Линейные вихревые теории профиля и крыла конечного размаха с воздухозаборником Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ И А Г И

Том XII

19 8 1

№ 1

УДК 533.6.011.32

ЛИНЕЙНЫЕ ВИХРЕВЫЕ ТЕОРИИ ПРОФИЛЯ И КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА С ВОЗДУХОЗАБОРНИКОМ

В. М. Шурьиин

Изложены линейные вихревые теории обтекания профиля и крыла конечного размаха с подкрыльевым (надкрыльевым) воздухозаборником дозвуковым безвихревым неограниченным потоком идеальной жидкости. Предполагается, в общем случае, что воздухозаборники работают на нерасчетных режимах.

1. Профиль с воздухозаборником. Рассмотрим тонкий профиль, допустим с надкрыльевым воздухозаборником (рис. 1). В книге [1] приведено решение задачи обтекания такого профиля потоком идеальной несжимаемой жидкости на основе линейной теории при

нерасчетном режиме обтекания воздухозаборника и выполнении условия Чаплыгина — Жуковского о сходе потока с задней кромки:

— 2ч „ с ,

¿да 1 С / ц "с 4- £ ^г, , •/-> £—1 ;г\

Ъу [С (х)] —¿6 4-

йг

2 тс/

1

+ Юо

(1)

где ни (г) — комплексный потенциал возмущенного течения; г=х+ гу; С — значение г (или х) на пластинке длиной, равной хорде профиля Ь, где _у = 0, на которую сносятся краевые условия с контура профиля; {/оо — скорость потока на бесконечности, направленная вдоль оси х\ V,, = Осс9' — составляющая вдоль оси у возмущенной

скорости на поверхности профиля; &' — угол наклона элемента контура профиля к оси X] — соответствует плоскости входа воздухозаборника; ¡1 — комплексная координата точки области, внешней к кругу единичного радиуса, на котором 1 = ': = е‘ь] "ла= е1Вл- — соответствует плоскости входа воздухозаборника, а точки -=—1, -= 1 — передней и задней кромкам профиля. В формуле (1) и П2— действительные константы, определяемые единственным образом при выполнении условия на бесконечности оо = 0 и задании

нерасчетного объемного расхода ДС^л,, па который полный объемный расход (¿л„_ через воздухозаборник превышает расчетный объемный расход <Зл2Расч = £Лх &ла, где 8Лг—высота среза воздухозаборника.

Если режим работы воздухозаборника расчетный (Д(3Дз = 0) и, значит, точка ветвления потока лежит на кромке воздухозаборника, то формула (1) совпадает с формулой Л. И. Седова для твердого профиля (без воздухозаборника) [2]. При решении такой задачи можно воспользоваться любым из методов, развитым для твердого профиля. При этом, конечно, значения ч) на профиле с воздухозаборником будут отличаться от значений на твердом профиле за счет наличия воздухозаборника. В результате задача обтекания профиля с воздухозаборником на нерасчетном режиме по существу сводится к построению дополнительного течения, обусловленного нерасчетностью обтекания воздухозаборника. Согласно [1] появление нерасчетного расхода А<Зл3 приводит к следующим изменениям возмущенной скорости в поле течения и циркуляции вокруг профиля с воздухозаборником:

д (¡пи_

dw____dw jdw \ ___ I е + тл, 5 —

dz dг \й.г/раСЧ \ — 'д. ^+:

ДГ = Г - Г = — ~ЬВ2 (1 + соэбл,),

где

£>,=—А—; г=—(е+-

1 т:051По^ 4 I

Можно показать, что возмущенные скорости Д— около про-

dz

филя с воздухозаборником в линейной теории оказываются скоростями от источника (или стока, что зависит от знака Д<3л„) с расходом ДС?л,; расположенного на плоской пластинке в точке, соответствующей плоскости входа заборника (Сл2), и обтекающего пластинку при выполнении условия Чаплыгина — Жуковского на ее задней кромке.

