CC BY
26
О пластическом деформировании в условиях локализации сдвигов
на дискретной системе линий
О.П. Бушманова, А.Ф. Ревуженко1
Алтайский государственный университет, Барнаул, 656099, Россия 1 Институт горного дела СО РАН, Новосибирск, 630091, Россия
Рассматривается задача описания пластичности в условиях, когда необходимо учитывать дискретность линий скольжения на макроуровне. Линии скольжения моделируются математическими разрезами с известными условиями взаимодействия на берегах. На основе метода конечных элементов разработаны алгоритм и пакет программ численного решения краевых задач с произвольным числом линий скольжения. Приводится решение задачи о деформировании материала вокруг круглого отверстия в условиях локализации сдвигов на системах с различным числом линий скольжения. Показано, что локализация деформаций на макроуровне приводит к тому, что материал в целом обнаруживает пластические свойства.
1. Введение
Пластическая деформация твердых тел возникает на ряде масштабных уровней. В последнее время это положение становится общепризнанным и интенсивно развивается в рамках новой научной дисциплины, получившей название физической мезомеханики [1]. При таком подходе классические модели деформирования твердых тел занимают вполне определенное место и соответствуют различным предельным случаям. Так, известно, что из параметров линейно упругого тела (модуля Юнга и коэффициента Пуассона) невозможно составить комбинацию размерности длины. Поэтому классической упругости отвечает среда, не имеющая собственного линейного масштаба. Иными словами, упругость проявляет себя одинаково на любых масштабных уровнях. В классических моделях идеальной пластичности также нет характерного линейного размера. Однако уравнения пластичности относятся к гиперболическому типу и в каждой точке дают вполне определенную ориентацию характеристик (линий скольжения). Поэтому можно сказать, что идеальной пластичности соответствует "анизотропная" структура с бесконечно близкими линиями скольжения. В реальных процессах линии скольжения, конечно, дискретны. Можно, однако, ожидать, что если линии достаточно близки (по сравнению с характерным масштабом задачи), то их дискретность значения иметь
не будет. Но если расстояния сравнимы с масштабом задачи, то континуальный подход становится недостаточным. В таких случаях дискретность линий необходимо учитывать явно. Таким образом, речь идет о пластичности, которая связана с локализацией сдвигов на макромасштабном уровне.
Многочисленные эксперименты показывают, что указанный масштаб локализации имеет значение в целом ряде задач обработки металлов давлением, пластическом деформировании вокруг отверстий, в различных процессах деформирования геоматериалов и т.д. [2-6].
2. Общая постановка задач с дискретными системами линий сдвига
Рассмотрим некоторую область в условиях плоской деформации. Образование линий сдвига, их вид и расположение тесно связаны со свойствами материала, его уравнениями состояния, условиями деформирования, критериями возникновения локализации пластических деформаций. Исследование этого процесса необходимо проводить в рамках метода последовательных нагруже-ний, либо использовать априорные данные на основе экспериментов и теоретических исследований.
Предположим, что на данном шаге по параметру на-гружения определена форма линий сдвига и их расположение в области. Расстояния между линиями сравнимы
© Бушманова О.П., Ревуженко А.Ф., 2002
с характерным размером задачи, форма может быть криволинейной. Для того чтобы отделить эффекты, связанные с локализованной пластичностью, естественно для материала вне линий выбрать вначале простую модель — модель линейно упругого тела. Как правило, ширина линий сдвига настолько мала, что их можно моделировать математическими разрезами. Берега разрезов будем рассматривать как часть границы области, а уравнения состояния в зоне локализации — как граничные условия, описывающие взаимодействие берегов. Линии сдвига являются поверхностями сильного разрыва — касательного разрыва перемещений. Из законов сохранения следует [7], что нормальная составляющая приращения вектора перемещений мп и вектор напряжений
рп непрерывны на площадке касательного разрыва: м+ = м-, (1)
или
(p") + =(p")-
(pn") + = (pn" )- (pn )+ = (р" )-
(2)
где индексы + и - соответствуют разным сторонам поверхности разрыва; рП, рТП — нормальная и касательная составляющие вектора напряжений; направления нормали и касательного вектора одинаковые на разных сторонах поверхности.
