CC BY
27
УДК 519.6
О. П. Бушманова, С. Б. Бушманов Численное исследование
напряженно-деформированного состояния в породном массиве*
Рассмотрим плоскую задачу о напряженно-деформированном состоянии породного массива. Предположим, что в массиве присутствуют тектонические разрывы, вдоль которых происходит сдвижение материала [1, 21-
Линии тектонических разрывов представим в виде разрезов в непрерывной плоской области. Возможность скольжения берегов разрезов друг относительно друга обеспечивается условиями, заданными на разрезах.
Для исследования возникновения и распространения любого числа произвольно направленных разрезов криволинейной формы с различными типами условий, обеспечивающими возможность разрывов перемещений в первоначально непрерывной области, разработаны алгоритм численного счета и пакет программ, реализующие метод конечных элементов на проблемно-ориентированных сетках с двойными узлами [3-5].
В рамках метода последовательных нагружений поставим задачу определения на каждом шаге нагружения в исследуемой области полей приращений перемещений щ (г = 1,2)
и приращений напряжений {г,з = 1,2),
которые должны удовлетворять уравнениям равновесия
= ОТак как в рассматриваемой задаче определяющую роль в напряженно-деформированном состоянии играют сдвиги вдоль тектонических разрывов, для материала вне линий выберем модель линейно-упругого тела
-- -^(Е-
1
1
&кк),
Рассмотрим условия, описывающие взаимодействие берегов разрезов.
На площадке разрыва перемещений вектор приращений напряжений должен быть непрерывен
(Рп) + = (Рп
(Рт)+ = (Рт
(1)
где индексы «+» и «—» соответствуют разным сторонам линии разрыва. Направляющие косинусы нормали щ, (г = 1, 2) и касательной - т^, г,
линии; рп, рт - нормальная и касательная составляющие вектора приращений напряжений
рп &І^ПіП^ ,
Рт = &ІІ пт, (і^ = 1,2)-
Нормальная ип и касательная и составляющие вектора приращений перемещений
ип иІпІ
ит ---- иіТі.
(і =1,2)
вдоль разрезов могут терпеть разрыв.
Разрывы перемещений отсутствуют, если
где е^, {%,] = 1,2) - компоненты тензора
приращений деформаций
!/ ^
2 '3 3,
V - коэффициент Пуассона; по повторяющемуся
индексу к проводится суммирование от 1 до 2. \ргт\ < Ро — ЭрР^,
* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект №05-05-65253).
(2)
(3)
Возникновение касательного разрыва приращений перемещений па данном ш-м шаге нагружения в первоначально совпадающих точках на берегах разреза возможно при выполнении определенных критериев.
Одним из возможных критериев является условие (типа условия Кулона), связывающее нормальную рю и касательную рю составляющие вектора полных напряжений на ш
не происходит и выполняются условия (2), (3), если на линии потенциального разрыва - разрезе выполняется условие
ит и
ип и
где др - заданная функция декартовых координат жі, Ж2, первоначально совпадающих точек
Р
Если условие (4) нарушается, то вместо (2) используются условие
Pr = ± (pm - gpPn
(5)
где выбор знака зависит от направления нормали и истории нагружения, параметр рт - от
р
Кроме того, вместо условия (2) может быть задана зависимость между приращением касательного напряжения и разрывом касательной компоненты приращения перемещений
pT gpu(UT U-
(6)
где дри - заданная функция декартовых координат ж, ж2, точек на берегах разреза.
Нормальный разрыв приращений перемещений в данном случае становится возможен если
Un - Un = gu(UT - U-
(7)
где ди - заданная функция декартовых координат Ж1, Ж2, точек на берегах разреза. Такое условие отражает свойство дилатансии материала (изменения объема при сдвиге) локально вдоль линии разрыва.
На участках разрезов, вдоль которых не возникает нормальных разрывов приращений
ди
этом случае условие (7) совпадает с условием (3).
Таким образом, на двух берегах разрезов, которые можно рассматривать как два участка общей границы исследуемой области, выполняются четыре граничных условия: условия (1), (7) и одно из трех - (2) или (5), или (6).
Особенностью представленной постановки является то, что в рассматриваемых граничных условиях используются заданные связи между приращениями перемещений и напряжений, определяемыми в ходе решения задачи.
Алгоритм численного решения поставленной задачи строится на основе метода конечных элементов. При первоначальном разбиении области на треугольные конечные элементы учитываются данные о расположении тектонических разрывов в исследуемой задаче. Предполагается, что часть линий, соединяющих узлы сетки конечных элементов, проходит по линиям разрыва.
Для того чтобы существовала возможность исследования произвольных систем разрывов, все узлы сетки конечных элементов задаются двойными - имеют два номера в глобаль-
ной нумерации. Таким образом, для каждой расчетной точки области существует возможность в процессе деформирования разделиться на два узла, приращения перемещений в которых могут быть различными.
