Некоторые задачи плоских вихревых течений несжимаемой жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ И А Г И

Том IV

19 7 3

№ 3

УДК 532.527

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ПЛОСКИХ ВИХРЕВЫХ ТЕЧЕНИЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

В. С. Садовский

Получены в явном виде точные решения задачи вихревого движения несжимаемой идеальной жидкости в круге для случая распределения вихря Q по законам: Q = ш sign у, Q = ш sign (ху), где ю = const. Рассмотрен случай равномерно завихренного течения в полуполосе.

1. Как известно, кроме потенциальных течений несжимаемой жидкости полным уравнениям Навье — Стокса удовлетворяет еще и класс вихревых течений, имеющих постоянную величину вихря (в плоском случае). С этой точки зрения, любые точные решения такого рода движения несжимаемой жидкости представляют определенный интерес. Необходимо отметить, что решения задач

о равномерно завихренных течениях в конечных областях могут быть использованы в теории упругости, так как там возникают идентичные краевые задачи, а также для исследования протекания вязкой жидкости по каналу соответствующего поперечного сечения.

Постоянство вихря во всем течении приводит к существенным упрощениям при решении задач, так как дает возможность использовать хорошо развитый аппарат теории функций комплексного переменного (ТФКП). Впервые методы 'ГФКП для исследования вихревых движений жидкости были применены С. А. Чаплыгиным [1, 2] и впоследствии в той или иной мере получили распространение в зарубежной и отечественной литературе.

В данной работе методы ТФКП использованы для получения некоторых точных решений двумерных стационарных вихревых движений несжимаемой жидкости.

2. Рассмотрим течение идеальной жидкости в области, представляющей собой круг радиусом R. Пусть вихрь Q распределен по закону Q = ш sign у, где со = const. Выделяя только верхнюю (нижнюю) часть круга, получаем течение упомянутого выше класса Q = const. (Отметим, что известное точное решение Чаплыгина [3] дано для случая, когда вихрь пропорционален функции тока.) Будем относить все линейные размеры к величине R. В таком случае область течения в плоскости z ограничена окружностью единичного радиуса (фиг. 1). Функция тока W(х, у), введенная обычным способом, удовлетворяет, как известно, уравнению Пуассона = — QR2, где Д — оператор Лапласа в координатах, отнесенных к радиусу R. В силу очевидной симметрии течения относительно оси х, естественно в дальнейшем рассматривать решение только для верхней части круга АОВСА, где й = и>.

Функцию Ч'"(X; у) будем искать в виде

Щ = ф — <»R2 г-74 (/'2 = х* -г У2).

(2.1)

где ф— подлежащая определению гармоническая функция. Полагая ^'(л-, у) равной нулю на границе полукруга, из (2.1) находим:

j ш/?з/4 = const, г € АСВ,

= j (2-2) I лг/4, г 6 АОВ.

Итак, задача определения течения сведена к известной краевой задаче Дирихле — нахождению гармонической функции ф (х, у) по ее известному значению (2.2) на границе.

Отобразим внутренность полукруга АОВСА плоскости г на верхнюю часть плоскости С с помошью функции Жуковского

(2.3)

При этом точки А, С, В, О переходят соответственно в “ = |; 0; —1; со (фиг. 2), а значение функции ф на границе оказывается, как нетрудно проверить, равным

Ф,=

To/?-4- «4-І,

о/?'2/4,

(2.4)

1.

Для определения ф(£, т]) воспользуемся теперь известным интегралом Пуассона для верхней полуплоскости (см., например, [4]). В результате искомая функция ф может быть записана в виде

ос

1

т]о dz

(S - ч>)2 + ПІ'

(2.5)

где С = 5о + />)о — некоторая фиксированная точка верхней полуплоскости С, а ф^ дается выражением (2.4). Удобно (2.5) представить в виде

Ф = (Л + h + /з). h=\

% di

л =їіо Г

J (6-5,

(-5- Vx- — iy

o)2 -f 7)0

dt> h —

(5 — s0)2 + f]Q

is - So)1 + 4$

(2.6)

Интеграл /2 вычисляется сразу: '

/■2 = агс^

Из (2.3) получается

г

*0 —

%

аг^

1 -Ь

•По

I — г2 ,

г 2 I — гс л

—— сое 0, -%> = --------э5п 6,

2 г 1 2 г

поэтому I. принимает окончательный вид

1-2 (г, 0) = агс1й

2 г + (1 + г2) сое I (I — 0

агс!£

2 г — (1 4- г2) сое ( (I — г2) вт 0

(2.7)

Нахождение интегралов /] и /3 связано с определенными техническими трудностями. Для примера вычислим /3.

