CC BY
34
С. В. Анаников
НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛООТДАЧА ОТ ЖИДКОСТИ,
ДВИЖУЩЕЙСЯ В РАДИАЛЬНО-РАСХОДЯЩЕМСЯ КАНАЛЕ
Ключевые слова: нестационарное температурное поле, тепловой поток, радиально-расходящийся канал, краевая задача, собственные значения, собственные функции, бесселевы функции.
Решается задача Дирихле для неустановившегося теплообмена от движущейся жидкости, перемещаемой в бесконечно-протяженном радиально-расходящемся канале. Записывается уравнение энергии и выражение для скорости потока в движущейся среде в цилиндрических координатах. Учитываются симметрия канала относительно оси Z перенос тепла теплопроводностью и конвекцией в направлении оси r и
теплопроводностью вдоль оси Z. В результате получены соотношения для расчета температурного поля и локальных удельных тепловых потоков на стенки канала. Решения выражаются с помощью тригонометрических, экспоненциальных и бесселевых функций. Использованы бесселевы функции второго рода действительного и мнимого аргументов дробного порядка.
Keywords: unstable temperature field, specific stream of heat, radial-divergency canal, boundary task, characteristic numbers,
characteristic functions, bessel’s functions.
Dirichlet’s task for unstable heat change in stream of hot liquid which travel into infinitely length radial-divergency canal is solved. Are written equation of energy for moving of hot liquid stream and expression for velocity of stream in cilindric coordinates. Is taken in consideration the canal simmetration along axis z , heatexhange by heat conduction and convection along axis r and by heat conduction along axis z . In result were obtained correlations for calculation of temperature field and local heat streams on the walls of canal. The solutions is written by trigonometric, exponential and bessel’s functions. It are used bessel’s functions of second kind real and imaginary arguments fractional number of order.
Настоящая статья посвящена изучению не-установившейся теплоотдачи при движении нагретой жидкости через бесконечно-протяженный радиально-расходящийся канал при неоднородных граничных условиях первого рода.
Она продолжает серию работ [1-7] по изучению теплообмена при течении теплоносителя в каналах различной формы и отличающихся условиях на границах. Актуальность вопроса обоснована в вышеназванных опубликованных работах. Следует подчеркнуть, что решения подобных задач актуальны не только в связи с прикладной направленностью проблемы, но еще и потому, что они имеют самостоятельное теоретическое значение как решения отдельных задач математической физики.
Данная задача аналогична [7], однако, здесь в качестве исходного принимается дифференциальное уравнение, учитывающее частную производную от температуры по времени. Это позволит оценить время, необходимое для достижения стационарного режима теплообмена, а также дать теоретические формулы, пригодные для расчета неустановившего-ся теплообмена в радиально-расходящемся канале, если неустановившейся режим является рабочим.
Физическая постановка задачи идентична приведенной в работе [6].
Начально-краевая задача (рис. 1)
дT(r, z,r) + у dT(r, z,r)_
дт
_ a
д r
(, z, т) д 2T (r, z, т) 1 dT (r, z,t)
д z2 + д r2 + r д r
(1)
R < r < да, 0 < z < l, 0 < т < да,
R T(r ,0,t) = Tcmi
Рис. 1 - Начальные и граничные условия
T(r, z,0)_ Tr, T (R, z, т) _ Tr, T (г,0,т)_ Tcmi Т^', 1,t)_ Tcm2
дT (
^ z,t) 0
дr ’
R< r< да, 0 < т < да, 0 < z < l, 0 < т < да,
R< r< да, 0 < т < да, R< r< да, 0 < т < да,
0 < z < l, 0 < т < да.
Здесь Vr _ Q/2xlr.
Вводится безразмерная температура
T cm2
т)_ T (r, z,t)~ Tc
Tr Tcm2
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
Следует заметить, что введение безразмерной температуры позволит в дальнейшем получить более компактное решение задачи, нежели ее редукция в размерной форме.
