CC BY
152
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Т о м XII 19 8 1 М2
УДК 533.6.011.32
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ В ЗАДАЧАХ ОБТЕКАНИЯ ПРОФИЛЯ И КРЫЛА С ВОЗДУХОЗАБОРНИКОМ. ЗАКОН ПОДОБИЯ ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ
В. М. Шурыгин,
Для расчета искомого дополнительного вихревого слоя в линейных вихревых теориях обтекания профиля и крыла с воздухозаборниками неограниченным дозвуковым потоком идеальной жидкости [1] применен численный метод дискретных вихрей. Для профиля с воздухозаборником найден вариант метода, позволяющий рассчитать распределение давлений с высокой степенью точности при разбиении хорды на сравнительно небольшое число отрезков. Приводится сравнение теоретических результатов расчета обтекания круглого крыла с точечным воздухозаборником в центре с экспериментальными результатами для круглого крыла с центральным круговым щелевым воздухозаборником [2]. Установлен закон подобия для распределения перепадов давлений по крыльям конечного размаха, вызванных нерасчетными режимами работы воздухозаборников различного типа.
1. Профиль с воздухозаборником. Как показано в работе [1], исследование влияния нерасчетного режима работы надкрыльевого (подкрыльевого) воздухозаборника на обтекание профиля несжимаемой жидкостью сводится к задаче обтекания пластинки расположенным в точке х = ^а2 среза воздухозаборника источником-стоком
с объемным расходом -?гА<Зл2, где Д<3л„— нерасчетный расход.
В [1] показано также, что если пластинку с источником-стоком заменить соответствующим вихревым слоем с интенсивностью
т[б(д] = т(1)[е(д] + т(2)1[0(С)],
то за исходный вихревой слой с интенсивностью 7(2)[®(У] может быть принята часть вихревого слоя, вырезаемого пластинкой из вихревого слоя, соответствующего источнику-стоку на бесконечной пластинке:
где V = СОБ 9
ЛЯ:
т(2)[в (С)] = -~
Используем здесь для построения дополнительного вихревого слоя с интенсивностью т(1) [0 (С)] численный метод дискретных вихрей. Для этого разобьем пластинку на N отрезков, отметив на них точки С,- и С; (г= 1, . . • , Л/'; у = 1, . . . , М). Заменим искомый дополнительный вихревой слой дискретными вихрями с циркуляциями Г</), расположенными в точках Сг. Определим в точках Су-скорости скоса г>у2) (Су) от исходного вихревого слоя с ч(2)[9(С)] [1] и потребуем, чтобы в точках С,- выполнялось условие непротекания. Так же, как и в работе [3], для построения решения, соответствующего вихревому слою с интенсивностью 7(1) [б (С)], бесконечной на носовой части профиля (С= — Ь/2, б — -) и конечной на хвостовой части профиля (С=й/2, 9 = 0), на всех отрезках разбиения вначале расположим вихри, а затем точки, где выполняется условие непротекания. Снова так же, как в работе [3], расположим характерные точки Сг, Су так, чтобы предел отношения расстояний от каждой точКи непротекания (кроме последней) до дискретных вихрей слева и справа от нее стремился к единице при N-^ оо. Систему уравнений для циркуляций Т(Р дискретных вихрей запишем в следующем виде:
(1)
’■ т~\ С;-Сг
где, согласно [1], при Су ф Сла
—/п\ ~ ДQ, 1 Ь/2 - С; 6/2 + г
vf (С.) = ------in--------------j- -Т (2
У v }> W ^ bj2 + Щ2 - СЛз v
а при С;- = Сл2
~(2) г \ _ Д<?Л2 &
2л2 ihlW—t2.
(6/2)2 — Cj
Так как в соответствии с линейной теорией [4] дополнительный вихревой слой с f(1)(9) заранее известен [1], можно сравнить
<•
значения циркуляций Г-Х) И суммарной циркуляции =^^Гг-1>, полу-
1=1
чающиеся из решения уравнений (1), с соответствующими их точ-
N
ными значениями [1,4], которые обозначим Г*1* иГ^^Г'1]. При
i=i
этом под циркуляцией Г/т будем понимать циркуляцию участка
вихревого слоя с известным значением f(1) (0) [1,4], расположен-
'Ь ' п b "
ного между некоторыми точками С; = — cos 0г и С/ = -у cos 9Тогда
ri(l) 1 п(1) 1 /V о" Ч i 1 ft 1^1 * cos(0; + 6Л )
г" - aq^7 г" = ) с‘г т Ч + - m 1jC0S(,;+Ij| ) ■ <3>
и суммарная циркуляция на единицу расхода
ГЙ _ у г'/> = ctg 4 Ч + -L In ‘-c°s> = -l/HI .Я 2 ~ 1 + osV V 1 — m
+
Ц
где принято cos = 2 Сл2 /Ь — —1 + 2 от при 0 < т 1.