Перейдем в /3 из плоскости С в плоскость г. Это равносильно следующей замене переменной в подынтегральном выражении: ^=—Е:-\-у£2—1, откуда

к =

(2.8)

Переменная г1 означает скользящую точку интегрирования на отрезке [—1, 0] плоскости г. Выражение в знаменателе /3 может быть преобразовано с учетом того, что из (2 3)

] 1

2 + ~Г~ г

Имеем:

(£ - ^)2 + *й = К- — 12 =

_ (Г2 г2 — 2 1х + 1) (/=— 2 (х-{--г2)

(2.9)

После подстановки (2.8) и (2.9) в /3 и некоторых преобразований получаем:

о

[ г ^ Р

1 Р — 2 1х + г2 ~ Р г2 —2 1х + 1

-1

<и.

(2.10)

Интеграл (2.10) является табличным и легко берется в явном виде.

Аналогичным образом вычисляется и /,.

Опуская все промежуточные математические выкладки, приведем окончательное выражение для функции тока V (г, 0):

и>Я2

¥(/-, 0) =

агс1к 2 г + С +/2) С059 + агс18 ? г - (I + г») сов (

1

(1 — г2)эш 0

— в — —!_ 1 - эт 2 0 1п

2 г2

( 1 — Г2) БШ (

1 —2 г соя 0 + г2

-\- г2 сов 2 0^ агс^ -

сов 2 0/ г — Г2 ( агс1ё -

1 —(— 2 г сов 0 + г2

—■ г сов 0 1 + г сов

Т'агс1§

Г ЙШ I - СОБ 0

■ агс1§ -

Г 51П I

- сов 0

5|п 0

-КГ1

(2.11)

В качестве примера приведем еще выражение для распределения скорости по радиусу /• при 0 = тс/2, которое получается подстановкой 0 = те/2 в (2.11) и последующим’дифференцированием его по г\

1 да- I + г2 1 / 1 1 \ I

I-2 агс^ —— -+- ~рг агс1§ г ) — г (2.12)

o>R~R dr — та-2 ~ кг у г ^ г2

На фиг. 3 представлен профиль скорости при х = 0 в долях u>R, рассчитанный по соотношению (2.12). Величина скорости в точках О и С (см. фиг. 1) равна соответственно

2

и0 = 0,424; ис = 1 — — 0,363.

3. Рассмотрим теперь течение в круге радиусом R в случае, когда вихрь Q распределен по закону Q = ш sign (ху), w = const. При таком распределении вихря течение оказывается симметричным как относительно оси у, так и относительно оси * (фиг. 4). Поэтому в дальнейшем рассматривается лишь первый квадрант круга АОВСА, где Q = и>

Как и ранее, будем относить линейные размеры к величине радиуса R, а функцию тока 'F искать в виде (2.1). Для значения искомой функции ф на границе остается справедливым соотношение (2.2).

х

Фиг. 4

Отобразим область АОВСА последовательно на внутренность полукруга плоскости ^ (фиг. 5), а затем на верхнюю часть плоскости С (см. фиг. 2) соответственно функциями

і = а -(- /р = 2і, С — £ + п] = — ~2~ ^ і -(- ~£~у •

Пир этом значение функции <|/ на границе т) — 0 оказывается равным:

1

~4~

1

1 >5>— I, »/?2 (-5 - К^Т), 5<- I.

—р о>/?2 г СОПБІ

(3.1)

Интеграл Пуассона (2.5) при выражаемом соотношениями (3.1), также удобно записать в виде трех интегралов (2.6), из которых /2 (по отрезку [ —1,1]) берется сразу. Два других интеграла

— 1 ОЭ

г Г (-5- г

А — "ПО I у чо , 9 » ^ ''

(? - Со)2 4- ^

,-4,]

(- £ + /£2 _ 1)^ (Є - У2 + -По

также берутся в явном виде, если в подынтегральных выражениях перейти из плоскости С в плоскость Например, для /3 это равносильно замене переменной типа (2.8) и (2.9), после чего для интеграла получается выражение, почти аналогичное (2.10). Опуская очень громоздкие, но элементарные промежуточные выкладки, приведем окончательное выражение для функции тока 'Р(г, 0), описывающей течение в первом квадранте круга (см. фиг. 4):