Возникновение касательного разрыва перемещений в данной точке на линии сдвига возможно при выполнении одного из следующих условий:
Рт" = gi(P" > У)
g2(u+ - u- > Рт" > x> У) = 0
(3)
(4)
где мт — касательная составляющая приращения вектора перемещений; х, у — декартовы координаты точки; g1, g2 — заданные функции, которые описывают поведение материала на линии скольжения. В частности, если g1 — линейная функция относительно рП, на линии сдвига выполняется закон трения Кулона, если g2 = м+ - м-, касательный разрыв отсутствует.
3. Конечно-элементное моделирование возможности сильных разрывов перемещений
Для численного моделирования линий локализации пластических деформаций в плоской области выберем за основу метод конечных элементов [8]. Будем считать, что часть линий, соединяющих узлы сетки конечных элементов, проходит по поверхностям локализации пластических деформаций — линиям сдвига. Моделирование линий скольжения при помощи разрезов обеспечивает возможность скольжения берегов разреза друг относительно друга, то есть смещение первоначально совпадающих точек вдоль определенных линий. Реализуется фактически относительное смещение берегов
разреза или нет, зависит от условии, заданных на контакте. Для того чтобы в исследуемоИ области обеспечить различное, в том числе и достаточно большое, число линиИ сдвига, предоставим возможность каждому расчетному узлу области принадлежать двум берегам разреза. В этом случае исследуемая область может включать криволинеИные разрезы, расстояния между которыми ограничены снизу только размерами конечных элементов.
Так как многочисленные пакеты прикладных программ на основе метода конечных элементов предназначены для решения задач в непрерывных областях и не позволяют учитывать произвольное и достаточно большое число криволинеИных разрезов с условиями разного типа на берегах разрезов, для решения проблем такого рода разработаны численныИ алгоритм и пакет программ на языке Fortran [9, 10]. Пакет включает в себя программы генерации сеток, построения матриц жесткости для различных моделеИ материала, программы для реализации различных типов взаимодеИствиИ берегов разрезов и условиИ, заданных на границе области, а также программы для вычисления полеИ перемещении, напряжении и визуализации картин деформирования.
В программах первоначального разбиения области на треугольные конечные элементы учитываются данные о расположении потенциальных линиИ скольжения в исследуемоИ задаче. Одно из семеИств линиИ сетки конечных элементов строится максимально приближенным по форме и направлению к семеИству потенциально возможных линиИ локализации. Например, в [10] на основе экспериментальных данных использовались се-меИства типа овалов Кассини, в [11] — семеИства логарифмических спиралеИ с различными углами наклона к радиусу. Особенностью начальноИ сетки конечных элементов является то, что все ее узлы задаются двоИны-ми — имеют два номера в глобальноИ нумерации. Таким образом, для каждоИ расчетноИ точки области существует возможность в процессе деформирования разделиться на два узла, с различными значениями перемещениИ в них. Нумерация узлов сетки конечных элементов оптимизируется с целью уменьшения объема используемых в пакете программ структур данных, при этом учитывается расположение разрезов. В процессе решения задачи геометрия сетки может корректироваться. Число линиИ сдвига и расстояния между ними ограничены только объемом машинноИ памяти.
Для получения системы уравнениИ метода конечных элементов для плоскоИ задачи теории упругости с кри-волинеИными разрезами в области используется теорема о минимуме потенциальноИ энергии [8]. Рассмотрим треугольные симплекс-элементы с шестью компонентами узловых приращениИ перемещениИ. Один из двух номеров узловых точек выбирается для каждого конкретного элемента с учетом принадлежности одноИ из
сторон, содержащих узел, определенному берегу разреза. Для отдельного конечного элемента, путем минимизации полной потенциальной энергии, получаем линейную систему уравнений относительно узловых перемещений с локальной матрицей жесткости. Глобальная система конечных элементов строится на основе суммирования поэлементных вкладов и имеет вид:
Ми = F, (5)
где М — глобальная матрица жесткости; и — приращение вектора узловых перемещений; F — приращение вектора узловых сил. Порядок системы равен 2^ где N— число номеров узлов сетки конечных элементов.
