Нестационарное температурное поле в жидкости, перемещаемой в радиально-расходящемся канале Текст научной статьи по специальности «Математика»

ГИДРОДИНАМИКА, ТЕПЛО-И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ, ЭНЕРГЕТИКА

УДК 66.048.37 С. В. Анаников

НЕСТАЦИОНАРНОЕ ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ В ЖИДКОСТИ,

ПЕРЕМЕЩАЕМОЙ В РАДИАЛЬНО-РАСХОДЯЩЕМСЯ КАНАЛЕ

Ключевые слова: нестационарное температурное поле, удельный тепловой поток, радиально-расходящийся канал, собственные значения, собственные функции, бесселевы функции.

Решается начально-краевая задача с граничными условиями третьего рода о теплообмене в потоке нагретой жидкости, перемещаемой в бесконечно-протяженном радиально-расходящемся канале. Записывается уравнение энергии в движущейся среде в цилиндрических координатах. Учитываются симметрия канала относительно оси z , перенос тепла теплопроводностью и конвекцией в направлении радиальной координаты r, и теплопроводностью - в направлении оси z . Решение проводится методом разделения переменных. В результате получены соотношения для расчета неустановившегося температурного поля в жидкости, которые выражаются с помощью бесселевых функций второго рода действительного и мнимого аргументов дробного порядка и экспоненциальных функций.

Keywords: unstable temperature field, specific stream of heat, radial-divergence canal, characteristic number, characteristic

functions, bessel’sfunctions.

The third of kind initial-boundary task is solved for heat change of hot liquid stream transferring into infinitely large length radial-divergence canal. Is written equation of energy for moving of liquid in cilindric coordinates. Is taken into consideration symmetric of canal along axis z , transfer of heat by conduction and convection along axis r, along coordinate z - by conduction. Solution is obtained by method of divided variable quantities. In result are obtained correlations for account unstable temperature field into liquid. The correlations are described by bessel’s functions of second kind real and imaginary arguments offractional order and exponential functions.

В статье ставится и решается задача о неус-тановившемся температурном поле в жидкости, перемещаемой в радиально-расходящемся бесконечнопротяженном канале. Она расширяет тематику ранее решенных задач [1-8].

Используемая расчетная схема приведена в рассмотренных работах [5,6]. Начальные и граничные условия представлены на рис. 1.

Рис. 1 - Начальные и граничные условия

Постановка задачи

Даны две плоскопараллельные круглые пластины неограниченного радиуса г. Между пластинами в радиальном направлении в момент начала отсчета времени т = 0 через штуцер радиуса Я от центра к периферии начинает перемещаться нагретая жидкость с переменной средней скоростью Уг.

Жидкость на входе (г = Я) в любой момент времени имеет постоянную температуру ТГ .

Предполагается, что в начальный момент времени жидкостью с температурой ТГ заполнено все пространство между пластинами, то есть имеет место мгновенное заполнение объема между пластинами нагретой жидкостью в момент начала отсчета времени. Температура нижней и верхней пластин, обращенных к жидкости, постоянна и равна соответственно. Причем Тст1 < ТГ ,

Тcml и Tcm2

T < T T ^ Т cm2 Г cm1 cm2

Между жидкостью и пластинами происходит теплообмен по закону Ньютона с различными коэффициентами теплоотдачи ах и а2.

Расстояние между пластинами равно I. Секундный объемный расход греющей жидкости равен Q . Требуется найти температурное

поле в жидкости Т(г, z,т).

Начально-краевая задача (рис. 1)

Уравнение энергии для рассматриваемого случая, а также начальные и граничные условия имеют вид

дТ(r, z,t) і v дT(r, z,t)

дт

д r

=a

д 2T (r, z, т)

д z 2

і д2T(r, z, т)| 1 дT(r, z, т)

д r

r

Я < г < да, 0 < г < /, 0 < г < да,

Т(г, г,0) = ТГ, Я < г <да, 0 < г < /,

Т (, г,г) = ТГ, 0 < г < /, 0 <г<да,

(г,0,г)- Тсті ],

О г

Я< г< да, 0 < г < да,

-Л™ ^^ = «2Т(г,ТТст2], ог

Я < г < да, 0 < г < да,

ОТ (да, г, г) =

ог

= 0, 0 < г < /, 0 < г < с

где

Кг = Q/2жг/ = Ъ2/г -

средняя радиальная скорость в канале, полученная из уравнения неразрывности потока.

