CC BY
17
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОЕ
ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА
Том 115 1960
СТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ, ВЫРАЖЕННЫХ ЗАКОНОМ СТЕФАНА-БОЛЬЦМАНА, И ВНУТРЕННЕМ ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИИ
Г. П. БОЙКОВ, Ю. А. КОРОЛЕНКО
(Представлено профессором доктором Кутявнным И. Д.)
В качестве примера рассмотрим тело бесконечной длины прямо угольного сечения, для которого
дх-
дЧ{х-,у) ду2
дЦ0; у)
дх
= 0:
~Яг
-Я,
дЦх-,0) д\>''
- 0;
-я,
я,
(1)
(2)
/ч --С.,, о.
--Л
Здесь гс>
дх
сЯ(х; /?,)
ду ккал
■П
— * с
— ^-п
100
\
100
I 100
Г/ V
Тоо
(3)
м?яас
внутреннее тепловыделение, одинаковое по все-
му объему тела, коэффициент теплопроводности,
м. яас. град
£л—приведенная степень черноты системы,
Т f — температура окружающей среды, < /?2 — измерения тела, х "и у—текущие координаты.
Уравнению (1) можно придать форму
д'Ч(х:у) дх'г
д'Ч(х;у)
ду'1~
1 д-----------
^ дЩх;у)_
дх-
^ _ _1_
д'Ч {х\у) Г дЧ(х\у)
ду2
ду-
дЧ{х-у)
дх2
Считая, согласно [1], отношение составляющих расхождения градиента температуры постоянной величиной, последние соотношения представим в виде:
у)_,_= к' Ох- л
дЧ(х-у)
д\<- ; — 1
(4)
Отсюда
•К' х-
2;>.
— ——+/(■«) у + ? (Л)
2/.
-1а основании условий симметрии (2)
/(*) -/(у).....о
Ь{х\у) -
тах-
г? (У),
ч --1 ^У" I / ч
¿(х;у)=--------тт-+ <?(*)•
с 2 А
Для центральных условий (когда х—О или у=0) получим соответственно
¿(0;у) = ?(у); ¿(*;0) = ?(.*)
>1
та л*'
2; л
(5)
: 2 А
(6)
Полагая в (4) соответственно х=0 и у—0, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений
й'Ч(х\0) та
с1-х- /.
¿4(0; у) ;
¿у2
та
;Их решение
■тал"-
А; ^ (0; у)
с —— 1 тау:
2Х
До.
Так как при и у=0 получаем £(0;0) = Л, то = О и вы-
ражения (5) и (6) становятся тождественными
Нх\у) = &-----— •
2;л 5 2/.
Решение (7) удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности (1) и условиям симметрии (2).
Неизвестные постоянные си О определяем из уравнении (3), положив в них
я,
= ГПЯьУМУ = ^-----^
Ко : 6/- '
~ О
я.
1 та/?.1; та/? у
С Т {х-Я^их—О
/м и
2Л 6:/-
Подставляя в (3) соответствующие значения температур, получим:
/л _ та'ЯЗ
^ ( Т/ у ' ш 5 6А
См \ 100 / \ 100 1 '
77 ^П
п_ К-/??
(8)
= 1 | . Т> VI ^_2>. 6;/.
• ' \ юо I [ ]бо" 1
Решая систему уравнений (8) относительно О и получим: V ЪпС„ + I 100 ) ^ 25л ' ; 6. "
V ипс0 1 I 100 / V
та/?, . ( Т, ■ / Т /
~з/7С0 ; ' \ 100
* (10)
300 X
Уравнение (10) используется для определения так как все остальные величины, входящие в него, известны из исходных условий.
Затем из уравнения (9) рассчитывается О—температура центра тела, а по уравнению (7)—все температурное поле тела.
Значения температур, найденных по формулам (7), (9) и (10), в различных точках поперечного сечения металлического бруса совпадают с данными, полученными методом элементарных балансов.
ЛИТЕРАТУРА
I. Г. П. Б о й к о в. Прогрев тел конечных размеров под действием лучистого тепла". Известия ТПИ, т. 101, Томск, 1958.
