Теплоотдача от жидкости, перемещаемой в цилиндрическом канале эллиптического кольцевого сечения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ГИДРОДИНАМИКА, ТЕПЛО-И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ, ЭНЕРГЕТИКА

УДК 66.048.37

С. В. Анаников, М. Ю. Сорокин ТЕПЛООТДАЧА ОТ ЖИДКОСТИ, ПЕРЕМЕЩАЕМОЙ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ КАНАЛЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО КОЛЬЦЕВОГО СЕЧЕНИЯ

Ключевые слова: температурное поле, теплообмен, локальный тепловой поток, цилиндрический канал в форме эллиптического кольца, краевая задача, собственные значения, собственные функции, обычное и модифицированное

уравнения Матье.

Изучается температурное поле при движении жидкости в полубесконечном цилиндрическом канале эллиптического кольцевого сечения при смешанных граничных условиях. Задача решается методом разделения переменных. В результате она приводится к трем граничным задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, два из которых представляют собой обычное и модифицированное уравнения Матье. Получены решения для температурного поля в жидкости и удельного теплового потока

на внутреннюю стенку канала.

Keywords: temperature field, heat exchange, local stream of heat, cylindrical canal in form of elliptical ring, boundary task, own

values, own functions, ordinary and modificied equations of Mathieu.

The temperature field moving liquid into half-infinite canal which has cross section in form elliptical ring at mixed boundary conditions is studied. The task is resolved by method of dividing variables. As result it is reduced at three boundary tasks for ordinary differential equations of second order. Two differential equations of three are usual and modificied equations of Mathieu. Solutions obtain for temperature field into liquid and specific heat stream on the internal wall of canal.

В работе, как и в [1-9], решается задача о теплообмене при движении жидкости в каналах различной геометрической формы при различных граничных условиях.

В частности, ставится и решается задача о теплоотдаче горячей жидкости, перемещаемой в полубесконечном цилиндрическом канале, имеющем сечение в форме эллиптического кольца.

Принимается, что температура внутренней стенки, омываемой движущейся жидкостью, постоянна, а наружная стенка канала теплоизолирована, то есть решается смешанная краевая задача.

Математическая постановка задачи

Даны две осесимметричные полубесконеч-ные цилиндрические поверхности эллиптического поперечного сечения (два осесимметричных полу-бесконечных эллиптических цилиндра, образующих канал эллиптической формы). Между ними в осевом направлении (ось z) перемещается греющая жидкость с постоянной средней скоростью V. Компоненты скорости вдоль других осей декартовой системы координат предполагаются равными нулю.

В начальное сечение канала подается жидкость с температурой ТГ. Температура внутренней стенки эллиптического канала, обращенного к жидкости, равна Tcm, причем Tcm << ТГ. Наружная эллиптическая поверхность канала теплоизолирована.

Расход греющей жидкости - Q.

Требуется найти температурное поле в жидкости и локальный тепловой поток на внутреннюю стенку эллиптического канала.

Дифференциальное уравнение энергии для рассматриваемого случая, преобразованное из декартовой системы координат к координатам эллиптического цилиндра согласно [2], где решается задача для эллиптической трубы, позволяет записать следующую краевую задачу

дт(#.7.z) _ a2 \______2с

д z

■ _ a

д 2T (#,7, z) drj2

I ch2# - cos 2r

д 2T (#,7, z ) } dz2 Г

д 2T (#,r, z ) д#2

#1 < # < #2, 0 <r< 2k, 0 < z < ro,

T (#1, r, z) _ Tcm, 0 <r< 2k, 0 < z < ro,

дТ(#2,7,z) _ 0,0 <r < 2k, 0 < z <ro, д#

T(#,r,z)_ T(#,r + к,z), #i < # < #2,

0 < r < 2k, 0 < z < ro,

T(#, r,0) _ F(#, r), #i <#<#2,0 < r < 2k,

_ 0, #1 <#<#2, 0 <r< 2k.

