрерывную и субгармоническую в С, гармоническую в Ка. д.. При этом

У](г) = — у(1шг), если \г — ^ ^-(а-,-) = и(а-,-);

1

К

Ц(г) < (1 + ^)и(а^) + г>(1тг), если - < Щ.

Последнее неравенство выполнено в силу свойства (А) функции V (в случае необходимости Л1 или, что то же самое, а1 можно увеличить). Для z € С с ^ — а/1 < Л/ на основании (4) и (7) имеем:

(1 + |)п(.) > (1 + |)п(а,- - Щ) > (1 + |)п(а,- - ¿о«"1^)))

Следовательно,

У3(г)^(1 + ^)и(г) + ^у(1шг), геС. (8)

2) Используя [20, лемма 4], [21, лемма 1], по функции Vj(г) и точке aj строим целую функцию fj такую, что

^ (а3- ) = еУ;>(а) = е"(а); (9)

(г)\ < 2(1 + \г\2)2еу/(г), г £ С. (10)

Здесь ^(г) := (г + ю) : \ю\ ^ 1}, а А — абсолютная постоянная, которая от ] не

зависит.

В силу условия (7) на вес и, найдется С2 > 0 такое, что

(1 + И2)2 гес. (11)

Продолжим теперь оценку (10), рассматривая отдельно случаи \г-аj\ ^ 2Я^-, \г-аj\ < 2Я^-.

а) Если \г - aj \ ^ 2Я^-, то для всех ю с \ю\ ^ 1 точка г + ю находится вне К^.,щ, так что на основании (5)

1 1 2 С1

+ ю) = — у(1тх + 1тад) ^ — г>(| 1тг| + 1) ^ — г>(1т,г) + —. К К К К

Подставляя эту оценку и (11) в (10), получаем, что в этом случае

\/з(г)\ < С2Ае^ «(*)+£"О™*). (12)

б) Если \г-aj\ < 2Я^-, то в силу (8) и (5) для всех ю с \ю\ ^ 1 справедливы неравенства:

ео 1

Щг + ы) < [1 + ^)и(\г\ + 1) + -ь(\1тг\ + 1)

^ + х) и{г) + + (2 + ¿) •

Следовательно, возвращаясь к (10), для рассматриваемых г имеем:

| (13)

3) Покажем теперь, что для семейства {fj : ^ £ N нарушается условие (1з) критерия замкнутости 1т Л^ в Н"2°. Действительно, из (12), очевидно, вытекает, что fj £ Н" ^ £ N. При этом в силу (9)

и , и > \1з(аз)\ _ (1 -дп)и(а/) 4 ^ ОС

так что семейство {fj : ] £ N} не ограничено ни в одном Н?пМ >п,„.

зрь семейство {цfj : ] £ Так как ц (

и Сз > 0 такие, что

Рассмотрим теперь семейство {цfj : ] £ N}. Так как ц £ М(Н" '£°), то найдутся 1о > 0

\ф)\ геС.

Обозначим I := ^ + 1о, С := СгСзАе^+т?-)С'1. Тогда в случае — а^ ^ 2Я-,- на основании (12) имеем:

Если же ^ — а/1 < 2К/ < ¿0V 1 (и(а/)), то с учетом (3) и (13) Таким образом, семейство {/■ : ] € Н} будет

ограничено в Ндпипг,, если с[п >1 — . Значит, условие (1з) нарушено, что противоречит замкнутости 1т Л^. Тем самым импликация (И) ^ (ш), а вместе с ней и вся теорема, доказана.

3. Выметание масс субгармонической функции v(Im z)

Настоящий параграф посвящен изучению ограничения (А) на дефект субгармоничности функции v(Im z), при котором установлен основной результат работы. Итак, пусть V— гармоническое продолжение функции v(Imz) в круг К0,д, определяемое формулой (2). Сначала приведем некоторые общие свойства функции V

Лемма 1. Имеют место соотношения:

1) V(ге^) = V(ге*(п±^) = V(ге*(2п-^), 0 ^ г < К, < € [0,2п);

2) V(±г) ^ V(0), 0 ^ г < К.

< 1) Первое утверждение легко проверяется непосредственно. 2) Для г € [0, К] запишем функцию V(г) в виде

У{г) = и

К2 г2

п у К2 + г2 — 2Кг соя 9 0

v(К яш 9) ¿9.

Продифференцировав по г, сделав в полученном интеграле замену tg | = í и обозначив = А £ [0,1], получим, что

V '(г) =

4К

п(К + г)2

л

А2 — г2 ( 2Кг . ,

V -ц-Г СЙ -

(А2 + г2)2 V*2 + 1

г2 — А2 2Кг

■V

(г2 + а2)2 V*2 + 1

^г

0л Во втором интеграле проводим замену = ж, в результате будем иметь, что

л

V' (г) =

4К

А2 г2

п(К + г)2 у (А2 + г2)2

2 т

— V

2Кг А2 (г2 + 1)

г2 + 1 г2 + А4

¿г.

