CC BY
46
ГИДРОДИНАМИКА, ТЕПЛО-И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ, ЭНЕРГЕТИКА
УДК 66.048.37 С. В. Анаников
ТЕПЛООТДАЧА ОТ ЖИДКОСТИ, ПЕРЕМЕЩАЕМОЙ В БЕСКОНЕЧНО-ПРОТЯЖЕННОМ
РАДИАЛЬНО-РАСХОДЯЩЕМСЯ КАНАЛЕ
Ключевые слова: температурное поле, удельный тепловой поток, радиально-расходящийся канал, краевая задача, собственные значения, собственные функци, бесселевы функции.
Решается задача Дирихле для установившегося потока нагретой жидкости перемещаемого в бесконечнопротяженном радиально-расходящемся канале. Записывается уравнение теплообмена в движущейся среде (уравнение Фурье) в цилиндрических координатах. Учитываются симметрия канала относительно оси z , перенос тепла теплопроводностью и конвекцией в направлении оси r и теплопроводностью вдоль оси z . В результате получены соотношения для расчета температурного поля и локальных удельных тепловых потоков на стенки канала. Решения выражаются с помощью тригонометрических, экспоненциальных и бесселевых функций. Использованы бесселевы функции второго рода действительного и мнимого аргументов дробного порядка.
Keywords: temperature field, specific stream of heat, radial-divergency canal, boundary task, characteristic numbers, characteristic
functions, bessel'sfunctions.
Dirichlet's task is solved for stable of hot liquid stream traveled into infinitely large lenth radial-divergency canal. Are written equation heatchange for moving of liquid (Furie's equation) and equation of continuity in cilindric coordinates. Is taken in consideration the canal simmetration along axis z , heatexchange heatconduction and convection along axis r and by heatconduction along axal z . In result were obtained correlations for calculation of temperature field and local heat streams on the walls of canal. The solutions were writen by trigonometric and exponential and bessel's function. Is used bessel's functions second kind real and staginary arguments broken number of order.
Данная статья посвящена изучению теплоотдачи при стационарном течении теплоносителя через бесконечно-протяженный радиально-расходящийся канал при граничных условиях первого рода. Она продолжает серию работ [1-5] по изучению теплообмена при протекании теплоносителя в каналах различной формы и отличающихся условиях на границах.
Актуальность решаемых задач обоснована в вышеуказанных опубликованных работах.
Здесь решается та же задача, что и в [5], однако в качестве исходного принимается дифференциальное уравнение, учитывающее перенос тепла в радиальном направлении г не только конвекцией, но и теплопроводностью. Это позволит расширить диапазон применимости полученных результатов и оценить влияние теплопроводности на точность вычислений в различных условиях.
Постановка задачи идентична постановке, приведенной в [5].
Исходным уравнением теплообмена является дифференциальное уравнение Фурье-Кирчгофа записанное в цилиндрических координатах [6]
дТ + у дТ + ^ Т —
дт г дг г дф 2 дх
= а
д 2Т д 2Т 1 дТ 1 д 2Т
д z2
- + -
- + -
дг2 r дг r др2
(1)
где а - коэффициент температуропроводности жидкости.
Уравнение неразрывности потока вязкой несжимаемой жидкости в этих же координатах
д¥„
р
дVz + Ъ = 0.
(2)
дг г дф дх
Уравнения (1), (2) для наших условий существенно упрощаются. Вследствие
стационарности рассматриваемой задачи и осевой симметрии следует положить
дТ
■ = 0.
дТ
др
д 2Т
= 0.
дт ' дф дф2 Кроме того, по условию = 0, Уф= 0.
Тогда уравнение (2) примет вид
д¥ V
^ г + г г — 0 д г г
Интегрирование (3) дает выражение для
(3)
средней скорости жидкости расходящейся плоском канале.
Q
Vr =■
2nrl
в радиально-
(4)
Теперь можно в окончательном виде записать дифференциальное уравнение теплообмена и сформулировать граничные условия задачи с учетом (4)
дТ(г,2) _ 2
дг
= а
д 2Т (г, 2) д 2Т (г,2) 1 дТ(г,2)
д 22
д г2
дг
К < г < да,0 < 2 < і,
где
2
Уг(г) = Я/2л г і = Ь /г. Т(К, 2) = ТГ, 0 < 2 < I, т(г,0)= Тспп, К < г <да,
Т(г,1 ) = Тст2, К < г <да, дТ (да, 2)
дг
■ = 0. 0 < 2 < і
)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
Таким образом в направлении координаты г учитывается перенос теплоты как за счет конвекции, так и теплопроводности в то время как в направлении координаты 2 - только за счет
теплопроводности в пограничном слое.