д z

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Здесь предполагается общий случай симметричного распределения температуры вдоль координат ¡Ц и г на входе в канал ( = 0).

Если перейти к отсчету температуры от Тст

в{§,г, 2 )= Т (#г 2)- Тст, (7)

то задача (1)-(6) примет вид

д 2

2c -

[ch2# - cos2r

д М#,7, z ) д#2

2

5 Ц#,Г, z drj2

5 Ц#,Г, z) I

5 z2

#1 < # < #2, 0 < r < 2k, 0 < z < ro, #(, r, z) = 0, 0 < r < 2k, 0 < z < ro,

5#

■ = 0, 0 < r < 2k, 0 < z < ro,

r z) = £(#r + Kz#i < # < #2,

0 < r < 2k, 0 < z < ro,

0(f,r,0)= F (T,r)- = F (#,r)

#i <#<#2, 0 <r < 2k,

= 0, #<#<#2,0 <r< 2K.

5z

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

Задача(8)-(13) решается методом разделения переменных.

Если положить в(^,Г1, г )= / {§,Т])1 (г ), (14)

то вместо (8) можно получить

г '(г) _ г ''(г) _ 2с_2

и

a2 Z (z) Z(z) ch2# - cos2r

52 f (#, r)

52 f (#, r)

5#2

+

2

тй=_v 2 (v s 0i

дц

где к = V 2 с2 /4 Откуда

г "(г)-4 2 '(г) - V2 г (г) = о

V - константа разделения.

9 /(#,г) + 9 /(#,г) + 2к(2# _008 2^) х

д#2 дг)1

X / (г, г) _ 0. (15)

Последующее разделение переменных в (15) с помощью функции

/ (й,г) _—(#) Ф(л\ (16)

где —(#) - функция одного #, а ф(Г - функция одного г, позволяет получить

1 £!£!а+2ксН2{ _ ‘ ^2ф(г1+

—(#) й#2 фу1) йг1

+2к 008 2г _ Л.

Так как левая часть этого уравнения не зависит от г, а правая часть - от #, то каждая часть равна одной и той же постоянной величине к.

Следовательно, имеют место два обыкновенных дифференциальных уравнения

С Ф + (к _ 2к 008 2г)Ф _ 0,

йг2 с 2

—— _ (к _ 2кск2##— _ 0,

с#2

где к - постоянная разделения.

Два последних уравнения представляют собой каноническую форму обычного и модифицированного уравнений Матье. Как известно, каждое из

этих уравнений, в случае замены ^ = + іц и ц = + і£ (і - мнимая единица) переводит одно уравнение в другое.

Таким образом можно записать три задачи

Z "(z) — W Z '(z) — v 2Z (z) = 0, n2 (17)

LI dZ (ro)= 0 dZ (18)

Ф"Г ) + (h — 2k cos 2г)Ф(т) = 0, (19)

ф{л) = ФІг + k). (20)

w"(#) — (h — 2k ch2#)^(#) = 0, (21)

11 0, (22)

dA#2 ) = 0 d# (23)

Решение задачи (17), (18) имеет вид

Z (z) = С exp

Vw2 + 4a 4v 2 — и

Z

2a 2

(24)

где

С - произвольная постоянная.

Решается задача (19), (20).

Функция ф(г должна быть однозначной и периодической относительно координаты г. Поскольку рассматривается случай, когда распределение температуры симметрично относительно обеих осей эллипса, то функция ф(г) должна быть четной и иметь период я относительно г. Несимметричное

распределение температуры относительно той или иной оси эллипса должно быть рассмотрено отдельно.