Учет (7) и выражения для Уг дает
1 дв(г, 2,т) с2 дв(г, 2,т) _ п 2 дт г д г
_ д2в(т, z, т) + д2в(т, z, т)
д z2
(8)
Я < г < да, 0 < г < I, 0 < т < да,
где с2 _ Ь2 - а2 У а2
|>2 - а 2 )/ а 0(г, г,0) _ 1, Я < г < да, 0 < г < I,
в(Я,г, т)_ 1, 0 < г < I, 0 < т < да,
$(г, I, т)_ 0, Я < г <да, 0 <т<да,
0(г,0,т)_ Тст1 - Тст2 _ Т,
V ? / т - т
1 г 1ст2
(9)
(10)
(11)
(12)
■ _ 0, 0 < г < 1,0 < т < да.
(13)
Я< г< да, 0 < т < да, д^(да, г, т)_ ( д г
Задача (8)-(13) решается методом разделения переменных. Сначала она редуцируется (расщепляется) при помощи замены
0(г, г,т)_01(г, г,т) + 02 (г, г). (14)
Следует также отметить, что редуцирование, именно, в виде (14) является оптимальным для получения наиболее простого (менее громоздкого) решения (1)-(6) в целом.
Это связано с нахождением коэффициентов в дальнейших разложениях.
Применение (14) к (8)-(13) позволяет получить
~2 яд {„ -Л я2п -Л з2/
с2 дв2 (г, г) _ д2в2 (г, г) + д2в2 (г, г)
дг
д г 2
дг2
Я < г < да, 0 < г < I, в2 (Я, г) _ 1, 0 < г < I, в2 (г, I) _ 0, Я < г < да, 02 (г,0) _ Т, Я < г <да, д#2(да,г) _,
д г
■ _ 0, 0 < г < I.
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
1 д01(г, г,т) + с2 д01 (г, г,т) _
дт
дг
_ дО^г, г, т) дО^г, г, т)
д г2 + дг2 ,
Я < г <да, 0 < г < I, 0 < т < да,
01 (г, г,0) _ 1 -в2 (г, г), Я < г < да, 0 < г < I,
вх (, г, т) _ 0, 0 < г < I, 0 < т < да,
01 (г,0, т) _ 0, Я < г < да, 0 < т < да,
01 (г,I,т) _ 0, Я <г <да, 0 <т<да,
д01 (да, г,т) _ ( д г
•_ 0, 0 < г < I, 0 < т < да.
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
Решается задача (15)-(19) путем ее расщепления с помощью замены
6>2 (г, г) _вз(г, г) + 04(г) .
В результате было получено
„2 ъп („ з2
с2 д03 (г, г) д203 (г, г) + д203 (г, г)
г д г д г2 д г2
Я < г <да, 0 < г < I,
03(г,г)_ 1 -04(г), 0 < г < I,
03 (г, I) _ 0, Я < г < да,
03 (г ,0)_ 0, Я < г <да,
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
д03 (да, г)
дг
_ 0, 0 < г < I.
йШ _ 0, 0 < г < I.
й г 2 04 (I)_ 0,
04 (0)_ Т.
Решением (32)-(34) будет функция ™(* г
\(г)_ Т|1 -
I
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)
После разделения переменных в (27)-(31) с помощью замены
03 (г, г)_ и (г ) 2 (г) (36)
получаются две краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
(37)
(38)
г2и"(г)-с2ги(г)-е2г2и(г)_ 0, и (Я)_ 1,
йи(да) _
й г
_ 0.
(39)
г "(г ) + е2 г (г )_ 0, (40)
2 (I)_ 0, (41)
г(0)_ 0. (42)
Здесь е2 - константа разделения (е > 0).
Решение дифференциального уравнения
(37) выражается через бесселевы функции [8]
и (г )_ ^ \СХ1У (ег ) + С2 К, (ег )],
где V _ (1 + с2 )/2 _ Ь 2/2 а 2.
Для удовлетворения граничному условию на бесконечности (39) следует в этом решении положить С1 _ 0, так как I, (ег )^да, при г ^да.
Тогда для функции и (г )_ С2 гХ (ег )
необходимо удовлетворить условию (38). В итоге получено
и (г )_
_ гуК,(ег)
у\
ЯVKv (ег )
Решение краевой задачи (40)-(42)
2т (г) Ст ®1П етг Ст ®1П
лтг I !
(43)
(44)
где т _ 1,2,3,....