В дальнейшем будем оценивать точность расчета распределения давления, соответствующего дополнительному вихревому слою, а также точность расчета суммарной циркуляции, рассматривая относительные циркуляции
W = Г^/Г!1.», I™ = Г<Е1} /Г'1’. (4)
Сравним несколько вариантов численного метода расчета при различных разбиениях пластинки и размещениях характерных точек. *
Вариант I [3]. Разобьем пластинку равномерно на N одинаковых отрезков k = b/N. Точку Q выберем на расстоянии А/4 от начала каждого отрезка и на каждом у'-м отрезке отметим точку
3
лежащую на расстоянии -j4 от его начала:
С, = —!- + (*'-S/4) 4- ; Г;= - у +(У - 1/4) 4--
Вполне естественным представляется понимать под циркуляцией Г;1' циркуляцию участка вихревого слоя с 7(1> [9(C)] [1], совпадающего с г-м участком разбиения, когда в формуле" (3) С- и С- являются координатами начала и конца i-го участка разбиения. Проведенные расчеты показали, что вариант 1, даже при значительном числе N= 100, не обеспечивает удовлетворительной точности расчета ни циркуляций дискретных вихрей Г?’, ни суммарной циркуляции If>.
Вариант II. Рассмотрим теперь разбиение пластинки „по коси-нусу“ и размещение характерных точек в соответствии с вариантом, применяемым при расчете крыла конечного размаха [5]. Разобьем пластинку на N отрезков так, чтобы каждому отрезку
соответствовало, согласно тому, что C = -^-cos0, одинаковое приращение Д0 = 7-/N. Концы этих отрезков Д0 (по потоку) примем за точки непротекания С у, а середины — за точки Сг, где располагаются дискретные вихри:
4 = 4’cos"(1 — ; ^ = ircos-(l — j/N).
Вследствие того, что на задней кромке пластинки значение
(Cw) [см. (2)] обращается в бесконечность, система уравнений (1) оказывается незамкнутой (у = 1, 2, . . . , N— 1). Используя то, что
на задней кромке (0) = — т(2)(0) = —------------и полагая при-
1 — т
ближенно = к*1) (0) Ддг, где Д.\’ — длина последнего отрезка разбиения, получим недостающее соотношение
fid) " '
-L fi' -
■ N '
4Л/2 1 — '
За точки Сг, С в данном варианте принимались точки начала и конца отрезков разбиения. Результаты расчета показали, что
точность определения Г/1} И г!:) при 7V= const существенно возросла сравнительно с вариантом I. Однако при малом числе раз--' биений (N= 10) точность расчета оказывается недостаточной и тем меньше, чем ближе воздухозаборник к задней кромке профиля.
Вариант III. Оставив разбиение пластинки „по косинусу11, как в варианте II, выберем другое расположение характерных точек Cf и С,- на отрезках разбиения. Пусть точки и Су соответствуют точкам б; и 6у, лежащим соответственно на расстояниях -^-Д0и
3 ^
-^-Д0 от начала постоянных отрезков разбиения Д9 = тz/N.
Тогда
Ci=—rcos^-(^-4-)>
Снова примем за точки С/, С; точки начала и конца отрезков разбиения. Проведенные расчеты показали, что сравнительно с вариантом II точность опредения Г115 при vV= 10 существенно возросла. При TV = 100 значения Г*1) при i фN определяются практически точно при всех положениях воздухозаборника (т). При 7V= 10 сравнительно с N=100, когда 1ф 1; N, заметно ухудшается точность расчета почти всех дискретных вихрей. Погрешность же расчета и слабо зависит от числа разбиений, но оказывается всегда большой — соответственно примерно —20% и 50%.