Представим добавочную возмущенную скорость Д— в виде

dz

суммы симметричной и асимметричной составляющих относительно -оси Х\

л ¿т . .. / . йч!)\ , /. dw\

Д — = Ди „ — гД^„ = А— + д— .

dz \ dz /сим \ Лг]ас

Симметричная составляющая

_______2£____________ А@л, 1

¿г)сим ~Ь £2— к (тд, -|- Хда) + 1 2я г—

является скоростью от источника с расходом А<3да, расположенного в точке г = Сл2. Асимметричная составляющая

д

'V йг),

яб ТЛ„ —

(2)

Нетрудно показать, что течение с асимметричной составляющей скорости соответствует обтеканию пластинки длиной

Ь, при выполнении условия схода потока с задней кромки, двумя особенностями: источником и стоком равного расхода ^-^-Д<3л2,

-4- д(3^

2 '

расположенными с разных сторон пластинки в точке

В таком течении всюду на пластинке, кроме точки Сл2, возмущенная скорость (Дг>у)ас по нормали к пластинке равна нулю, а в точке Сл2, через которую как бы протекает расход жидкости,

равный — Д(?д2, значение (Лг>у)ас обращается в бесконечность. Будем

в дальнейшем для краткости называть источником-стоком особенность, состоящую из источника и стока одинакового расхода, расположенных в одной и той же точке твердой поверхности, но с разных сторон. Согласно (2) найдем возмущенную скорость (Лг>ж)ас на пластинке и заменим пластинку в асимметричном течении вихревым слоем с удельной циркуляцией 7(6):

7(в)=-2(Дг»х)ас =

2tg■

1 + с1В —((

.)

(3)

Здесь 0<бл2<^, 0<6<-й:.

Как видно, на задней кромке пластинки 7(0) = 0, что связано с условием схода потока по Чаплыгину — Жуковскому, а при стремлении к передней кромке (0 -> тг) значение 7 (0) стремится к бесконечности в связи с обтеканием передней кромки. При стремлении же справа и слева к точке САг, гда расположен источник-сток, 7(0) при Д(3л2>0 «0) стремится к +00 (4 оо).

Запишем формулу (3) несколько иначе:

Т(У) = Т(1,(Є)+Т(2,(Є):

2Д(?,

71Ь БІП 0

А,

1 ¡¡пв — втдА

їй — 0 Н---------------------------

2 сое 9

ил2

СОБ 0

АО

Д„

я і і Л

-,(4)

где 7(1)(0) и -((2>(6) — соответственно первый и второй члены правой части формулы (4).

Нетрудно видеть, что если рассматриваемый источник-сток

с расходом -у-Д(3,42 расположить в точке Сд, на пластинке бесконечной длины, совпадающей с осью х, то интенсивность соответствующего вихревого слоя на такой пластинке оказывается равной

Из выражений :(4) и (5) следует, что -¡(2) [6 (С)] — вторая составляющая j (6) на пластинке конечной длины — совпадает с 7„ (С) при -6/2 -СС<!й/2. Существенно то, что особенность функций 7(2)[9(С)] и Тсо(С) в точке С/І2 оказывается такой же, что и особенность функции т [0(0]. В результате, как легко видеть из выражения (4), функция 7(1> [0 (С)] в точке С л, непрерывна и даже дифференцируема. Характер поведения 7(1) (0) вблизи передней кромки пластинки определяется членом tg - 9, обусловленным обтеканием этой

кромки. На задней кромке пластинки значение 7(1)(0) конечно и отлично от нуля:

И')

(0) = — т(2) (0):

2 AQ

Л,

1

2 b

ил2

Определим скорости скоса потока ^2)(С) на пластинке, которые возникают от вихревого слоя с удельной циркуляцией 7(2> [6 (С)] при 'С Ф С А,'-

Vт (С) = — Гл. зн. Г ¿у

у 'С — и.