Преобразование представленной выше задачи с учетом выражения для Уг позволяет получить

1 дТ(г, х,т) с2 дТ(г, 2,т) = п 2 дт г дг

= О2Т (г, г,г) О2Т (г, г, г)

О г2 + О г2 ,

Я < г < да, 0 < г < /, 0 < г < да,

Т(г, г,0)= ТГ, Я < г <да, 0 < г < /, Т (Я, г,г)= ТГ, 0 < г < /, 0 <г<да,

ОТ (ДГ)- Яі[Т (г,0,г)-Тсті ] = 0,

О г

Я < г< да, 0 < г < да,

(і)

(2)

(3)

(4)

ОТ (^,/,г) + Н 2 [Т (г,/,г) - Тст2 ] = 0, (5)

о г

Я< г < да, 0 < г < да,

ОТ (да г г)

1 ’^^= 0, 0 < г < /, 0 < г < да, Ог

где Ні = «і /Я™ , Н2 = «2 /Л™,

(6)

с2 = (ъ2 - а2)1а2

Редуцирование (1)-(6) с помощью в^іраже-

Т (г, г, г) = Т1(г, г, г) + Т2 (г, г).

дает две задачи

1 ОТ1 (г, г, г) с2 ОТ1 (г, г, г) = а 2 Ог г О г

(7)

= О 2Т1 (г, г, г) О 2Т1 (г, г, г)

Ог2

О г2

(8)

Т1(г, г,0)= ТГ - Т2 (г, г), Я < г <да, 0 < г < I, (9) Т1 (, г, г)= 0, 0 < г < 1,0 < г < да, (10)

ОТ1(Д11-Н1Г1(г,0,г) = 0, (11)

О г

Я< г< да, 0 <г<да,

+ Н,21(г. /.г) = 0,

Ог

(12)

Я< г < да, 0 <г<да,

ОТ, (да г г)

——---------- = 0, 0 < г < /, 0 <г<да. (13)

О г

с2 О Т2 (г, г) = О2 Т2 (г, г) , О2 Т2 (г, г)

=________________

г О г О г2

Я < г < да, 0 < г < /,

Т2 (Я, г) = ТГ, 0 < г < /

Ог2

(14)

(15)

- Н1Т2 (г,0) - Тст1 ] = 0, Я < г < да, (16)

Ог

ОТ2(г,/)

Ог

О Т2 (да, г) =

+ Н2 [Т2 (г, /) - Тст2 ] = 0, Я < г < да, (17)

2^4 = 0,

Ог

0 < г < /. (18)

Решение начинается с задачи (14)-(18). Вводится новая температурная функция

Т2 (г, г) = и (г, г) + Ъ1 + Ъ2 г. (19)

Это позволяет после подстановки (19) в (14)-(18) получить те выражения неизвестных постоянных Ъ1 и Ъ2 через параметры задачи, которые дают возможность прийти к однородной краевой задаче относительно функции и (г, г).

Преобразования приводят к системе двух алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов Ъ1 и Ъ2

-Н1Ъ1 + Ъ2 = -Н1Тст1,

Н2Ъ1 + (1 + Н2/)Ъ2 = Н2Тст2 .

Решение данной системы по методу Крамера дает

Ъ = Н1Тст1(1 + Н 2/) + Н2Тст2

1 Н1 + Н1Н2/ + Н2 ’

Ъ = Н1Н2 (Тст2 - Тст1)

2 Н + Н1Н2/ + Н2 ■

В результате задача (14)-(18) преобразуется

к виду

с 2 О и (г, г) = О 2и (г, г) + О 2и (г, г) г Ог Ог2 Ог2

Я < г < да, 0 < г < /,

и (Я, г) = ТГ - Ъ1 - Ъ2г, 0 < г < /,

О и (г, 0)

О г О и(г,/)

О г

О и ^ г) = 0 О г ’

- Н1и(г, 0) = 0, Я < г < да, + Н2и(г, /) = 0, Я < г <да,

0 < г < /.

(14 а)

(15 а) (16а)

(17а)

(18а)

Задача (14а)-(18а) решается методом разделения переменных.

Если положить

и (г, 2) = ¥(г)г (г), (20)

ния

то будет

_ £Й + £l FM =_S2 0) ZM = _^.

