Аналитическое исследование задачи о криволинейных сдвиговых трещинах в упругом кольце Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 519.6

О. П. Бушманова

Аналитическое исследование задачи о криволинейных сдвиговых трещинах в упругом кольце

Рассмотрим упругое кольцо (1 < г < R) с н трещинами сдвига, представленными в виде разрезов, расположенных вдоль кривых £ = (2т— 1)а, с> = п/п, (т — 1,...,п), п £ .V, R = const, R > 1. Выберем данные кривые в виде логарифмических спиралей £ = в — /Лпг, пересекающих радиусы под углом к/А + ф/2, где ц = (7г/4 + <6/2), ф = const, 0 < ф < 7г/2, (г, в) - полярные координаты. Наряду с численным [1] большой интерес представляет аналитическое исследование данной задачи.

Для сдвиговых трещин на берегах разрезов должны выполняться условия непрерывности нормального перемещения и вектора напряжений, действующего на касательной площадке [2]. В связи с этим поставим задачу найти такое напряженно-деформированное состояние в исследуемой области, чтобы указанные нормальное перемещение и вектор напряжений были непрерывными периодическими функциями по £ с периодом 2а . В этом случае достаточно получить напряженно-деформированное состояние упругого материала в области, ограниченной кривыми ( = ±о, и г = 1, г = R, а затем периодически продолжить его на всю исследуемую область. Линейно упругое поведение материала при отсутствии массовых сил в плоском случае позволяет выразить напряжения через бигармоническую функцию напряжений Эри [3]. Для нахождения функции напряжений для поставленной задачи, учитывая периодичность по рассмотрим функции и г2\(0- Условие бигармоничности этих функций приводит к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям четвертого порядка:

d4ip d3ip (12,ф

(/Г +1)^ + 4^

d£3

Общие решения данных уравнений, соответственно, имеют вид:

ip = а + с2£ + с3е~^ sin г/ + с4е~мп cos г],

х = С5 + сс£ + с-е^ sin Tj + Cse^ cos т/,

где Г] — 2(ц2 + 1)_1£, с,' - произвольные постоянные (г = 1,.. .8). Учитывая вид функций ф и \,

выберем функцию напряжений:

<р = 7*2[а10 + а21пт1-!-ем,?(аз77 + сц сое77) +

+Я5] + Ь\в + 62 1п г + Ь5(02 - 1п' г) + +е_от(&з зш г] + Ь4 сое т?) + Ъцв 1п г,

где а,, Ь^ (» = = 1,...,6) - констан-

ты, которые определяются из граничных условий. Функция напряжений является бигармони-ческой :

{ д2 1 д (дУ

+- + г or г

Соответствующие компоненты напряжения в полярных координатах, согласно формулам [3]:

_ 1 д^р 1 д2<р

<Тт г дг г2 дв2 ’

д2

дг2

1 д<р 1 д2<р

г2 дв г дгдв '

имеют вид: <тг =

2аів + а2 4- 2а2 In г + 2os +

+ Г 2(^2 + 2fc5 — 26s In Г + Ь$в) + +вОТ [(/^1 ЯЗ - Ц2<1А) sin Г] +

+ (мгаз + Ці<*л) 008 ч] + +г-2е-^ [(//] Ь3 + ц3ЬА) sin 77 --(Мз&з - ^1*4) cos »7],

as = 2а\0 + Заг + 2а2 In г + 2а5 -

-г“2(6г + 265 - 265 In г + Ьев) --ew[(/iia3 - fi2a4) sin т) + +(/*2а3 +/її04) cos т?] -

-Г~2Є~^- fllbq) Sill Г) +

+ (/ДІ>з +^264) cos 77],

crrg — — ai + r-2(6i + 265$ — bs + be In r)

-є"4 [(/і2аз + A*ia4) sin 77 --(ціa3 — /*га4) cos 7?] -—r~2e~Mn [(^2^3 - A*i 64) sin 7; +

+ (/Jib3 + /i264)cosT?],

где

/Л - 2(/ЛыГ2(3/*2-1),м2 = 2(*Г41)-3(3/1-/) /1з = 2(д/” + 1) 2(5/*4/л3)-

Компоненты перемещения иг. и/> в радиальном и окружном направлениях, соответственно, можно определить, используя закон Гука для случая плоской деформации [3]:

диг дг

иг див

= (I + v)[ar - v(crr + <ri)]E 1;

= (14 и)[ав - v[ar + <т9)]Е~1\

ат = (ц2 + 1)_1[я(^г - (гв) + ~ 1)<^гв];

ип = (ц2 + 1 )“1/2(/шг - ив)\

ит = {ц2 4 1 )~1/2(цив 4 Мг).

