Теплообмен при движении жидкости в канале эллиптического поперечного сечения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ГИДРОДИНАМИКА, ТЕПЛО-И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ, ЭНЕРГЕТИКА

УДК 66.048.37

С. В. Анаников

ТЕПЛООБМЕН ПРИ ДВИЖЕНИИ ЖИДКОСТИ В КАНАЛЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

Ключевые слова: температурное поле, теплообмен, удельный тепловой поток, эллиптический канал, жидкость, обычное и

модифицированное уравнения Матье.

Изучается температурное поле при течении жидкости в полубесконечном канале эллиптического сечения при граничных условиях первого рода. Задача решается методом разделения переменных (Фурье). В результате она приводится к системе из 3-х обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Два дифференциальных уравнения этой системы представляют собой обычное и модифицированное уравнения Матье.

Получены решения для температурного поля в жидкости и удельных тепловых потоков на стенку канала.

В предельных условиях решения вырождаются и переходят в решения аналогичной задачи о теплообмене в канале круглого поперечного сечения (круглая цилиндрическая труба).

Keywords: field of temperature, heat exchange, local stream of heat, elliptic canal, liquid, ordinary and modification equations of

Matieu.

The temperature field into moving liquid witch is situated in half-infinite canal of elliptic profile at boundary conditions of first kind is studied.

The task is resolved by method of dividing variables (Fourieu).

As result she is reduced to system containing three ordinary differential equations of second order. Two differential equations this system are usual and modified equations of Matieu. Solutions obtain for field of temperatures into liquid and specific heat streams on the walls of canal.

In limiting conditions obtained solutions are transformate in solutions analogous of heat exchange task for canal of circuil cross section (cirle cylindrical pipe).

Известно, что аппараты с подводом тепла через стенку широко используется в промышленности [і-7]. В частности, они применяются в химической технологии [і-3], в энергетике [4-7] и в ряде других отраслей промышленности.

Обычно подвод тепла через стенку осуществляется при помощи каналов различной формы и конструктивного исполнения.

Методы расчета теплообмена в этих каналах носят приближенный характер, что не всегда позволяет с заданной точностью рассчитать, а тем более, оптимизировать необходимые тепловые потоки. Поэтому теоретическое изучение теплообмена в указанных элементах позволит создать современные методики расчета и обеспечить энергоресурсосберегающие технологии при подводе тепла.

В данной работе принято, что температура стенки канала, омываемого движущейся жидкостью, принимается постоянной, то есть решается задача Дирихле. Такое условие на практике, с достаточным приближением, реализуется в теплообменных устройствах, в которых технологические процессы протекают при постоянной, заранее известной, температуре рабочей среды.

Исходное уравнение теплообмена, полученное на основе уравнения Фурье-Кирхгофа, для рассматриваемого случая принимает вид

дT Г д 2T д 2T д 2T Ї

и— = a\—- +—- +—-I. (і)

дz І^2 ду2 дz2 J

Приведём (і) к координатам эллиптического цилиндра.

Введем вместо x, у новые вещественные переменные ^, q, определяемые комплексным уравнением [В]

x + iy = c • ch(| + i q),

так что

x = c • ch|- cos q, у = c • sh|- sin q, z = z. (2)

В результате с учетом того, что

д 2T + д 2T = 2c-2 Г д 2T + д 2T ^ (3)

дx2 + ду2 = ch2|- cos2q \ д£,2 + дq2 J , ()

из (і) получим

дT Г 2c-2 Гд 2T д 2T ^ д 2T"

и— = a -----------------1—— +--- I +---— .

дz ch2| - cos2q | д£,2 дq2 J дz2

Математическая постановка задачи

Дан эллиптический цилиндр полуограничен-ной длины. В начальное сечение цилиндра втекает жидкость с температурой Tr со средней скоростью и . Температура внутренней стенки эллиптического канала равна Tct , причем Tct << Tr. Жидкость перемещается вдоль эллиптического канала (вдоль оси

Z). Компоненты скорости вдоль осей x,y равны нолю.

Требуется найти температурное поле в жидкости и локальный удельный тепловой поток на внутреннюю стенку канала.

Тогда с использованием граничных условий окончательно получим

5Т

и— = а 5z

2c -

5 2Т 5 2Т 1 5 2Т

с125- cos2q^5|2 5-л2 ) 5z2

0 < 5 < 50, 0 < л < 2 л, 0 < г < ».