F (r) r F (r) * Z (z)

Или

c 2

F "(r)_—F' (r )_e2 F (r ) = 0

F (R) = 1,

dF (o) = 0 d r

Z' (z ) + e2 Z (z )= 0, dZ (0) dz dZ (l) dZ

_ ^Z (0), b — 2 Z (l )= 0

Решением (24)-(26) будет [9]

Zn (z) = Cn

cos| Mnj J+M Sln|Mn l

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26) (27)

Здесь мп = еп1 - корни характеристического уравнения

^ Мп = (±И), п = 1,2,3,.... (28)

мП - ии212

Решением (21) с учетом еп задачи (24)-(26) является выражение [9]

¥(г) = гУ [ClIv (п г) + С2КУ (п г)] (29)

где V = (1 + с2)/2 = Ь2/2а2 .

Удовлетворение условиям (22), (23) приводит к соотношению

F (r ) = 1^

r )v Kv (nr) f r Y Kv (Mnr)

-I ----7---4-1-1 ----------• (30)

R J Kv (nR) {R J KvMn

На основании (20) получено частное реше-

ние

\v Kv I Mn , 1 U (r, z ) = Cn [rl { l J x

R

Kv | Mn l

cos| Mnj J+M sin| Mn l

(31)

Общее решение задачи (14а), (16а)-(18а) имеет вид

(32)

Коэффициенты Cn в (32) определяются из условия (15а)

U(R, z) = ТГ _ b1 _ b2z = ^

Cn

n=1

cos I Mn- | +

-1l . f z

+ ^ sinj Mn~;

Mn V l

В [10] доказано, что система функций, стоящая под знаком суммы в (33), будет ортогональной на интервале (0,I).

Поэтому коэффициенты в разложении (33) могут быть найдены следующим образом

rl

I (ТГ _ b1 _ b2z)

Jq

cos| Mnjj + M sin{ Mn z

dz

[cos | Mn

I [c

l

-1l .

Mn

sin Mn

z

2

dz

(34)

Вычисление коэффициентов Cn после преобразования подинтегральных выражений числителя и знаменателя в (34) требует знания значений следующих интегралов [11]:

I sinf Mn т| dz = — (1 _ cos Mn);

Jq | l J Mn

z 1 = l sin Mn .

fcos | Mn~ I dz =

q I l J Mn

rl

z sinj Mn z J dz = (sin Mn _ Mn cos Mn).

r 1,„

Jq V l J Mn

I z cosf Mn zIdz = ~~r (cos Mn + Mn sin Mn _1).

Jq V l J Mn

I cos2fMn T1dz =~~(Mn + sinMn cosMn).

Jq V l J 2Mn

|l

Jq

cosI MnzJ)sin[MjzJdz = YjTsifl2Mn.

l

in2 z1 = l Mn _ sinMn cos Mn

fsin2 I Mm — I dz =

q \ l J Mn Тогда l

I (Tr _ b1 _ b2z)

Jq

2

z 1 -1l . f z

cos I Mnl J+MJ_sin{Mny

dz =

-1l -1l

sin Mn -------------^cos Mn

Mn Mn

= (Тг _ b1

Mn

x [(cosMn +MnsinMn _ 1) + -M->

Mn

x(sin Mn _ Mn cos Mn -].

_ bo

Mn2

Il;

Jq [

I cos| Mnj J) + M ^{мп^

dz =

2 Mn

- l2 2

: ( + sin Mn cos Mn ) + sin2 Mn

2

Mn2

-12l3

(Mn _sinMn cosMn)-

2Mn

В результате получено

z

+

l

z

2

l

z

X

x

2

l

X

z

(Тг - Ъ1 )—

Ип

( . НЛ Н/ л

51п И +---------1------------— 005 Ип

Ип Ип

1 / \ Н1/ . 2

-----(/И + 51пИп 008Ип) + ^Т51п Ип +

2Ип

2

Ип2

- Ъ2 И [((

Ип

2~ 1\005 Ип +Ип 51п Ип

-1)

(Ип -51

2Ип

51п Ип 005 Ип

)

Щ/{. ч

+ —^(51пИп - Ип 005Ип) Ип

(35)

И, наконец, согласно (19), можно записать

с (и"/, х

/ я Ку I Ип -г

0051 Ип £)+-И1151п^Ип-г

> + Ъ1 + Ъ2 г. (36)

Задача (8)-(13) также решается разделением переменных:

Если положить Т1 (г, г,г)=ф(г ) (г )Т (г), (37)

то разделение переменных дает

—£ Йт) £$ = -3 (3> 0);

а2 Т(Г) ф(г) г ф(г) г(г)

Далее

ФЯГ-Т ф|) = - ЦН = -,2 „> 0).