Возникает вопрос, насколько правильным является то, что циркуляциям Г;1* ставятся в соответствие циркуляции Г/т, вычисленные по участкам, совпадающим с отрезками разбиения пластинки. Или, иначе говоря, вопрос о том, из каких же участков вихревого слоя на самом деле следует формировать дискретные вихри, когда вихревой слой заменяется системой дискретных вихрей. Выскажем предположение, что дискретные вихри формируются из одинаковых участков (при N-* оо) вихревого слоя, лежащих слева и справа от дискретных вихрей. В случае варианта II это выполняется. В вариантах I и III точки Сг не совпадают с серединами отрезков разбиения. При таком расположении точек формирование дискретных вихрей из симметричных участков вихревого слоя можно осуществить для всех вихрей, кроме первого и последнего (i=l; N), на долю которых остаются некоторые концевые участки вихревого слоя. Отбрасывая вариант I, приводящий к большим погрешностям дая{е при N= 100, применим высказанное предположение о формировании дискретных вихрей к варианту III, обозначив получающуюся модификацию этого варианта как вариант Шф.
Вариант Шф. В этом варианте циркуляции г!!) при 1ф\\ N следует поставить в соответствие циркуляцию lf> отрезка вихревого слоя, содержащегося между точками C;_i и Q
На долю циркуляции Г1т, сравниваемой^ ГІ^, остается участок вихревого слоя у носика пластинки, соответствующий изменению 9, равному уже не ъ/М, как в варианте III, а 3/4-тг/А/':
, 1 In 3 71 \
cos2-2-(V 4 Tv)
I
cos2-^
■^1 т 4ДА 2 ®А- л 1° ' “ Т ~ ■ (5)
С052^“ 6А,
На долю Г$Т) сравниваемой с Гл}\ приходится теперь более длинный участок вихревого слоя у хвостика пластинки, чем в варианте III, соответствующий изменению 6, равному 5/4-тс/ЛЛ:
1
Н1) 5 , 1 о ■ 1 1 8'П" ~2~0А?
. - да»
4 N
* °tg 2 9* + і cos2 / 0д А ' (7)
2 [А, дг I
cos2 •
Относя новые значения [см. (5)] и Г/Я [см. (6)] к прежним [см. (7)], получим при условии, что Аг»1,9л1 tgyQ А, С I,
следующие поправочные _коэффициенты сравнительно с вариантом III, при расчете Г*1' и Гд,1’ [см. (4)]: ■■ 3/4 + о («/./V); &Л,= (5/4)2 +
+ 0 (Тс/А0-
Отсюда следует, что если воспользоваться высказанным предположением о формировании дискретных вихрей, то погрешности расчета Г^ и Г$}, отмеченные в варианте III, практически исчезнут. Заметим, что величины циркуляций Г^, Г^ при этом остаются такими же, как в варианте III. Но при переходе к варианту Шф изменяется при N = const рассчитываемое распределение давлений по профилю, так как при ином формировании дискретных вихрей различаются отрезки хорды профиля, которые обслуживаются этими вихрями.
Полученные результаты расчета при сравнительно большом числе разбиений (N=100), говорят о том, что теорема Лифанова-Полонского [6] о сходимости численных решений к точным решениям интегрального уравнения Коши, доказанная при v{y](С)€// в случае варианта I численного метода, остается справедливой и для рассматриваемых здесь функций (С) класса Нг [1] и различных вариантов разбиения хорды и расположения характерных точек Сj.
При небольшом числе разбиений (N=10), как следует из рис. 1—3, наибольшую и притом достаточно высокую точность расчета распределения давлений по всей пластинке при любых положениях воздухозаборника обеспечивает вариант Шф.
р (/) 1 І 7 Ч N= 10; т=0,5 д I
ж J
1 д/ 1'п
л Д =^1 Д —і— Д 1_А_ — г=±=^ А—^
і Шф
і/ 0,5 с
-Ы2 О Ы7
Рис. 2
2. Крыло конечного размаха с воздухозаборником. Для приложения линейной теории обтекания крыла конечного размаха с воздухозаборником [1] и некоторой оценки эффективности использования при этом численного метода дискретных вихрей проведем сравнение результатов эксперимента с круглым крылом [2] и результатов расчета. Воспользовавшись тем, что радиус гвх среза центрального круглого щелевого воздухозаборника на модели крыла мал сравнительно с радиусом /? крыла [2], при теоретическом расчете заменим щелевой воздухозаборник точечным воздухозаборником в центре крыла, т. е. стоком с объемным расходом, равным объемному расходу Л<3 через щелевой воздухозаборник. Согласно [1] для такой задачи исходная вихревая поверхность, соответствующая источнику-стоку с расходом Д<3/2 в центре круглого крыла радиусом /?, состоит только из присоединенного вихревого слоя, представляющего собой вихревой диск, состоящий из концентрических, с центром в середине крыла, вихревых линий, интенсивность которых 7(2) = Д<3/2т:/-2, где г — расстояние до центра крыла. Вырежем из вихревого диска вихревое кольцо шириной с1г, циркуляция которого V
с1Т™ =
А(?