Основные типы краевых условий задаются обычным способом [8]. Так, например, известные приращения нормальной и касательной компонент вектора напряжений на границе в методе конечных элементов определяют приращения соответствующих компонент вектора узловых сил, приращения нормальной и касательной компонент вектора перемещений — приращение соответствующих узловых перемещений.
Рассмотрим алгоритм введения в дискретную задачу краевых условий, описывающих взаимодействие берегов разрезов. По построению каждый двойной узел первоначальной сетки конечных элементов с номерами i и j ( <I) принадлежит двум берегам разреза. В каждом узле предполагаются две возможности: либо среда в нем остается непрерывной, либо происходит скольжение берегов — разрыв приращения касательного перемещения. Обе возможности реализуются при обязательном выполнении условий (1) и (2). Кроме того, в первом случае необходимо выполнение условия (4) при g2 = и+ - и-, а во втором — одного из условий (3) или
(4).
Для данного двойного узла с номерами i и ] имеем следующие уравнения основной системы конечных элементов (5):
2 N
X М 2М и к = к =1
2 N
X М 2. и к = , к=1
(6)
2 N
X M 2 j -1 kUk = F2 j -1>
k =1
2N
(7)
X M 2 jkUk = F2 j.
k=1
Условие (1) в компонентах приращений векторов узловых перемещений вдоль осей координат принимает вид:
sin aU2i-1 - cos aU2i - sin aU2j-1 + cos aU2j = 0,
где a — угол между осью абсцисс и вектором касательной к поверхности разреза, одинаковым для обоих берегов.
Для того чтобы не менять структуру матрицы жесткости при введении условия (1), заменим первое уравнение (6) следующим:
2N
где
X M 2i-1 kUk = 0, k =1
M2i-12i-1 = L sin a, M2i-12i =-L cos a,
(8)
m
2i-12 j-1 = -L sin a, M2i-12 j = L cos a,
М2._1 к = М2._1 к при к ф 2. _1, 2., 2] _1, 2],
L — достаточно большое число, например L = 1010
По условию (2) компоненты вдоль осей координат приращений соответствующих узловых сил должны удовлетворять соотношениям:
F2i -1 = -F2 j-Ъ
F2i =-F j.
(9)
При определении вектора узловых сил используется внешняя нормаль к границе и соответствующий ей касательный вектор. В данном случае внешние нормали к берегам разреза противоположно направлены, поэтому в (9) возникает знак "-". Условия (9) не содержат известных значений, но определяют линейные комбинации правых частей уравнений (6), (7). Чтобы задать данные условия, проведем линейные преобразования системы уравнений конечных элементов — заменим уравнения (7) суммой соответствующих уравнений (6) и (7). Получим:
2N
2N
X Mj-1 kUk = 0, X Ü2jkUk = 0, (10)
k =1
k=1
где
M2 j-1 k = M 2 j-1 k + M2i-1 k ,
M2 jk = M 2 jk + M 2ik.
Условия (3) или (4), вообще говоря, могут быть нелинейными, однако метод последовательных нагружений позволяет их линеаризовать. Поэтому на каждом шаге по параметру нагружения условию (3) в каждой точке разреза соответствует линейная зависимость между касательной и нормальной компонентами приращения вектора напряжений. Выразив касательную и нормальную компоненты приращения вектора напряжений через компоненты приращений соответствующих узловых сил вдоль осей координат F2i-1, F2i и подставив в указанную линейную комбинацию, получим:
cos aF2i -1 + sin aF2i = (11)
= a1 (sin aF2i-1 - cos aF2i) + a2l,
где a1, a2 — коэффициенты соответствующей линейной зависимости на данном шаге нагружения; l—длина площадки, на которой для выбранного узла вектор напряжений заменяется вектором узловых сил. Условие (11) будет выполняться, если заменить второе уравнение
в системе (6) соответствующей линейной комбинацией где данных уравнений:
2 N ~
X М2/кик = ^
(12)
k=1
где
M2i k = (cos a - a1 sin a)M2i-1 k +
+ (a1 cos a + sin a)M2i k.
