CC BY
39
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГ И
Том VII
I 97 6
№ 4
УДК 517.9.532
О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА РИМАНА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ТЕЧЕНИИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ КАНАЛЕ
Приведена новая интегральная форма решения задачи о течении вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрическом канале произвольного сечения. Для течения между двумя софокусными эллиптическими цилиндрами решение дано в элементарных функциях.
Решение задачи о ламинарном течении вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрическом канале произвольного сечения связывается с применением интегральной формулы Пуассона [1], после того как найдено конформное отображение области течения на внутренность круга, или с методом разделения [2]. Использование метода Римана [1], первоначально созданного для гиперболических уравнений и задач Коши, позволило указать новую интегральную форму решения. Рассмотрены течения в каналах прямоугольного и эллиптического сечений; для течения между двумя софокусными эллиптическими цилиндрами решение приведено в элементарных функциях.
Формула Римана. Пусть Г — замкнутый контур в плоскости х, у, определяющий сечение канала 2, а ось г направлена параллельно образующей цилиндра. Пусть далее функция
осуществляет конформное отображение верхней полуплоскости г/>0 на 2. Введением переменных т — и + IV, ни* —и — IV эллиптическое уравнение
преобразуется к каноническому для гиперболического уравнения виду, содержащему только перекрестную производную д2и,'дт дтю*. Контур Г в плоскости и, V задается уравнением а в пере-
менных т, да*— соотношением да = да*. Если С — точка наблюдения,
В. А. Сыровой
Z = x-\- іу — Z(да), И) ~ и + IV
(1)
в которой должно быть вычислено значение І/, а РС и С}С — характеристики, проходящие через С (фиг. 1), то формула Римана может быть применена к области 5
Uc = ^[(UG)q + {UG)p\
dU
dv
и
да
dv
du
J dw J K{w, w*)dw*, К (w, w*) = GF j/g;
(2)
здесь <3 — функция Римана; g— детерминант метрического тензора системы и,V.
8,(ыс>игс) Ш-vet *
ы
Фиг. I
Переходя к действительным переменным в (2), получаем, опуская индексы с,
dU
dv
£/-2®.) d\ +
dv Jv-o, a-i-c
£/=Re|>G)c=0iU^-f JjO
V V—z
j d\ J (VgGF)v-*rt, иdr] ; w — и + iv\ С 0 0 J
(3)
Условие » = 0 в этой формуле означает, что соответствующая величина вычисляется на границе, а затем претерпевает аналитическое продолжение (и -*■ т или а -»С); функция К (и, ^u) = yrgGF в двойном интеграле заменяется на К(С,
Скорость Ь(х,у) при течении вдоль оси 2 в канале удовлетворяет уравнению
' д?и , д*и 1 4р
дх2 ду2 (j. dz
const.
(4)
Видно, что функцией Римана для этого случая является G = 1.
Учитывая, что на Г действует условие прилипания, из (3) получим
W . V V—Z_______________
U=lm §f(t)dt+■ — -£- | V g{u + i\, у) йщ. (5)
о 0
Функция f{t) в (5) имеет смысл dUjdv\v=o и подлежит определению.
Таким образом, формула Римана дала возможность записать решение уравнения (4), причем гармоническому слагаемому придан физический смысл, а частное решение неоднородного уравнения
дает нулевой вклад в значение функции и ее нормальной производной при V — 0. ,
Течения в каналах с эллиптическим и прямоугольным сечениями. Воспользуемся хорошо известными эллиптическими координатами у, связанными с декартовой системой соотношениями
2= V а'-Ь'со&{?1 — Д); VI = 4 ^ " **)(<* 25-\Ъ^=а/Ь\( 6)
здесь а, Ь — полуоси эллипса Е = 0<т)<С2тг.
Полагая V = Е — £0, ч\ = и и выполняя интегрирование в (5), полу-
чаем
и = 1т J/(£) (И-[сЬ 250 — сИ 2 (И0 + V) + 2г> эИ 2Е„ —
-сов2и(1-сЬ2®Я. с = ^ (а°- - й2). (7)
Поскольку при ? -> 0 эллипсы стягиваются в отрезок | *|-< Vа2—Ь2, а не в точку, то координаты (6) не позволяют рассмотреть течения в эллиптическом канале. Требуя при v = v0 выполнения условий прилипания, получим решение, описывающее течение между двумя софокусными эллиптическими цилиндрами, один из которых при
V -*—Е0 может вырождаться в пластину.
Функцию /(£) в силу симметрии задачи естественно искать в виде ряда Фурье по четным гармоникам косинусов
/(0 = ао + ^ ак^‘2/И. (8)
А = 1
Подставляя (8) в (7) и записывая это выражение при ъ — ъ0, обнаруживаем, что ряд (8) обрывается и имеет лишь два отличных от нуля коэффициента:
а° — [сЬ 2^° 2 + + 2г,° 5511 2^’
с с И Ъ),
О •
2 8 вИ 2у0
В результате получаем
и= ^ {сЬ 2 “ сЬ 21° “ 1сЬ 2 ^ + ®о) - сЬ 2Е0] -
- (сН2^-1)-(сЬ2г/0-1)|~]со82и}.
