CC BY
29
ГИДРОДИНАМИКА, ТЕПЛО-И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ, ЭНЕРГЕТИКА
УДК 66.048.37 С. В. Анаников
ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ ПРИ ТЕЧЕНИИ ЖИДКОСТИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ КАНАЛЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО КОЛЬЦЕВОГО СЕЧЕНИЯ
Ключевые слова: температурное поле, локальный тепловой поток, эллиптический кольцевой цилиндр, краевая задача, собственные значения, собственные функции, обычное и модифицированное уравнения Матье.
Рассматривается температурное поле при течении жидкости в полубесконечном цилиндрическом канале с сечением в форме эллиптического кольца при граничных условиях первого рода. Задача решается методом разделения переменных. В результате, она приводится к трем краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Две краевые задачи ставятся для обычного и модифицированного уравнений Матье. Получены решения для температурного поля в жидкости и удельных
тепловых потоков на стенки канала.
Keywords: temperature field, local stream of heat, elliptical cilindric canal in form of ring, boundary task, own values, own functions,
ordinary and modificied equations of Mathieu.
The temperature field moving liquid into half-infinite canal which has cross section in form elliptical ring at mixed boundary conditions is studied. The task is resolved by method of dividing variables. As result it is reduced at three boundary tasks for ordinary differential equations of second order. Two differential equations of three are usual and modificied equations of Mathieu. Solutions obtain for temperature field into liquid and specific heat stream on the walls of canal.
В статье ставится и решается задача о теплоотдаче движущейся жидкости в полубесконечном цилиндрическом канале, имеющем сечение в форме эллиптического кольца, при граничных условиях первого рода. Данная задача продолжает серию работ, опубликованных в [1-10].
Математическая постановка задачи
Даны два осесимметричных полубесконеч-ных эллиптических цилиндра, образующих канал в форме эллиптического кольца. Между ними в осевом направлении (вдоль оси г) перемещается греющая жидкость с постоянной средней скоростью и. Компоненты скорости вдоль других осей декартовой системы координат предполагаются равными нулю.
В начальное сечение канала подается горячая жидкость, температура которой в общем случае является функцией координат. В частном случае эта температура может принимать постоянное значение.
Температура внутренней и наружной стенок эллиптического канала, обращенных к жидкости, равна соответственно Тст1 и Гст2 (гсш#Гст2). В
частных
случаях
может
Lcm\1 Т
Lcm\
Lcm2>
Тш > Тст2, Тст < ТСМ2. Расход греющей жидкости - б.
Требуется найти температурное поле в жидкости и локальный удельный тепловой поток на стенки канала-
Дифференциальное уравнение энергии, преобразованное из декартовой системы координат к координатам эллиптического цилиндра, согласно [2,10], позволяет записать поставленную краевую задачу
2с -
идТ (,”'г- - a ,-----------------
дz ^ch2# - cos 2”
д 2Т (,”, z)
д#2
д 2Т (,”, z)
д”2
д 2Т (,”, z ) |
#\ <#<#2, 0 <”< 2 л, 0 < z < да,
Т(#, ”, z) - Tcm\ ,0 < ” < 2л, 0 < z < да,
Т (#2, ” z)- Tcm2, 0 <”< 2л, 0 < z <^
Т(§,”,z)-Т(l,” + л,4 #\ < # < #2,
0 < ” < 2л, 0 < z < да.
Т(# ”,0) - F(# ”), #\ < # < ^ 0 < ” < 2^,
-0, #<#<#2.0” 2л.
д z
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Здесь предполагается общий случай симметричного распределения температуры вдоль координат <Ц и г на входе в канал ( = 0).
Для решения задачи (і)-(6) ее следует редуцировать при помощи замены
Т г, г) = Ті (^, г, г) + Т2 (#)-
на две задачи
о дТ^г, г) = 2с-2
а2 дг сН2% - 008 2г
(7)
д 2Т\(#,”, z ) д#2
д 2Т\(#, ”, z) д”2
д 2Т\ (#, ”, z )
д z2
#\ <#<#2, 0 <”< 2 л, 0 < z < да,
Т\ (#\, ”, z) - 0, 0 < ” < 2 л, 0 < z < да, Т\ (#2, ”, z) - 0, 0 < ” < 2л, 0 < z < да,
(8)
(9)
(10)
Т1(#,Г,z ) = Тl(#,Г + л,z ),
0 < г < 2ж, 0 < z < да.
