CC BY
37
УДК 519.6
О. П. Бушманова, С. Б. Бушманов
Аналитическое исследование периодической структуры, образованной криволинейными линиями сдвига в упругом кольце*
В классических пластических моделях решения плоской задачи о напряженно-деформнро-ванном состоянии в окрестности круглого отверстия определяют системы линий скольжения в форме логарифмических спиралей. В свою очередь эксперименты показывают, что в данных условиях разрушению предшествует возникновение линий локализации сдвигов, также близких к логарифмическим спиралям [1, 2].
В работах [3-5] представлено математическое моделирование процесса локализации сдвигов в плоском случае на дискретных системах линий -разрезах криволинейной формы. Берега разрезов рассматриваются как часть границы области, а уравнения состояния в зоне локализации сдвигов - как граничные условия, описывающие взаимодействие берегов. Условия на линиях сдвига обеспечивают возможность возникновения разрывов касательных перемещений.
Получено численное решение задачи о деформировании материала в условиях локализации сдвигов на системах логарифмических спиралей в окрестности круглого отверстия. Показано, что решение задачи с большим количеством разрезов близко к аналитическому упруго-пластическому решению.
Предложенный подход позволяет описывать промежуточное состояние среды, между классической упругостью, когда линий скольжения нет, и континуальными пластическими постановками, когда линии скольжения бесконечно близки.
Рассмотрим упругое кольцо (1 < r < R) с n линиями сдвига, представленными в виде разрезов, расположенных вдоль кривых £ = (2m—1 )а, а = п/n, {m = l,...,n), n € N, R = const, R > 1. Выберем данные кривые в виде логарифмических спиралей £ = в — цЫг, пересекающих радиусы под углом в = п/4 + ф/2, где ^ = tg в; ф = const, 0 < ф < п/2, (г, в) - полярные координаты.
Линии сдвига образуют в кольце периодическую структуру. Выделим элемент этой структуры, ограниченный двумя логарифмическими спиралями £ = ±а и дугами окружностей r = 1, rR
Элемент периодической структуры
Для линий сдвига на берегах разрезов должно выполняться условие непрерывности вектора напряжений, действующего на касательной площадке. В связи с этим поставим задачу найти такое напряженно-деформированное состояние в кольце, чтобы указанный вектор напряжений был непрерывной периодической вектор-функцией по £ с периодом 2а. В
этом случае достаточно получить напряженно-деформированное состояние упругого материала для выбранного элемента периодической структуры, а затем периодически продолжить его на всю исследуемую область.
Линейно упругое поведение материала при отсутствии массовых сил в плоском случае позволяет выразить напряжения через бигармони-ческую функцию напряжений.
Представим функцию напряжений с помощью комплексных потенциалов <^(г) и Хк{г) по формуле Гурса [6] в виде:
ик = (г^к( г) + грк( г) + Хк{ г) + Хк{ %))/2, (1)
где
г = Ж1 + X = гвгв, г = х\ — X = тв-гв.
Комплексные потенциалы выбираем в следующем виде [3]:
*Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 05-05-65253).
где
2(ці —1)
p—i (z) = (a_i + ib—i )z ц2+1
+i
X- z c- id- і i z , k - ,
p0(z) = (a0 + ib0)z(l + (p + i) In z)
2(1 — ці)
Xo(z) = (c0 + id0)z ц2+і ,
Pk(z) = (a^ + ibk)z ц2+1
2H1 — ці) , .. ---
X^z) = (c^ idk)z"
2(k + l)( 1 —ці)
k,
(M -1,0),
ak bk ck dk Обозначим
k
mk
і
mk+i =
2(k+ 1)
p2 + l ,
^к£, (к = т-к+1 £.
Напряжения и перемещения в полярных координатах для каждой функции Пк, заданной в виде (1), находятся по формулам [6]:
ar + Jg = 2 [pk( z) + Pk( z)L
ад - Or + 2iffre = 2^i [zpk(z) + Xk(z)\,
2С(мг + імд) = е г0[аерк(г) — гр'к(г) — х'к(г)\,
где С = 2(і+и)і& = 3 — 4^ Е ~ модуль упругости; V - коэффициент Пуассона.
Если к ф — 1, 0, получаем компоненты тензора напряжений:
ад = Г к етк{( Лк ак + В к Ък) сов щ +
+ (Вкак — АкЪк)вт щ] +
+ г к е^к Шк+і[ (Ок Ск + Вк 3,к)со&Ск +
""Ь (ВкСк Ок^к) ЯІП Zк],
ar = rkemk[(Ekak + Fkbk) cosщ +
+ (Fkak - Ekbk) sinnk -
- r k e^Ck mk+i[ (Ck ck + Dkdk) cos Zk +
(Dk ck Ck dk) sin Ck,
Jrg = -r2kemk{(Lkak - Mkbk) соs^k -
- (Mk ak + Lk bk) si n nk -
- r k e^Zk mk+i[ (DkSk - Ck dk) cos Ck -
(Ckck Dkdk) sin Ck,
Ak = ml(l - p2) + 3mk + 2,Dk = p(2mk+1 - 1),
Bk = pmk(2mk+ 3), Ck = mk+i( 1 - p2) - 1,
Ek = mk + 2 - m2(l - p2),Lk = p(2mk + 1),
Fk = pmk(l - 2mk), Mk = mk(l - p2) + 1.