Нумерация узлов сетки конечных элементов оптимизируется с целью уменьшения объема используемых в пакете программ структур данных, при этом учитывается расположение разрезов.
Исследуемую область представим в виде прямоугольника со сторонами, расположенными вдоль осей координат (начало координат совпадает с левым нижним углом прямоугольника).
Предположим, что порода в массиве расположена слоями, имеющими различные модули упругости, наибольший из которых - Ет.
Все величины в задаче будем считать безразмерными. В качестве характерного линейного размера выберем длину прямоугольника, в качестве характерного напряжения - Ет. Ширина прямоугольника, отнесенная к длине, равна И.
На внешней границе области на каждом ш-м шаге нагружения заданы следующие граничные условия:
x
x
x
xH
U,
^12 = О,
^12 = О,
^12 = О,
^12 = 0.
Здесь п\ = const , u\ = const , U§ = const.
На рисунке 1 представлено изменение сетки конечных элементов за один шаг нагружения. Слои имеют различную интенсивность серого цвета, увеличение интенсивности соответствует уменьшению модуля упругости.
При расчетах для модулей упругости в слоях принимались значения (отнесенные к Em): 1,0; 0,9; 0,8; 0,7; 0,6; 0,5; 0,4; 0,3, коэффициент Пуассона v = 0,3 во всех слоях, п[ = 0,004, п[ = -0,004, П = -0,02, Н = 0,5.
В исследуемой области присутствует девять тектонических разрывов в виде прямолинейных разрезов, имеющих различные наклоны.
На разрезах отсутствует разрыв нормальной компоненты вектора перемещений.
На рисунке 2 приведены изолинии приращения максимального касательного напряжения за один шаг нагружения.
И
‘АТаТаТаУаТл»,».» _ - ■*^~--і^і^іжііжіжіжі^±'’,ж’Гж'Гж'*,'4ТаТа'Га'га^аТата^аТаТаТаТлТаТаТаЖаЖж^.»,».».».».ш V _______ £ А”АТА*АТА"А7А"Ач
* і».*,» ▼▼4т ІЛЛіТіТ^^А\ТаТаТа?а» ^А"А*А\\У^у,у4» * * ^тАт4\ТЛл» * * ^\^А\ТЛ*а»а» ^ЧТ4ч\УЛТаУЛ¥Л4» £ ^ АТА’
'аТаТаТаті€т5ітіС^аТаТаТаТ^К€€тіта^^^^
^Ллл^ї.мл А ^^^^АУаУаУаТаГагА.ІІ^І^^^А^аТаУаУа^аУа^аЛГаУа^І.ІІ^^^АУаГаГаГ.ІІ^^^^АУаГаІ.ІІ^^^А^АТ
^▼а^А^А^ А А А^^ТАТ4ТаТаТаТ Т Т А А АТаТ^ТАТаТ4^аТ Т ^ А ^ЧТ т а ат^ЛаПТаТа%Тж?аТ * А АТаТаТА\ТжТ ’ А аТаТ^ТАТ4^аТ Т А аТ' ' Т.»,^ ^"АЧ’А^ЛТіТіТі»,* . *_^А^АТа?іііТ*». "А\ТаТіУ.». 1 2 А^”аТаТаТаТж^1 » — А^АТа^аТа^* *.». « — ^ТаТаУа^аТа^а^ .» І^^ТА^А^аТаУдТ .».
Рис. 1. Сетка конечных элементов
Рис. 2. Изолинии приращения максимального касательного напряжения
Численное моделирование на основе ра- ний тектонических разрывов на напряженно-
зработанных алгоритмов и комплекса про- деформированное состояние в исследуемой
грамм позволяет анализировать влияние рас- области,
положения, протяженности и количества ли-
Библиографический список
1. Надаи, А. Пластичность и разрушение твердых тел / А. Надаи. - М., 1969. - Т. 2.
2. Геомеханические процессы взаимодействия породных и закладочных массивов при обработке пластовых рудных залежей / М.В. Курленя, В.Н. Опарин, А.П. Тапсиев, В.В. Аршавский. - Новосибирск, 1997.
3. Бушманова, О.П. Моделирование локализации сдвигов / О.П. Бушманова // ПМТФ. - 2003. - Д'"б.
4. Бушманова, О.П. Напряженное состояние породного массива вокруг выработки в условиях локализации сдвигов / О.П. Бушманова, А.Ф. Ревуженко / / ФТПРПИ. - 2002. - №2.
5. Bushmanova, О.P. Numerical modeling of shear localization in elastoplastic materials / O.P. Bushmanova, A.F. Revuzhenko // Abstract book of the 11 International Conference on Fracture. - Turin, 2005.