Т1(?,7,0) = F (#,г) —Т 2 #
#1 <#<#2. 0 <Г< 2^
_ 0.#,<#<#2,0 <г< 2Л.
о z
(11) (12)
(13)
(14)
1#2
Т2 (#1 ) = Тст1, (15)
Т2 (#2) = Тст2. (16)
В (14) частная производная по # заменена, по очевидным соображениям, на полную производную. Решением (14)-(16) будет функция
о2Т2 (#) _
= 0,
Tcml#2 Tcm2#l . Tcm2 Tcml
#2 -#1
#2 -#1
#.
(17)
Задача(8)-(13) решается методом разделения переменных.
Если положить
Тх(#,г, г ) = / (#,П)1 (г), (18)
то можно получить
о Z'(z) Z"(z) _ 2c-
г2 Z(z) Z(z) ch2# - cos2r
02 f (#, г)
о#2
0г
f (#, г)
_ —v2 (v > 0).
Откуда
г "(г )--и 2 '(г)-V2 г (г ) = о,
а
9 /(#,г) + 5 /(#,г) + 2к(2# - соб 2^)х
д#2 дг)1
х /(#,г) = 0, (19)
где к = V2 с2/4, V - константа разделения.
Последующее разделение переменных
/ (#г) = ^## ф(г (19а)
дает
1 11 12ф ------— + 2кск2# = —-—+
ф dr2
+ 2к соб 2г = к(к > 0) .
Это приводит к обычному и модифицированному уравнениям Матье
d Ф + (h — 2к cos 2г)Ф _ 0,
dr
d 2
—— — (h — 2kch2##w _ 0,
1#2
где А - постоянная разделения.
В итоге получаются три граничные задачи
Z ''(z) — °^ Z '(z) — v2Z(z) _ 0,
(20)
dZ (“) _
dZ
_ 0;
(21)
(22)
(23)
(24)
Ф"ГГ+ (h — 2k cos 2г)ф(гГ _ 0,
ф{л) _ ф(г + л);
W"(#) — (h — 2k ch2#)y(r) _ 0, w(#1 )_ 0, (25)
W(#2 )_ 0. (26)
Решением (20), (21) будет выражение
Z (z )_
ехр
I
о2 + 4a 4v2 — о
2a 2
Z
(27)
Здесь произвольная постоянная как малозначимая опущена.
Решается задача (22), (23).
Функция фГ) должна быть однозначной и периодической относительно координаты г. Поскольку рассматривается случай, когда распределение температуры симметрично относительно обеих осей эллипса, то функция ф(г) должна быть четной и иметь период я относительно Г .
Решение (22), (23), с учетом вышеизложенного, приводит к выбору обычной функции Матье первого рода
фГг) = сет Гг, к). (28)
Решением уравнения (24) будут модифицированные функции Матье первого и второго рода И#) = С2пСе2п (#, к)+ РщРеУт (#, к), (29)
Использование граничных условий (25), (26) позволяет получить систему уравнений для определения коэффициентов С2п, ^2п
СтСет (#, к) + ЕщРеут (, к) = 0, (30)
С2ПСе2П (#2 , к)+ ^2П^еу2П (#2, к )= 0.
Характеристическое уравнение для нахождения собственных значений к из соотношений (30) может быть получено из условия
Се2п (#1, к) РеУ2П (#1, к)
Ce2n (#2 , к) Fey2n (#2 , к)
_ 0.
(31)
Данное условие позволяет получить нетривиальное решение системы (30), относительно искомых коэффициентов.