Отображение внутренности единичного круга на внутренность прямоугольника со сторонами 2а, 2Ь (фиг. 2) задается интегралом
: = *Г
^ V(fi-e9,^)(P-e-2l^^) ' '
Дополнительное отображение гх — е1т системы полуполос на внутренность круга в силу периодичности этой функции дает следующую окончательную формулу
V сое 2* — сов 2у ’
о
Постоянные с, 7 определяются из уравнений
т тг/2
dt
dt
У cos 21 — cos 27 ’
0 і Метрика системы (9) задается выражением
У cos 2f — cos 2t
Vg («, V) = a2 + (32, a + ip:
]/"cos 2w — cos 2-у
К A L В M С N ЛК
■/If//уs>/\>As ;4 О у П/2 /Г-уЯ Я+у Ц 2Л-у 2ГГ
Фиг. 2
Рассмотрим аналитическое продолжение агрегата
j cos 2w — cos |^c = (cos 2£ ch 2v — cos 2f)2 + (sin 2C sh 2z/)2 =
= [ch 2v (cos 2u ch 2% — i sin 2и sh 2S) — cos 2f ]3 +
+ [sh 2г> (sin 2и ch 24 + i cos 2u sh 2Щ2.
При v — oo, что соответствует точке О в плоскости Z, можно пренебречь cos 2? по сравнению с первым слагаемым, а sh2v и ch2v заменить на lj2e2v. В результате главным членом при v 00 будет 1/4 e4v. Таким образом, при v -» 00
Vg& ч) = 2с'-е~Ч Записывая (5) вблизи оси, получаем
. W ■ —
U == Im J f(t) dt
с , ~ ~ с2 dp
— ■+ CV, С=--------------------------—
2 ц dz
(10)
Очевидным требованием является конечность скорости на оси канала. Из (10) следует, что оно будет выполнено, если
т-
■ с.
Тем самым устраняется логарифмическая особенность на оси, присущая частному решению. Скорость на оси оказывается равной
ил
с2 dp 2ц dz '
©
С Б
Л л
///-’/у///; О 1j± -
7 y -\г ^
/>/;///s/_/77
7*Jt
1-К
О тт/2 гг зп/2 2 гг
Фиг. 3
Таким образом, течение в канале прямоугольного сечения описывается выражением
, , i
U=-------—Re f [ ([ch2T](cos2Mch2l — jsin2ush2E) —
^ ' о о
— cos 2f]2 -)- [sh 2tj (sin 2и ch 2E + i cos 2и sh 2S)]2)-1/2 _
При построении конформного отображения полуполосы на внутренность эллипса (фиг. 3) воспользуемся принципом симметрии, проведя дополнительный разряд вдоль большей оси эллипса. Последовательные этапы отображения приведены на фиг. 3, а соответствующие формулы следующие:
zt — (z -[- "j/"z2— с2); c = Va%— b2;
3—Ученые записки № 4
33
<и
_г р________________^___________.
1У (I — Р) (1 — кЧ2) ’ о
1/й
I—*5)(1 - № А)
*3 — ’ .
I
еИ
■■ 1п
^з+1
г5 = 1ё-т-
У(р- 1)(1 — &Р) ’
25 = е1т.
Результирующее отображение запишется следующим образом;
Z = c сЬ
сое Ш
} У (1 + 81п2 /) (1 + £3 вш3 <)
о
(11)
Исследуем поведение метрики для (11) вблизи оси, т. е. при V -» оо:
а -(- г’Р =
У( 1 + в1п2 и») (1 4- #з1п2да)
соя tdt
У (1 + вт2 () (1 + № вШ3 О
Поскольку при г» -*■ оо Z -> 0, то из (11) следует, что сЬ х -* 0, а где х — аргумент, заключенный в квадратные скобки. При V -* оо получаем
V -» оо; сое та -* -ф- еу\ в^2®
1
а + /р -► — е~»; а2 + Р2=/^(ы, 1>)-
к
е>2г>.
4с2 ст
-2®
Подставляя (13) в (5), имеем
I! =1т ^/{£)(И — с-\-2cw, с-
1 °2 с? Лр
1* А3 йг ’
отсюда
/(0--2Г; */„ =
с2 с
1 (1р
\хк? Лг '
Заметим, что функции а и р в (12) уже представляют собой результат аналитического продолжения, так что в формуле (5) речь идет о втором аналитическом продолжении. Можно показать, что
Ке 1/^(С, ?)) = а (и, 5 + т\)а.{и, 5 — •»)) + Р (И, 5 + 5 —С),
где аир, как функции и, V, легко находятся из (12), если от комплексных переменных перейти к действительным величинам при помощи соотношения
-ш\и V V
$ГУ) Л = (*) Л - 1т ]■ /=■ (С) й\ + I Ие | Г® <й.
Укажем в заключение функции Римана еще для двух специализаций уравнения (1). При с = /?2 = сопз! получаем уравнение Гельмгольца, для которого
здесь /„ — функция Бесселя нулевого порядка.
Оператор Лапласа для систем с аксиальной симметрией после введения новой искомой функции ]№ = и Уг — координаты в меридиональной плоскости) приводится к (1) с с— 1 /4/?2. Функцией Римана при этом будет гипергеометрическая функция Гаусса
О = /„(/?/■); г3 = (* — хс)* + (у— ус)2;
(К-Дс)2 + (г-гс)2 4 ИЯС
ЛИТЕРАТУРА
1. К о ш л я ков Н. С., Глии ер Э. Б., Смирнов М. М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. М., Физматгиз, 1962.
2. Рауз X. Механика жидкости. М., Стройиздат, 1967.
Рукопись поступила 151IV 1975 г.