Т (#о,Л, г) = Тст, 0 <л< 2л, 0 < г <», Т(5,л,0) = F(5,л), 0 0,0 < л < 2л,

= 0,0 <5<5 0, 0 < л < 2л,

5z

т(5, л,z) = т(5, л + л^),

0 <5-5 0, 0 <л< 2 л, 0 < z < ».

Переход к безразмерной температуре,

0(5, л^) =

Т(5, л,z) - тя

тг - Tcт

вместо (4) - (8) приводит к задаче

~ 2c 2____________

^25- cos2лlv552 5л2

50 и— = а 5z

52 0 520 1 52 0

+ _~ + &2’

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9) , (10)

0 <5<5), 0 <л< 2л, 0 < г < » .

0(50, л, г) = 0,0 <л< 2л, 0 < г <», (11)

0(5, л,0) = Р(5, л) - Тст = Р1 (5, л),

Т - Tcт ^ " (12)

50(5, л,») 5z

0 <5 <5 0, 0 <л< 2л,

= 0,0 <5 <5 0,0 < л < 2л, (13)

0(5, л,z) = 0(5, л + л, z),

0 < 5 < 5 0, 0 <л< 2 л, 0 < z < ».

(14)

Задача (10) - (14) решается методом разделения переменных.

Если положить

0(5, л,^ = ^5,л^), (15)

то после подстановки (15) в (10), можно получить и Z'(z) Z"(z)

2c-

^25 - cos2л

Откуда

а Z(z) Z(z)

5 2f(5, л) + 5 2f(5, л)

_ 552 5л2

= -у2(V > 0).

f(5, л)

где k =

Z"(z) -- Z'(z) -V 2Z(z) = 0,

а

5 2f(5, л) + 5Жл) +

552 5л2

+ 2к(с125 - cos 2л) f (5, л) = 0,

-, V- константа разделения.

(16)

4

Если продолжить разделение переменных, положив в (16)

/ (5, л) = /(5)ф(л),

(17)

где / - функция одного 5 , ф - функция одного л, то будем иметь

11./. + 2k ch25 = -+ 2k cos2л = h.

/ 15 ф Сл

Так как левая часть этого уравнения не зависит от л, а правая - от 5, то каждая часть будет равна одной и той же постоянной разделения h .

Следовательно, получаются два обыкновенных дифференциальных уравнения

С2 ф Сл2 С2 /

15

+ ф - 2kcos2л)ф = 0, 2 - ф - 2кс1п25)у = 0 .

Эти уравнения представляют собой каноническую форму обычного и модифицированного уравнений Матье. Как известно, каждое из этих уравнений, в случае замены 5 = — 'л и л = — 5 (' -мнимая единица) переводит одно уравнение в другое.

С учетом вышеизложенного можно записать

три задачи

I. Z""(z) -- Z"(z) -V 2Z(z) = 0,

сЩ»)

Сг

= 0.

(18)

(19)

II. ф""(л) + (1 - 2kcos2л) ф(л) = 0, (20)

ф(л) = ф(л + л).

(21)

III. /"(5) - (11 - 2к ch25) /(5) = 0, (22)

/(50) = 0. (23)

Общее решение уравнения (18) имеет вид

Z(z) = С1 ехр

д/о + 4а

2а

+ С2 ехр

- >/&2 + 4а2 V2 + и 2а

z.

На основании условия (19) в этом решении положено С1 = 0, так как при г ^ » функция

л/и2 + 4а2 V2 + и ехр------------:-----------z ^ ».

2а

Следовательно, решением (18), (19) будет л/и2 + 4а2 V2 - и

= ехр

2а

(24)

Константа С2, как несущественная для рассматриваемой исходной задачи, принята равной единице.

Решается далее задача (20), (21). Функция ф(л) должна быть однозначной и периодической функцией относительно координаты л. Рассматривается случай, когда распределение температуры симметрично относительно обеих осей эллипса. Поэтому функция ф(л) должна быть четной и иметь период л относительно л. Следует заметить, что, представляя решение (16) в виде (17), необходимо в

2

а

2

1

дополнение к периодичности относительно л в любой точке (0, л) и в соответствующей точке (0,—л) на отрезке, соединяющем фокусы, иметь [8]:

а) / (0, л) = / (0,-л);

5 5

б) „.

Эти два условия подразумевают соответственно непрерывность перемещения и градиента при ортогональном пересечении отрезка, соединяющего фокусы.

Единственным решением уравнения (20), удовлетворяющим вышеназванным условиям будет функция [8]

ф(л) = се2П(л,к).

Решением уравнения (22) будет функция /(5) = С 2П С е 2П (5, к).