Задача (19), (20), с учетом вышеизложенного, приводит к выбору функции

Ф(г_ сеш {г, к). (25)

Решением (21)-(23) будет —##_ С2пСе2п (#, к) + Е2пЕеУ2п (#, к), (26)

СтСеш (#, к) + ЕщЕвущ (, к) _ 0, (27)

СщСе'т (#2, к) + ЕщЕеу'т (#2, к) _ 0. (28)

Характеристическое уравнение для определения собственных значений к из соотношений (27), (28) может быть получено из условия

Се2п (#l, к) ЕеУт # к)

Се2П (#2 , к) ЕеУ2п (#2 , к)

Условие (29) позволяет получить нетривиальное (ненулевое) решение системы уравнений (27), (28) относительно искомых коэффициентов

С2П, Е2п.

Таким образом, решением уравнения (15) должна быть, согласно (16), (25), (26) функция

/(#,г) _ [С2ПСе2П (# к) + Е2ПЕеУ2П (#, кЯ х х сеш (г,к). (30)

Тогда на основании (14), (24), (30) будет в(#, г, г) _ / (#, гУ(г) _ / (#, г) С х

= 0.

(29)

х ехр

Vи2 + 4a 4v2 — и 2a 2

■Yjf2nCe2n (#,к) -

n=0

■р2ПРеУ2П к)] Се2П (Г, к)

х ехр

I

о2 + 4а4v2 -о 2а 2

(30а)

Здесь произвольная постоянная С , как малозначимая, может быть принята равной единице. В итоге на основании соотношений (14), (24), (29), (30) получено

да да

в(#, Г, г) _ ^^ [С2пСе2п ( к2п,т ) + п=0 т _1

+ Е2пЕеУ 2п (#, к2п,т Ц се2п Г, к2п,т )х

Другими словами, необходимо разложить функцию ^¡(^,г) по произведениям обычных и модифицированных функций Матье.

Для этого следует доказать теорему об ортогональности функций Матье для кольцевого эллиптического сечения в интервале изменения переменной % от ^ до %2. Для доказательства используется подход, примененный в [10].

Предварительно необходимо отметить, что, поскольку функции Ц(§) = СЄ2П (#, к2п,т ) и ц(^) = Реу2п (%, к2пт) удовлетворяют одному и тому же уравнению (21), то и функция У2п (^, к2п т) удов-

х ехр

і

о2 + 4а V - о

(31)

Характеристическое уравнение для определения собственных значений к2п,т можно записать

на основе (29)

Се2п #1, к2п,т )Ееу1 п (#2, к2п,т )_ Се2п (#2, к2п,т ) х ЕеУ2п (#Ъ к2п,т )_ 0, (32)

х

летворяет этому же уравнению.

Пусть к2п,т таково, что при п целом положительном и при # _ #1, # _ #2 удовлетворяются условия (22), (23), то есть

—2п (#, к2п,т ) _ 0,

—2п (#2, к2п,т )_ 0,

где — 2п - решение уравнения (21).

Тогда, если к и к - действительные числа

Подстановкой К2п из (27) в соотношение (31) (как в нашем случае), то точка (к

, к2

г)

лежит

можно получить

да да

в(,ц, 2 ') = ХХ А2п [се2п ( к2п,т ) : п=0 т =1

х КеУ2п к2п,т )- Се2п (#1, к2п,т )х

х РеУ2п к2п,т )] х се2п,т (ц, к2п,т )

х

2п,т Л2п,т)

на характеристической кривой для функции ф2п (г, к) , являющейся решением целого порядка уравнения (19) [10], вследствие известной взаимосвязи обычных и модифицированных уравнений Матье. Тогда можно записать

й ф2п

х ехр

I

2 л 4 2 и + 4а v2n,m - и

■(к2

+ (п,т 2к2п,т

008

Г)2п

= о,

(33) ё -(2пт-2к2птскЧ)у2п = 0.