В результате получаются три задачи

г 2ф”(г )- с 2гф'(г ) + р2г 2ф(г ) = 0,

ф(Я )= 0,

ёф(да) = 0. ёг

Т '(г) + а 282Т (г) = 0,

Т (г)= 1

г "(г )+у21 (г )=0,

^ - Щ2 (0)= 0,

ёг

ёг (/)

ёг

Н 2 г (/ ) = 0,

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

где у2 = 82 -р2.

Решение (38) дает [9]

ф(г) = гУ (рг) + c2Уv(Pг)], (46)

где V = 1 + с2 )/ 2 = ——.

I 2а2

Удовлетворение условиям (40), (39) позволяет последовательно получить

с1 = 0, так как при г ^ да Jv (р г) да,

JV (Рг)^да;

с2 Ф 0, иначе будет иметь место тривиальное решение, поэтому ф(г ) = c2гvYV (р г ).

Откуда по условию (39) при Я Ф 0, получается Yv (Мт )= 0, (47)

где мт - положительные корни уравнения (47),

т = 1,2,3, -; мт = ртЯ.

Итак, частным решением (38)-(40) будет функция

ф(г )= с 2г% {Мт Я ^ (48)

с характеристическим уравнением (47).

Решение краевой задачи (43)-(45)приводит к выражению

2к(г ) = Ск

005 Икг)+и/ 51п|Ику

(49)

где Ик = У к/ - корни трансцендентного уравнения (Н + Н 2 )ик/

їй Ик =-

к = 1,2,3,... .

(50)

М2 - И1И 212 Задача Коши (41), (42) удовлетворяется при Т т) = ехр(- а 282КтТ), (51)

где 8к,т = Гк +Рт.

Здесь обозначение 82 заменено на 8к т, так

как вышеприведенные задачи (38)-(45) взаимосвязаны.

Следует отметить, что характеристическое уравнение (50) идентично характеристическому уравнению (28) при замене значка к на п. Указанное обстоятельство будет учтено в дальнейшем при построении решения задачи (1)-(6). Таким образом на основании (37), (48), (49). (51) записывается общее решение задачи (8), (10)-(13)

/ XV ж / Л

Т1( 2,т) = {Я^ ^^Ск,mYv {Мт "Я^

к=1 т =1 11

005

Пі)+ И51п{икі) ехр(-а23к,тТ\

где Ск,т = С2СкЯ; здесь в целях унификации с

(36) введен сомножитель

В выражении (52) остается только удовлетворить условию (9).

Т (г, г,0)= ТГ

с

Ку\ Ип/ Ку | ИпЯ

г} НЛ . ( г 005\ Ип/)+Ип51П^Ипу

■- Ъ1 - Ъ2г :

п = 1

X

X

г

X

п =1

X

Ск,т( мт я 1Х

к=1 т=1

^Мку ) + Ик ^[^к 1

(53)

Преобразование последнего соотношения

дает

Тг - Ь1 Ь22

Ь2 2__________1_ X

гУ яУ

С

КУ | Мп I

г Яу " К !м Я

п=1 I Ип 1

С08| Мп2^)+ ИS,n[мnу

V ^ ^ /■ N

Я] ЕЕСк^{Мт "Я"^Х

к=1 т=1

^ Мк у1 +Ик 5,п[ Мк 2

(54)

Для определения постоянных Ск т следует умножить левую и правую части (54) на

СМ 1+М 5ш(Лу

и проинтегрировать полученное выражение соответственно в пределах от Я до ж по г и от 0 до I по 2.

Тогда на основании известного свойства ортогональности в интервале 2 от 0 до I для рассматриваемых функций [10] будет

1 Ж г

ш

2 | И11 . ( 2

С05! Мп у1+~мМ~ ®1П|Мп у

2 ) И11 . ( 2

С05! МР11+МР 51П1^ру

й2 =

1 гг”2)+М 5,п(М"-7

2

й2 > 0,

£

к=1

С05! П/^) + И^Му 5,п|^ку

2 I И11 . ( 2

С0Б! Мру 1 + ~М~51П[ Мр

й2 =

г1 Г

й2 > 0,

^1 С0Б| Мк — 1 + — 5,п| Мк-

„ [ [ 11 Мк [ I.

