CC BY
27
УДК 019.6
О. П. Бушманова
Численное исследование локализации сдвигов в окрестности круглого отверстия
Задача о напряженно-деформированном состоянии толстостенного цилиндра под действием внутреннего и внешнего давления и осевой нагрузки имеет хорошо известные решения в рамках классических моделей [1, 2]. И спою очередь, эксперименты на металлах и горных породах показывают, что в данных условиях разрушению предшествует возникновение линий локализации сдвигов. В работах [3, 4] получено решение задачи для материала с блочной структурой. В [5] приведены обзор аналитических исследований и аналитическое решение для упругой области с трещиной. Исследования, посвященные локализации деформаций, часто основываются на бифуркационном критерии [6].
Рассмотрим другой подход. Если считать возникновение линий локализации сдвигов пред-разрушением, то естественно обратиться к критериям разрушения [7]. Эти критерии можно использовать для определения возникновения и ориентации линий локализации. Таким образом, если разрушение - разделение материала ня части без связей между собой, то определенная связь на линии сдвига дасг возможность рассматривать некоторое переходное состояние. Анализ экспериментальных данных позволяет считать ширину полосы сдвига достаточно малой для того, чтобы моделировать переходный слой в зоне локализации, как сильный разрыв приращений перемещений [8]. В свою очередь, некоторые материалы, в частности, горные породы ведут себя упруго до появления линий сдвига [7]. '
Для оценки возможности возникновения и развития линий локализации часто необходим пошаговый процесс нагружения. Пусть осевая нагрузка определяет промежуточное главное напряжение, тогда исследуемая область представляет собой кольцо в плоскости максимального и минимального главных напряжений. Внутренний радиус кольца - 1. внешний - Я. На каждом шаге нагружения на внутреннем и внешнем контурах заданы прирашения нормального напряжения <т,. - р и </, соответственно. Все величины предполагаются безразмерными. В качестве характерного линейного размера выбран радиус внутреннего отверстия, в качестве характерного напряжения - граничное нормальное напряжение на внешнем контуре. Приращения касательных напряжений на границах области рав-
ны нулю. Вне линий деформирование материала подчиняется закону Гука, который в декартовой системе координат имеет вид:
<Тц =
(1 + */)(1-2 и) Е
(1 4- !/)(1 — 1и) Е
(Ту, =
((1 - іу)иіЛ + ии2і2).
((1 - 1/)«2,2 + "Им),
(их,2 + »2,і)'
где сг,] - компоненты тензора приращений напряжений, - компоненты градиента приращений перемещений, (х,= 1,2), Е - модуль Юнга, и -коэффициент Пуассона.
Рассмотрим численную реализацию сильного разрыва перемещений в рамках метода конечных элементов [9, 10]. Предположим, что определено положение линии для данного этапа нагружения. Будем считать, что линия принадлежит сетке конечных элементов, но имеет два берега, т.е. каждая точка является двойной. Пусть и+, и~, и+, и~, - приращения нормальных и касательных перемещений на линии, Е+, Г~ - нормальная и касательная компоненты векторов приращений напряжений, действующих на касательные к линии в данной точке площадки с внешней нормалью к каждому бе-
регу, [ип] = ы+
= и+ — Ч
и~. В каждой двойной точке линии разреза с координатами , должны выполняться следующие условия:
р+ + е; = о,р? + г; =0, (1)
[«гг] = > [“г]-('"0
Г+ = </2(^+ (3)
ИЛИ
[ит] =5з(/Г+, Р+,хих2), (4)
где <7,-, (г = 1, 2, 3) - заданные функции своих аргументов.
Круг различных условий, которые можно реализовать в рамках метода конечных элементов на берегах разреза, достаточно широк. Хотя разрыв нормального перемещения на линии сдвига равен нулю, обсуждаемый численный алгоритм позволяет задавать его зависящим и от других параметров задачи (условие (2)). Наряду с этим возможность скольжения берегов друг относительно друга (разрыв приращений касательных
Локализация сдвигов
перемещений) может быть реализована одним из двух условий (3) или (4). В частности, график последней зависимости может иметь и ниспадающую ветвь. Так как, вообще говоря, заранее неизвестно, где расположена линия разрыва, можно предположить, что все точки сетки конечных элементов двойные. Если среда сплош пая и нет никаких разрывов, то поведение таких точек не должно отличаться от поведения точек обычной сетки. Эго означает, очевидно, выполнение условий непрерывности напряжений (1) и непрерывности перемещений - = 0, Уз = о в
условиях (2) и (4).
