CC BY
10
ИЗВЕСТИЯ
¡ОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО
ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА
Том ПО 1962
К ВОПРОСУ О ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ ТЕЛ С ВНУТРЕННИМ ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИЕМ
Г. п. БОЙКОВ. Ю. л. КОРОЛЕНКО (Представлено проф. докт. гели. наук Г. II. Фуксом)
В электротехнике очень часто возникает вопрос о температурном ноле тела с внутренним тепловыделением. - Нередко эти тела имеют неодинаковые значения коэффициентов теплопроводности но осям координат. В ряде случаев (некоторые типы магнитопроводов, конденсаторы и др). такие анизотропные тела имеют различные коэффициенты теплоотдачи а на различных участках поверхности тел.
Распределение температур в таком брусе при начале координат в центре симметрии тела описывается уравнениями:
#t(x-y) ,Щх-.у)
Ai......... /-> —------------ -j- cJ • — и; \ j
ох'1 " ()у-
0t{0; v) n <)t{x: 0)
----------- . —(_)• . ..л----------- ()• |
<)X (>y
dX
Здесь 2/?1 • измерения тела, д- и V текущие координаты точек
сечения тела, и температуры окружающей среды, то 'Внут-
реннее тепловыделение, одинаковое по всему объему тела. Уравнение (1) можно переписать в виде
(Щх\ у)
дх"
02Цх; у)
1 дЩх\у) <>х?
W
у)
дУ2
дЧ(х- у) *-2 df >Ч дЧ{Х\ у) дх-'-
/w
Считая, согласно [1], отношение составляющих расхождения градиента температуры постоянной величиной, последние соотношении запишутся так:
дЧ(х;у) „
дх-
Решение уравнений (4);
t{x\y)
W
>■1
ZUX2
V)
w
д.,
Лу)А-+ ?(у)
(4
ф; у)
1 гоу-•11.
!- A-v)v : -Ц")
Из условий симметрии (2) вытекает, что
f(x) /(У). 0.
Учитывая это, получим при х 0 или у О '(0; У) = ?(у); ¿(л- 0) -гих'
Теперь
фс; у) =
у).
(Л
t(x; у)
1 wy2
•21.
- их: 0).
16
Полагая в уравнениях (4) соответственно л0 и у — 0, получим систему обычных дифференциальных уравнений
d2t(x; Q)t, dx2
Их решение fix; 0j =
wx~
Wh
Du
d4(0jy) rfv2
¿(0; y)
■w
wy-
IX.
Так как при Х--У---0, НО; 0) -/Л то температура центра
тела, и выражения (5> и (6) становятся одинаковыми:
t(x: y) = D
WX" wy >
2
(7)
„'A ,
Решение (7) удовлетворяет дифференциальному уравнению теп лопроводности (1) и условию симметрии (2).
Для удовлетворения граничных условий (3) необходимо соответ ствующим образом определить и П. Принимаем
, у)г„ - //,
где
дХ
'>х
ъЩ Г-1
(8)
/(Л'!; у)ср - у к/у О
И, .! ' ' 2Г>Ч 6Х,
II
Г(х; [1Лср - - ГЦх: ЯМх^-О 1 ./
"6ГХТ
Подставив значения t(Rx\ у)гр и ¿{х; /?.м»)Г/> в (8), после преобрази на ний получим
Ях /?2 ЗХ, ;
4оц 4 а2
Яг 4а, ... За., ¿/-¿л иг
(У)
и температуря центра тела будет
' + (Ю)
Значения температур, найденных в различных точках поперечного сечения бруса по формулам (7), (9) и (10), хорошо совпадают с данными, полученными методом элементарных балансов. Результаты сравнения приведены в таблице 1. При расчетах было принято:
а5л/. 211, - 1,0л. л, - 1 ккал
мяас°С
к кн.! , . ккал
- оО ■ ----- . ,7, - 1000 ---------
м час С м-чагхС
10 ККаЛ-, Г, -20 С. /.. 40С. м-час С
_ ккал
хи -- ;>П0..........-
м*ча с
Та блица 1
Координаты точек (м) Температуры точек °С Расхождение н
-V? ; ( ! х 1 у по ф-лам <7)<9) и (10) методом элементарных балансов
[ I ; <> 1 101.3 ! 101,3 0
2 0,1 0 88,34 88,34 0
3 ] 0,2 0 » 49,46 ; 49,65 0,38
4 \ о ! 0,2 100,34 100,34 0
Г) 0,1 | 0,2 87,38 87,38 0
6 0,2 ; 0,2 ! 48,50 48,79 0,6
1 0 0,4 97,44 ! 99,70 2,2
8 ! 0,1 1 0,4 | 1 84,48 ! 86,89 2,8
0 0,2 1 0,4 , 45,60 | 47,40 3,8
Заключение
\
Изложенный приближенный метод расчета температурного поля анизотропного бруса, находящегося в сложных условиях охлаждения, отличается простотой и достаточной точностью, кроме точек, лежащих на поверхности бруса, т. е. при х—Я^ и у~/?2 и близких к ним.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бойков Г. П. Прогрев тел конечных размеров под действием лучистого тепла. .Известия ТПИ\ том 101, Томск. 1958.