Таким образом, выражение (17) принимает

вид

^5, л) = С2ПСе2П(5,к)се2П(л,к). (25)

Для /(5, л) Се2п(0,к) есть не равная нолю постоянная, тогда как се2п(л,к) = се2п(-л,к), поэтому условие а) выполняется.

Кроме того

5

се2п(—л,к) — Се2п (5, к) 5^0 = 0.

55

Поэтому условие б) удовлетворяется.

Используя граничное условие (23), получим Се2п(50,к) = 0. (26)

Другими словами, к должно принимать значения к2пт, которые обращают Се2п(50,к2пт) в ноль

(параметрические ноли функции). Таким образом, формальным решением задачи (10) - (14), а, следовательно, и задачи (4) - (8), на основании (15), соотношений (24), (25) будет

e(I, q, z) = f(I, q) exp

і

и + 4a v 2n,m -и

Г C2nCe2n(I,k2nm)Ce2n(q,k2nm)'

n=0

X exp

і

и2 + 4a2v2,, -и

2a

. (27)

V L _l У

Остаётся определить константы C2n. Согласно (12) необходимо принять 0& т,0) = F1(^> т) =

= Z C2nCe2n(^,k2n,m)Ce2n(T,k2n,m).

(2В)

Таким образом, следует разложить функцию F1 (I, q) по произведениям обычных и модифицированных функций Матье.

Для этого, как обычно, применяется теорема об ортогональности, изложенная в [В,9]. Умножаются обе части равенства (2В) на

Ce2p (I, k2p,r) ce2p (q, k2p,r) (ch2I - cos 2q)

и производится интегрирование по л от 0 до 2л и

по 5 от 0 до 50.

Тогда все члены ряда, содержащиеся в правой части (28), обратятся в ноль, кроме члена, для которого р = п, г = т.

Ce2n(I,k2n,m)Ce2n(q,k2n,m) X^

0 0 x F1 (I, q) (ch2I - C0S 2q)

= C2n J 0

Откуда

С e 2n (I, k 2n,m ) C X

dIdq =

0 X e2n(q,k2n,m)(ch2I- cos 2q)

dI dq. (29)

^ 2?[C e2n (I k2n,m )C e2n ^ k2n,m ) X| ^ d

C = J X F1(I,q)(ch2I- cos2q) J ^ q (30)

I0 2*

J J

dI dq

' C-e-n(5,k-n,m)c X

е2п (лI к2п,т )(с125 СОв2л))

Таким образом, соотношение (27) с учётом (9), (30) и того факта, что V2пт = 4к2пт/с2 запишет-

ся в виде

e(I, q, z) =

T(I, q,z) - Tct

Tr - Tct

= x x

I0 2*ГC e2n (I k2n,m )C e2n (H k2n,m ) X] ^ d

JJ 01 X F1(I,q)(ch2I- cos 2q) 1 ^ q

n=0 m=110 2«

J J

Ce2n (I k2n,m )C X

x e2n(q,k2n,m)(ch2I- C0S2q)

dI dq

XCe2n(I,k2n,m)Ce2n(q,k2n,m) X

X exp

c и + 16a k2n,m - CU

2ac

(3і)

Выражение для удельного теплового потока

запишется в виде

q |I=I0 = -^ж (Tr - Tct ) X

xx x

IJ 2?ГCe2n(I,k2n,m)Ce2n(q,k2n,m) X | ^

J 0\ X F1(I,q)(ch2I- cos2q) 1 I q

n=0 m=110 2л

J J

d

Ce2n(I,k2n,m)c x

X e2n(q,k2n,m)(ch2I-cos2q)

Ce2n(q,K2n,m)x

dI dq

X exp

c2u2 + 16a-KI_,- - Cu

2ac

Корни к2пт находятся из уравнения (26), записанного в виде

Се2п(50,к2п,т) = 0, (п = 0,12,3,...). (26а)

Можно найти решение для более простого частного случая, когда Т(5,л,0) = Тг , 0(5, л,0) = 1. При этом становится возможным вычислить интегралы, входящие в выражение (31) [8, 9]:

102л се2п(л,к2п,т)^2л Сл = л А(22п); (32)

1с2* Се2п(л,к2п,т)сл = л; (33)

X

2

X

a

I=I0

Или

(2п). 0 ’

(34)

(35)

вида

1о2*СЄ2п(П,к2п,т)1П = 2' А

1 о""' С е 2п (^ к 2п,т СОБ 2П СП = ' 02п -

Тогда вместо (31) получается выражение

Т(5, П.2) - Тст

0(5, п,т) = ■

Тг - Тя

1,

= 2

Г Св2пЙ,к2п,т) X

: [2А(02п)сИ2| - А22п) ]