«./г*

2 л2 + (1 -)— г4) соб 2 0 2 г2 — (I -|- '’*) соб 2 I

агс‘8-----(1~4)81пУ9------ + агс(^

(1 — / ‘) э1п 2 0

— 2 г2 !п г'2 віп 2 0 — і--------------------------— біп 2 0 1п (1 —2 л4 сое 4 б —1— г8) —-

2,-2 4 1 '

1 — г4

(л — 4 Ь)сое 2 в — г2 сов 2 8 ( ап^

1 -\- г2 сов 2 0

сов 2 (

агс^ -

л2 — соэ 2 I

л2 біп 2 0

г2 + сов 2 0

аг^

— г2 сов 2 I /'2 біп 2 0

вігі 2 0

• аг^

віп 2 0

(3.2)

Для получения решения, например, во втором квадранте, достаточно в (3.2) осуществить преобразование поворота плоскости на угол я/2 и изменить знак у вихря ш. Другими словами, достаточно в (3.2) сделать замену: ш -> — ш,

в ->0- —.

2

Небезынтересно определить вид решения (3.2) при г —> О, тотику решения. Раскладывая все слагаемые (3.2) в ряд по г лишь членами порядка г2, получаем:

т. е. наити асимп-и ограничиваясь

Ч’ =

О)/2 _

1 п /-2 Біп 2 (

.(л. \2

2 0 сое 2 9

а>/2 -+ 2^-'-2

1п + -я- біп 2 0. (3.3)

Здесь черточка над буквой означает, что соответствующая величина отнесена к некоторому произвольному размеру /, не связанному с /?.

Как и следовало ожидать, асимптотика определяется „чисто" вихревым решением, полученным ранее в работе [5], и некоторым добавком, удовлетворяющим, как нетрудно проверить и также в соответствии с [5], уравнению Лапласа,

В заключение отметим еще одно обстоятельство. Первое слагаемое в (3.3) дает асимптотический вид решения вихревого течения в окрестности вершины прямого угла без учета кривизны линий тока, образующих прямой угол. Влияние кривизны линии тока может быть выявлено из решения (2,11), если его рассмотреть, например, в окрестности критической точки А (см. фиг. 1). Для этого достаточно разложить это решение в окрестности точки г = — 1. Такая операция была проделана. Опуская крайне громоздкие и многочисленные выкладки, запишем окончательный результат:

шР -

л , It \ 71

1 п о* sin 2 — (-«- — 2 <р I cos 2 <р + -S-

u>p-

4 R

2^ In sin 2 <f. (3.4)

Здесь р, ^ — полярные координаты с фокусом в точке А (—1, 0); черточки над /? и р означают, что эти величины отнесены к некоторому произвольному линейному размеру /. В выражении (3.4) отброшены все члены, порядок которых по о выше второго. Как видно, влияние кривизны линии тока АС с точностью, превышающей р2, не сказывается в главном члене, дающем „чисто" вихревую часть решения (выражение в квадратных скобках), а проявляется лишь в потенциальном добавке, имеющем более высокий порядок малости, чем первое слагаемое. Этим вихревое течение отличается от потенциального, где влияние кривизны линии тока на градиент скорости проявляется уже в главном члене. Например, при обтекании круга (см. фиг. 1) потенциальным потоком комплексный потенциал в окрестности точки А имеет вид:

ХГ(г)= V’ г +

/?2

= 2 I' d‘JW

dz2

(г + R)2 -Я + (*+/?)+ 1 оР- +

2 R

2 Vc R

4. Пусть область равномерно завихренного течения представляет собой треугольник ОАВ, в котором вершина О удалена в бесконечность, отрезок АВ лежит на оси у, а сторона ВО совпадает с положительной частью оси х. Пусть, далее, задача нормирована так, что сторона АВ треугольника равна и, т. е. точке А соответствует г — ш.

В отличие от предыдущего, функцию тока М-г (л:, у) будем искать в виде

(4.1)

Легко проверить, что искомая функция <\>(х, у) и в этом случае удовлетворяет уравнению Лапласа. Если на границе области положить 'Т = 0, то из (4.1) следует, что

Ш71-

~п~ = сопв!, .? г АО,

2

шг2

т

0

г^АСВ, г 6 SO

(точка С находится на середине отрезка АВ).