где ^2п = С2п / Кеу2п (<=1, к2п,т ), ^п,т = 4к2п,т /с . Если ввести обозначения

^2п (р , к2п,т )= Кеу2п (%1, к2п,т ) Се2п (р, к2п,т )-- Се2п (#1, к2п,т )КеУ2п ^ к2п,т

), (34)

то можно (33) записать в виде

дада

@(,ц,2) = ^2п^2п (, к2п,т ) се2п (, к2п,т )х

й#

Если положить <^2п,т _ —2п ф2п , то для точки (к2п,т, к2п,т) (здесь дополнительный индекс у

функций Матье введен временно для доказательства теоремы об ортогональности и в дальнейшем будет опущен) можно получить

д 2^2

д 2^2.

п=0 т=1

д%2 дц2

х^2п,т = °.

- + 2к2п т (ск2% - 008 2ц)

(37)

х ехр

I

°2 + 4а-о

2а2

Также для точки (к

2р ,Г 5 к2р,Г

)

(35)

Очевидно, что вновь введенные коэффициенты ^42п в разложениях (33), (35) должны быть определены из граничных условий.

Наконец, условие (12) дает возможность от (35) перейти к выражению

К

1(£ ц,) = XX ^2пК2п ( к2п,т ) > п=0 т =1 п ц, к2п,т ) ■

9 ^2Р,Г 9 ^2Р,Г 2 )

-----+ 2к2п,т (ск2# _ 00«27) х

д#2 дг

х^2р,г _ 0. (38)

Умножением уравнений (37) на ^2р г и (38) на С2п,т с последующим вычитанием второго уравнения из первого, после преобразований, получено

д ^ ^Ст,т г 9^2 р,г

2Р,г д# Ь2п,т д#

г

2

х

2

да да

л 5£rn ,m ~

5^2 pr

b2 p,r b2n,m

2(k2 = 0.

I I V2n,m (#, k2n,m )ce2n,m (, k2n,m ):

J# J0

22 5r 5r 5r

— k2p,r )(ch2# — cos2r)2n,m (Г2p,r = 0. (39)

Интегрирование выражения (39) по # от #1 до #2 и по r от 0 до 2к дает

#1 J0 х (ch2# — cos 2r)d#dr. Откуда

I I F1(#,r)V2n,m ( k2n,m );

•# J0

i2n •>0

5C.

2 p,r

I

#2

#1

2(k

Г

5#

5<r 2n,m

#2

2p,r "

5#

5^2 p,r

dr +

Л = J#1 J0

^2n _

#1

->2nm -

5r 5r

#2 t2k #1 J0

x<?2n,m ^2p,r d# dr = 0.

2k

d# +

#2 (*2k #1 J0

: ce2n,m (r, k2n,m \ch2# — cos2r)d# dr

I 2 I ^ V22n,m (, k2n,m ) J# J0

2

_k

2n,m л2 p,r

)j^21 (2# — cos2^)x

г (?7, (2n,m \ch2# — cos2^)d# dr

(43)

(40)

x ce2n,m \

Тогда согласно (35), (43) будет

ro ro I I F1(#,r)V2n,m(#, k2n,m)x

J#1 J0

Так как —2п _ ^2п,т (#, кщ,т ), а

ф2п _ се2п т (77, к2п,т), то в первом интеграле подин-тегральная функция обращается в ноль при # _ #1 на основании соотношения (34), а при # _ #2 на основании характеристического уравнения (32). Поскольку производная от — 2п, а следовательно, и от У2п,т (#, к2п,т) по #в точности равна левой части

характеристического уравнения, взятой с обратным знаком (здесь знак не имеет практического значения, так как данное выражение равно нулю).

Подинтегральная функция второго интеграла в (40) обращается в ноль ввиду ее периодичности относительно г . Отсюда следует, что последний интеграл в этом равенстве обращается в ноль при р # п, т.е.