Функционирование выделенных линий возможного разрыва полностью зависит от граничных условий и условий на разрезе. В связи с этим рассмотрим простой пример, Предположим, что в рассматриваемой области задана сетка конечных элементов. Определяющими семействами сетки служат окружности и логарифмические спирали, составляющие с радиальным направлением углы 45 градусов. Будем считать, что вдоль некоторых линий на одном из семейств логарифмических спиралей расположены разрезы. На каждом шаге нагружения на берегах разреза должны быть заданы обязательные условия (1) В данном случае выберем также условия (2) и (3) в предположении, что
.'/1 = 0,.72 =
\р-ч\и-(Я2 - 1)г2
где г - полярный радиус данной точки разреза. Это означает, что разрыв приращения нормальною перемещения на разрезе равен нулю. Приращение касательного напряжения вдоль линии разреза совпадает с соответствующим приращением для известного [1] точного решения упругой задачи. Есть возможность возникновения разрыва приращений касательных перемещений. В данном случае такая возможность не реализуется, так как граничные условия и условия на разрезе определяют непрерывное поведение материала. Поэтому материал деформируется точно так же, как и при отсутствии разрезов. Это] пример представляет собой качественный тест для программ численного счета, учитывающих криволинейные разрезы внутри непрерывной области. Если в условии (2) правая часть не будет соответствовать приращению касательного напряжения вдоль выбранного направления, полученному из решения непрерывной задачи для упругого материала, то может возникнуть разрыв касательного перемещения. (Следуя критериям разрушения, будем считать, что вдоль определенных линий касательное напряжение
к -
|р- ч\
21па+ ] - (е/г)2
Если на разрезах задано постоянное касательное напряжение к, а глубина разрезов « совпадает с радиусом пластической зоны в упругоплас-
не превышает прочности материала при сдвиге к (критерий Кулона) или зависит от нормального напряжения (Кулона-Навье, Мора). Тогда на некотором шаге нагружения возникнут разрывы перемещений вдоль линий, что можно интерпретировать, как локализацию сдвигов. Соответствующие разрезы берут свое начало на внутреннем контуре границы и могут быть обусловлены некоторым локальным возмущением. Благодаря этому возмущению в начальной точке разреза прочность материала при сдвиге может иметь меньшее значение, чем во всей области. Предполагается, что разрезы расположены вдоль одного из семейств логарифмических спиралей, определяющих сетку конечных элементов. Численные расчеты показывают, что в процессе нагружения длина разрезов и их количество могут изменяться.
Рис. Сетка конечных элементов Для иллюстрации скольжения вдоль линий на рисунке приведена сетка конечных элементов с учетом перемещений, полученных при решении задачи со следующими параметрами: р = 1, (£ = О, Я — 4,81, Е = 10, V — 0,3, к = 0, 59. Вначале соответствующие точки сетки на берегах разрезов совпадали.
В классическом упругопластическом решении [2] при условии, что максимальное касательное напряжение в пластической зоне равно к, можно установить связь между радиусом пластической зоны й и к:
тическом решении, то при увеличении количества разрезов напряженное состояние стремится к указанному решению. На сетке 72 х 37 х 2 при 36 разрезах отличие в напряжениях не превышает 8, н при 72 разрезах - 3 процентов.
Необходимо отметить, что изменение критерия возникновения и условий распространения линий разрыва, так же, как и выбор любого неупругого поведения материала, не повлечет за собой существенных изменений в алгоритме.
Литература
Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М., 1975.
Соколовский В В. Теория пластичности. М.,
1969.
Лавриков С.В., Ревуженко А.Ф. О деформировании блочной среды вокруг выработки // ФТПРПИ. 1990. №6.
Лавриков С.В. Ревуженко А.Ф. Об устойчивости деформирования блочного массива вокруг выработки // ФТПРПИ. 1991. №1. Gaiybin A.N. Propagation of a shear crack in a compressed plane with a circular hole // Int. J. Numer. arid Anal. Meth. Geomech. 1998. T. 22. Ш.
Райс Дж. P. Локализация пластической де-
9.
формации. Теоретическая и прикладная механика // Труды III Международного конгресса ШТАМ. М., 1979.
Разрушение. Т. 7. М., 1976.
Роско К. Значение деформаций в механике грунтов // Механика: Сб. переводов. 1971 .У°3.
Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М., 1981.
10. Бушманова О.П. Применение метода конечных элементов для моделирования линий разрыва в упругопластических задачах // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Новосибирск, 1999.