Принимается безразмерная температура
в(г,2) =
Т(г,2) — Тст 2 Т Г - Тст 2
(10)
Это приводит после учета (4) к краевой
задаче
с2 дв(г,2) д2в(г,2) д2в(г,2)
г дг
д2
2
дг
К < г < да,0 < 2 < і,
2 /I. 2 2 \ / 2
где с = (Ь — а )/а , в(К, 2) = 1,0 < 2 < і,
(11)
(12)
Т -Т
в(г,0) = ст1 ст2
ТГ — Тст2 в(г,і) = 0, К < г <<х>: дв(<х>, 2)
дг
• = 0. 0 < 2 < і.
= Т, К < г <да, (13)
(14)
(15)
Редуцирование (расщепление) (11) - (15)
дает
0( г ,2 ) — 01( г, 2) +02 ( г ,2 ). (16)
Это позволяет прийти к двум краевым задачам для уравнений в частных производных, разрешимым методом разделения переменных
с2 дві(г,2) д в1(г,2) д в1(г,2)
г дг д2 2
К < г < да, 0 < 2 < і, в1 (К, 2) = 1, 0 < 2 < і, ві(г,і) = 0, К < г < да, ві (г,0) = 0, К < г < да, дв1 (да, 2)
дг
дг
■ = 0. 0 < 2 < і.
с2 дв2 (г,2) = д2в2 (г, 2) | д2в2 (г,2)
г дг
д22
К < г < да, 0 < 2 < і, в2(К, 2) = 1, 0 < 2 < і, в2 (г, і) = 0, К < г <да, в2 (г,0) = Т, К < г <да, дв2 (да, 2)
дг
■ = 0, 0 < 2 < і.
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
После разделения переменных в (17) - (21) с помощью функции
01(г,2) — и(г) . 1(2). (27)
получаются две краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
г2и"(г) - с2ги’(г) -е2г2и(г) — 0, (28)
и(К) = 1 сЮ (да)
ёг
= 0;
г "(2) + Є21(2) = 0, І( і) = 0,
1( 0) = 0.
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
Здесь е - константа разделения.
Решение дифференциального уравнения (28) выражается через бесселевы функции мнимого аргумента первого и второго рода порядка V [7]
и (г) — г V [с¡V (е г) + С2^ (е г)],
где V = ■
1+с2 Ь2
2 2а2
Для удовлетворения граничному условию на бесконечности (30) следует положить с1 — 0, так как V (Л г) ^ да при г ^ да.
Тогда для функции и(г) — С2 гV KV(ег) необходимо удовлетворить условию (29). В итоге получено
гVKv(ег)
и(г) = .
ЯУ^(еЯ)
Решение краевой задачи (31) - (33) будет
л т 2
(34)
гт (2) = ст $ІП &т2 = ст $ІП-
(35)
где т — 1,2,3,... .
Таким образом общее решение задачи (17) -(21) согласно (27), (34), (35), с учетом того, что е — е т , имеет вид
КV
в1(г,2)=
лтг
і ) . лтг
81П------. (36)
^ т—1к \—
Следует заметить, что при решении краевой задачи (31) - (33) из характеристического уравнения было получено т — 0,1,2,3,.... Однако в (35), (36) принято т — 1,2,3,.... Это связано со следующим: во-первых при т — 0 получается тривиальное решение для функции (35) не несущее какой-либо
дополнительной информации; во-вторых, при т — 0
функция К
і
равна бесконечности, поэтому
т Ф 0.
Применение к (36) граничного условия (18) приводит к выражению
г
с
лтг
т=1
лт2
і .
Разложение единицы в ряд по синусам дает
г лт2
8ЇП-------ё2
J і
Ст = Т
2 1 — (—1 /
(37)
Г 2 лт2
І 8ЇП ------ё2
0
і
где принято са'лт — (-1 )т при т —1,2,3,... .
Окончательно, выражение для 0-{(г,2) запишется так
(г, г)=л (-к Те
и — (-1Г
т=1
К
лтг
і
К
лтК
і
єш-
(38)
Задача (22) - (26) решается также методом разделения переменных. Однако здесь при
разделении возникают некоторые нюансы. Поэтому для пояснения здесь приводится сама процедура разделения.
Принимается
02 (г, 2) — и(г)1(2). (39)
Подстановка (39) в (22) приводит к выражению
- + с! ЦОг) — ^ — е2,е2 > 0, е > 0.
и(г) г и(г) 1(2)
Здесь после разделения переменных берется
а не - є
как
постоянная разделения е общепринято.
