Температурное поле и теплопередача в потоке вязкого несжимаемого газа между двумя параллельными гармонически колеблющимися пластинами Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ Т о м IV 19 7 3

№ 3

УДК 536.248

ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ И ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В ПОТОКЕ ВЯЗКОГО НЕСЖИМАЕМОГО ГАЗА МЕЖДУ ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ГАРМОНИЧЕСКИ КОЛЕБЛЮЩИМИСЯ

ПЛАСТИНАМИ

Е. М. /Кмулин

Приведены результаты исследования решения неоднородного уравнения теплопроводности для случая ламинарного движения вязкого несжимаемого газа между параллельными гармонически колеблющимися пластинами бесконечной длины.

Определено количество тепла, передаваемого через колеблющуюся поверхность, когда температура ее поддерживается постоянной, а подвод тепла через неподвижную пластину отсутствует.

Рассмотрим задачу о распределении температуры для случая ламинарного одномерного течения вязкого несжимаемого газа между двумя параллельными пластинами бесконечной длины. Нижнюю пластину (назовем ее пластиной 2) поместим на оси х и положим, что скорость ее движения равна нулю. Верхнюю пластину (пластина I) расположим на расстоянии к от оси х параллельно пластине 2 и зададим ей колебательное движение по закону и{ = иа е1Ш , где — мгновенная скорость верхней пластины, и0—амплитудное значение скорости, о) — циклическая частота колебаний и / —время.

Для сформулированных условий задачи уравнение теплопроводности будет иметь вид:

¿)у2 I \ду )

где о—плотность газа (постоянная величина), g — ускорение силы тяжести, с —удельная теплоемкость, Т — температура в потоке, А.—’Коэффициент теплопроводности, ¡л. — коэффициент динамической вязкости, / — механический эквивалент тепла, и—скорость газа в потоке, у = у/к— относительная ордината.

Источником тепла в потоке является работа сил вязкого трения (помимо внесения в поток тепла путем передачи его на границах), которая зависит, как это следует из уравнения (1), от квадрата градиента скорости.

В работе [1] показано, что для рассматриваемого случая распределение скорости внутри потока между двумя пластинами в комплексных переменных определяется формулой

_ м = (2)

где 5 = (1+0 1/ , V = (л/р — коэффициент кинематической вязкости.

' г 2 V

Положим, что температура газа между пластинами при отсутствии возмущений равна Го, и обозначим Т = 7'0 + т, где х— температура в потоке, вызванная колебаниями верхней пластины.

Определяя значение скорости и, производной даіду в области действительного переменного, запишем уравнение (1) в виде

, 2 , - — дг V д2 х ^ио'і вії2 '¡у -)- соє2 '¡у

~ді ~ к2 Рг дуг ёсИ!* вії2 7 + віл2 7

vuo 'І 8 (v) eos 2 u>t + 0 (y) sin 2 iat

¿■с/й2 (зИ2 7 + вт2 7)2 ’

где 7 = л|/Г_!1_, Рг—число Прандтля, а функции & (у) и 0 (у) определяются следующим образом:

(4>

& (У) — ~ [(1 — &)sh 2 7 .у-sin 27у +а (1 + ch 2 7у-eos 2 7_у)],

® (У) = ~4~ Ia sh 2 7y-sin 2 7 у — (i — b) (1 + ch 2 73)-cos 2 7 y)],

a = sh 27.sin 27, b = ch 2 7-cos 27.

Таким образом, задача об определении профиля температуры в ламинарном потоке вязкого несжимаемого газа между двумя пластинами, движение которых определено выше, сведена к решению линейного уравнения теплопроводности для однородного стержня единичного сечения длиной h с теплоизолированными боковыми поверхностями и внутренними, непрерывно действующими источниками тепла.

Из уравнения (3) видно, что источники тепла разделились на два вида: установившиеся, зависящие только от у, и неустановившиеся, являющиеся функцией у и t.