Таким образом общим решением (27), (29)-(31) согласно (36), (43), (44) с учетом того, что е = ет, будет
К,-.
тттг
I
т _1
( тгтЯ
, I ~г
К
81П-
(45)
Применение к (45) граничного условия (28) приводит к выражению
г
2
г
а
тг
I
1 -04 (z )= 1 - T íi - Z 1 = £
^ ■ жт z
Cm sin l . (46)
m=l
Умножением обеих частей выражения (46) . nnz
на sin—-—, с последующим интегрированием по z
от 0 до l и с учетом свойства ортогональности произведения синусов на данном интервале, получено выражение для Ст (при m = n)
rl\
i'
Jq
. imz , sin----dz
l
jl
Jq
. 2 imz , sin --;— dz
jq '
Вычисление интегралов дает
Íl . 2 im , l fl . n;m ,
sin ------zdz = —; I sin--------zdz =
•/Q l 2 Jq l
' I-(-ir
j'
Jq
imz
z sin-
Q l
dz = —l— (- i)m, m = 1,2
im Откуда
= - 2 T+(- 1)m -1
i m
Подстановка (47) в (45) позволяет получить
(47)
• )=-I í R 1!
i T + (-1)m-1 m
m=1
K í im Л
Kv \ 7 r I
l l ) . im
X-----7------Y sin-----z.
KvI ImRj l
(48)
Здесь взято суммирование от т = 1, а не от т = 0, по очевидным причинам.
На основании (26), (35), и (48) получено
—(, г'
(X) —
6>2 ( z) = 6>3 (r, z) ■+ в 4 (z ) = T - z j -
i í R í !
_2 í r_)v ^ T + (- 1)m -1 il R
m=1
K í im Kv\~^r ,
l l ) . im x-----7-----г- sin----z.
im „ j l
K
l
R
(49)
В (20)-(25) переменные разделяются, если положить
0 (г, г,г)-ф(г )2 (г )Т (г). (50)
Тогда можно записать
± ГТ=Фф(г1 - £2 фО+
а2 Т(т) ф(г) г ф(г) г (г)
ф(г) с2 ф'(г) - р2
= -ó2
______________= -р2.
(г) r ф(т)
Откуда получаются три задачи
r 2Ф"(г )-с 2гФ'(г )+ fí2r 2ф{т ) = 0, (51)
о" = ()R (52)
d 1) = о (53)
dr
Z"(z)+(<52 -fí2)Z(z)= 0, (54)
Z( = (55)
Z (l ) = 0. (56)
T "(r)+ a 2S2T (r)= 0. (57)
Решается задача (51)-(53). Решением уравнения Бесселя (51) будет функция [8]
ф(г )-Л \CiJv (рг )+ С2^ (рг )],
где V - (1 + с2 )/2 - Ь 2/2а2.
Удовлетворение условию (53) дает С - 0, С2 * 0, ф(г)- С2 г% (рг), так как Jv (р г) ^ да, при г ^ да.
Условие (51) требует, чтобы ф(Я)- С2Я%(рг)- 0.
Поскольку С2 * 0, Я * 0, то будет иметь место следующее характеристическое уравнение У(м. )- 0, (58)
где Мп - рпЯ.
Итак, частное решение задачи (51)-(53) будет иметь вид
(и.Я
Частным решением краевой задачи (54)-(56)
будет
\ г т
(60)
IVXWi» UXL^-K
r ) = CnrvYv j.
/ 4 . im
Zn (z) = Cm sin - z.
(59)
l
Кроме того
- fí2 = ó2 -^n =
Hn um, n -
2 22
H'n i m
(61)
Я 2 12
Решение (57) приведет к функции
Т(г)-ехр(-а24,п г). (62)
На основании (50), (59)-(62) получено общее решение задачи (20), (22)-(25)
х х
1(r, z,T) ^!^!Cm,n r Yv \Мп
. i m x sin—i—z exp
m,n
m=0 n=1
íí
2
R
- a
l
l2
(63)
)
= C C
'm,n ^m^n-
где Ст
Теперь необходимо удовлетворить начальному условию (21) и найти коэффициенты Стп.