(14)

0

Л2 (£2 +1)

Функция ?/>(£) := ¿¿+Л4 убывает на [0,А], так что : £ £ [0, А]} = гр(Х) = 1.

Из этого следует, что в интеграле (14) выражение в квадратных скобках отрицательно при всех г € [0, А), так что V'(г) < 0 при г € (0, К). Значит, V(г) убывает на [0, К] и V(г) < V(0) при всех г € [0, К]. >

Перейдем теперь к обсуждению ограничений (А0) и (А).

Лемма 2. Для v(г) = г2 выполнено условие (А0).

< Пусть v(г) = г2. Прямой подсчет показывает, что в этом случае

К2

К2 г2

У( 0) = —; У(ге"р) =— -— сов2(р, г £ [0, К), <р £ [0, 2тт).

оо

V

Таким образом, для z = re^

r2 r2 r2 R2 r2

V(z) — f(Imz) = —---— cos 2ip —— sin2 ip = —---— cos2 ip ^ F(0). >

2 2 2 2 2

Лемма 3. Для функции v(t) = t3 условие (A) нарушено.

< Пусть f(í) = t3. Заметим сразу, что F(0) = Рассмотрим получающуюся

функцию V(z) на отрезке мнимой оси. Снова прямым подсчетом получаем, что

R3 / R4 - r4 (R2 + r2)3 2Rr

= ТТГ - 02^2 + овя-я arCt§

2п \ R2r2 2R3r3 ь R2 - r2

Соответствующий дефект субгармоничности

Л т,/- Ч з R4 R2 Г2 IÍR г\3 Л /г^3

2тг V г2 R2 2 \ г R/ 1-(^)2 V^

Введем новую функцию

1 2 1 (1 \ 3 2ж 3

д(ж) :=--т; + х Н— —Ь ж агс1г-^ — 2ттх , ж £ (0,1).

ж2 2 \ж / 1 — ж2

Возьмем точку ж = 0.35, близкую к точке локального максимума функции д. Для нее 5(0,35) и 2.796. Поэтому, если г = 0.35R, то ^ = §0(0) > § • 2.79 > 1.04. Таким образом, утверждение (А) нарушено. >

Аналогично можно пытаться проверять выполнение условия (А) для других модельных весов и, в частности, для весов вида р ^ 1. В заключение приведем результат, позволяющий распространять справедливость условия (А) с веса = £р на более широкий класс весов. Напомним, что положительная функция определенная на [0, то), называется правильно меняющейся порядка р на бесконечности, если для всех А > 0 Ит^оо = Хр■ При этом функция «;(£) имеет представление «;(£) = где —

медленно меняющаяся функция, т. е. функция, удовлетворяющая условию:

Ит^ = 1, А > 0.

Теорема 2. Если вес = р ^ 1, обладает свойством (А), то этим же свойством обладают и правильно меняющиеся порядка р веса V (£) = где £(£) — неубывающая

медленно меняющаяся функция.

< Пусть V(г) и V(г) — соответствующие весам V и V функции, построенные по формуле (2).

Зафиксируем е > 0. В силу условия (А) на функцию V, найдется Ro > 0 такое, что при всех R ^ Ro

Г П"

У(гег1р) ^(1 + е)У(0)+грБтрср, <р е 0, - . (15)

2

За счет леммы 1 другие ^ рассматривать не нужно. При этом

п J п V 2 ' 2

о

где В(а, в) _ функция Эйлера.

Выберем ó > 0 так, чтобы

п/2 71-/2

J sinp в^в> (1 - е) J sinp в de. (16)

arcsin 5

Считаем сразу ó настолько маленьким, что

Rpóp ópn

ПО) B(f^)

< е. (17)

Далее, поскольку £(£) — медленно меняющаяся функция, Ит^—юо -цщ = 1, так что, увеличив при необходимости До, можно считать, что

< 1 + е, г ^ Ко- (18)

L(ót)

Наша задача — установить аналог неравенства (15) для функции у. Проведем сначала две вспомогательные оценки. С учетом (16) имеем:

п/2

~ 2RP Í

F(0) =- smpe-L{Rsme)de

о

п/2

2RP >-

(19)

J sinp в • L(Rsinв) de ^ (1 - e)L(Ró)V(0).

п

arcsin 5

С другой стороны, очевидно, что

~ • Г П1

V(vew) < L(R)F(re^), г £ [0,Д), р £ 0, - . (20)

Пусть теперь R ^ До, г £ [0, R), р £ [0, . Рассмотрим отдельно два случая. 1. r sin<р < Ró. Тогда на основании (20), (19), (18), (15) и (17)

V(reicfl) < L(R)V(reicp) < 1 + е (1 + £+rP sinP

у(0) ^ (1 - e)L(Ró)V(0) ^ 1 - е V V(0)

1 + е/ (1 + £)(1 + 2£)

Т^ё V f(O)"J --•

2. Если же rsinр > Ró, то, применяя последовательно (20), (18), (15), (19) и учитывая, что V(R) = v(R) = Rp, получим

у(re^) - rp sinp р • L(r sinр) < L(R)V(re^) - L(Ró)rp sinp р < L(Ró) [(1 + е)V(re^) - rp sinp р] < L(Ró) [(1 + е) V(0) + eV(re^)]

< L(Ró) [(1 + е) V(0) + eV(R)] = L(Ró)

1

еп

< 1-е

Тем самым теорема доказана. >

еп

1 + е +

"V 2 ' 27 J

у (0).