Как и ранее, отобразим полуполосу ОАВО на верхнюю часть плоскости £. Это отображение осуществляется функцией

С = 5 + it) = ch г,

(4.2)

причем соответствие точек границы областей показано на фиг. 2.

Из (4.2) следует, что на границе АСВ г = arccosl, поэтому на оси 6 функция ф (£, rj) принимает значения:

Так как при £ -> сю граничное значение ^ не возрастает, то функция ф (£, f|) по-прежнему определяется интегралом Пуассона (2.5), который может быть записан в виде

—1 1 | а) Г т]0 d£ Г % arccos2 £ d$

+ = ** [.^ J (S - S0)2 +7о + J (5 - So)2 + -По

— СО — 1

Первый интеграл легко берется в явном виде. Во втором интеграле знаменатель с помощью соотношений

S0 = ch х cos у, т|0 = sh х sin у,

вытекающих из (4.2), можно записать в виде

(S — £р)2 -f- = £2 — 2 S ch jc cos у -|- (sh2 л: + cos2 у).

В результате выражение для функции тока (х, у) приобретает вид

1 4“ ch х cos у

V (х’ y) = 2V[ arcct2

sh х sin у

l

Л arccos2 £d£ , JO

+ sh.*slnyj |2 __ 2 £ ch x cos у 4~ sh2 x 4~ cos? у г ^ ^

-i

К сожалению, выразить стоящий в скобках определенный интеграл через элементарные функции не удается. Тем не менее некоторые свойства течения все же легко установить.

Определим асимптотику течения при х н> со. Дифференцируя (4.3) по у и учитывая, что sh л:ch со при х -> со, получаем

д^¥ ш / cos у \

U = - 1 " ' ° ‘

I

где А = J arccos2 £ d£ = я2 — 4.

-1

Так как cth х 1 при jc -> со, то

д_У_ dv

“ = _Э7* 2^(n2cthx+ А^й^-2пУ ’ <4-4>

= со

лг = оо

т. е. профиль скорости течения на бесконечности является линейным. Скорость потока на стенках у = 0, у = п оказывается равной иоа= ± шп/2. Аналогично, после дифференцирования (4.3) по х для максимального значения у — составляющей вектора скорости получаем

№ I 2 ш

(4

Соотношения (4.4) и (4.5) указывают на то, что вихревое движение в полу-полосе с удалением от стенки х=0 чрезвычайно быстро выходит на режим плоскопараллельного течения с прямолинейным профилем скорости.

Представляет интерес найти распределение скорости на стенке у = 0.

После дифференцирования (4.3) по у и подстановки у = 0, выражение для скорости и (х, 0) может быть представлено в виде

и <•*’ °> = 57

sh jc Г у dy

Последний интеграл выражается в виде бесконечного функционального ряда (см., например, [6], стр. 451, № 3.794), который в данном случае может быть упрощен. Выражение для скорости принимает вид

, ^ 2 “ / -* Г * м

и{х, 0)=— ЫпсШ т+ зТ7

6— Ученые записки ЦАГИ № 3

81

Нетрудно получить теперь выражение для производной от скорости:

ди , Л. 2 ю , х

—— (х, 0) = — 1п сШ — .

дх т. 2

Градиент скорости вдоль стенки оказался выраженным в явном виде и в соответствии с [5] имеет в критической точке .с — 0 логарифмическую особенность.

ЛИТЕРАТУРА

1. Чаплыгин С. А. Поток, обтекающий с непрерывными скоростями забор с образованием постоянных вихрей впереди и позади забора. Собрание сочинений, т. II. ОГИЗ, 1948.

2. Чаплыгин С. А. Вихревой поток, обтекающий преграду в виде забора. Собрание сочинений, т. И. ОГИЗ, 1948.

3. Чаплыгин С. А. Один случай вихревого движения жидкости. Собрание сочинений, т. II. ОГИЗ, 1948.

4. Лаврентьев М. А., Ш а б а т Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М., „Наука", 1965.

5. Садовский В. С. О локальных свойствах вихревых течений. „Ученые записки ЦАГИ", т. II, № 4, 1971.

6. Г р а д ш т е й н И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., Физматгиз, 1963.

Рукопись поступила 10/Ш 1972 г.