Не оговаривая предварительно граничных условий, вопрос о которых будет рассмотрен ниже, определим решение уравнения (3). При этом положим, что число Рг=1. В силу линейности уравнения (3) решение будем искать в виде

т = т' + х", (5)

где х'—температура возмущенного потока, обусловленная наличием стационарных источников тепла и определяемая из обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

tí2 х' ио Ч2 sh2 7 у -\- sin2 7у

¿у2 cgl sh2 7 —sin2 7 — ‘ '

Температура x", обусловленная наличием нестационарных источников тепла, будет удовлетворять уравнению:

óx" _ v д21" VHoTÍ2 & (у) eos 2 -f- 0 (^)sin 2co<

dt h'¿ ¿уг cglh2 (sh2 7 sin2 7)2 ' ^

Решение уравнения (6) находится прямым интегрированием и имеет вид

т, = _ ^.c^¿-cos2¿ - - (8)

8 cgl sh2 7 •+ sin2 7

где с и cí — произвольные постоянные, определяемые из граничных условий. Определим решение уравнения (7). Обозначим для краткости

v ч“о к2 ,,

~И2 = м и cglh2 (Sh2 7 + sin2 7)2 = N и запишем уравнение (7) в виде

дх" д2х" - -

-тт~ = М —-=— + N Ь (у) eos 2 o>t + Л7 0 (у) sih 2 ш(. (7а)

о t ду2

Поскольку внутри потока действуют источники тепла, мощность которых меняется по гармоническому закону, естественно предположить, что температура х" будет следовать этому же закону [2]. Поэтому решение уравнения (7а) будем искать в виде

т" = Р (у) сов 2 шЬ —|— С) (у) 2 (9)

где Р(у) и О (у) — функции, подлежащие определению.

Подставляя значение т", определяемое соотношением (9), в уравнение (7а) и собирая члены при со5 2ш< и 5ш2ш£, получим для определения функций Р(у) и 0(у) систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

Здесь обозначены

- 2 «Р (у) = MQ" (у) + NQ (у), 2 ш Q (у) = МР” (у) + МЪ (у).

...&Р(у) d*Q(y)

Р" (У) = —— и Q'(y)‘

(10)

dy2 ¿y3

Дифференцируя дважды второе уравнение (10) и подставляя вместо производной Q" (у) ее значение из первого уравнения (10), получим для определения функции Р(у) обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка:

_ - 2 со N - N -

РЧ (.У) +4 т<Р(у) = -—мГв(у)--ж»"(у), (11)

0)2

где т>==ЛР'

Общее решение однородного дифференциального уравнения

PIV (у) + 4 т* Р (у) = 0, (11а)

совпадающего с уравнением, описывающим изгиб балки на упругом основании под действием сосредоточенной силы [3], можно записать в виде:

Я[ ( у) = С[ ch ту • cos т у + с2 ch m_y-sin ту + c3sh ту- cos ту + с4 sh ту sin ту, (12)

где Су, с2, с3, с4 — произвольные постоянные, а т =-{ V"2. Отметим, что корнями характеристического уравнения для уравнения (Па) будут /-, 2 = т (1 ± i) и г3 4 = = — т (1 ± i).

Найдем теперь частное решение неоднородного уравнения (11). Рассмотрим подробнее правую часть этого уравнения, которая после подстановки значений функций ® (у) и 0 (_у) из (4) примет вид

/2 т3 N ш/V \ _ — — — _ _ _ u>N

{—~ 2т*) \а sh 2^'sin 2 7У — (* — b) ch2'¡ у- cos 2 7 _у] + (1 — Ь) ~2 ш .

Последнее слагаемое правой части уравнения представляет собой постоянную величину, поэтому сразу получаем одно из частных решений уравнения (11) в виде „статического смещения“:

- o>N

Р2 = (1—6) 8А!2И4 ' О3)

Первое слагаемое правой части содержит произведения sh 2-r_y.sln 2 7 у и ch 2 7_y-cos 2 ч_у. Используя выражения гиперболических и круговых функций в показательной форме, а также тот факт, что корни характеристического уравнения для уравнения (На) не равны 2 7, можно в соответствии с [3] искать частные решения для оставшейся правой части в виде Л„е±2т ^1±<' у , где неизвестной является постоянная Ап. Определим, однако, частное решение в равноценной форме, значительно сокращающей вычисления, а именно:

Р3 (у) = К ch 2 7y-cos 2 7 у + L sh 2 7 у-sin 2 7у. (14)

Постоянные величины К и L находятся приравниванием коэффициентов при произведениях функций ch 2 7_y-cos 2 7у и sh27y-siu27y после подстановки

выражения (14) в уравнение (II) с правой частью без постоянного члена (1 — Ь) 2 • Проводя эти вычисления и раскрывая значения М и N, получим:

. “о

^ - (1 48c£/(sh27 + sin27)2 ’

-___________4__________

а 48 cgl (sh2 7 -|- sin2 у)2 ' что определяет значение функции Я9(у) в виде

_ üq ((I— Ь) ch 2 7 у-cos 2 уу — a sh 2 xy-sin 2 ~¡y]

Pi (У) — 48 cg7 (sh2 7 4-sin2 7)2 ' О**3)

Суммируя решения (12), (13) и (14а) и проводя необходимые преобразования, определим функцию Р(уУ-

Р(у) = íj ch ту • cos ту + с2 ch теу-sin ту -f с3 sh т _y-cos ту С\ sh ту «sin ту +

ио (1 — Ь) (3 + ch 2 7y-cos2 ~¡y) — a sh 2 7 у-sin 2 7 у 48 eg 1 (sh2 7 + sin2 7)J ' '

Функция Q (у) определяется из второго уравнения (10) и после подстановки значений Р"(у) и 9(_у) и проведения преобразований приводится к виду

Q(y) = — Cj sh my-sin ту -(- c2 sh m y-cos ту — c3 ch m_y-sin m y -f c4 ch m y-cos ту +

“о (I — b) (sh 2 7_y-sin 2 7 y -f a (3-f ch 27_y-cos 2 7y)

48 eg I (sh2 7 -f sin2 7)2

Таким образом, определением функций Р(у) и Q (у) поставленная задача решается в общем виде до конца.

Рассмотрим теперь вопрос о граничных условиях. В выражения (8), (15), (16) входит шесть произвольных постоянных: с, С], С], с-i, eg, ci. Для того чтобы граничные условия для функции т", определяемой соотношением (9), удовлетворялись независимо от времени t, необходимо потребовать их выполнения при у = 0 и 1 раздельно для функций Р (у) и Q (у). Это даст систему из четырех алгебраических линейных уравнений для определения неизвестных постоянных cl> с2> С3> ci- Аналогично ДЛЯ определения ПОСТОЯННЫХ С И С] необходимо выполнить условия при у = 0 и 1 для функции т'.

В качестве примера рассмотрим температурное поле в потоке вязкого несжимаемого газа и количество тепла, выделяемого через пластину 1, при постоянной температуре Т0 на ней и отсутствии теплопередачи через пластину 2.

Иными словами, граничными условиями для этого примера будут;

— di' dP (у) dO(y) )

у = 0, — - = 0,--¿^-=0, - 0;

Оу dy dy (17)

7=1, т'=0, Р(у) = 0, Q(y) = 0. J

Удовлетворение условий (17) для функций Р(у) и Q (у) приводит к системе уравнений:

с2 “г С3 — 0; Со — с3 — 0;

Ci ch т cos т -f- Co ch m sin m c3 sh m cos m -|- c4 sh m sin m -f-

= 0;

u\ (3 - a2 — 2 b — 62)

' 48 eg I (sh2 7 -f- sin2 7)2

- C] sh m sin m -|- c2 sh m cos m — c3 ch m sin m + c4 ch m cos m

2

4 a u.

0

48 cgl (sh2 7 + sin2 7)2

= 0,

откуда получаем для произвольных постоянных значения:

с2 — са = 0?

üq [4a sh т sin т — (3 — а2 — 2 b — Ь2) ch т cos т\

'1 48 cgl (sh2 у -¡- sin2 7)2 (sh2 т + cos2 от)

и2 [4 a ch т cos т-1- (3 — а2 — 2 b — 6г) sh т sin т\ 4 48 cgl (sh2 7 -)- sin2 у)2 (sh2 т eos2 пг)

!