0 т 1 I I V2n,m(#, k2n,m)x

J# J0

l#2 (*2k # J0

x ce2n,m (r, k2n,m )ch2# — cos 2r)d# dr x ce2n,m r?7, k2n,m )ch2# — cos 2^)# dr

: V2n,m (#, k2n,m )ce2n,m (?7, k2n,m )x

x exp

2 л 4 2 w + 4a v2nm — w

I I (ch2# — cosr)2nm r2 prd#dr = 0. (41) n=0 m=1 Ґ2 I V22n (#, k2nm)

# J0 J# J0

Или после исключения дополнительно индекса у функций Матье согласно (7), получится Т (#,г, г)_ тст +

да да [ [ Е1(#, г)^2п(#, к2п,т)х

-------------------------

п _0 т _1

Это верно и при р = n, если г # да. При р = n, г = да рассматриваемый двойной интеграл в этом равенстве не обращается в ноль. Тогда можно записать

С^2 р2к

I I V2п,да (§)се2п,да {v){ch2£ -COs2^)x

ki Jo

x d£ dr #0. (42)

Теперь вычисляются коэффициенты ^2П в выражении (36), для чего умножаются обе части данного соотношения на

V2рг , к2р,г )ce2р,г Г к2 р,г ){ch2% - cos 2^) и интегрируются по r от 0 до 2к и по £ от £ до £2.

Тогда все члены ряда, содержащегося в правой части, обратятся в ноль, кроме члена, для которого р = n, г = да.

#2 |*2к #1 J0

x ce2n (77, k2nm )ch2# — cos 2r)d# d r x ce\n (r, k2n,m \ch2# — cos2^)d# dr

: V2n (#, k2n,m )ce2n r?7, k2n,m )x

x exp

I

2 ,i 4 2 w + 4a v2n,m — w

2a2

(44)

где

V2n (# k2n,m )= ce2n (?7, k2n,m )Fey 2n (#1, k2n,m ) — Ce2n #1, k2n,m '}Fey2n (#, k2n,m )’

/c 2.

Удельный тепловой поток на внутреннюю стенку канала

Итак

q = ■

5Т (#,r, z )

I 2 I ^ F1(#,r)V2n,m(#, k2n,m )ce2n,m r?7, k2n,m ) >

J#1 J0

x(ch2# — cos 2r/)d# dr = ^42n x

сд/ск2^ - 00^ ц

Это в^іражение вытекает из рассмотрения в эллиптических координатах дифференциалов дуг эллипса и

5#

#=#1

5

0

z

z

гиперболы с учетом того, что дифференцирование выполняется по нормали к эллипсу. Или

--^ск2#1

-0082 г

-0 т_1 Г Г Ущ(#, к2п,т):

#0

да да Г Г Е1(#, г)к2п (#, к2п,т );

----------------------

¿—¡¿—1 Г#2 Г2я

#1 Г0

' се2п (Г, к2п,т Хск2# _ 00$2г)й# йг ' се2п (Г, к2п,т Хск2# _ 0082г)й# йг

К2п (#, к2п,т ) се2п (, к2п,т )х

#_#1

х ехр

2 ,1 4 2

и + 4а у2п,т _и

(45)

Если условие (5) упростить и принять, что Т(#,г,0)_ ТГ , где ТГ - температура горячей жидкости в начальном сечении эллиптического цилиндра, то решения упрощаются

Т(#, Г, г) _ Тст + (ТГ _ Тст ) х #2

I К2п (#, (2п,т )

-------------------

да да

-0 т _1 Г К2п (#, к2п,т )х ■>#1

х^ 2 ^0(2п)ск2#_ а22п)^) й# х(ск2#_ бт )й# ’

х К2п (#, к2п,т )се2п Г к2п,т )х

х ехр

2 4 2

и + 4а ^2п,т _ и

2а 2

Лж (ТГ _ Тст )

2

008 г

(46)

'^ск2#1

да ! К2п (#, к2п,т ) х

х^#_______________________

п _0 Г К2п (#, к2п,т ) х

#1

х ^ 2 A0(2n)cк1# _ А2(2п))) й#

:(ск2#_ бт )й#

К2п (#, к2п,т)

#_#1

2п

(?7, к2п,т )х

х ехр

2 ,<4 2

и + 4а Ущ т _и

(47)

се2п (Г, к2п,т )йГ_я,

се2п ( к2п,т )0082Г йГ _ я-42п1

I

се2п ^ к2п,т )йГ _

I

! се2п ^ к2п,т )0082г йГ_яб2п .