2тсг2
йг.
(8)
Введем полярные координаты г ив. Проведем через центр диска два диаметра под углами 0 и 0+сШ к поперечной оси г, проходящей через центр крыла, и отметим на ней точку А. Вычислим вначале скос потока с/г/у2) в точке А от той части вихревого диска, которая заключена между отмеченными диаметрами и состоит из двух секторов — верхнего и нижнего. Можно показать, что в соответствии с формулой Био-Савара от элемента вихревого кольца шириной йг и длиной сИ — гйЬ, лежащего в верхнем секторе, в точке А индуцируется скорость
д*/2) ____________г ~ г°С055 0
у в 8п2 г (г2 г2 _ 2г/0 сое 0)3/2
АС?
8л2
СОБ I ~0
г 2г1 г ■
1
г 1
+
1
1
2л, г-
йг —
й© <1г
/(/■-/-! )(Г-
■г2)
(9)
где г0 — расстояние до точки А, г, = гоег0, г2 = г0е~‘9.
От соответствующей площадки нижнего вихревого сектора, также лежащей на расстоянии г от начала координат, индуцируемая в точке А, скорость определяется формулами:
АС?
г + г0 сое (
Л<Э
Г (г2 + Гд + 2 ГГ0 СОБ СОБ © 1 11 11
~Т0 г 2г7 г-\-г1
\3 2
2г, г + Го
йг —
й© <2г
V (г + гг) (г + г2)
(10)
Для определения в точке А нужно вычислить главное значение соответствующего интеграла:
Используя соотношения (9) и (10), получим при r0—r0/R:
]/"] — 2 r0 cos (
8-2 ^2
соэ 0
In
■ cos 0 -f- Го
>'/"l + 2 г0 cos 0 + г?
сое 0
+
Го
1 — 2 r0 cos 0
го У 1 — 2 г0 cos 0 + г?
2r0 cos 0
/і
+ 2 .го cos 0 л?
d0.
' о и г * I “ ' и “ 1 о
Определение скорости Ъ(у\ индуцируемой в точке А всем вихревым диском, сводится к вычислению следующего предела:
|
v(y2) = lim
S-^0
-х/2
0 = г
Проведя соответствующие выкладки, получим
vf - - AQ Г х/2 /» cos 0 M cos0d6
* 4гі 2 R 2 r0 g У1 + і'І + 2 /'о cos 0 0 + rg — 2r0 cos 0
или, записывая через полные эллиптические интегралы первого
рода Г\ -^г , к\ = К{к) и второго рода £ Иг, к\ = Е(1г),
где р..
4 г0/( 1 + r0f: дд
(1 + ?0)E(k)
1+^о2
1 + го
K(k)
(11)
При малых значениях г0 справедливо следующее разложение:
Д Q
8л/?з П + 8 го + О(г0)
Отсюда следует, что при г0 -» 0 значение стремится к конечному пределу:
(2), .
<(+0) =
8тг/?2
(12)
Таким образом, если функции v(y), совпадающей с функцией v(y) [см. (11)] при г0фО, приписать при г0 = 0 значение (12), то она оказывается в окрестности источника-стока непрерывной и гладкой. Заметим, что это свойство г>у) существенно использовалось при построении линейной вихревой теории крыла конечного размаха с воздухозаборником [1]. Значение же при г0 = 0 равно бесконечности, так как через эту точку как бы протекает расход Д<3/2. При приближении к кромкам рассматриваемого крыла (г0 1) зна-
чение гА2> стремится к бесконечности как 1п (1—г0).
