Распределение температуры в теле эллиптического сечения с внутренними источниками тепла Текст научной статьи по специальности «Физика»

^^ же,** ;

__| ИЗВЕСТИЯ

томского~ор1ГЕН"А трудового красного знамени политехнического

ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА

Том 125 1964

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ В ТЕЛЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО СЕЧЕНИЯ С ВНУТРЕННИМИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛА

в. в. иванов (Представлена проф. докт. техн. наук Г. и. Фуксом)

В статье производится расчет температурного поля в теле эллиптического сечения с внутренним тепловыделением. Граничные условия заданы коэффициентом теплоотдачи к и температурой окружающей среды, равной нулю. Решение дано в эллиптических координатах.

Известно, что для лучшего охлаждения тепловыделяющих элементов (электрических проводников, стержней ядерных реакторов и т. п.) необходимо иметь большую поверхность теплоотдачи. Увеличение поверхности может быть достигнуто либо оребрением, либо заменой стержней круглого сечения, имеющих минимальную поверхность теплоотвода, стержнями других сечений, например, овальных или эллиптических.

Вопросам расчета температурных полей в телах эллиптического сечения при наличии внутренних источников тепла посвящены работы [1,2]. Однако полученные результаты нельзя считать окончательными из-за ряда допущений, принятых для упрощения исследования.

Рис. 1.

Будем искать распределение температуры в бесконечно длинном теле, сечение которого представляет собой эллипс с полуосями а и Ъ (рис. 1). Рассматриваемое тело находится в среде с нулевой темпера-

2. Известия ТПИ, том 125. - П

турой. Внутри тела действует одинаковый по величине (на каждыиж3) источник тепла коэффициент теплопроводности (X) и коэффициент теплоотдачи (/г)—величины постоянные. Чтобы найти распределение температуры, необходимо решить уравнение Пуассона

ДГ +

q_v_ х

о

с граничным условием—X §гас! Т ~ 1гТ на поверхности тела.

Для получения формулы, описывающей температурное поле, воспользуемся системой эллиптических координат а, ¡3 [3,4], 0<^<со, —7с<р<тс. Если а = а0—уравнение поверхности тела, то

а ~ с сЬ а0, Ь = с эЬ а0, с = Уа2—Ь2. Уравнение Пуассона в эллиптических координатах имеет вид

1 ( д*Т ,

С2 (с^а-соэ2?) V да2 + ! ' \

а граничное условие дается зависимостью: при к=а0

1 дТ

- X

с У ch2 а0—cos2f¡

да.

hT.

(1)

(2)

Я J'

Подстановка и (а, р) = Г(а, 3) + (зЬ2а + соэ23)

4Х

преобразует уравнение (1) в уравнение Лапласа

да? <Э32

(3)

а граничное условие (2) примет вид при: а=а(

1

(dU

V /->2

с2 sh 2а,

Bi

4v_ 4Х

Bl — —.

X

У ch2a0—cos2,3 \ дл 4X

X (sh2 ct0 + cos23) — U Решение уравнения (3) дается зависимостью [3]

со

и = 2 Ап ch п a eos ti ¡3 + Вп sh п а sin п 3,

с2Х

(4)

л-0

причем в нашем случае из соображений симметрии следует положить Вп = 0. Постоянные Ап найдем из граничного условия (4)

У пАп sh п а0 cos п р

Яг

с2 sh 2%л 1 =

У ch2a0—cos2p\ 4Х

п=о

со

(sh2cx0 4- cos23)— Л/г ch a0cos п$ п = о

= Bi

(о)

Функция /(¡3) = > с1а2а0—со523 — четная относительно разла гаем ее в ряд по косинусам 18

]/ch2

a

an - cos2p = — + ¿Jtn cos n P-

/г-1

где

l/ch2 a0 - COS2P COS Яр

Так как cos/гр = cosf — С« cos"'""2p sin2 p + C4„ cos*"4p sin4p—..., то нетрудно показать, что все ап с нечетным п обращаются в нуль. Поэтому

оо

У ch2 a0 - cosf = ^ -г S a2*COS

Переписывая (5) в виде

л-1

У\ п Ап sh /га0 cos я р — с2 sh 2а0 = 5/ ^ c2(sh2a0]/ch2 a0-cos2P+ ^ 4Х 4Х

л=0

+ У ch2a0—cos2p cos2p) — Bi ^ Jj ch л aocos n P "

a, 2

/2—0

В/ ^ a2„ cos 2/гр 2 ch n a0 cos /г p

n=1 ra-0

и интегрируя по P от 0 до получим

тс

- ^ с2 sh 2а0 7- = Bi ^ с2 ( sh2 а0 Г Vch^^co^ ¿p + 4Х 4Х V J

о

TZ

+ jVch2 а0 — C0S2P cos2P Bi— (a0A0-\- ch2ria0a2nA2n).

о /2

Откуда

^ с2 sh 2a0 тг + В i ^ с2 ( sh2a0 \ у ch2 a0 - cos2? dp +

¿¿A ¿K

+ (Vch2a0

xJ

0

eos2 8 COS2 p ¿3

: Bi 7Г ch 2/z a0 a2n, n = 0, 1, 2...

Для вычисления интегралов в последней формуле используем подстановку х = тс/2 — р. Тогда

J / ch2«;

— COS,¿p rfp =

¿

/cha° j/"

sin2 д: ch2an

— 2ch a0Z;

ch an 2 A

где полный эллиптический интеграл второго рода.

2*. 19

Vcti\ ~ cos2|i eos2 P d? » f ch a0 \f 1 - sín2^ sivrxdx =

J Г chJa0

- 2 ch a.

sh2a0 ^

Ch a,

+

/2—ch2a(

chx

где Р—полный эллиптический интеграл первого рода [5]. Определим теперь а2п

а

2п~— 1 V ch2 a0 — cos2t3 (cos2"¡3 —C^cos2" sin2¡3 + ... Щ

4chan

X

jV^S

(sin2ла--С„2 sin24'2xcos2x+... \dx

2cha,

Б

2я+1 X 2 ' 2

XM-^-j^ + i;-^)-

2 2 ch-a0

a-«i^1

2/z

/1+1, -

2 Г ch2a

где 5(у, г) — бэта-функция, У7! (у, /7?; —гипергеометрическая функция [5].

Окончательно искомое распределение температуры описывается уравнением

со

^К?) - 5]Л2«сЬ2/гасоз2/гЗ- ^(эЬ2 а+соэ^), ^ 4>.

л О

в котором находится из соотношения

А

_L

fe

г }2> sh2a

с2 sh 2я0 тс + — £2 ch a,

л

sh2 a0 i:

ch a,

Z7

cha0

:Bí7rch2n a0 a,n.

ch a,

При к оэ (это соответствует распределению температуры в стержне эллиптического сечения, когда его поверхность поддерживается при нулевой температуре) получаем решение, приведенное в [3].

ЛИТЕРАТУРА

1. Бойков Г. П. Температурные поля в телах конечных размеров при внутреннем тепловыделении. ИФЖ, № 5, 1959.

2. Бойков Г. П., Короленко Ю. А. Температурное поле в брусе эллиптического сечения при внутреннем тепловыделении. ИФЖ, № 12, 1960.

3. Лебедев Н. Н., С к ал ь с к а я И. П., У ф л я н д Я. С. Сборник задач по математической физике. Гостехиздат, 1955.

4. Морс Ф. М. и Фешбах Г. Методы теоретической физики Т. П,ГИИЛ, 1960,

5. Град штейн И. С. и Рыжик. И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и лроиззедений. Гостехиздат, 1962.