X

Гл. зн.

— ы 2

b¡2

Гл. зн.

•л,

1п

_ Д(?ла 1

2~3 £л2 -с

Ы 2

С Ф

J .-с

— ¿1/2

Г + ‘

_ _г

X

(6)

Как видно, при С = + й/2, т. е. на концах пластинки, скорости г>(2> (С) обращаются в бесконечность. При С-» £л2 выясняется важное свойство функции (С): слева и справа от точки Сл2 предельные значения скоростей скоса оказываются конечными и совпадают между собой:

2г.

0)

0):

(7)

(&/2)3-£1

В самой же точке Сд, скорость скоса потока ^2)(Сл2) бесконечна, так как через эту точку „протекает“ расход жидкости, равный Построим на пластинке, т. е. при —Ь 2-;'.'С<й/2, функцию (С), которая при С^гСл, совпадает с 1?(у2)(0: а при С=Сл2 положим ^(2) (Сл2). = ^(Сл2 + 0). При этом в точке Сд, функция гД2)(С) оказывается не только непрерывной, но и дифференцируемой. Полученные результаты позволяют сформулировать следующую постановку задачи нахождения интенсивности 7(0) вихревого слоя: определить такой исходный вихревой слой с интенсивностью 7(2)[0(О] типа 7<2> [0 (С)], имеющий в точке £_а, особенность функции 7 [0 (С)], и по скоростям скоса г>$(С), связанным с 7(12) [6 (^.)]т так же как ^(2ЦС)

3 — „Ученые записки ЦАГИ“ № 1

33

с 7(2> [6 (С)], определить из условия непротекания пластинки дополнительный вихревой слой 7<1) [6 (С)] типа -^(1> [9 (С)], чтобы в итоге сумма т!1* (9) + Т(12) (®) равнялась 7 (6) — 7(1)(в) -{- т(2) (в) — в данном случае заранее известной функции (3) и (4).

В соответствии с постановкой задачи определение интенсивности ч*1' [6 (С)] дополнительного вихревого слоя, если известна функция ■Уу21)(С), сводится к решению сингулярного интегрального уравнения Коши:

Ы2

1 г

— Гл. зн.

2я

. I = (8)

Л С —

-Й/2

при условии, что функция “¡^ [&(£)] ограничена при С =¿>/2 и не ограничена при С— — 6/2. Покажем, что за одну из возможных функций vW\(í) может быть принята функция г/2) (С), определяемая в соответствии с выражениями (6) и (7), когда 7<2) [0 (С)] = 7<2> [6 (С)]. Известно [3], что когда правая часть уравнения (8) удовлетворяет условию Гельдера, искомое решение записывается через определенный интеграл. Полагая = замечаем, что функция

принадлежа классу Н на отрезках

ь , ь

Ь —

2 2

при сколь

угодно малом о, вблизи концов пластинки принадлежит классу Нг [3]. Однако, используя известное решение [3] для отрезка —^—|- о, ь

— — о , не ограниченное в начале отрезка и ограниченное на его

конце, и переходя далее к пределу при о->0, замечаем, что решение

[3] остается справедливым и в случае рассматриваемой функции

% гг^,

тгт«]“- —1/ т------------ Гл. зн. 5<8>(|01/ 4-------■ (9)

-ь-------Гл. зн. | ‘|

/ ±.

Из выражений (6) и (9) следует:

-,ч>т

2Д|?а, 18~Г1с1етЧ

-Ь соэ 0^ совО

Сравнивая и 7(1)(б) из формулы (4), замечаем, что —

= 7(1)(0). Это означает, что вихревой слой с интенсивностью -¡<2>(Ь)

(4) может быть принят за исходный вихревой слой. В результате определяется суммарный вихревой слой 7 (6) = уМ (6) 7(2> (0), соот-

ветствующий обтеканию плоской пластинки источником-стоком

с расходом расположенным в точке Спри выполнении

условия Чаплыгина — Жуковского о сходе потока с задней кромки, где 7 (0) = 7<!) (0> -ь 7<2> (0) = 0.