Аналогично, если вместо условия (3) на линии сдвига используется условие (4), то, линеаризуя его на данном шаге нагружения, получим линеИную комбинацию касательных компонент приращениИ векторов напряжениИ и разрыва перемещениИ с коэффициентами Ъ1, b2, b3. В этом случае условие (4) в узловых переменных может быть записано:
b1l(cos aU2i-1 + sin aU2i - cos aU2 j-1 - sin aU2j) + + b2 (cos aF2i -1 + sin aF2i) + b3l = 0.
Используя соответствующую линеИную комбинацию уравнениИ (6), получаем уравнение:
2 N
X M 2ikUk =-Ъз1, k =1
(13)
где
M
2i 2i -1
= b2 (cos aM2i-12i-1 + sin aM2i 2i-1) + b1l cos a,
M
2i 2i
= b2 (cos aM2i-12i + sin aM2i 2i) + b1l sin a,
M
2i 2 j-1
= b2 (cos aM2i-12 j-1 + sin aM2i 2 j-1) - b1l cos
a,
M
2i 2 j
= b2 (cos aM2i-12 j + sin aM2i 2 j) - b1l sin a,
M2ik = b2 (cos aM2i-1 k + sin aM2i k ) при k Ф 2i -1, 2i, 2 j -1, 2 j.
Таким образом, после введения условиИ взаимо-деИствия берегов на линии сдвига в каждом двоИном узле система уравнениИ (6), (7) заменяется системами (8), (10), (12) при условиях (1)-(3) или (8), (10), (13) при условиях (1), (2), (4).
Если среда в двоИном узле остается непрерывноИ, то есть разрыв приращениИ перемещениИ отсутствует, условия (1) и (4) в компонентах приращениИ векторов узловых перемещениИ вдоль осеИ координат могут быть записаны в следующем виде:
U2i-1 - U2j-1 = 0, U2i - U2j = 0.
Для выполнения данных условиИ заменим уравнения (6) уравнениями:
2N
2N
X M 2i-1 kUk = 0, X M 2ikU k = 0, k =1 k =1
M 2i -1 2i-1 = L, M 2i-12 j -1 = -L> ^i -1 k = M 2i -1 k
при £ ^ 2/ -1, 2 j -1,
М21 2/ = Л~2/ 2у =-4
МШк = М2/ £
при £ ^ 2/, 2у.
В этом случае непрерывность в узле сохраняется при замене уравнений (6), (7) системой уравнений (10), (14).
Первоначальная матрица М симметрична и имеет ленточную форму. Введение граничных условий непосредственно в систему изменяет свойства матрицы. Ширина ленты модифицированной матрицы жесткости М становится больше и нарушается симметрия. Минимизация ширины ленты достигается оптимальной нумерацией узлов сетки конечных элементов.
4. Упругое и упругопластическое решения для кольца
Предлагаемый алгоритм позволяет рассматривать неупругие свойства среды, локализованные на дискретной системе линий скольжения. Ясно, что корректное решение задачи должно допускать переход к известным результатам. Это обстоятельство можно использовать как тест для предлагаемой постановки задачи и метода ее решения.
Остановимся на классических решениях. Предположим, что исследуемая область представляет собой кольцо, находящееся в условиях плоской симметричной деформации. Все величины в задаче будем считать безразмерными. В качестве характерного напряжения выберем модуль упругости, в качестве характерного линейного размера — радиус отверстия. Внешний радиус кольца обозначим через R. На внутреннем контуре границы зададим нормальное радиальное напряжение стг = 0, на внешнем контуре — радиальное перемещение мг = -м, где м > 0 — параметр нагружения. Касательное напряжение стге = 0 как на внутренней, так и на внешней границах. В этом случае ст гв = 0 и во всей области.