Аналогично удовлетворение граничных условий (17) для функции т' дает значения с и С] в виде

7=0,

8 Cjg7(sh2 у -)- sin2 7)

(18а)

Таким образом, распределение температуры по сечению потока будет определяться формулой:

Т= Г„

4 cgl

sh2 у у -f- sin2 у у sh2 7 4- sin2 у

+

“о (I — 6) (З4- ch 2 7_y*cos 2 7_у) — a sh 2 у у • sin 2 у у 48 cgl (sh2 7 + sin2 7)2

С] ch my-cos my 4 с., sh my ■ sin my + cos 2 uit —

— I C] sh my-sin my — cA ch my-cos my —

i

“о (1 — b) sh 2 7_y-sin 2 yy 4~ a (3 + ch 2 7_y-cos 2 7y)

48 cgl (sh2 7 + sin? y)2

sin 2 iot,

(lq)

где Cj и с, определяются соотношениями (18).

Из формулы (19) следует, что температура потока складывается из стационарной части, являющейся функцией у, и нестационарной, зависящей от у и t. Когда cos 2 ыt или sin 2wt принимают нулевые или равные значения, профили температуры для соответствующих моментов времени совпадают.

Исследуем влияние на распределение температуры величины у, считая, что ее изменения определяются частотой колебаний оз.

Известно, что для установившегося течения Куэтта и принятых граничных условий распределение температуры в потоке определяется квадратичной зависимостью от у вида

„2

Тк = 7Y,

2 cgl

(1 -у2).

(20)

Вычисляя lirn Т температуры, определяемой формулой (19), получим

Пт Т= 7-0+• 0

7->о 4 cgl

(І -У0 +

4 cgl

(1 — у2) cos 2 u>t,

(21)

откуда видно, что стационарная часть и амплитудное значение нестационарной части равны между собой, а в пределе при ш = 0 обе эти части образуют распределение температуры, определяемое зависимостью (20) для установившегося движения Куэтта. Отметим, что функция С? (у), являющаяся множителем при зт2<й/, с уменьшением 7 стремится к нулю.

При малых величинах 7 температура потока меняется одновременно по всей глубине канала, принимая минимальное значение Т= 7о на верхней границе и максимальные значения в любой фиксированной точке внутри потока у*, „2 '

Т= Тй +

2 cgl

(1 — у*), равные температуре установившегося течения. Частота

изменения профиля температуры равна удвоенной круговой частоте движения пластины 1, сдвиг фаз при этом равен нулю.

Физически это объясняется тем, что тепловая энергия в потоке, возникающая вследствие действия сил внутреннего трения, обусловлена наличием движе-

ния и не зависит от направления движения. Колеблющаяся пластина, перемещаясь из состояния покоя в точку максимального отклонения и обратно, будет вызывать в потоке касательные напряжения трения и тепловые потоки дважды за один период колебания, т. е. при гармоническом колебании пластины 1 с частотой О) выделение тепловой энергии должно происходить с удвоенной частотой.

Выражая в формуле (19) гиперболические функции через показательные

и учитывая, что при больших значениях параметра 7 величинами е~т 12 и е~2т,

а также членами ё~г ('+>) и е—2г('+Я Можно пренебречь, получим формулу для распределения температуры в потоке при 7 —► оо:

Um Т = Т0 4- ---— [! — е~2г °— [е~'< ^'2 (cos m cos m у 4-

T-.00 4 cgi 12 cgi

-|~ sin m sin ту) — е~1л(eos 2 7 eos 2 ~¡y + sin 2 7 sin 2 7 y )] eos 2 o>t —

u2 - - _ ’ -

—-— í ^2 (I—(eos m sin m y — sin m cos my) — e~2t (sin 2 7 eos 2 7y —

eos 2 7 sin 2 7)>)j sin 2 (22)

12 cgl

Отметим, что полученная формула удовлетворяет точно граничным условиям при_у=1, а при у = 0 — с тем большей точностью, чем больше значение параметра 7.

При неограниченном возрастании частоты колебаний при конечных значениях разности 1—уф О члены в квадратных скобках формулы (22), зависящие

от е~ и е~У\ стремятся к нулю, а значение температуры в этой

области — к пределу

“о

Iiгп Т = 7'0 4- -— . (22а)

-г^оо 4 cgl

Отсюда можно сделать вывод о том, что с увеличением частоты колебаний зона температурных возмущений смещается в сторону источника колебаний и вместе .с тем расширяется зона с постоянной температурой, определяемой по величине выражением (22а).