Таким образом, решением уравнения (19) должна быть, согласно (19а), (28), (29) функция
/(#,г) = [С2ПСе2П (#, к)+ р2ПРеУ2П ( к)] х
х се2п (Г, к) . (32)
Тогда на основании (18), (27), (32) будет
Т1#г,z)_ f (#,r)Z(z)_£[C; + F2nFey2n (#, k)] ce
2nCe2n
(#, к)+
n_0
K2n (г, k) x
х ехр
V
о2 + 4a 4v2 — о
2a 2
Или с учетом (31) и данного выражения будет
2
1
z
a
і (p, г, г) = ЛЛ [С2пСе2п (р, к2п,т ) + п=0 ш=1
+ Р2п'еу2п (Р , к2п,т Ц се2п (, к2п,т ) х
х ехр
о2 + 4а4у2 - о
2а2
(33)
х
Здесь к2п,т - корни характеристического уравнениия полученного на основе (31)
Се2п (#Ъ к2п,т )РеУ2п (#2 , к2п,т )- реУ2п (#1, к2п,т )
х Се2п (#2, к2п,т )= 0. (34)
Если выразить Г2п из первого уравнения системы (30) и подставить в соотношение (33), то будет
і(р,(,г) Л / Л 1А2п,т ['еу2п (рі,к2п,т) ■ п=0 ш=1
Се2п (р, к2п,т )— Се2п (рі, к2п,т )х 'еу2п (р, к2п,т Ц се2п (, к2п,т )х
х ехр
I
2 л 4 2 о + 4а v2n,m — о
2а2
!,т /, v2n,m = 4к2п,т
(35)
/с 2-
где Л2п,т = С2п/'еУ2п (рl, к2п,т ), v2 Вводятся обозначения
У2п,т (р, к2п,т )= 'еу2п (р, к2п,т ) Се2п (р, к2п,т ) —
— Се2п (рl, к2п,т )'еу2п (р, к2п,т )- (36)
Тогда (35) принимает вид
да да
Ті'
(р,(,г) Л2п,тУ2п,т (р, к2п,т );
п=0 т =1
¡(^7, к2п,т)
ехр
Л
2 ,1 4 2
о + 4а v2n,m — о
2а 2
(37)
Применение условия (12) к (37) приводит к выражению
да да
'(р (У— Т2 (р) = Л Л Л2п,тУ2п,т (р, к2п,т )х п=0 т =1
х се2п(, к2п,т ) ■ (38)
Другими словами, необходимо разложить функцию '(р,(,) — Т2 (р) согласно (36), (38) по произведениям обычных и модифицированных (присоединенных) функций Матье.
Можно показать, что функции Матье ортогональны в промежутке изменения р от рі до р2 (то
есть для эллиптического кольца) [10].
Следует заметить, что, поскольку функции
¥(р) = Се2п (p, к2п,т ) и ¥(р) = Реу2п (p, к2п,т ) удовлетворяют одному и тому же уравнению (24), то и функция У2п (р, к2пт) удовлетворяет этому же уравнению.
Выражение (38) с учетом (17) в развернутом виде приводит к соотношению
' (Р,г(—
Тстір2 Тст2рі — Тст2 Тсті р .
Р2 — Рі
Р2 — Рі
А2п,тУ2п,т (# , к2п,т ) се2п , к2п,т ). (39)
п=0 т=1
Для определения коэффициентов А2п,т в (39) обе части данного соотношения умножаются на ^2рг (#, к2р,Г )се2р г к2р,г \ск2# - соб2^) и интегри-
руются по гот 0 до2яи по # от #1 до #2. Тогда все члены ряда, содержащиеся в правой части, обращаются в ноль, кроме члена, для которого р = п, г = т.
В итоге получаются следующие коэффициенты
Л-
2п,т
ІРР2 П'
Тстір2 — Тст2рі
Р2 — Рі
Гр2 Г2^У2 ( к ) -
| | к2п,т\£> К2п,т/'
Т — Т 1ст2 1ст і
' Р2 —Рі
р 1У2п,т (р, к2п,т)се2п (, к2п,т )х
х се2п (, к2п,т )х х (с^2р — 008 2(( йрй( (40)
х (р — 0082( йрй(
С использованием (40) выражение (37) принимает вид
Ті (р,г, г)=
да да Р Ґ^Г'(Р,() -
Тстір2 — Тст2рі
Р2 — Рі
п 0 т і Г Г У2п,т (р, к2п,т):
■»Рі ^
----«Р2 рсті р у2п,т (p, к2п,т )се2п ( к2п,т )х
р2 рі ]_____________________________________
х се2п (7, к2п,т )^2р — 008 2(йрйг
х (сМр —оо$,і(ірйгУ (Р к )х
У2п,т\р, к2п,т/
(, к2п,т )х
2п
х ехр
о2 + 4а V2
2п,т
— о
2а2
(4і)
На основании (7), (17) и (41) получается окончательное искомое решение задачи
Т(# г г) = Тст1#2 - Тст2#1 + Тст2 - Тст1 # +
р2 — Рі р2 г2^Г
!Р2 ІТI' Р,г)
да да
р2 — Рі
Тстір2 — Тст2рі
' Р2 —Рі
п=0 т=і Г Г У2п,т (р, к2п,т ^
■»Рі ^
да да
г
да да
г
хсе
г
г
Т - т
1СШ2 1СШ1 £
£ -£
К2п,Ш (<£, (2п,Ш ) Се2п 7 (2п,Ш )х
Т - т
1 СШ2 1 СШ1
£2-£
К2п,т (£, (2п,Ш ) Се2П (2п,Ш )>
X Се.