Решение задачи в рамках линейной теории упругости имеет вид [12]:
1 + V 2
иг =--А[г 2(1 - 2v) -1], ме= 0,
где
a, = - A
A =-
2
r -1
, ae=- A
r2 +1
(15)
uR
[(1 - 2v)R2 +1](1 + v)
(r, e) — полярные координаты соответствующеИ точки области (1 < r < R, 0 <e< 2n); v — коэффициент Пуас-
Рис. 1. Сетка конечных элементов с учетом перемещения узлов при решении задачи: п = 8 (а) и 16 (б
сона; и0, а0 — перемещение и нормальная компонента напряжения в окружном направлении. Главные напряжения в кольце равны а1 = а0, а 2 = а г.
Предположим, что максимальное касательное напряжение т = (а2 _а^/2 в исследуемой области не превышает предел текучести при сдвиге к. Увеличение параметра нагружения приводит к образованию вокруг отверстия пластической области (1 < г < с), в которой выполняется условие идеальной пластичности:
т = к. (16)
В этом случае упругопластическое решение задачи имеет следующий вид [13]:
a r = -2k ln r,
а0 = -2k ln r - 2k (1<r <c),
(17)
ar = -2k ln c - k
2 2 r - С
2 + 2 (18) , r r + С
a0=-2k ln c - k-2— (c<r <Я).
r2
В пластической области линии скольжения имеют вид логарифмических спиралей 0 ± ln r = const, пересекающих полярный радиус под углами ±я/ 4. При этом касательное напряжение тn на площадках скольжения постоянно:
Т n
-k.
(19)
Формально континуальному пластическому решению задачи соответствует бесконечно много линий скольжения. Радиус пластической зоны с зависит от па-
0
Рис. 2. График (а) и изолинии (б) функции т(х, у) при n = 32
х
х
Рис. 3. График (а, в, д) и изолинии (б, г, е) функции т(х, у) при п = 16 (а, б); 8 (в, г); 4 (д, е)
Рис. 4. График (а, в) и изолинии (б, г) функции т(х, у) при п = 2 (а, б) и 1 (в, г)
раметра нагружения и и предела текучести к. Уравнения равновесия и условия непрерывности напряжений на упругопластической границе приводят к следующему соотношению:
к[(1 _ 2у )(1 + 21п с) R 2 + с 2](1 + V) = uR.
5. Численное решение задачи о локализации сдвигов на дискретной системе линий в кольце
Для кольца, с указанными выше граничными условиями, рассмотрим состояние, "промежуточное" между упругим и упругопластическим. Предположим, что параметр нагружения и таков, что в упругопластическом решении (17), (18) вокруг отверстия возникает пластическая область. При численном решении задачи будем считать, что в материале возникает конечное число линий скольжения, на которых выполняется условие (19). Таким образом, в кольце радиуса cL рассмотрим п разрезов вдоль линий 0 _ 1пг = 2(т _ 1)п/п, т = 1, ..., п.
Выберем сетку конечных элементов, определяемую семействами логарифмических спиралей и концентрических окружностей. Вдоль некоторых линий на одном из семейств логарифмических спиралей могут быть расположены разрезы — линии скольжения, которые берут свое начало на внутреннем контуре границы и заканчиваются внутри области. Вне разрезов материал деформируется упруго. Вдоль разрезов возможен разрыв касательных перемещений. Вектор напряжений на площадке, касательной к разрезу, непрерывен. Если два берега разреза рассматривать как самостоятельные границы исследуемой области, то для двух точек, имеющих одинаковые координаты, но лежащих на противоположных берегах разреза, должны выполняться условия (1)-(3), где gl = к.