так как интеграл суммы равен сумме интегралов, а все интегралы в указанных суммах равны нулю при Мп Ф Мр и Мк Ф Мр и лишь один интеграл в каждой

сумме будет больше нуля при Мп = Мр и Мк = Мр .

Ортогональность имеет место также в случае с функциями Бесселя, то есть

|Я Xг1у(Мт ЯУу[Мр Я )йг

■^XJяГYv|Мт уу[Мр я )йг

= ^Я^у (Мт я 1 йг (т = Мр ).

Следует отметить, что указанное свойство ортогональности бесселевой функции второго рода с весом г на интервале (г, ж) было показано автором данной статьи и в литературе отсутствует.

Это доказательство очень громоздко и здесь не приводится. С учетом изложенного можно записать очевидное выражение.

рж

(Тг - Ь )Я

Я1 \

Х в,п! Мк

I

й2 \йг - Ь

^J/

2 ) И/

ж ! Мт я

х[!/

2) ИЛ . ( 2

^ Мку^+Му51П!Мку

й2 \йг -

С

’•-'И

| гКу | Мп , | Мт |х

II,

: [с

2) И1/ . ( 2

х и | С0в! Мп у)+МТ 81П[Мп у

Я

й2 \йг =

Яу \яГГ::{Мт'я Й,

ИЛ . ( 2

+ —Мк т Мк [ 1

й2 }йг.

(55)

Рассмотренная процедура фактически представляет разложение произвольной функции в ряд Фурье-Бесселя в интервале изменения г от Я до ж и

2 от 0 до у. В качестве произвольной функции здесь выступает левая часть выражения (54).

Для определения коэффициентов С к т следует вычислить семь определенных интегралов, три из которых по переменной г - несобственные, два интеграла по переменной 2 - однотипные, то есть требуют одного вычисления с заменой индекса п на к . Причем интегралы по 2 при вычислении распадаются на семь более простых интегралов.

Ниже приводятся значения интегралов по переменной 2 , полученные на основании вычисления преобразованных интегралов [11]

Г [с

| С°5| Мк Т 1+ Ик 5,п( Мк ~Г

й2 =

ж ж

т=1

Х

т =1

х

V

г

X

X

2

Х

у-1

г

2

2

п=1

X

2

X

Х

Ик

Н / 2

51п Ик +-ЛГ~ (1 - 005 Ик );

I'

•>0

Ик г А Н/ .

005\ Ик/)+ И®іп\Ик '

ёг =

= -- (005 Ик + Ик 51п Ик-1) +

Ик

Н£_

ик

х (пИк -Ик 005Ик);

I' НИ)+И 51”И

ёг =

/

2Ик

Н / 2

(Ик + 51п Ик 005 Ик ) + )" 51п2 Ик +

Ик

Н 2/3

+ {ик - 51п Ик 005 Ик ).

2И

Вычисление несобственных интегралов по координате г.

Первый интеграл (он же и второй) в выражении (55) вычисляется с использованием [12] после подстановки нижнего предела Я и предельного перехода при г ^ да. Он равен

Гу \ ит я

7^г = Я----------------Гу-1 (Ит ).

1 и...

-у + 2

Я гк 1 Мт

Третий интеграл левой части и интеграл правой части выражения (55) вычислялись с использованием дифференциальных уравнений Бесселя. Отличие состояло в том, что при вычислении интеграла в правой части (55) бралось произведение бесселевых функций различных действительных аргументов и при раскрытии неопределенности вида

■0 использовалось правило Лопиталя.

Опуская громоздкие рутинные преобразования можно сразу записать

|Я^Ку (Мп у(Мт Я)йг =

Я у Мт-у+1 (Мт )ку ( Мп

Я

/2 ит+Я 2 и

[Мт = - Я- Yv2+l (Мт ).

Следует отметить, что соотношения для последних двух интегралов выведены с учетом характеристического уравнения (47).