Литература

1. Беренстейн К., Струппа Д. Комплексный анализ и уравнения в свертках // Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. мат. Фундам. направления.—М.: ВИНИТИ, 1989.—Т. 54.—С. 5-111.

2. Ehrenpreis L. Solution of some problems of division // Amer. J. Math.—1960.—Vol. 82.—P. 522-588.

3. Hormander L. On the range of convolution operators // Ann. Math.—1962.—Vol. 76.—P. 148-170.

4. Коробейник Ю. Ф. О решениях некоторых функциональных уравнений в классах функций, аналитических в выпуклых областях // Мат. сб.—1968.—Т. 75, № 2.—С. 225-234.

5. Епифанов О. В. Разрешимость уравнения свертки в выпуклых областях // Мат. заметки.—1974.— Т. 15, № 5.—С. 787-796.

6. Ткаченко В. А. Уравнения типа свертки в пространствах аналитических функционалов // Изв. АН СССР. Сер. мат.—1977.—Т. 41, № 2.—С. 378-392.

7. Meise R., Taylor B. A., Vogt D. Equivalence of slowly decreasing conditions and local Fourier expansions // Indiana Univ. Math. J.—1987.—Vol. 36, № 4.—P. 729-756.

8. Коробейник Ю. Ф. Разрешимость уравнений свертки в некоторых классах аналитических функций // Мат. заметки.—1991.—Т. 49, № 2.—С. 76-83.

9. Напалков В. В., Рудаков И. А. Оператор свертки в пространстве вещественно аналитических функций // Мат. заметки.—1991. —Т. 49, № 3.—С. 57-65.

10. Momm S. Division problems in spaces of entire functions of finite order // Lecture Notes in Pure and Appl. Math.—N. Y.: Dekker, 1994.—Vol. 150.—P. 435-457.

11. Momm S. Closed principal ideals in nonradial Hormander algebras // Arch. Math.—1992.—Vol. 58.— P. 47-55.

12. Meyer T. Surjectivity of convolution operators on spaces of ultradifferentiable functions of Roumieu type // Stud. Math.—1997.—Vol. 125, № 2.—P. 101-129.

13. Roumieu C. Ultra-distributions définies sur Rn et sur certaines classes de variétés différentiables // J. Anal. Math.—1962/1963.—Vol. 10.—P. 153-192.

14. Bjorck G. Linear partial differential operators and generalized distributions // Ark. Mat.—1965.— Vol. 6.—P. 351-407.

15. Braun R. W., Meise R., Taylor B. A. Ultradifferentiable functions and Fourier analysis // Results Math.—1990.—Vol. 17.—P. 206-237.

16. Abanina D. A. On Borel's theorem for spaces of ultradifferentiable functions of mean type // Results Math.—2003.—Vol. 44.—P. 195-213.

17. Абанин А. В., Абанина Д. А. Теорема деления в некоторых весовых пространствах целых функций // Владикавк. мат. журн.—2010.—Т. 12, вып. 3.—С. 3-21.

18. Абанина Д. А. Разрешимость уравнений свертки в пространствах ультрадифференцируемых функций Берлинга нормального типа на интервале // Сиб. мат. журн.—2012.—Т. 53, № 3.— С. 477-494.

19. Жаринов В. В. Компактные семейства ЛВП и пространства FS и DFS // Успехи мат. наук.— 1979.—Т. 34, № 4.—С. 97-131.

20. Абанин А. В. О некоторых признаках слабой достаточности // Мат. заметки.—1986.—Т. 47, № 3.— С. 485-500.

21. Абанин А. В. Густые пространства и аналитические мультипликаторы // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки.—1994.—№ 4.—С. 3-10.

Статья поступила 19 октября 2012 г. Абанина Дарья Александровна

Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, научный сотрудник отдела мат. анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22; Южный федеральный университет, доцент кафедры математического анализа РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а E-mail: abanina@math.rsu.ru

КузьминовА Алина Витальевна

Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, стажер-исследователь отдела мат. анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: kuzminova.alina@rambler.ru

18

AöaHHHa fi. A., Ky3bMUHQBa A. B.

ON DIVISION PROBLEM IN NONRADIAL WEIGHTED SPACES OF ENTIRE FUNCTIONS

Abanina D. A., Kuzminova A. V.

We study the inductive weighted space ffU,^ of entire functions defined by a sequence of nonradial two-part weights {qnu(|z|) + nv(| Imz, 0 < qn | 1. Under an additional assumption on the function v, we establish the division theorem in flU^. We also obtain some results about sweepping out the masses of the subharmonic function v(| Im z|).

Key words: spaces of entire function, division theorem, subharmonic function.