Температурное поле в прямоугольном брусе с внутренним тепловыделением Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО

ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА

1965

Том 137

ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ БРУСЕ С ВНУТРЕННИМ ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИЕМ

л. г. фукс:

(Представлена кафедрой котлостроепии и котельных установок)

В ряде электротехнических конструкций имеют широкое применение материалы, теплопроводность которых в различных направлениях неодинакова. К числу таких конструкций можно, например, отнести сердечники трансформаторов, магнитопроводы бетатронов и т. п., работающие в условиях внутреннего тепловыделения. Теплопроводность стальных листов вдоль пакета выше, чем в поперечном направлении, так что в целом сердечник можно рассматривать как анизотропное тело.

Задачей расчета является нахождение поля температур по сечению магнитопровода и, в частности, определение максимальной температуры перегрева.

Имеются приближенные решения задачи, например, работа [1]. Эти решения основаны на допущении большой разницы в теплопроводности анизотропного материала или применении приближенных способов численного интегрирования. Ниже приводится точное решение для бруса бесконечной длины.

Если направить оси х и у по осям симметрии поперечного сечения бруса (рис. 1), то стационарное температурное поле опишется уравнением

1 дЧ - ■

Г-¿у-- -"О. (1)

ох- оу-

Граничные условия при отводе тепла по закону Ньютона могут быть выражены как

а.\- - ¿п) = - ^ \ ПРИ * = ± (2)

яу а - ь) - - лу (—Л при у = ±ь. (з)

Здесь обозначено:

Ь температура в произвольной точке бруса, £0 — температура окружающей среды, 2а, 2Ь — линейные размеры сечения бруса,

Хл., д. — теплопроводность по направлениям х и у,

цг, — внутреннее тепловыделение, гх, яу — коэффициенты теплоотдачи от поверхности бруса по направлениям х и у. Введем в уравнение (1) и граничные условия (2), (3) новую функ цию и независимые переменные

& = t-t0, х = иУК- у = V

2а

У

а,

А,

л:

а

х

Рис. 1. Расчетная схема задачи.

При этом (1), (2) и (3) примут вид

ди? д%)2

+ Яг, - О,

л\(Эи/а,..Я1

дъ

г>=-Ь1

где .

V*

УК

¿г, =

а

У\

ь,

УК '

Будем искать решение в виде

& = т (и) + и (и).и(у). Подставим функцию (7) в уравнение (4)

иуп I/£/" + <р" + ^ = 0.

Подберем ? так, чтобы

?'Ч- ?„ = <>,

(4) (5),(6)

(7)

(8)

причем постоянные интегрирования определим из граничных условий Находим следующий вид функций:

2

У (а)

1

и

ах

а

1 _

(9)

При таком выборе <р получаем из (8) после разделения перемен

ных

У"/!/= —£/"/£/

(10)

Для нахождения частного решения воспользуемся условиями симметрии, которые в рассматриваемом случае записываются как

\diijи- о дv V„о

(11) (12)

Полное решение дифференциального уравнения (4) при граничных условиях (5) и (6) будет

»(а,®)

а1 ) а1

Ь X! Ап 008

(13)

п-= 1

Постоянные Ап и собственные числа % находятся из граничных условий обычным путем. Окончательное решение задачи после перехода к исходным аргументам имеет вид

2 . 2ХГ

Яу*'

2К

1

а • ах

ЭШ ¡^я • СОБ^л —СЬ

а

X

х 1 +

эш 2\>п 2рл

(14)

где собственные числа \*-п представляют собой корни трансцендентного уравнения

= (15)

V

Значение первых двух корней уравнения (15) приведены на рис. 2. Более подробные таблицы имеются, например, в работе [2].

Анализ уравнения (14) показывает, что в большинстве практических случаев расчета достаточно ограничиться только первым членом бесконечной суммы. По крайней мере, если величина

-^<0,5.

то, отбрасывая второй член, мы сделаем ошибку меньше, чем 0,2 % от всей суммы.

При работе с точным решением следует располагать ось х в том

<х «а

направлении, в котором величина —- окажется наименьшей, так

как в этом случае сходимость ряда будет лучшей.

В качестве примера приводим сравнение предлагаемого расчета с методом, принятым в работе [1], откуда заимствованы следующие ниже данные.

Пример: Бесконечный брус прямоугольного сечения 0,48Х0Л6.^2, коэффициенты теплопроводности которого соответственно равны

12 а

4.0 0$

03

о? 0,6 0,5 О/*

Рис. 2. Корни трансцендентного уравнения

*ха .

/Г г

л* л вт I 1г впг

45,4 ----- и 1,1о- нагревается за счет внутреннего тепловыделе

м С м С

ния интенсивностью 30200

вт

м

Охлаждение бруса происходит с оди-

наковым коэффициентом теплоотдачи 62,8 по всем граням.

м2 С

Температура окружающего воздуха 35 С. Найти температуру любой точки бруса и определить максимальную температуру в условиях стационарного нагрева. Определим две величины

^1^ 0,332, 54^08 = 39 1

Таким образом, ось х удобнее напоавить параллельно стороне 0,48 м. При этом =0,9547 и ^ = 3,24! Данные задачи будут следующими:

а ----- 0,24 м, Ь = 0,08 м9 \х. = 45,4 вт/м°С,

- 1,1 б в т/мсС, о.А. ----- - - а 62,8 й г>- С.

Яг, -Ш№вТЖ\ /и - 35 С.

Вычисляем последовательно расчетные комплексы

__ ШО-Л

2/„

УГ 1,138;

Va

= 6,25:

С1 V а -а

и, подставив эти величины в (14), с учетом только первого члена суммы получим после преобразований

t(xty)--= 169,8 333 -Х2-64,7 cos-2,28 х-ch 14,25 у.

Для определения температуры величины л* и у необходимо брать в метрах.

Максимальная температура будет в точке л*у — 0,

Л пах - Ю5,1 С.

(по расчету, приведенному в работе [1], /„.ах 98 С).

Подсчет поправки, связанной с пренебрежением вторым членом ряда, дал малую величину 0,2-10"С.

Выводы

1. При расчете температур анизотропного прямоугольного бруса с внутренним тепловыделением следует пользоваться предлагаемым точным решением, дающим величину температуры в любой точке бруса.

2. Особо рекомендуется применение точного решения при близких значениях критерия Био по двум взаимно перпендикулярным направлениям сечения бруса, так как в этом случае приближенные способы могут дать значительную ошибку.

ЛИТЕРАТУРА

L A.A. Гурченок. Расчет температуры нагрева магнитопроводов бетатронов. Известия высших учебных заведений, Электромеханика, №3, 1959.

2. А. В. Лыков. Теория теплопроводности. ГИТТЛ, Москва, 1952.

3. Заказ 5734.