В противном случае задачу решить не удалось бы так как задача свелась бы к нахождению корней бесселевой функции KV(е,г), которая, как известно, не имеет положительных корней [8]. Это привело бы, в конечном счете, к вычислению бесселевой функции KV(е,г) от отрицательного аргумента, что невозможно, поскольку V имеет не целое, а дробное значение. Другими словами возведение отрицательного числа в дробную степень невозможно, поскольку, как известно, функции Бесселя представляют из себя ряды по степеням аргумента.
Итак, в результате разделения переменных получаются две краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.
г 2и "(г ) — с 2 ги "(г ) + є2 г 2и(г ) = 0,
и(К) = 0,
ёи (да)
ёг
= 0.
2 "(2) — Є11(2) = 0, 2( і ) = 0,
(40)
(41)
(42)
(43)
(44)
1 (0) — Т. (45)
Общее решение дифференциального уравнения выражается через бесселевы функции действительного аргумента
и (г) — гV[clJv(ег) + С2Yv(ег)], (46)
где V = -
1+с2 Ь2
2 2а2
Удовлетворяя условию (41) следует в (46) положить с — 0.
Из условия (41) вытекает далее, что YV (епВ) — 0, поскольку С2 Ф 0, ВУ Ф 0.
Тогда решение краевой задачи (40) - (42)
будет
ип(г) = су IV(м„к),
(47)
где /ип — епВ.
Решением краевой задачи (43) - (45), с учетом выражения для еп предыдущей задачи, будет
2п(2)=■
Т
ехр\
( 2Ипі
— 1
ехр
Ип(2і—2)
К
-ехр
м.
К
(48)
На основании (39), (47), (48) получено
да /
в2 (г,2) = ТспЧ Мп-К
п=1
Ип (2і — 2)
ехр
К
ехР
К
Ип2
К
ехр
2Ипі
К
(49)
—1
Теперь остается удовлетворить последнему граничному условию (25) и найти коэффициенты
сп
1 да г “ = Е CnYv (Ип к).
(50)
п=1
Таким образом необходимо разложить
функцию —V в ряд по функциям Бесселя.
гУ
Умножение обеих частей (50) на
г
гYV( /лк —) и интегрирование в пределах от В до В
да дает
да
Г 1 г
1V г,'( =
дада
ІЕ спг ^(Ип К) ^(Ик К)ёг.
(51)
К п=1
Предполагая возможность почленного интегрирования разложения, стоящего в правой части (51), при условии его абсолютной сходимости, можно записать
п
л т
х
т
лт2
х
і
X
• 1 г
\г—^( Нк^)ёг —
гг
спг ^ ( Нп—^У ( Нк~)ёг.
п—1 В
Доказательство
В
В
(52)
ортогональности
гг бесселевых функций YV (нп —) и YV (Нк —) с весом
ВВ
г на интервале (г, да) выполнено автором данной
статьи, но, вследствие громоздкости, здесь не приводится. Поэтому все интегралы в правой части (52) за исключением случая, когда п — к, будут равны нулю и коэффициенты сп, вынесенные за знак интеграла находятся из выражения
да
г 1 г
[ г~ V Нп в)ёг
г
\г^(Нп В)йг
(53)
Согласно [9]
г
да Yv( Нп~)
Г--------
J „V-!
ёг — ■
пУ-2 .. В Н
-Yv-!( Нп).
Вычисление интеграла в знаменателе выражения (53) представляет сложную, рутинную процедуру и здесь не приводится. Выполненная автором статьи процедура вычисления позволила получить
Г
2 г В2 2
гYV(НnR )ёг — -—YV+!(Нn).
В результате можно записать
2^-1( Нп)
ВVНnYV+!( Нп)
(54)
Поэтому выражение (49) с учетом (54) приобретает окончательный вид
02 (г, 2) —-2Т
В )"Е
Yv(НnR) х
ехр
Нп(2£ - 2) В
- ехр(Н—) В
ехр(Н) -1
(55)
где корни Нп находятся из характеристического
уравнения YV( Нп) — 0, Лп —
Нп
В
Таким образом общее решение задачи (11) -(15), а следовательно, и задачи (5) - (9), на основании (10), (16), (38) и (55) имеет вид
0(г, 2) —
Т(г 2) - Тст2_ — 0^, 2) + 02(г, 2) —
Тг - Тс
ст2
Е
1 - (-1)т
К (лтг) КУ(—)
т
к (лтВ) к,л—>
81П-
лт2
-2Т-|В| Е
ехр
Нп(2£ - 2)
- ехр(—2) В
ехр(Н) -1
Или в развернутом виде с учетом выражения для Т
Т(г, 2) — Тст2 + — (ТГ - Тст2 ) I х
л
Е
т—1
1 - (-1)
Ку(—)
т
£
т
к (лтВ) К,Л—)
81П-
В
Л п 2
- 2(Тст1 - Тст2 )\ В I Е
г Yv-!(Нп)
В 1 п—1 Нг?У+1( Нп)
ехр
х ^(Нп -^)
Нп(2£ - 2) В
ехр(Н) -1
.(57)
Удельные тепловые потоки соответствующие стенки канала будут
на
С—£ — -Л
дТ_
д2
2 — £
XV да г
г] Е\' -
2Лж (ТГ - Тст2 ) .