Подстановка вычисленных интегралов в выражение (55) с учетом соотношения (35) для коэффициентов Сп, а также идентичности характеристических уравнений (28), (50) (к = Мп) после рутинных алгебраических преобразований, позволила получить

С 4Ь2уММк ( Мк + Мк 5,п Мк -1) +

Ск,т _

ик (ик + 51п Ик 005 Ик ) +

+ Н1'(51п Ик -Ик 005 Ик )]- 4(тг - Ь1 )[и/^. 51п Ик + + 2ИкН1/51п2 Ик + Н12/2 (Ик - 51п Ик 005 Ик )

+ ИкН1/(1 - 005 ик )] ит' [Гу-1 (ит) + Гу+1 (ит )]

+ И2к Я %-1 (Ит )

т і. у 1 у ту________у і 1 у т

ИтГу+1 (ит )(,ит' + икЯ )

На основании (7), (35), (36), (47), (50), (52), (56) можно записать окончательное решение задачи (1)-(6)

Т(г г г) = Н1Тст1(1 + Н2/) + Н2Тст2 +

Н1 + НН 2/ + Н 2

+ Н1Н 2 (Тст2 Тст1) г + Г г Н1 + Н1Н2/ + Н2 \ Я

да Ку\ИкТ

к=1 Ку \ ик ,

Г г Ні/ . гА

005 Ик~Т +—51п Ик~Т

/ Ик /

х Гу \ ит я

х ехр

г Н1 / г

005 Ик Т +—51пИк Т

/ Ик /

к=1 т=1 А

х

/

Ик + ит

/ 2 Я 2

(57)

Здесь необходимо отметить, что поскольку Ик = Ип, то выражение (35) следует переписать в

виде

С к =

- 51п Ик + — (1 - 005 Ик ) -

Ик [ Ик \

1 / \ Н1/ . 2

-----\Ик + 51пИк 005Ик) + —т51п Ик +

2ик ик

- ь2— К<

Ик2

'2 — IV005 Ик + Ик 51п Ик

-1)+

Н12/2

2и3

(ик - 51п Ик 005 Ик )

+ ^ (51п Ик - Ик 005 Ик )

Ик

(58)

Полученное решение обобщает согласно [13] целый ряд как уже решенных, так и нерешенных задач.

Если, например, в общем решении (57) устремить т —— ж, то получается стационарное решение этой же задачи (граничные условия третьего рода) в виде (58)

Т(г 2 2) = И1Тст1 (1 + И2у) + И2Тст2 +

Н1 + Н1Н2/ + Н 2

/

г

г

2

X

+

X

X

2

- а

т

И1И 2 (ст 2 Тст1) И1 + И1И2у + И2

2+

, ж К,

Мк-

к=1

к,! МкЯ

( 2 И,у . 2)

С0в Мк~Т + —5,п Мк Т у Мк 1

При устремлении И1 =

а,

-> ж!

(58)

И2 = —— ж(а2 — ж) или

Лж — 0, получается

решение этой же нестационарной задачи при граничных условиях первого рода [8], хотя и выраженное в несколько иной форме.

Здесь следует заметить, что решение [8] является более точным, чем упрощенное решение [6] этой же задачи [8], полученное ранее без учета теплопроводности в направлении координаты г

В случае И1 — ж, И2 — ж, т — ж получается решение стационарной задачи при граничных условиях первого рода [7], правда, выраженное в несколько иной форме.

В решении, вытекающем из результатов настоящей статьи, нет экспоненциальных функций по координате 2 , которые присутствуют в [7].

При И1 — ж можно получить более точное решение нестационарной задачи при смешанных граничных условиях работы [1], в которой пренеб-регалось теплопроводностью в направлении координаты г .

Когда И1 — ж, т — ж, то идентифицируется решенная ранее стационарная задача при смешанных граничных условиях [14].

Из решения (57) при различных значениях параметров И1, И2 вытекают решения целого ряда нестационарных задач при различных граничных условиях:

1. И1 =

1

Л

а2

И 2 =^^ Ф 0, Т (г, 2,0) = ТГ

> 0 ( — 0 либо Л

Т (Я, 2, т

— ж

),

) = Тг

^2^ = 0, д~1(А + И2 [Т(г, у,т)- Тст2 ] = 0,

О 2 д 2

дТ (ж, 2, т) = 0 д г

2. И2 — 0, И1 Ф 0, Т(г,2,0)= ТГ, Т(Я,2,т)= ТГ,

ОТ (г,0,т)- И1[Т (г,0,т)-Тст1 ] = 0,

д2

дТ (г, /,т) = 0

д 2 ’

дТ (ж, 2, т) = 0 д г

3. И1 — 0, И2 —ж, Т(г,2,0) = ТГ, Т(Я,2,т) = ТГ,

0, Т (г, у,т) = Тс„2, = 0.