Это приводит к выражению
~(, г
-V X \J I l|/r І I J\ f I r І X XV LIUX|7U/XVVXXIXXV
e1(r, z,0) = 1 -в2 (r, z) = 1 - T^ - Z-^j +
2
ó
m,n
r
X
r
2 ( г Г V Т + (- Р -1.
7 (Я II
т =1
^ (—г
І І I . птг х ----т-----гг Б1П-
І
' Ст,п г Гу ( Ип я 1 51П
(64)
Я) I
т-1 п-1
Следует отметить, что поскольку при определении постоянных Ст,п используется левая часть
выражения (64), то суммирование в правой части этого соотношения по т выполняется от т -1, а не т - 0, как в (63). Это относится и к окончательной записи выражения (63) после определения постоянных Ст,п.
Использование ортогональности тригонометрических и бесселевых функций, соответственно в интервалах по г от 0 до I и по г от Я до да, после интегрирования и некоторых преобразований в (64) дает
I,
(Х> ГУ | Ип и | .
Я 1,1. птг аг I Б1П-------а г -
Я г
у—1
■ Ґ511
•Ь
І
г
^ гу~1 ->0 V ІI І
2 Т + (- 1)т -1 _____________1
пЯу
К
( птЯ
у V ~г
х I гКу Гу (Ип — \аг х
1}
I ^ Пгаг = Ст,п |я гГУ [ип — ]аг х
Г15ІП
0
. . 2 птг ,
х І Б1П ---------аг.
(65)
ю I
Следует также заметить, что ортогональность бесселевых функций действительного аргумента Yv [мп'~'| и Yv [мрЯ^ с весом г в интервале
от Я до да была доказана автором данной статьи, то есть
(*да ( г I ( г I Г0, при Мп * Мр,
Iгу[ми-^1 у\Мр—¥г-<! 0
*Я [ Я) [^ Я) |>0, при Мп =Мр.
Теперь необходимо вычислить интегралы от
бесселевых функций.
Использование [9] позволяет найти
Í<X> ГУ 1 Ип „ 1 г,-V+2
-к--1 аг =1-------------------Уу-,(и„).
•'Я гу 1 Ип
(66)
Выполненное автором статьи преобразование и интегрирование в результате дало
(67)
|Я у [Мп Я-) ^ - -^ Yv2+1(Мn ).
Специальным приемом с использованием дифференциальных уравнений Бесселя действительного и мнимого аргументов второго рода порядка V было получено автором настоящей статьи выражение
£ ^ [Г-) ^ (мп;Я > -
Я 2І 2Ип7у +\(Ип Ку (^Я \
12 2 . т") 2 2 2
І Ип + Я п т
(68)
Преобразованием (65), с учетом интегралов (66)-(68) и ранее вычисленных интегралов по г , получено
С,
= 4 т+(- 1) -1 х п,п = V 7Р2 1 Гх
пЯу т7у+1 (Ип )
(і Ип +Я п П} 7у- 1(ип) + ИпгІ Гу+1(п)
(69)
Использование (7), (14), (49), (63), (69) позволяет получить окончательное решение исходной задачи (1)-(6)
Т(г,.-,г)-Тс„п -Т[,--) + Г [ЯУ х
Т - Т £Г *ст2
’II
т=1 п =1
т + (- 1) -1
(і 2И + Я2п2т2 )гу -! (ип ) + ИпІ Г+1 (ип )
Т/2 2 , г>2 2 2 Ип \1 Ип + Я п т
)Уу2+1(Ип )
х 7У | ИпЯ |ехр
( ^2 2 2^ 1
- а2 V [
Я 2 І2
Т
1 I
■I
к.