Итак, выясненный принцип построения исходного вихревого слоя оказался очень простым: для этого необходимо из вихревого слоя от источника-стока на непротекаемой бесконечной прямой вырезать часть, приходящуюся на долю пластннки данной хорды Ь. Заметим, что данный исходный вихревой слой не является единственно возможным. Его всегда можно изменить за счет функций вида т(1)(0), являющихся решениями уравнения (8) при различных правых частях уравнения.

2. Крыло конечного размаха с воздухозаборником. Излагаемая здесь линейная вихревая теория крыла конечного размаха с воздухозаборником строится как непосредственное обобщение линейной вихревой теории для профиля с воздухозаборником, изложенной выше.

Пусть тонкое крыло конечного размаха с надкрыльевым (под-крыльевым) воздухозаборником, работающим на нерасчетном режиме, обтекается неограниченным потоком идеальной несжимаемой жидкости. Положим, что скорость Uоо направлена вдоль оси л:, ось 2 — вдоль размаха крыла и углы наклона поверхности крыла с плоскостью у = 0 достаточно малы. Сечение крыла плоскостью г = const, проходящей через воздухозаборник, представляет собой некоторый профиль с надкрыльевым (подкрыльевым) воздухозаборником (см. рис. 1).

Предположим вначале, что воздухозаборник крыла работает на расчетном режиме. Из условий непротекания можно определить составляющие возмущенной скорости vyB, vyH вдоль оси у соответственно на верхней и нижней поверхностях крыла и далее снести их значения на плоскость у = 0.

Получающаяся краевая задача, аналогично задаче о профиле с воздухозаборником на расчетном режиме, решается известными методами, развитыми соответственно для твердого крыла (без воздухозаборника). Обратимся теперь к более общей задаче — о крыле с воздухозаборником на нерасчетном режиме, когда через сечения 2— const на входе в воздухозаборник, кроме расчетных расходов Qpac4 = ^со8 (г), где 8(г) —- высота среза воздухозаборника, протекают дополнительные нерасчетные расходы AQ(z). Под расходами Qpac4 и AQ можно понимать соответствующие объемные расходы, приходящиеся на единицу длины воздухозаборника вдоль оси г. Снося краевые условия с поверхности крыла на плоскость у— О, выделим из общей задачи первую задачу, связанную с обтеканием крыла на расчетном режиме воздухозаборника неограниченным потоком со скоростью Um на бесконечности. Решение этой задачи будем далее считать известным. Оставшаяся вторая задача является задачей обтекания плоского крыла, совпадающего с проекцией рассматриваемого крыла на плоскость _у=0, источниками (стоками), распределенными вдоль линии L — проекции кромки воздухозаборника (рис. 2). Объемный у=0 расход источников (стоков) на каждом элементе ds длины линии L равен &Q ds cos у, где X (2) — угол, который составляет линия L с

осью z При построении реше-

ния этой задачи соответственно должны быть выполнены условия на бесконечности и условие Чаплыгина — Жуковского о сходе пото- рИс. 2

ка с задней кромки. Как и в случае профиля, вторую задачу можно составить из симметричной и асимметричной задач. Решением симметричной задачи является течение в неограниченном пространстве от источников (стоков) с расходом kQdscosy на элементах ds линии L, лежащей в плоскости у = 0. Это течение не влияет на создание подъемной силы и моментов, но сказывается на распределении скоростей и давлений по поверхности крыла.