Рассмотрим решение задачи при следующих параметрах: V = 0.3, к = 0.03, R = 3.248, и = 0.016, сь = 1.988, п = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 48, 96. Вдоль разрезов происходят разрывы касательных перемещений — первоначально
совпадающие узлы смещаются друг относительно друга, на внутренней границе образуются "ступеньки". Разрывы максимальны на контуре отверстия и уменьшаются до нуля на упругопластической границе. Чем больше разрезов, тем меньше разрывы на каждом из них. На рисунке 1 изображены сетки конечных элементов, с учетом перемещений узлов в результате решения задачи соответственно при п = 8 и 16. Форма разрезов, вдоль которых происходит скольжение с постоянным касательным напряжением £, повторяет форму линий скольжения континуальной упругопластической задачи, вдоль которых т = к. Численное решение задачи с большим количеством разрезов близко к приведенному выше аналитическому упругопластическому решению (17), (18). При п = 48 превышение предела текучести максимальным касательным напряжением между разрезами составляет на границе отверстия около 10 %, а при г > 1.1 — менее 5 %. На рисунке 2 приведены график и изолинии функции т(х, у) при п = 32. Влияние проскальзывания вдоль разрезов на напряжения наблюдается в их небольшой окрестности. При увеличении расстояний между разрезами максимальное касательное напряжение увеличивается. Наибольшие значения т принимает на границе отверстия между разрезами. На рисунках 3 изображены графики и изолинии т(х, у) для п = 16, 8, 4 соответственно. Если п = 2 и п = 1, решение, при удалении от линий скольжения приближается к упругому решению для кольца без разрезов (15) (рис. 4). Наличие заданного числа разрезов в упругом кольце понижает среднее радиальное напряжение, действующее на внешней границе. Для п = 96 среднее напряжение, так же как и для континуального упругопластического решения (17), (18), при г = 3.212 составляет около 83 % от радиального напряжения, полученного в упругом решении (15) задачи без разрезов, для п = 32 — 84 %, п = 8 — 89 %, п =1— около 99 %.
6. Заключение
Предложенный подход позволяет учитывать при исследовании напряженно-деформированного состояния среды промежуточный масштабный уровень между классической упругостью, когда линий скольжения и соответствующего масштаба нет, и континуальными
пластическими постановками, когда линии скольжения бесконечно близки. В рамках данного подхода возможен также переход к континуальной пластичности и упругости. При расстояниях между линиями скольжения на границе отверстия менее 0.2 характерного масштаба деформируемой области решение практически переходит в континуальное, при больших расстояниях отличие существенно. Таким образом, локализация деформаций на макроуровне приводит к тому, что материал в целом обнаруживает пластические свойства.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 02-05-64676.
Литература
1. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: в 2-х т. / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. - Т. 1. - 298 с., Т. 2. - 320 с.
2. Соколовский В.В. Теория пластичности. - М.: Высшая школа, 1969. - 608 с.
3. Ставрогин А.Н., Протосеня А.Г. Прочность горных пород и устойчивость выработок на больших глубинах. - М.: Недра, 1985. -271 с.
4. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. - М.: Мир, 1969. - 863 с.
5. Шемякин Е.И. Синтетическая теория прочности. Ч. 1 // Физ. мезо-
мех. - 1999. - Т. 2. - № 6. - С. 63-69.
6. Ревуженко А.Ф. Механика упругопластических сред и нестандарт-
ный анализ. - Новосибирск: Изд-во Новосибирского университета, 2000. - 428 с.
7. Седов ЛИ. Механика сплошной среды: в 2-х т. - М.: Наука, 1973. -Т. 1 - 536 с., Т. 2 - 584 с.
8. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. -М.: Мир, 1981. - 304 с.
9. Бушманова О.П. Применение метода конечных элементов для моделирования линий разрыва в упругопластических задачах // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. -Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999. - С. 46-50.
10. Бушманова О.П. Численное моделирование локализации сдвигов // Вычислительные технологии. - 2001. - Т. 6. - Спец. выпуск. -Ч. 2. - С. 154-158.
11. Бушманова О.П., Ревуженко А.Ф. Исследование локализации сдвигов на дискретной системе поверхностей // Тезисы VIII Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике. -Пермь: ИМСС УрО РАН, 2001. - С. 133.
12. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1979. - 744 с.
13. КачановЛ.М. Основы теории пластичности. - М.: Наука, 1969. -420 с.