Физически этот процесс достаточно хорошо объясняется динамическими свойствами рассматриваемого течения. В работе [1] показано, что при малых величинах параметра 7 возмущения потока от колеблющейся пластины распространяются на всю глубину канала. С увеличением значений 7 эти возмущения вблизи неподвижной пластины уменьшаются, а начиная с некоторой величины частоты колебаний исчезают совсем. Вблизи неподвижной пластины образуется застойная область, расширяющаяся по мере дальнейшего роста 7 в сторону положительных значений у. Область возмущения потока при этом все более и более концентрируется вблизи колеблющейся пластины. Поскольку зона градиентов скорости ди/ду, определяющих количество выделяемого в потоке тепла, по мере роста параметра 7 сокращается, приближаясь к колеблющейся пластине, область изменения температуры также сокращается, приближаясь к источнику возмущения. В области, где градиент скорости ди/ду равен нулю или близок к нему, устанавливается постоянная температура.

Вычислим количество тепла, передаваемого через единицу длины пластины 1 и определяемого формулой

К IдТ\

b = (23)

ду

где индекс 1 означает, что величина параметра соответствует пластине I.

Дифференцируя формулу (19) по у и полагая у= 1, получим для количества выделяемого через верхнюю пластину тепла выражение

ÄY"2

Чио sh 2 7 4- sin 2 7 Ä

^ — 4 cglh sh2 7 4- sin2 7 h

dP(y) cos 2 ü)¿ - Á dQ(y) sin 2 ü>¿

. dy _ 1 h. . ¿У i

где

dP(J)

dy ï“o

+

24 cgi dQ (y) dy

Y“o

= 7 У2 [(Ci -)- c() sh m cos m — (c¡ — c4) ch ni sln m]

(I — b — a) sh 2 y cos 27 — (1 — b + a) ch 2 7 sin 2 7 (sh2 7 + sin2 7)2

= 7 У 2 [(c¡ + t’i) ch m sin m + (c, — c4) sh m cos m\

( I — b — a) ch 2 7 sin 2 7 + (1 — b + a) sh 2 7 cos 2 7

" 24 cgi (sh2 7 sin2 7)2

Тепловой поток через верхнюю пластину, как следует из (2*), состоит из установившейся и нестационарной частей, при этом когда cos2u>£ или sin 2 u>í равны нулю или принимают одинаковые значения, величины тепловых потоков совпадают.

При малых значениях параметра 7 выражение (24) принимает вид

ч

lim q, =-----—

Y -* 0 2 cglh

Xu-l

cos 2 oit,

(24a)

2 cglfl

откуда следует, что установившаяся часть теплового потока равна половине тепла, выделяющегося через движущуюся 'поверхность в течении Куэтта. Изменение выделяемого количества тепла, как и температуры в потоке, во времени происходит с удвоенной частотой колебаний пластины 1. Для = О имеем случай установившегося движения верхней пластины, величина теплового потока

здесь постоянна и равна

Хи,

cgi

, как и в течении Куэтта.

Для больших значений параметра 7 тепловой поток через верхнюю границу определяется следующим образом:

lui 7

üm qt = —-— f —*■ со 2 cglh

+

kul 7

(246)

_ - i(2 — У 2 ) cos 2 uit — (2 -j- У2 ) sin 2 oit 1 .

12 cglh L J

Из выражения (246) нетрудно видеть, что в этом случае, как и при малых 7, установившаяся часть теплового потока составляет половину тепла, выделяемого в потоке Куэтта. Выделение нестационарной части тепловой энергии происходит периодически с частотой 2ш.

Характерной особенностью тепловыделения при больших частотах колебаний является линейная зависимость количества тепла, передаваемого через верхнюю пластину, от параметра 7.