Асимметричная задача представляет собой задачу обтекания плоского крыла источниками-стоками, распределенными вдоль

линии L, с объемными расходами — &Q ds cos/. Наличие источни-ков-стоков на линии L создает как бы протекание проекции крыла вдоль линии L с расходом -у AQ ds cos / на длине ds. В результате задача о влиянии нерасчетного режима работы воздухозаборника на обтекание крыла сводится к асимметричной задаче обтекания плоской проекции крыла источниками-стоками, расположенными вдоль проекции L кромки воздухозаборника, с объемным

расходом ~ AQds cos /_ на длине ds, при выполнении условия

Чаплыгина — Жуковского о сходе потока с задней кромки, при скорости на бесконечности перед крылом, равной нулю, и при расположении вихрей, сбегающих с крыла, вдоль оси х. Решение асимметричной задачи сведем, так же как и в случае профиля, к построению на месте проекции крыла соответствующего вихревого слоя с интенсивностью '¡(z, х), где в данном случае *f — вектор, лежащий в плоскости у — 0. Полагая Т = Т(1) Т(2>> вновь поставим

задачу отыскания дополнительного вихревого слоя с интенсивностью 7(1), задавая некоторый исходный вихревой слой с интенсивностью -f(2), имеющий на линии L особенность вихревого слоя с интенсивностью 7.

Вначале рассмотрим нескользящее плоское крыло бесконечного размаха хорды b с линией Хаа = const, совпадающей с проекцией L кромки воздухозаборника, и положим, что нерасчетный объемный расход на единицу длины воздухозаборника равен некоторой постоянной величине AQ. Соответствующая асимметричная задача сводится к обтеканию рассматриваемого крыла источниками-стоками с постоянным объемным расходом -у AQ на единицу длины

линии L. Воспользуемся тем, что решение этой задачи известно, так как оно совпадает с решением для пластинки с источником-стоком (см. п. 1), но построим для крыла известный исходный вихревой слой несколько иначе. Пользуясь линейностью задачи и принципом построения исходного вихревого слоя (см. п. 1), просуммируем исходные вихревые слои на крыле от каждого источника-стока, расположенного на линии L. В случае рассматриваемого крыла бесконечного размаха для построения исходного вихревого слоя от каждого источника-стока необходимо, во-первых, построить вихревой слой от него на крыле бесконечной хорды (на плоскости У — 0). Этот вихревой слой состоит из концентрических круговых вихревых ЛИНИЙ ПОСТОЯННОЙ интенсивности ~{р, величина которой

зависит от расхода с/р источника-стока, расположенного в точке Р линии и от расстояния г р до этой точки:

7р~ Чр\^т'г~р-

Из полученного вихревого слоя теперь следует вырезать часть, которая приходится на долю крыла бесконечного размаха с хордой Ь. При этом получаем на крыле некоторый присоединенный вихревой слой, состоящий из концентрических вихревых линий—окружностей и дуг окружностей. Многие из вихревых линий этого слоя заканчиваются на кромках крыла и должны быть продолжены в соответствии с теоремами Гельмгольца о сохранении вихревых линий и интенсивности вихревых трубок. Просуммируем вначале присоединенные вихревые слои от всех источников-стоков, лежащих на линии Ь, при где <¿5 — бесконечно малый

элемент линии ¿. Как нетрудно видеть, суммарный присоединенный вихревой слой состоит из прямых вихревых линий постоянной интенсивности Тпр(Л)- гДе параллельных кромкам крыла:

СО

т (х\ _ _1_ А5 Г г (!г________________________

ТпрМ - 2г 3 [*» + (*„,-ДО*]3/а 2п (хА — х)

О

Этот вихревой слой совпадает с исходным вихревым слоем Т(2>(0 для пластинки с источником-стоком (см. п. 1). Отсюда следует, что вихревые линии присоединенного вихревого слоя от какого-либо источника-стока, заканчивающиеся на кромках крыла, должны быть продолжены в виде ненесущих вихревых линий, т. е. свободных вихрей, располагающихся вдоль скорости набегающего потока.