С<5

-0 ГОе2пЙ,к2п,т) X

х[25- 02п ]

л

-ОЄ2п(^,к2п,т) X

С<5

ХСЄ2п(П,к2п,т)Х

х ехр

Vе

2а С

(36)

Т(5, п,г) = Тст + (Тг - Тст) X

^ Г ОЄ2п(|,к2п,т) X

Х2

: [2А02п)СИ2| - А(22п)]

с<5

X ехр

п=0 10"Ое2пй,к2п,т)[СИ2|- 02п ] ^^пЙ^пт^ СЄ2п(П,к2п,т) X ^С2и2 + 16а2 к2п,т - С и

2а С

(36а)

Выражение для удельного теплового потока

, 1 ЗТ

Р = -^ ж

с^/си21 - СОБ2 П 35

^ ж (Тг - Тст) х ^СИ210 - СОБ2П

XI'

п=0

15° 0 г Ое2п(5,к2п,т) X > чх [2А02п)СИ5 - А22п) 45

150 0 'Ое2п(5,к2п,т) х'^ чх[сИ25- 02п ] 5 "О

X 15О е2п (^’ к2пт ) ^ X С е2п (П,К2пт ) х

X ехр

^С2 и2 + 16а2 к2п,т - С и

2а С

Переход к круглому поперечному сечению (рассматривается круговой цилиндр)

Когда основной эллипс стремится к окруж-

1

ности то с ^ 0, а так как к2пт =— С2 V2пт, то

4

к2пт ^ 0. Тогда по доказанному в [8] все коэффициенты Лр рядов для С е2п(п, к2п,т) стремятся к нулю за исключением коэффициентов А<22пп) ^ 1.

Если с постоянно и Ь ^ да, то

5 ^ да, е ^ 0 и софокусные эллипсы в пределе переходят в концентрические окружности. Здесь Ь -текущее значение длины большой полуоси каждого из софокусных эллипсов; е - эксцентриситет эллипса. В конечных точках большой оси каждого из софокусных эллипсов при г = 0 и к будет у = 0,

х = +с • сИ5 = +Ь .

Таким образом при е ^ 0 , К2п ,т ^ 0 се2п(г ,к2п,т) ^ С0Б2пг^ соб2пФ (п > 1). (37) Софокусные гиперболы, при этом, переходят в радиусы окружностей, причем г = ф. Для п = 0 .

_ 1

сео(г,0) ^ 2~2 = А00).

Кроме того, при 5 ^ да, в соответствии с вышеизложенным и согласно [8], можно записать

Се2п(5,к2п,т) ^ Р2п^2п (^ 2п,т Г), п > 0, (38)

где J2n(v2пт г) - бесселева функция первого рода действительного аргумента порядка 2п.

В конечном счёте, выражение (27) вырождается в следующее

0(5 Г,2) = 2 С2пР2п^ 2п,т Г)С0Э2пф х

х ехр

Vй

2 2 1 V

* У 2п,т

2а

(39)

Так как 0(5,П, г) теперь не зависит от ф , то согласно граничному условию (5) или (11) все члены ряда (39) должны обратиться в ноль за исключением члена соответствующего значению п = 0 [8].

Итак

0(|, г, г) ^ 0(г,т) = С0Р0 ^0 (V2п,т г) х

х ехр

Vй

*а - и

2а

(40)

На поверхности г = Ь = Я, 0(Я, г) = 0. Здесь

в целях единообразия обозначений буква Ь заменена на Я , где Я - внутренний радиус кругового цилиндра. Поэтому V2птР = ц0т, т = 1,2,3,..., это корни

уравнения J0(ц 0т) = 0. Кроме того согласно [8] имеем

е ^ 0, 5 ^ да,

sh5 ^ сИ5; г ^ с• сИ5(с ^ 0); 1г ^ с • бИ5- 15; сИ25•15 ^ 2сИ5•бИ5•15 = 2г•1г/с2.

Если принять эти и следующие соотношения

[8]

г,

Ое0(^,к0,т) ^ Р0 ^(Н-0,т ^0,

(41)

Р2

(поскольку к ^ 0 при е ^ 0 ), то выражение (36) примет следующий вид

2п,т

5=5

0(г,г) = 2-

/(Гг ^0 (Ц0,т^)СГ

т=1 |2

10 Г (^0,т Г^)ЙГ

■ ^0 (ц0,т р) х .

