CC BY
10
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО
ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА
""Гам 115 1%П "
СВЯЗЬ МЕЖДУ ИЗБЫТОЧНЫМИ ТЕМПЕРАТУРАМИ ТЕЛА
КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ
Г. ¡1. ВОЙКОВ, Ю. А. к'ОРОЛЕИКО (Представлено профессором доктором И. Д. Кутяшшым)
Большое число явлений теплопроводности может быть в общей виде описано дифференциальным уравнением
()Ч> о2 V г, ...
- /\ ( 1}
ах- Оу-
где I' может зависеть от времени (нестационарный процесс) и можсл не зависеть от времени (стационарный процесс);*1 7 — 7'г - - избыточная температура тела (разность рассматриваемой температуры и температуры окружающей среды).
Исходное уравнение (1) представим в виде двух соотношении:
—У \ -2'1' 7 1 1 Х--/-'
1 г- ду' | '
1 ; 1С.-
JUL / 1 с)У
Ох'1 / \ " (Fv
Считая отношение составляющих расхождении градиента температуры
rPv ду'г d-v
Тх*
} j а х од и м з а в и с и м о с т ь
const, [1J
d-_v_ 1 d'2v_ Ox "i ' ()v-
Решая последнее дифференциальное уравнение классическим методом Фурье с учетом симметрии (начало координат в центре тел л). получим
v (а*; у) I) ' cos (к \ > ' у) ' cos А'А",
отсюда
v (0: v) ^ D ' cos k 1 'Г* v; cos k i v ;
■ D
•i' (x; 0) — и cos а*л"; cos кх = - — .
D
Следовательно,
x> {.v; 0) ' v (0; v) v(x\y) - -----—-----;
при должна получиться температура центра бесконечного пря-
моугольного бруса. Это дает основание утверждать, что D (0; 0) — температура центра. Поэтому
, V (х; 0) • -V (0; V) ..
г- (х; у) = ---• п -мГ ' - , (2и
v (0; 0)
точно так же
v (Ri\ у)D • cos к\' ну ' cos kRi: v (х; R->) D ' cos /t | 4 R2" cos кх;
:,«,v:v) -•мл.АМ-.сД'.у) ;
. D' cos kRi cos куЩ-i '
при x — Ri; у R.> должна получиться температура ребра бесконеч-ного прямоугольного бруса. Это дает основание утверждать, что
D • cos к-R, • cos at >' Я, --- v (Ri /?,);
поэтому
Для граничных условий, характеризующихся бесконечным 'коэффициентом теплоотдачи, формулы (2) дают неопределенность вида О'1"
■ и -
и ---------. Изоежать неопределенность можно лишь при условии: 1 по
0 1 -формуле (2а) не искать значение 2) в формуле (26) вместо
R1 и R2 брать несколько меньшие значения (напр., 0,9/?,; 0,9 R2 пли 0,8 /?,; 0,8 R2). Так как случай граничных условий при бесконечном коэффициенте теплоотдачи явление весьма редкое, большей частью создается искусственно, то сделанная оговорка по сути дела практического значения не имеет. Формулы, аналогичные (2) для параллелепипеда и цилиндра конечных размеров, получаются аналогичным методом.
Справедливость подмеченной закономерности покажем на ряд-,1 примеров.
Нестационарный процесс переноса тепла в изотропном теле при граничных условиях первого и третьего рода
Согласно |2j
ос
у а-
'V {х; у) - * ¿п (т) ■ cos \in 2ш А»г {z) ' cos о : (ah
R i Ri
n 1 m — 1
V V
'(0;у) = -1'0- — Ат {')• со8 ^ ; (б)
т 1
ос
V л* V
г>(х;0) = г\г ^ Ап(-) . еов^ • ^Л,«''1: ("О
;? 1
л
'у(0;0= ^^„/т). (г)
т = 1
Подставляя (б), (в), (г) в (2;|), после сокращения получаем решение (а).
Стационарный процесс переноса тепла в изотропном теле при граничных условиях третьего рода и внутреннем тепловыделении
Для бруса прямоугольного сечения 2 ^0,5 м\ 2 Iм при
„ .40 - ; я — 30 —.....: /г=() (: 11''-—20000- ккал —
иг. град. м~ час град. м6 час
I " "" расчет температурного поля методом
\ 7 8 9: элементарных балансов дал результа-
I ' ■ * ! ты' показанные на рис. 1 (цифра и
! 7 I П7,1 ! 112,2 ! левой нижней части ячейки), там же
1 приведены результаты расчетов по ' формуле (26) (цифра в правой верхней | части ячейки). Ввиду симметрии изоб-; ражена четвертая часть сечения бру-| са.
Система уравнении элементарных балансов была решена на электриче-— с к ом автомате при ТГУ. | : На рис. 1 точка 1 является цент-
1 9 ; \ ром тела. Ось л* идет отточки 1, пе-
¡7 ! ресекая точки 2 и 3. Ось у —от 1 че-
! ! ! рез 4 и 7. Температуры в ячейках от-
-ЗК2 129,4 | 123,3 носятся к точке в средине ячейки.
Расчеты по формуле (26) производи-
те 1 126.5
; 126,7 121/2
^ лись следующим образом:
Т'- ' '71- / 7'--./
Х> : = 131 / '
с'-, так как
\
126,5 и т. д. -г», - 128; -г».> = 129.
Стационарный перенос тепла в анизотропном теле при граничных условиях третьего рода с внутренним тепловыделением
На рис. 2 приведены данные температурного поля в виде V -=¿—35' С, полученные численным решением дифференциального уравнения теплопроводности I? сечении магнитопровода бетатрона |3| (цифра
в левой нижней части ячейки). Здесь же приведены расчеты по формуле (26) (цифра в правой верхней части ячейки). Ввиду симметрии изображена лишь половина сечения.
13
14
1(5
54,8
51
44.2
1 32.3
58,3 !
54,5
7,3-
10
11
12
58,
О-)
/ , •>
! 34,5
fil. 8
7, (>
50
61.4
57,3
63,6
9 .
63
: 60
! 49,5
59,4
50,6 Рис. 2.
36,5
51,5
! 37,6
Расчеты по формуле (26) производились следующим образом: = = 63,6; т„( - =54,5
fc'lli Z'I«
и т. д. z^. -=57,6; 1>9 = 58Д
Таким образом, при исследовании температурного поля в телах: (когда тепло распространяется более чем в одном измерении) достаточно найти распределение температур по осям симметрии тела (брус прямоугольного сечения, параллелепипед, короткий цилиндр). Значения температур оставшейся части поля могут быть вычислены косвенно, по формуле (2а). Особую ценность для подобной же дели имеет формула (26). Она дает возможность точно рассчитать температурное поле всей массы тела, если точно замерены соответствующие температуры на поверхности (бруса прямоугольного сечения; параллелепипеда, цилиндра конечных размеров). Она дает возможность определить температуру центра тела, когда в связи с условиями технологии к нему невозможно проникнуть с термопарой.
ЛИТЕРАТУРА
1. Г. П. Бойков. Прогрев тел конечных размеров иод действием лучистон; тепла, Изв. ТПИ, т. 101. 1958.
2. А. В. Лыков. Теория теплопроводности, ГИТТЛ, М., 1952.
3. А. А. Гу рченок. Расчет теплопередачи в охлаждающих пластинах магнито-провода бетатронов с воздушным охлаждением. Изв. Высш. школы. Электромеханика, № 2, 1959.