Так же, как и в случае профиля с воздухозаборником, расчет дополнительной вихревой поверхности, которая гасит скосы ъ(у] от исходной вихревой системы и обеспечивает непротекание крыла всюду за исключением точки г0 = 0, проводился на основе численного метода дискретных вихрей. При этом использовался вариант численного метода, аналогичный вариант у Шфдля профиля
с воздухозаборником (см. выше). Для построения системы П-образ-ных вихрей, изображающей искомую дополнительную вихревую поверхность, и выбора контрольных точек крыло делилось по закону косинуса на т полос линиями z = zj, параллельными оси х
и направленными по скорости Ux, где Zj — R cos тс(1-—Цт), j=l,..., от—1. Далее хорды bj в сечениях Z — Zj делились на N отрезков
также по закону косинуса: xtJ, = bj cos - (1 — i/N) при i— 1,..., N — I, где bj = 2 R sin тс(1—//от). Любому отрезку разбиения любой хорды при этом соответствует изменение аргумента косинуса Д0 = я/М На каждом отрезке разбиения отмечались точки, лежащие на расстояниях от начала, соответствующих ДО. Прямолинейные отрезки, соединяющие две такие точки при i = const, лежащие в соседних сечениях, принимались за присоединенные элементы П-образных скошенных вихрей, от которых отходят параллельно оси х свободные вихри. Далее отмечались точки на рас-
з
стояниях, соответствующих -|-Д0. Середины отрезков, соединяющих такие точки, лежащие в соседних сечениях при i — const, были приняты за контрольные точки, где выполнялось условие непротекания. Через Гу* обозначена циркуляция П-образного вихря, присоединенный элемент которого лежит на г-м отрезке разбиения у'-й полосы. Теперь для определения безразмерных циркуляций этих вихрей
_(1) 2kR_ (1)
1 и — AQ 1 Ч
„
нетрудно составить соответствующую систему линеиных уравнений и рассчитать значения Гг/. Далее принималось, что сила Y(i) = pUca Г;}1 dj, действующая в набегающем потоке со скоростью Uоо на присоединенный вихрь с циркуляцией (dj — ширина /-й
полосы), равна силе, действующей на площадку крыла Д5у = = Дx^dj, где длина площадки Дxtj при i=j= 1; N равна расстоянию между контрольными точками. При г=1 и i — N за Дх,; берутся соответственно расстояния вдоль оси х первой контрольной точки до передней кромки и предпоследней контрольной точки до задней кромки крыла. Для разности Др\У коэффициентов давлений pfjн и pf)в на нижней и верхней поверхностях площадки крыла Д5ф определяемых искомой дополнительной вихревой поверхностью, получаем формулу:
д;!1» = _L ___________________
2 <? гг . —
Z °кр 00 д Xlj
где
Ахи = Ахи^, Sкp = 7:R0-.
Введем для удобства величины Др\У, уже не зависящие от значений 5кр, ию, Д<3, входящих в коэффициент £>, который будем называть коэффициентом подобия:
где
д = дд/^со5кр.
(14)
Расчеты на ЭВМ, проведенные инженером Б. Г. Пьянзиным, показали, что при разбиении крыла на шесть полос (т—12) и сравнительно малом числе разбиений ^ = 10) результаты расчета Д оказываются достаточно точными, слабо отличаясь от результатов расчета при Л/= 20.
По выражению (8) нетрудно найти перепады коэффициентов давления Др(2) между нижней и верхней поверхностями крыла, определяемые исходным вихревым диском. Вводя соответственно
Из соотношений (13) —(15) следует закон подобия для распределения перепада коэффициентов давлений Ар — Ар{1) + Ар{2) по круглым крыльям, возникающих при работе точечных воздухозаборников, расположенных в центре крыльев:
Обозначая через ДУ, АМг приращения подъемной силы и продольного момента, соответствующие распределению Ар, получим
Замечая, что для рассмотренных крыльев ДСу и Атг■—некоторые константы, видим, что для таких крыльев при работе воздухозаборника приращение силы пропорционально I)т и Д<3 и не зависит от размеров крыла. Приращение же продольного момента пропорционально ио°, АС1 и первой степени характерного размера крыла. Нетрудно видеть, что закон подобия (16) остается справедливым в пределах применимости линейной теории [1] и для произвольных подобных крыльев конечного размаха, одинаково
—>•
ориентированных относительно скорости £/со, с произвольными, но подобными и подобно расположенными на крыльях воздухозаборниками, на которых реализуется подобное распределение расходов.
величины Ар{2\ получим
(15)
где
х = л:/2/?, 2=: г/2#.
Ар (X, 2, исс:., А<3, 5кр) = ОАр(х, г)=- Ар (х г), (16)
иоэ
где
Ар (X, г) = Арт (X, г) + ДР(2) {X, г).
