CC BY
8
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ политехнического
ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА
Том 115 1960
К ВОПРОСУ О ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ АНИЗОТРОПНОГО ТЕЛА ПРИ ВНУТРЕННЕМ ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИИ
Г. П. БОЙКОВ, Ю. А. КОРОЛЕНКО (Ирсдсганлепо профессором доктором И. Д. Кутишшым)
В электротехнике очень часто возникает вопрос о температурном
к к ал
поле тела с внутренним тепловыделением гс - -.......
л'6 час
Нередко эти тела имеют неодинаковые значения коэффициентов к кал
теплопроводности /........... по направлениям осей координат (сердеч-
млас~С
ники и обмотки трансформаторов и т. д.). Распределение температур в таком теле при бесконечном одном измерении и начале координат в центре тела описывается уравнениями:
О- 1(х:у)
С1 X-
0 х
>.....=
д V2
0)
ду
- 0-
(1> (2>
Ч — Чм/^.ду) —М,
Ох
/..,...............- — а | И а; АМ — гг\.
() V 4 '
(3)
Здесь 2 2 /?2 — измерения тела, а* и у — текущие координаты. — температура окружающей среды, а — коэффициент теплоотдачи. Согласно уравнению (1) можно написать:
оЧ(х:у)
о х''
и с) у2 л, гЯ/-(А;у)_ О х-
дх*
(-читая, согласно [1], отношение составляющих расхождения градиента температуры постоянной величиной, последние соотношения представим в виде:
д л--
хС Х~
Тогда / (л'; у) ^ - ': /(у)х г ? (у)>
2 ; а,
( (А-; у) - - ■ - / (х) у-г ? (Л-).
Из условий симметрии (2)/(х) -/(у) - 0. Учитывая это, при л- 0 или у — О, получим / (0; у) - ? ()'); ? {х; 0) = -р {х). (Следовательно,
!(х-у) = - (5)
с- г (X; у) ; да
л"г " ¿> г-1 " л.7
* (х; у) - - ^ + '0)- (6)
: 2 /-2
Полагая в соотношениях (4) соответственно х--0 и у - -0, получим систему обычных дифференциальных уравнений:
сР Г ,, _ хс сР / (0: у) __
с! х'2 .А; с! у1 1 Л2
Их решение :
Г(х-90)~- + Д; I (0; у) ^ : О,.
V 2л,
Так как при л-— 0 и у — 0, I (0; 0) = то Л] — /X = tц — температуре центра тела п выражения (5) и (б) становятся одинаковыми
4. / \ и ^ А*2 - 1 V2
t (л*; у) - tn——-----------— ■ О
( 2 V ч ; 2 л о
Уравнение (7) удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности (1) и условиям симметрии (2).
Температуру центра тела и V ищем исходя из условия (3), считая температуры на поверхности тела ( (Кх\у) и ?(х\Й2) постоянными,
равными среднеиптегральным температурам соответствующих поверх постей:
------,--------* I <-р №;у)- ¡г ; — /'2 —7—[*ср(х-Л1)- ¿Л
б х д у
гле ,, 9 . (8)
ир(КиУ) ---- 0 = --------—
п \ ({х-Я1)с1х-^г - —------------------к**.
/?, 5 6 ; ; 2 л,
Зная значение ^ и учитывая (7), уравнение (8) представим в виде:
<£'/?, 1 , ,
-— ~ — К* ~ Ч и —-- -—•••• = Гц - К,, - (/.
; а а ;
Вычитая из первого выражения второе, получим:
Г— 1 и^ _ , Г— 1 ^'^у _ 1
;'а а г v 2 а2 _ 2 г л! _ 6а, '
откуда
+
Температура центра тела
а з А 2
а 3 а.,
Ъ л? ,
19)
^ 1 1 2 с' А| ' г б А2/
Значения температур, найденные по формулам (7), (9) и (10), отличаются от температур, полученных методом элементарных балансов, менее чем на \%.
ЛИТЕРАТУРА
1. Г. П. Бой ков. Прогрев тел конечных размеров под действием лучистого теп-та, Томск. Известия ТПИ, том 101, 1958.