0

Последний вариант записи решений удобен для вычислений, так как коэффициенты разложений

Л^2п), а22п) протабулированы [11].

Обозначения

Т (#, г, г) -текущая температура жидкости в эллиптических координатах, К ;

и - средняя постоянная скорость движения жидкости в кольцевом эллиптическом канале, м/с;

Тг - температура горячей жидкости на входе в канал при г _ 0 , К;

Тст - температура внутренней стенки канала при #_ #1, К;

а2 - коэффициент температуропроводности жидкости, м2/с;

с - фокусное расстояние эллипса, м;

#, г - эллиптические координаты (безр., рад.);

#1, #2 - внутренняя и внешняя границы канала, безр.;

к2п,т - корни характеристического уравнения (29);

Сеш (#, к), Сеш (# кщ,т ) Сет (#1, к) Се

2п (#1, к2п,т ) -

модифицированные функции Матье первого рода при к, к и к2п,т действительных и отличных от ноля;

Се'(#2, к), Се2п

(#2, к2п т ) - производные по # от модифицированных функций Матье первого рода при к, к и к2п,т действительных и отличных от ноля;

ЕеУ2п (#, к)= ЕеУ2п (#, к2п,т } ЕеУ2п (#1, к)=

Ееу2п (#1, к2пт ) - модифицированные функции Матье второго рода при к, к и к2п,т действительных и отличных от ноля;

ЕеУ’2п (#2, к ), ЕеУ2 п # к2п т) - производные по # от модифицированных функций Матье второго рода при к, к и к2п,т действительных и отличных от ноля;

се2п (7, к2п,т } се2п,т (?7, к2п,т )- обьиные функции Ма-тье первого рода при к, к и к2п,т действительных и отличных от ноля;

А2п, С2п, Е2п - определяемые константы;

в(#,Г, г) - текущая избыточная температура жидкости в

эллиптических координатах, К;

б - объемный расход жидкости, (м3/с, м3/ч);

Лж - теплопроводность жидкости, Вт/(м К);

Ч - удельный тепловой поток, Вт/ м2.

Здесь было учтено, что [10]

х

г

г

х

г

Литература

1. С.В. Анаников, М.Ю. Сорокин, В.П. Бурдиков, Э.В. Чир-кунов, Теоретические основы химической технологии (ТОХТ), 38,6, 655-660 (2004).

2. С.В. Анаников, Вестник Казанского технологического университета, 15, 6, 42-46 (2012).

3. С.В. Анаников, Вестник Казанского технологического университета, 15, 6, 147-150 (2012).

4. С.В. Анаников, Вестник Казанского технологического университета, 15, 11, 143-145 (2012).

5. С.В. Анаников, Вестник Казанского технологического университета, 15, 14, 90-93 (2012).

6. С.В. Анаников, М.Ю. Сорокин, Вестник Казанского технологического университета, 15, 18, 58-63 (2012).

7. С.В. Анаников, Вестник Казанского технологического университета, 15, 20, 56-61 (2012).

8. С.В. Анаников, Вестник Казанского технологического университета, 16, 2, 52-55 (2013).

9. С.В. Анаников, Вестник Казанского технологического университета, 16, 3, 58-62 (2013).

10. Мак-Лахлан Н.В., Теория и приложения функций Матье. Иностранная литература. Москва. 1953. 476с.

11. Стретт М. Д.О. Функции Ляме, Матье и родственные им в физике и технике. ГНТИ Украины, Харьков-Киев. 1935. 238с.

© С. В. Анаников - д-р техн. наук, проф. каф. химической кибернетики КНИТУ, [email protected]; М. Ю. Сорокин -соискатель той же кафедры, [email protected].