X Се22п 7 (2П,Ш )к2£ - со$2()£
(ск2£ -соч2((й£й(^ ( к )х
У2п,Ш\? , 2п,Ш /
(, (2п,Ш )х
х ехр
Л
и2 + 4а4у1„ш -и
2а2
х Се2п 7к 2п,т )ск2£ - со$2()<1£ й( :(сН2£ -со$,2(у1£й( х
;е2п 7 к2п,Ш )х
(42)
К2п,Ш (<£, к2п,Ш )
£ = £2
Таким образом для получения числового результата необходимо совместно рассмотреть решение (42), используя выражение (36) для К2п,Ш (£, к2пт), и
характеристическое уравнение (34).
Выражения для удельных тепловых потоков на стенки канала запишутся следующим образом.
На внутреннюю стенку канала
х ехр
2 * 4 2
и + 4а У2п,т -и 2а 2
Здесь следует попутно отметить, что [11]
с-] ск 2£ - ос*2, . с,1сА2£- 00527
ч\
Лж
£=£1
сд/ск2£ - осб2 (
дТ (£,7, г)
д£
£=£1
или
«I £=£, =■
Лж
с^ск2£1 - осБ2 , ^ Ь2 Ь1
|*£2 (*2^[ ^ ч ТСШ1£2 - ТСШ2£1
Т - Т
1 СШ2 1 СШ,
£2 -£,
Если условие (5) упростить и принять, что Т (£,7,0)= Тг или Р (£,()= Тг , где ТГ - температура горячей жидкости в начальном сечении эллиптического цилиндра, то решения упрощаются
Т (£ 7 г)= ТСШ1£2 - ТСШ2£1 + ТСШ2 - ТСШ1 £ +
£2-£, £2-£,
.1
£2
ЛЛ
да да
.>0 [
£2 -£,
да да п=0 т=1
Тг -
ТСШ1£2 - ТСШ2£1 £2 -£1
п 0 Ш 1 Г Г К2п,Ш (£, (2п,Ш )-
£1 ->0
£2 VI £
г(£, (2п,т )'
Т - Т
1СШ2 1СШ1
£2 -£1
£ ^2п,Ш (£, (2п,Ш )х
----т спп £ ^2п,т ( (2пт )се2п 7 (2п,т )х
£2 £1 ]_____________________________________
х Св2ш(7,(2п,т\с,2£ - 0052((^£й,
х(ск2£-02п )й£
2 А0(2п)ск2£ - А2(2п)|й£
V2n,m (<£, к2п,Ш ) Се2п 7 к2п,Ш ) '
' К2п,т (£, (2п,т )
——— х др2 + 4а4v2n,m -и
/ \ х ехр * 2 2а 2
Се2п 7, к2п,т)х
£=£1
х ехр
2 л 4 2 и + 4а ^2п,т -и
2а 2
(43)
(42а)
Удельный тепловой поток на внутреннюю стенку канала
Лж
На внешнюю стенку канала
Лж
д£
£=£1 сд/Ск£
£2
сд/ск^ - осБ2 7 ^ £2 £:
Т - Т
1СШ2 ^СШ1
+
£=£2
I5
I
дада
Тг -
ТСШ1£2 - ТСШ2£1 £2 -£1
или
«I £ = £2 =-
Лж
сд/Ск2£2 - осб2 7
да да Г£2 ГР(£,7)-
лл ^
Т -Т
-*СШ2 1СШ1 +
£2 -£1
ТСШ1£2 - ТСШ2£1 £2 -£1
0 Ш 1 Г V2nm (£, к2п,т); £1
- Тсш2 - Тсш1 £ 1^/^ (£ к )х ¡-¡- Ъ \ 2п,т^” К2п,т'
£2 -£1 J
п=0 т=1 Г Г к,2 (£, (2п,т)
£1 0
(С,2£-6>2п )й£
й£
2 А0(2п)ск2£- А2(2п)
£
х
х
г
+
х
х
х
х
X
V2n,m (p,к2n,m ) ce2n (,к2n,m)
p=p
x exp
I
2 * 4 2
u + 4a v2n,m
2a 2
(43а)
Удельный тепловой поток на внешнюю стенку канала
Лж
Р Р2 c-^ch2p2 - cos2 7 ^ p2 p1
+
Р2
f
да да I
ZI4
Tr -
Tcm1p2 - Tcm2p1
Р2 -Pl
0 m 1 J V2n,m (p, k2n,m ^
- Tcm2 - Tcm1 p V (p к )x
¡- ¡- 5 I 2n,mVS’ 2n,m/x
p2 - p1 J
:(ch2p-^2n )p
2 A0(2n)ch2p- A2(2n)
' V2n,m (p, k2n,m)
p = p2
г7 k2n,m )x
x exp
2a2
(44а)
В соотношениях (42а)-(44а) было также учтено, что [11]
[«4 7 k2n,m )d7 = л,
Jq
Jq
се2п 7 к2п,т )ос527 й7 = ^А2(2п)
)
се2п (7, к2п,т )й7 = 2^_А02пI
I
2^2 / \
с^2п 7, к2п,т)осб27 й7 = л02п .