£ ' ^(^ )
т—1 Kv( £ )
4Лж (Тст1 - Тст2 ) ( г Yv-!(Нп)
В
В1 Е Yv2+!(Нп)
х Yv(^-)
ехр(Нп£ ) Нпг , В
В ехр() -1
(58)
В
I —ЛдТ
4—0 Лж д2
2 — 0
В
, да
Е11 - (-1>"
2Лж (ТГ - Тст2 ) ,
£ '
К (лтг) AV<~)
т—1
к (лтВ) к»(—>
+ 2Лж (Тст1 - Тст2 ) \Е ^-1(Нп) х
В
п—1 ^+1( Нп )
ехр( ^Нп£) + 1
х Yv(Нг)---------Н7----.
В ,2Нп£
(59)
ехр(-
В
-) -1
£
г
X
сп —
£
да
х
1
X
п
X
X
г
х
В случае, если Тт — Тт — тст, Т — 0, то решения (56) - (59) упрощаются
0( г ,2 ) —
Т(г,2) - Та Т г - Тст
2( г
л{ В
Е
т—1
1 - (-1)*
£ ' . лт2
-----81П-------•
т
к (лтВ) £
К,Л—)
Т(г,2) — ТСт +Л и Г - Тст В 1 х
Е
т —1
1 - (-1)Й
V—)
£ ' . лт2
----81П-------•
т
к (лтВ) £ КЛ—>
«I
2Лж (ТГ - Тст ) ( г
2—£
£
*Е Ь - (-1)'
т —1
В
Kv ()
«I
2—0
2Лж (ТГ - Тст ) (г
£ [ В
да г
ЕЬ
х Е 1 - (- 1)'
т —1
КV ()
к„ (
(56а)
(57а)
(58а)
(59а)
Обозначения
г, 2 - радиальная и аксиальная координаты цилиндрической системы координат, м;
Т(г, 2) -текущая температура жидкости, К ;
Тг - постоянная температура горячей жидкости на входе в канал (г — В) , К ;
Тст1, Тст2 - постоянные температуры нижней и верхней
стенок канала, обращенных к жидкости, соответственно, К;
Тст - постоянная температура одинаковая для обеих стенок канала, обращенных к жидкости, К;
Vг V2 Vф , - радиальная, осевая и тангециальная
компоненты скорости жидкости, м/с;
В - внутренний радиус штуцера на входе в канал, м;
Q - объемный расход жидкости, м3/с;
2 2 а - коэффициент температуропроводности, м /с;
I - ширина канала, м;
Ь 2 - константа, м2/с;
« - удельный тепловой поток, Вт/ м2 ;
Лж - теплопроводность жидкости, Вт/(м К); т - время, с;
2 1/2 е - константа разделения; 1/ м ;
л — 3,14159...;
IV(ег) - бесселева функция первого рода мнимого аргумента порядка V;
KV(ег),КД-г),КЛЛт£В) - бесселевы функции
второго рода мнимого аргумента порядка V ;
JV(ег) - бесселева функция первого рода
действительного аргумента порядка V ; г
YV(ег),YV(Нп —) - бесселевы функции второго рода В
действительного аргумента порядка V .
Литература
1. С.В. Анаников, М.Ю. Сорокин, В.П. Бурдиков, Э.В. Чиркунов, Теоретические основы химической технологии (ТОХТ), 38, 6, 655-660 (2004).
2. С.В. Анаников, Вестник Казанского технологического университета, 15, 6, 42-46 (2012).
3. С.В. Анаников, Вестник Казанского технологического университета, 15, 6, 147-150 (2012).
4. С.В. Анаников, Вестник Казанского технологического университета, 15, 11, 143-145 (2012).
5. С.В. Анаников, Вестник Вестник Казанского технологического университета, 15, 14, 90-92 (2012).
6. А.В. Лыков, Тепломассообмен: справочник. Энергия, Москва, 1978. 408 с.
7. Э. Камке, Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Наука, Москва, 1976. 576 с.
8. Г.Н. Ватсон, Теория бесселевых функций. Часть 1. Иностранная литература, Москва, 1949. 798 с.
9. И.М. Рыжик, И.С. Градштейн, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. ГИТТЛ. Москва-Ленинград, 1951. 464 с.
© С. В. Анаников - д-р техн. наук, проф. каф. химической кибернетики КНИТУ; [email protected].
V
X
V
х
V
х