д2 дг

4. И2 — 0, И1 — ж, Т(г, 2,0) = ТГ, Т(, 2, т) = ТГ,

ТГг,0,т)= Тс„ц, = о,0*^ = 0.

д2 дг

Из этого же решения (57) вытекают при т — ж решения тех же 4-х, но стационарных задач при исключении условия Т (г, 2,0) = ТГ.

Если положить Тст1 = Тст2, то получаются новые выражения для только что разобранных выше частных решений и для самого обобщенного решения (57).

Возможны еще варианты нестационарных и стационарных (г — ж) условий теплообмена, которые охватывают практически все возможные начально-краевые и краевые граничные условия первого и третьего рода. Однако обобщенное решение (57), к сожалению, может дать лишь частный случай граничных условий второго рода.

Обозначения

г, 2 - радиальная и осевая координаты цилиндрической системы координат, м;

Т(г, 2, т), Т1(г, 2, т) -текущие температуры жидкости при неустановившемся теплообмене, К ;

Т2 (г, 2) - текущая температура жидкости при установившемся теплообмене, К ;

ТГ - постоянная температура горячей жидкости на входе в канал (г = Я), К ;

Тст1, Тст2 - постоянные температуры верхней нижней

стенок канала, обращенных к жидкости, соответственно, К;

Я - внутренний радиус штуцера на входе в канал, м;

Q - объемный расход жидкости, м3/с;

а2 - коэффициент температуропроводности, м2/с; у - ширина канала, м;

Ь 2 -константа, м2/с;

¥г - средняя радиальная скорость движения жидкости, м/с;

Лж - теплопроводность жидкости, Вт/(м К); т - время, с;

е,8,у - константы разделения;

а1, а2 - коэффициенты теплоотдачи от жидкости соответственно к стенке 1 и к стенке 2, Вт/(м2 К); п = 3,14159...;

Jv (р г) - бесселева функция первого рода действительного аргумента порядка V, безразмерная;

Yvрг),YvМт), Yv(МтЯ-)- бесселевы функцци вт°р°г°

рода действительного аргумента порядка V, безразмерные;

Yv-1(мГп) Yv+1(мm) - бесселевы функции второго рода действительного аргумента порядков V -1 и V +1, соответственно, безразмерные;

Iу (епг) - бесселева функция первого рода мнимого аргумента порядка V, безразмерная;

К,(епг)>к, [мп у) ку [мп у\ к, {Мкг

г

у

Х

у

Х

Л

К,{Мк—), - бесселевы функции второго рода мнимого

аргумента порядка V, безразмерные.

Литература

1. С.В. Анаников, М.Ю. Сорокин, В.П. Бурдиков, Э.В. Чиркунов, Теоретические основы химической технологии (ТОХТ), 38,6, 655-660 (2004).

2. С.В. Анаников, Вестник Казанского технологического университета, 15, 6, 42-46 (2012).

3. С.В. Анаников, Вестник Казанского технологического университета, 15, 6, 147-150 (2012).

4. С.В. Анаников, Вестник Казанского технологического университета, 15, 11, 143-145 (2012).

5. С.В. Анаников, Вестник Казанского технологического университета, 15, 14, 90-93 (2012).

6. С.В. Анаников, М.Ю. Сорокин, Вестник Казанского технологического университета, 15, 18, 58-63 (2012).

7. С.В. Анаников, Вестник Казанского технологического университета, 15, 20, 56-61 (2012).

8. С.В. Анаников, Вестник Казанского технологического университета, 16, 3, 58-62 (2013).

9. Э. Камке, Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Наука, Москва, 1976, 576 с.

10. И.Г. Араманович, В.И. Левин, Уравнения математической физики. Наука, Москва, 1964. 288 с.

11. Г.Б. Двайт, Таблицы интегралов и другие математические формулы. Наука, Москва, 1964. 228 с.

12. И.С. Градштейн, И.М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. ГИФМЛ, Москва, 1963. 1100 с.

13. А.В. Лыков, Теория теплопроводности. Высшая школа, Москва, 1967. 599 с.

14. Гидромеханика отопительно-вентиляционных и газоочистных устройств: Межвузовский сборник, Казань: КГАСА, 1999. 110 с.

© С. В. Анаников - д-р техн. наук, проф. каф. химической кибернетики КНИТУ, апашк0У5У@гашЫег.гц.