I
да
л = А (2п) А (2п) + А (2п) А (2п)
^2п - л0 а2 ^ 7/±2г Л2г + 2.
г=0
Последний вариант записи решений при Р(£,7)= Тг в виде (42а)-(44а) более удобен для вычислений, так как коэффициенты разложений А02п\ А^2п) и другие протабулированы [12].
Обозначения
Т £, 7,2)-текущая температура жидкости в эллиптических координатах, К ;
и- средняя постоянная скорость движения жидкости в кольцевом эллиптическом канале, м/с;
Тr - температура горячей жидкости на входе в канал при z = 0 , К;
Tcm1, Tcm2 - температуры внутренней и наружной стенок канала соответственно при p = p1, и p = p2, К;
а2 - коэффициент температуропроводности жидкости, м2/с;
с - фокусное расстояние эллипса, м;
р, 7 - эллиптические координаты (безр., рад.);
р1, р2 - внутренняя и внешняя границы канала, безр.;
k2n m - корни характеристического уравнения (34);
C^2n (р, к) Ce2n (р, k2n,m ) Ce2n (p1, к), Ce
2n (p1, k2n,m }
Ce2n (p2, к), Ce
2n (p2, k2n,m ) -модифицированные функции Матье первого рода при h, к и k2n m действительных и отличных от ноля;
Fey2n (p, кУ Fey2n (p k2n,m } Fey2n (p1, кУ Fey2n (p1, k2n,m } Fey2n (p к ji Fey2n (p2, k2n,m ) -модифицированные функции Матье второго рода при h, к и k2n m действительных и отличных от ноля;
ce2n (7 к ) ce2n (7, k2n m ) - обычные функции Матье первого рода при h, к и к2г1 m действительных и отличных от ноля;
A2n, C2n, F2n - определяемые константы;
Q - объемный расход жидкости, (м3/с, м3/ч);
Xж - теплопроводность жидкости, Вт/(м К); q - удельный тепловой поток, Вт/ м2.
Литература
1. С.В. Анаников, М.Ю. Сорокин, В.П. Бурдиков, Э.В. Чир-кунов, Теоретические основы химической технологии (ТОХТ), 38,6, 655-660 (2004).
2. С. В. Анаников, Вестник Казанского технологического университета, 15, 6, 42-46 (2012).
3. С.В. Анаников, Вестник Казанского технологического университета, 15, 6, 147-150 (2012).
4. С. В. Анаников, Вестник Казанского технологического университета, 15, 11, 143-145 (2012).
5. С.В. Анаников, Вестник Казанского технологического университета, 15, 14, 90-93 (2012).
6. С. В. Анаников, М. Ю. Сорокин, Вестник Казанского технологического университета, 15, 18, 58-63 (2012).
7. С. В. Анаников, Вестник Казанского технологического университета, 15, 20, 56-61 (2012).
8. С.В. Анаников, Вестник Казанского технологического университета, 16, 2, 52-55 (2013).
9. С.В. Анаников, Вестник Казанского технологического университета, 16, 3, 58-62 (2013).
10. С. В. Анаников, М. Ю. Сорокин, Вестник Казанского технологического университета,16, 6, 58-63 (2013).
11. Мак-Лахлан Н.В., Теория и приложения функций Матье. Иностранная литература. Москва. 1953. 476с.
12. Стретт М. Д.О. Функции Ляме, Матье и родственные им в физике и технике. ГНТИ Украины, Харьков-Киев. 1935. 238с.
© С. В. Анаников - д-р техн. наук, проф. каф. химической кибернетики КНИТУ, [email protected].
x
z
x
z