Приведя выражения (246) к виду

J^n_ 2 cgi

[ 1 + cos (2 o>t 4- в)],

где е = аг^ (3 -)- У 2 ), а индекс „со“ означает, что величина теплового потока соответствует неограниченному возрастанию параметра 7, отметим,что тепловыделение через верхнюю пластину в этом случае происходит с постоянным

сдвигом фазы, обусловленным взаимодействием инерционных сил и сил внутреннего трения внутри потока.

Г- Т0 -

На фиг, 1—4 представлены кривые относительной температуры —----------= /(у)

“о/4 °ё1

для различных значений параметра 7 и относительного времени ¿ = ¿/7“*, где

Т* — период колебаний. Вычисления проводились на ЭВМ по формуле (19).

На фиг. 1 приведены кривые относительной температуры по сечению потока для моментов времени 7 = 0; 0,5; 1,0. При малых значениях параметра 7<!0,5 эти кривые имеют параболический характер, с увеличением параметра 7 относительная температура вблизи неподвижной пластины уменьшается, стремясь к единице. При 7>2 с увеличением частоты колебаний зона относительной температуры, равной единице, распространяется в сторону колеблющейся пластины, достигая при 7=10 ординаты у =0,7. С увеличением параметра 7 происходит значительный рост градиентов температуры д!/ду вблизи колеблющейся пластины.

Через четверть периода (см. фиг. 2) наблюдается несколько иная картина изменения температуры в потоке в зависимости от параметра 7. При 7<;0,2 температура постоянна по всему сечению потока и равна Т0. С увеличением

частоты колебаний (7 >0,2) во всех точках потока происходит одновременно непрерывное повышение температуры. Вблизи неподвижной пластины относительная температура достигает единицы при 7=2 и сохраняется постоянной независимо от дальнейшего роста параметра 7. Повышение параметра 7>2 приводит к расширению зоны постоянного, равного единице значения относительной температуры в сторону источника возмущений.

В момент времени 1/3 (см. фиг. 3) при 7<;0,5 происходит первоначально уменьшение температуры во всем сечении потока с ростом частоты колебаний, а затем при 7 > 0,5 температура в потоке повышается. При 7>2 характер изменения температуры в зависимости от частоты колебаний остается таким же, как и для ранее рассмотренных моментов времени.

При 7=0,6 (см. фиг. 4) и малых значениях параметра 7 происходит повышение температуры во всем потоке с ростом частоты колебаний, а затем, начиная с некоторого значения параметра 7, — уменьшение температуры вблизи неподвижной стенки до постоянной величины.

- по формуле (19) " (21)

» (22)

Фиг. 2

------по формуле (19)

* » (21)

* ” (22)

Приведенные кривые распределения температуры в потоке наглядно подтверждают анализ формулы (19), изложенный выше.

Рассмотрим вопрос о применимости приближенных формул (21) и (22). На фиг. 1—4 на кривые нанесены величины относительной температуры, вычисленные по формуле (21), достаточно хорошо совпадающие с точными значениями для 7<0,1.

На эти фигуры нанесены также значения относительной температуры, вычисленной по формуле (22). Результаты показывают, что значения температур, полученные по точной (19) и приближенной (22) формулам, начиная с 7= 4 и выше, практически одинаковы.

Таким образом, формулой (21) можно пользоваться при 7-<0,1, а формулой (22)—при 7>4. В пределах 0,1 -<7<;4 вычисления следует проводить по формуле (19).

Кривые распределения температуры по сечению потока, приведенные на фиг. 1—4, дают достаточно наглядное представление о производных дТ1ду, а следовательно, о теплопотоках внутри колеблющейся жидкости. Выражения (24а) и (246) дают полное представление о количестве тепла, передаваемого через колеблющуюся пластину. Поэтому приводить кривые зависимости тепловых потоков от времени и параметра 7 нет необходимости.

В заключение отметим, что, имея выражения (8), (15) и (16), нетрудно получить решения для других граничных условий.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ж мул и н Е. М. Динамика вязкой жидкости между двумя параллельными движущимися и гармонически колеблющимися пластинами. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 111, № 2, 1972.

2. К а р с л о у Г. С. Теория теплопроводности, М.-Л., Гостех-теориздат, 1947.

3. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. II. М.—Л., Гос-техтеориздат, 1940.

Рукопись поступила 16\1Х 1972 г.