Таким образом, исходная вихревая поверхность от одного источника-стока состоит как из присоединенного вихревого слоя, так и из свободных вихревых поверхностей, сбегающих с передней и задней кромок рассматриваемого крыла (рис. 3). В результате

принцип построения исходного вихревого слоя для профиля (см. п. 1) обобщается на построение исходной вихревой поверхности для крыла бесконечного размаха с произвольным углом скольжения и с произвольной линией воздухозаборника: для построения исходной вихревой поверхности от каждого источника-стока на линии I следует формой крыла в плане вырезать часть из вихревого слоя, соответствующего источнику-стоку на плоскости, и полученный присоединенный слой продолжить от кромок крыла в виде свободных вихревых слоев. Применяя этот принцип и в случае переменной стреловидности кромок, приходим к аналогичному

Рис. 4

Рис. 5

построению исходных вихревых поверхностей от источников-стоков и для крыльев конечного размаха.

На рис. 4 и 5 показаны примеры исходных вихревых поверхностей для прямоугольного и треугольного крыльев, когда на крыльях достаточно произвольно располагается один источник-сток (точка Р). Далее, в случае произвольного крыла и произвольной линии Ь воздухозаборника, так же как и в случае профиля (п. 1), задача сводится к построению дополнительного вихревого слоя с интенсивностью (г, х) при удовлетворении условий непротекания всюду, кроме линий при выполнении условий на бесконечности и условий Чаплыгина — Жуковского о сходе потока с задней кромки. Такая задача эффективно решается численным методом дискретных вихрей*.

3. Влияние сжимаемости при дозвуковых скоростях потока.

Как известно, учет влияния сжимаемости при дозвуковых скоростях в рамках линейной теории для аффинно-подобных твердых профилей и аффинно-подобных твердых крыльев проводится на основе правил подобия, которые можно получить, например, из соответствующих универсальных зависимостей [4].

Для профилей

где ср — коэффициенты давления в соответствующих точках на профилях, для которых х/6 = const; с, b — относительные толщины и хорды профилей; Мж, £УИ —числа М и скорости набегающих потоков; А — некоторые константы для каждого течения.

Для крыльев

где ср — коэффициенты давления в соответствующих точках на крыльях, для которых х/6 = соп8*, г/Ь у 1 — М^ = сопз{; X — удлинения крыльев; с, ¿ — относительные толщины и хорды, например, средних или других соответствующих друг другу сечений крыльев.

* См. „Ученые записки ЦАГИ“, т. XII, № 2, 1981.

В соответствии с [1] для аффинно-подобных профилей с воздухозаборниками запишем следующую универсальную зависимость:

с1А = у(—^=, ^22-, ^-1/ПГмГ р 1.1 V I - м5 сьи=0 счи

В случае аффинно-подобных крыльев с воздухозаборниками получаем:

Ср/А =х(~Т7===т ’ •^т-У'ПГмГ

\ЛУ1-М^ сЬи°° С2Ь^СО

где <Зрасч, ДQ —расчетные и нерасчетные расходы в соответствующих сечениях крыльев. При этом полные расчетные расходы <3п. расч и полные нерасчетные расходы Д<3П через воздухозаборники связаны соотношениями:

<?п. расч V 1 - Л& AQn(l-M^)

----=--------— = const; —_------------= const.

с Ь*и0о с2 fc2

Краткое изложение настоящей работы опубликовано в статье [5].

ЛИТЕРАТУРА

1. Шурыгин В. М. Аэродинамика тел со струями. М., „Машиностроение“, 1977.

2. Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М., „Наука“, 1966.

3. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М., Физматгиз, 1962.

4. Л и п м а н Г. В., Р о ш к о А. Элементы газовой динамики. М., Изд. иностр. лит., 1960.

5. Шурыгин В. М. Линейные вихревые теории профиля и крыла с воздухозаборником. ДАН АН СССР, т. 250, № 4, 1980.

Рукопись поступила o/Xil 1979?.