(42)

х ехр

і

и2 + 4а2 V 0,т - и

2а

Далее вводится обозначение цт вместо Ц0,т. Аналогично записывается vm вместо Vo,m. Тогда

г Р2

^(ц,,-)^ = ~ 4(Цт).

Р Цт

г

10 Г^(Цтр)СГ =

= ^ [ ) + ^(Ц т)] =

1

= ^Р^Ц т),

(43)

(44)

так как

^(Ц т) = 0.

Подстановка в (42) выражений (43), (44) приводит к известному результату для кругового цилиндра

Т(г,т) - Тст

0(г,т) = -

Тг - Тст

^0(цт р)

1 Цт J1(Цт )

ехр

+ 4а

/и2 +4а2Vт - и

2а

Или

Т(г,т) = Тст + 2(Тг - Тст) х г

„ ^0(цт Р)

X I--------— ехр

т^Ц т^(Цт) ^

д/и2 + 4а

/и2 + 4а2v2 -и

2а

Выражение для удельного теплового потока на наружную стенку кругового цилиндра, путем преобразований, указанных выше, принимает вид

ЗТ

: Зг

х 2 ехр

т=1

г=Р

д/и2Р2 + 4а2ц2 - иР

2Я ж (Тг - Тст)

Р

2а Р

Обозначения

х, у, Т - декартовы координаты, м;

Т (х, у, г) - текущая температура жидкости в декартовых координатах, К;

Т(5, п, г) - текущая температура жидкости в эллиптических координатах, К;

и - средняя постоянная скорость движения жидкости в эллиптическом канале, м/с;

Тг, Тст - температура горячей жидкости на входе в эллиптический канал и температура внутренней стенки этого канала, соответственно, К;

а - коэффициент температуропроводности жидкости, м2/с. с - фокусное расстояние эллипса, м;

5,г - эллиптические координаты (безр., рад.);

50 - граничное значение координаты 5 , безр.;

се2п(г,к) - функция Матье первого рода при h и к действительных и отличных от ноля;

Се2п(5,к) - модифицированная функция Матье первого рода при h и к действительных и отличных от ноля; к2пт - корни (параметрические ноли) уравнения

С е 2п (5, к 2п,т ) = 0;

С2п - константы, требующие определения; г

J0 (цт —) - бесселева функция первого рода действитель-

Р

ного аргумента нолевого порядка; г - текущий радиус кругового цилиндра, м;

0(5, г,2) - температура в эллиптической системе координат, безразмерная;

Яе - критерий Рейнольдса, безразмерный;

Q - объемный расход жидкости (м3/с, м3/ч);

1экв - эквивалентный диаметр канала, м;

Хж - теплопроводность жидкости, Вт/(м • К);

/лж - дикамическая вязкость жидкости, Па • с;

vж - киниматическая вязкость жидкости, м2/с;

рж - плотность жидкости, кг/м3.

Литература

1. Конструирование и расчет машин химических производств/ Ю.И. Гусев [и др.].- М.: Машиностроение, 1985.- 408 с.

2. Вольфсон С.А. Основы создания технологического процесса получения полимеров/ С.А. Вольфсон.- М.: Химия, 1987.- 244 с.

3. Манусов Е.Б. Расчет реакторов объемного типа/ Е.Б. Ма-нусов, Е.А. Буянов.- М.: Машиностроение, 1978.- 111 с.

4. Промышленная теплоэнергетика и теплотехника: справочник/ А.М. Бакластов, В.М. Бродянский, Б.П. Голубев; общ. ред. В.А. Григорьева, В.Н. Зорина.- М.: Энерго-атомиздат, 1983.- 552 с.

5. Теплотехническое оборудование и теплоснабжение промышленных предприятий/ общ. ред. Б.П. Голубева.- М.: Энергия, 1972.- 424 с.

6. Лыков А.В. Тепломассообмен: справочник/ А.В. Лыков.-3-е изд., перераб. и доп.- М.: Энергия, 1978.- 480 с.

7. Кейс В.М. Конвективный тепло- и массообмен: пер. с англ./ В.М. Кейс.- М.: Энергия, 1972.- 447 с.

8. Мак-Лохлан Н.В. Теория и приложения функций Матье: пер. с англ./ Н.В. Мак-Лахлан.- М.: Иностранная литература, 1953.- 476 с.

9. Стретт М.Д.О. Функции Ламе, Матье и родственные им в физике и технике: пер. с англ./ М.Д.О. Стретт.- Харьков - Киев, 1935.- 238 с.

т

X

г

© С. В. Анаников - д-р техн. наук, проф. каф. химической кибернетики КНИТУ; [email protected].