Компоненты вектора перемещений имеют следующий вид:
r2 k+i emk 2G
{[(ае-mk - 1 )ak-pmkbkjcosnk -
- [pmkak + (ae - mk - 1 )bk] sin nk}-
G
pck - dk Ck ,
mk ck pdk Ck
r2 k+1 емПк
Ug =
G
{[(ae +m^l )bk - pmk ak] cos Щ +
[(ae + mk + 1 )a^ + pmk bk] sin nk}-mk pck - dk Ck -
20
— (ck+ pdk) sin Zk].
Найдем нормальную и касательную компоненты вектора напряжений (ап, ат), а также компоненты вектора перемещений (ип, ит) на £ const
Так как в = п/i + ф/2 и p = tg в> имеем:
1 2 -p
p
cos 2^= — sin ф=—-, 8Іп2в = совф= •
pp
в
1
p
Таким образом:
в
p
an — par+ Jg - 2p/Jrg)/(p + ^,
&т = [pJ - Jg) + (p2 - І )jrg]/(p2 + 1),
Un= (pUr — Ug)/\Jp~ 1 1,
У>т — (рид Ут)/\/р^ 1.
Получаем касательную и нормальную компоненты вектора напряжений на площадке сдвига:
°и = Гквтк[(Рка,к+ рткЬк) совщ +
+ (ршк ак — Рк Ь^ш Пк] +
+ г2 к в^к Шк+1[(( 2к+ 1)е^ + рdк)cosZк +
+ (рек — (2к + l)d^^m <^к],
ц
Ur =
p
ат = -r" emkmk[(pak + (2k + l)bk) cos nk +
k ak - pbk nk
+ rke^Zk mk+i [(pck - (2k + l)dk) cos Ck -
- k ck pdk Ck ,
где
Pk mk p mk
и нормальное и касательное перемещения на разрезе:
г2 к+1 емп& ип = —/ „ - {[акр(зе — 1) —
Gp
1
- bk k nk -
— [a^2k + 30 -і" 1) "f" bkp(3B — 1)] sin nk } —
r 2 k^ і e^Ck
-\Jp + 1---------—------mk+i (dk соs C^ ck sin C^,
G
r2 k+1 eV-rik
і ak - k -
2^vpTT bkp(l + ж)] cos nk +
[akp(l + яе) - bk(ae - 2k - 1)] sinnk} -_r2 k+i e^Zk
~G mk+i (ck со s Ck - dk sin Ck).
- vpTT-
k Rk pak k bk Sk k ak - pbk
k Rk pck - k dk -
- Sk k ck pdk ,
Rk ak p - - bk k -
- Sk ak k bk p - -
- k Rk dk Sk ck
k Vk p ,
Rk ak - k - bk p
Sk ak p - bk - k - -
- k Rk ck - Sk dk Vk p ,
где
S^ = sin mk^ ch pmka, Rk = cos mka sh pmka,
Sk mk a pmk a,
Rk mk a pmk a.
Решая полученную систему уравнений, име-
Рассмотрим условия равенства соответствующих значений вектора напряжений на линиях £ = ±а при любых фиксированных г. Кроме
к
значений касательного перемещения при £ = ±а равна Ук(ж + 1)-у/р2 + 1г2к+1 /С.
На линии сдвига может рассматриваться отличный от нуля разрыв нормальной компоненты вектора перемещений, в этом случае разность значений нормального перемещения при £ = ±а равна ЛкУк(ж + 1)-у/р2 + 1г2к+1 /С Здесь Ук и к
Условие пропорциональности разрывов нормальной и касательной компонент вектора перемещений отражает локализованную дилатан-сию, когда скольжение сопровождается измене-к
ность нормальной компоненты вектора перемещений.
Четыре заданных условия на двух границах £ = ±а приводят к системе четырех уравнений для определения констант в функции ик (1) при любом к ф — 1, 0:
Дк( Рк ак + ртк Ьк) + Бк( ртк ак — Рфк) +
+ тк+1 Дк+1( (2к + 1)ек + р^) +
+ ^к+1 (рек — (2к + 1)^)] = 0,
ем:
ak Vk
bk Vk
p - k Sk p k Rk
Sk Rk
p - k Rk - p k Sk
Sk Rk
ck - Vk
p k Rk p + Kktk—k) Sk+
Sk Rk
dk Vk
(ph. k + 1 )Sk+i — (p + hk^k—i) Rk+i
Sk Rk
По аналогии с классической задачей об изгибе кругового бруса ограничимся заданием на оставшихся частях границы элемента структуры - дугах окружностей главного вектора и главного момента усилий.
Таким образом, в зависимости от приближения заданной функции разрыва касательных перемещений на линиях сдвига в виде
(g+i)G^ Е Vr k+1, функция
напряжении
для исследуемой задачи может быть представлена как ик ■
Литература
1. Соколовский В.В. Теория пластичности. М., 1969.
2. Надан А. Пластичность и разрушение твердых тел. М., 1969. Т. 2.
3. Бушманова О.П. Моделирование локализации сдвигов // ПМТФ. 2003. №6.
4. Бушманова О.П., Ревуженко А.Ф. Напряженное состояние породного массива вокруг выработки в условиях локализации сдвигов // ФТПРПИ. 2002. №2.
5. Bushmanova, О.P., Revuzhenko, A.F. Numerical modeling of shear localization in elastoplas-tic materials // Abstract book of the 11 International Conference on Fracture. Turin, Italy, 2005.
6. Мусхелишвили 11.11. Некоторые основные задачи математической теории упругости. 5-е изд. М., 1966.