Используя совпадение напряжений <тп, <гт и нормального перемещения ип соответственно при значениях £ = а и £ = —а, получим следующую зависимость между искомыми константами:

г гдв

диг див ив .

Тов + «Г “ 7 = 2(1 + ■

где і; - коэффициент Пуассона, Е - модуль Юнга. Интегрируя первое, а затем второе из данных уравнений получим искомые перемещения. Вид произвольных функций, возникающих при интегрировании, определяется из третьего уравнения. Таким образом, имеем:

и,- = (1 4 и) ^2(1 — 2и){а\в 4 аз In г 4- ав)г —

-а2г - гемп2(ци + 1)-1[(аз + цац) sin г) -— (^аз — а4) cos ч] 4 +г- 1 е~ц''[(ц4Ь3 -)- //5*4) sin і) --(/‘563 - ^464) cos??] -

-r~1 {b2 - 2b5 In г -f Ь6в)^ E~1;

ив = (1 + (/) ^4(1 — </)(а2^ — ai lnr)r + dr—

-4(^2 + 1)_2ге/1"[(даз - a4) .sin 7 4 4 /UJlj) Cm y] -f +r~ie~,iTI[(^b3 - fi7b4) sin ?/ +

+ (fi-b3 + Hab4) cos rj\ --г-1(Ьу + Ь5в))Е-1,

где d- постоянная интегрирования.

//4 = 2[5//2 + 1 — + 6/у 4 1)](/*2 +1)

/і5 = 2/і[/і2 - 3 - 2v(fi2 - I)](//24 I)-2;

fi,5 = -2/<[/j4 - 6//2 4 1 4 Аи{ц2 - l)](/i2 4 I)-3;

/<7 = 2fj[fi4 4 10/j2 41 — 2u[/j4 + 6/y2 4 1)](//" + 1) 3.

Найдем нормальную и касательную компоненты векторов напряжений (огп,(гт) и перемещений (un,ur) на линиях £ = const по формулам:

<Уп — [ц2 4 1 )-1(/i2<?V 4 а в - 2ц(тгв)\

О! = --

a2=/ia 1; a3 =

a4(cos2 7 sh2 4- sin2 7 ch2 /17) a(cos 7 sh /47 4 /і sin 7 ch ^7)

a4 (sin 7 ch /І7 — /і cos 7 sh //7) cos 7 sh /17 4 /1 sin 7 ch //7

64(^8 sin 7 ch /^7 4 A*9 cos 7 sh /17)

63 = --------—-----г------~~~----------і---------------------1 = -2цЬц\

Ця sin 7 ch ц~/ — /is cos 7 sh /17

где

b4Mio(cosJ 7sh“//7 4 siu 7ch Ц7)

a(/i2 4 1)2(^9 sin 7ch /17 - /Lt8 C0S7 sh /17) ’

7 — 2(/x2 4 1) !a;

Hs = 2{v — 1)(/^6 + /i4 4- 5/i2 -I- 1);

Мэ = 4/i2 + 4 — i/(/i6 -I- + 3/t2 + 5)];

/^io = /i[4/iC’+8//4-12/i2-^(/j8+4/i6+6/i'4-12/z2+l)]'.

Оставшиеся константы можно определить из еще одного условия при £ = ±а и граничных условий при г = 1, г = R.

Рассмотрим случай ф — 0. Тогда логарифмические спирали, вдоль которых расположены трещины, составляют с радиусом угол тг/4 и pt — J. Umpwwsmm и перемещения rrpffirpr.uaror следующий вид:

<7Г = 2а\в + а2 + 2a2 In г + 2й5 +

4-е^ [(аз — а4) sin £ + (а3 + а4) cos £] + +7-_2е_?[(6з 4- 364)sin£ - (З63 - 64)cos£] 4 4г “(63 4" 2Ь§ — 265 In г4 Ь(]в)\

<7# = 2ai 0 4 За2 4- 2а2 In г 4 2as —

-е?[(аз - а4) sin £ 4 (а3 4 a4)cosf] --г_2е_?[(63 - 64) sin £ 4 (63 4 64)cos£] --г_2(62 4 265 - 265 In г 4 Ь6д)-,

агв = -aj - е^[(а3 + а4) sin£ - (а3 - a4)cos£] --r~2e-([(b3 - 64) sin^ 4 (b3 4 />4)cos£] 4 +r~2(£>i -I- 2bs0 4 In г - b6);

ur

= (1 + г/) (2(1 - 2^)(й1в + а21пт + а5)г - Поставим теперь задачу нахождения в иссле-

^ дуемой области бигармонической функции на-

ге [(«з + а4)8ш£ — (аз — 04)005^] + пряжений более общего вида: гаФа(£)> А € 7£.