Т + (- 1)т -1 у V І
т
к,
птЯ
І
. птг х БШ-
І
Или в размерной форме
(70)
т = 1 п = 1
Т + (- 1)т - 1
т
(і2И2п + Я2п2т2) Гу-!(Ип)+и;2і2уу+1 (п^
Хі 2И2п + Я 2п2 т 2 )Гу2+1 (Ип )
+
т
X
+
X
т
т
х
птг
х
т =1
V
х
х
х
х
х Гу| Ип — |ехР
2
( 2 2 2 Ип +п т
Я
2
2
]]
Т
1 I
I
т=1
Ку
т + (- 1) -1 у V і
птг
к
(птЯ
І
у V
х Б1П-
птг
І
(71)
Удельный тепловой поток на нижнюю стенку с температурой Тст
Л\г=о
а Т(г,0, т) = 2Лж (тг Тст2 )
а г
І
-
я \ 2ІІ++(- ■)” -1
т=1 п=1
2 2 2 2 2
(1 2^ + -2п2т2) Гу-! (Ип ) + И2п12уу +1(Ип)
х Гу| Ип — |ехР
- а
С 2 2 2^ ]
Ип + п т
V
Я
2
І
-1
I+(-1)”
т=1
(тГ - Тст2 )т
Ку
І
к,
птЯ
І
І
(72)
Удельный тепловой поток на верхнюю стенку с температурой Тст2
Я
_| = аТ (г,1, т) = (ТГ Тст2 )
^Іг=І ж аг І '
да да Г
2ІІ+-1)т Т -Т У
т=1 п=1
(12И2п + Я2п2т2 ) Гу- 1(Ип
ИІЇ12И2п + Я 2п2т2 )Гу2+1(Ип )
! + И2уу +1(Ип )
х Гу\Ип— |ехР
^2 2 2
Ип + п т
2 ,2
V
Я
К,
дак
І1+Т о” ( -Чт =1 Ку
, (ТГ - Тст2 )Т
І
птг
І
]]
Т
1 I
птЯ
І
(73)
Обозначения
Т(г, -, г) -текущая температура жидкости, К;
Тг - постоянная температура горячей жидкости при входе в канал, (г - Я) К;
Тст1, Тст2 - постоянные температуры нижней и верхней стенок канала, обращенных к жидкости, соответсвенно, К;
Я - внутренний радиус штуцера на входе в канал, м;
Q - объемный расход жидкости, м3/с;
2 2 а - коэффициент температуропроводности, м /с;
I - ширина канала, м;
Ь 2 - константа, м2/с;
2
д - удельный тепловой поток, Вт/ м ;
Л- ж - теплопроводность жидкости, Вт/(м К);
Г - время, с;
222 О , р , 8 - константы разделения;
Г - 3,14159... - число пи;
0(г, -, г), вх (г, -, г), 02 (г, -,), 03 (г, -,) Т - температуры,
безразмерные;
IV (8 г) - бесселева функция первого рода мнимого аргумента, порядка V, безразмерная;
К, (є г ) К, (рг ) К, (єЯ), К,
птг
К,
птЯ
I ) \ I
бесселевы функции второго рода мнимого аргумента порядка V,
безразмерные;
Jv (8 г), Jv (рг) - бесселевы функции первого рода действительного аргумента, порядка V , безразмерные;
Yv (8 г), Yv (р г), Yv ( Мп Я| - бесселевы функции второго рода
действительного аргумента порядка V , безразмерные.
Литература
1. С.В. Анаников, М.Ю. Сорокин, В.П. Бурдиков, Э.В.Чиркунов, Теоретические основы химической технологии (ТОХТ), 38, 6, 655-660 (2004).
2. С.В. Анаников, Вестник Казанского технологического университета, 15, 6, 42-46 (2012).
3. С.В. Анаников, Вестник Казанского технологического университета, 15, 6, 147-150 (2012).
4. С.В. Анаников, Вестник Казанского технологического университета, 15, 11, 143-145 (2012).
5. С.В. Анаников, Вестник Казанского технологического университета, 15,14,90-92 (2012).
6. С.В. Анаников, М.Ю. Сорокин, Вестник Казанского технологического университета, 15, 18, 58-63 (2012).
7. С.В. Анаников, Вестник Казанского технологического университета, 15, 20, 56-61 (2012).
8. Э.Камке, Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Наука, Москва, 1976. 576 с.
9. И.Н. Рыжик, И.С. Градштейн, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. ГИТТЛ, Москва-Ленинград, 1951. 464 с.
г, г - радиальная и осевая координаты цилиндрической системы координат, м;
© С. В. Анаников - д.т.н., проф. каф. химической кибернетики КНИТУ; аПащкоУ8У@гатЬ1ег.га.
х
т
X
х
тг
V
г
X
X
2
+
а
+
І