АСу — ОАСу, Ат2 = 0Атг,
приходим к следующим формулам:
ДУ=^-РДСу{/соД<2, АМ^ — гЛтги^АСіУЗ^. (17)
Формулы (16) и (17) непосредственно применимы в случае подобных крыльев произвольной формы при одинаковом относительном расположении точечного воздухозаборника. _Для крыла данной формы функция Ар(х,г) и значения ДСу, Дтг будут зависеть от относительного положения точечного воздухозаборника. В случае подобных крыльев с надкрыльевыми (подкрыльевыми) воздухозаборниками при подобном расположении кромок воздухозаборников и подобном распределении нерасчетных расходов вдоль этих кромок, под величиной Д(3 в формулах (16) и (17) следует понимать полный нерасчетный расход через воздухозаборник. При
Эксперимент
14^=0,91 -а- 1,65
—°— т
Расчет
Рис. 4
Сечение 1=0,130 К
Ар(2]лр<1> -4- \±Гь‘Ь*
Л М
I 11
\ V * 1
0,3 \а У х/?Ц
/
I I
Рис. 5
Сечение, х-О
АР )\лр,г}лр(г>
100■
1 Л рг)
0 7 к —т 0, 3 1- г/Я
>г1х=15к
Рис. 6
этом Др (х, г), ДСу и Дтг зависят для данной формы крыла от формы и расположения кромок воздухозаборника и относительного распределения нерасчетных расходов вдоль них. В случае щелевых воздухозаборников в формулах (16) и (17) под ДС2 следует понимать полный расход через воздухозаборник 0вХ. Для подобных крыльев функция Ар(х,г) и значения АСу, Атг зависят как от формы и относительного расположения среза воздухозаборника на проекции крыла, так и от отнесенного к <3ВХ распределения расходов по срезу воздухозаборника.
Экспериментальные исследования круглого крыла с центральным круговым воздухозаборником [2] проведены при значительных объемных расходах (Звх через воздухозаборник. Соответствующие этим расходам средние относительные возмущенные скорости £/вх/£/<х> во всасывающем канале порядка 0,91; 1,65; 3,03. При этом, естественно, трудно заранее ожидать совпадения результатов
этого эксперимента с расчетом по линейной теории, в основе построения которой лежит условие достаточно малых возмущений. Определенное расхождение между расчетными и экспериментальными результатами может возникнуть и за счет того, что при расчетах круговой воздухозаборник заменялся точечным. Поэтому вблизи воздухозаборника безусловно должно иметь место расхождение теоретических и экспериментальных распределений давлений.
Результаты измерения перепадов коэффициентов давлений Др по крылу вследствие работы воздухозаборника показали, что значения Др существенно изменяются в зависимости от параметра ивх/иоо [2]. Однако, если положить Д(3 = <3ВХ и воспользоваться коэффициентом подобия 0—С}вх1иоо5кр1 [см.5 (14)], следующим из
линейной теории, то величины Д/7— Ар/И уже слабо зависят от параметра £/вх,/[/м (рис. 4—6). На рис. 4—6 построены также теоретические значения Др{2) (сплошные линии) и Д/?(1) (пунктирные), соответствующие круглому крылу с центральным точечным воздухозаборником. Видно, что экспериментальные значения Др и теоретические значения Ар = Арт Д/?(2) удовлетворительно согласуются между собою в области, не близкой к воздухозаборнику, особенно при меньших значениях параметра ивх/иоо=0,91 и 1,65.
Краткое изложение настоящей работы опубликовано в статье [7].
ЛИТЕРАТУРА
1. Шурыгин В. М. Линейные вихревые теории профиля и крыла конечного размаха с воздухозаборником. „Ученые записки ЦАГИ“, т. XII, № 1, 1981.
2. Арнольдов В. Н., П а в л о в е ц Г. А., Р а ж и н А. Ф., Савинов А. А. Влияние воздухозаборника подъемного двигателя на аэродинамические характеристики крыла. „Известия АН СССР, МЖГ“, 1969, № 3.
3. Белоцерковский С. М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке. М., „Наука”, 1965.
4. Шурыгин В. М. Аэродинамика тел со струями. М., „Машиностроение", 1977.
5. Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К. Аэродинамические производные летательного аппарата и крыла при дозвуковых скоростях. М., .Наука", 1975.
6. Лифанов И. К., Полонский Я. Е. Обоснование численного метода дискретных вихрей решений сингулярных интегральных уравнений.' „ПММ“, т. 39, вып. 4, 1975.
7. Шурыгин В. М. Линейные вихревые теории профиля и крыла с воздухозаборником. ДАН СССР, т. 250, № 4, 1980.
Рукопись поступила 23/ VII 1979 г.