-аог

+г е ?[((3 - 4и)Ь3 — 64) sin £ + + (6з + (3-4г/)64)со8£]-— г~1(6о — 2651п г + 6б#)) Е~1]

ии

— (I -+ и) (^4(1 — и)(а20 — а\ In r)r + dr — -ref[(a3 - a4)sin£ + («з + a4)cos£] +

+г 1 е—f[(63 - (3 - 4i/)b4)sin£ + + ((3 - 4/')&з + 64) cos£] --r-1(bi + 2bs0)')E-1.

В этом случае получаем:

=

04(cos2 ash2 a -f sin2 ach a) a(cos a sh a -f sin a ch a)

a4(sin a ch a — cos a sh a)

(in — ai, 03 — , ~ : г j

cos a sh a + sin a ch a

, — 64 (sin a ch о — cosash a)

63 — -----:------------------7------; _ 65 — 0.

sin a ch a + cos a sh a Предположим, что вдоль трещин происходит скольжение с постоянным касательным напряжением, т.е. при £ = ±а выполняется условие: <тт = к. В этом случае:

«4

ка(cos a sh a + sin a ch a)

В этом случае для функции Фд(£) получаем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка:

(/<2 + 1)

-4/y(/i2 + l)2(A-l)

d3*x

d£3

d4x

d-e

+

+2(//2(ЗЛ2 - 6A + 2) + A2 - 2A + 2)

—4/iA(A - l)(A - 2)^~ + A2(A - 2)2ФА = 0. Общее решение данного уравнения имеет

(cos2 a sh2 а + ‘2а cos a sin a -f sin2 a ch2 a) ’ —264 sin a cos a

— ~——;--------- —-——■

sin a ch a + cos a sh a Если a —► 0, имеем:

«1 = 02 = —o4,03 = 63 = 65 = 6g = 0, o4 = k/2.

Граничные условия: иг = <rrS = 0, при г = 1 позволяют определить: 65 = 0, 61 = Ь4. Таким образом, данный предельный переход приводит

к следующему решению:

ar = —2к In г; <тге — 0:

(Те = —2к In т— 2к,

которое совпадает с классическим [4] идеальнопластическим решением при условии равенства максимального касательного напряжения во всей области деформирования постоянному значению к. Рассматриваемые трещины сдвига в предельном случае приобретают смысл линий скольжения для континуальной модели.

вид:

Фа = die“^~n) sin(C — г/) + cos(C - »?)

+d^eIJI' sin £ + d4e^ cos C,

где С = \(ц2 + 1)-1£, d{ - произвольные постоянные (» = 1,.. .4).

Если А = 0, то С = 0 и Фо = V'-Если А = 2, то С = V и Ф2 = X-При выборе А имеют значение граничные условия и условия на линиях сдвига. Если, например, на трещинах сдвига нормальное и касательное напряжения связаны соотношением?

W

\<Тт\ + ф(тп = к,

то при a -> 0 решение задачи должно стремиться к континуальному пластическому решению, в котором линии скольжения имеют вид логарифмических спиралей £ = const. Такое решение существует в кольце для материала с внутренним трением и сцеплением [5] при равномерном сжатии на внешнем контуре и свободном от напряжений внутреннем контуре, если в пластической области выполняется предельное условие:

аг — (Те + шхф(сгг + сто) = 2к cos < В этом решении:

—2А; cos ф(г’ — 1)

(Тт — 7Z : ' &гв — U)

(1 - sin<p)s

—2А; cos ф ( г' — 1

^ = ----------—^ --------+ г'

1 — Sin ф \ S

2 sin ф

где

S —

1 — sin I

Так как

■ j “ 1 ^ 2/'

= ■> , , . cos (ft =

М2 + 1 М + 1

то « = /i2 — 1, Поэтому при построении функции напряжений для данной задачи нужно использовать соответствующую значению Л = s+2 функцию:

г,,+*Фл+г(£) = sin<; +

-)-^2еМС COS*,- -(- (1зс“* sin£ + d4e^ cos£),

где = (лх2 — 1)(р2 + di - произвольные

постоянные (г = 1,.. .4), которые определяются из граничных условий.

Таким образом, функция напряжений для рассматриваемой задачи может включать в себя сумму функций вида гЛФд(£). Использование различных граничных условий и условий на линиях сдвига позволяет определить вид функции Эри в каждом конкретном случае.

Литература

1. Бушманова О.П. Численное моделирование локализации сдвигов // Вычислительные технологии. 2001. Т б. Ч. 2.

2. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М., 1973. Т. 1.

3. Тимошенко С.П., Гудьер Дж, Теория упру-

гости. М., 1975.

4. Соколовский В.В. Теория пластичности. М., 1969.

5. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. М., 1969. Т. 2.