CC BY
63
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
То м V 1974 М3
УДК 532.527 532.55
ОБТЕКАНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА СДВИГОВЫМ СЛОЕМ В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОТОКЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
В. С. Садовский
На примере кругового цилиндра излагается метод решения задачи обтекания плоского тела равномерно завихренным (сдвиговым) слоем идеальной несжимаемой жидкости, вне которого течение остается потенциальным. Ситуация, близкая к рассматриваемой, возникает при обтекании цилиндра в следе за телом.
Приведены некоторые результаты численных расчетов параметров течения в зависимости от величины вихря и толщины сдвигового слоя.
, 1, Интерес к теоретическому исследованию обтекания тел
завихренным потоком в рамках теории идеальной несжимаемой жидкости в последние годы существенно возрос. Свидетельством этого может служить увеличившееся количество публикаций на эту тему.
Первые решения задачи обтекания плоских тел потоком с постоянной завихренностью во всем поле течения принадлежат
С. А. Чаплыгину [1—3]. После выхода в свет работы Цзяна [4] количество исследований по этому вопросу неуклонно возрастает. Среди более поздних публикаций для случая постоянной завихренности в потоке следует отметить [5], а также работу [6], в которой дано обобщение задачи Чаплыгина [1]. Течения с нелинейным профилем скорости невозмущенного потока рассматриваются, например, в статьях [7, 8].
Необходимо отметить, что все известные решения задачи обтекания тел вихревым потоком получены для случая, когда величина вихря при удалении от тела в поперечном направлении относительно вектора скорости невозмущенного потока либо постоянна, либо возрастает, результатом чего является неограниченное увеличение скорости жидкости при удалении от тела. Поэтому,, несмотря на то» что эти рещения локально, в окрестности тела, имеют физический смысл, все же в количественном отношении они мало пригодны, так как не известно, какой скорости невозмущенного потока ставить в соответствие получаемые на их основе результаты.
Целью настоящей работы является изложение метода расчета задачи обтекания цилиндрических тел таким потоком жидкости, в котором завихренность имеется лишь на проходящих вблизи тела линиях тока. В остальной же части течение является потенциальным с ограниченной величиной скорости. Естественно, что при этом возникает необходимость в склеивании вихревого и потенциального потоков жидкости.
Течения, близкие к рассматриваемому, возникают в действительности при обтекании тела следом, образованным другим телом.
2. Рассмотрим обтекание кругового цилиндра идеальной несжимаемой жидкостью по схеме, представленной на фиг. 1, где слева изображен заданный профиль скорости невозмущенного
потока. (Все линейные размеры отнесены к радиусу цилиндра R, а компоненты скорости — к величине скорости и«, потенциального течения вдали от тела). Часть потока (область Е на фиг. 1), заключенная между линиями тока, проходящими через точки А и В, и поверхностью цилиндра, образует сдвиговый слой, в котором вихрь 2 задан соотношением
2 = — ш sign_y. (1)
Здесь «о = const; для профиля скорости, изображенного на фиг. 1, о)>0. За пределами области Е, симметричной относительно оси X, вихрь равен нулю. На внешней границе сдвигового слоя L осуществляется склеивание равномерно завихренного и потенциального потоков. Поле скоростей предполагается непрерывным.
Для функции тока ЧГ возникает следующая краевая задача. Определить W {х, у), удовлетворяющую уравнению
v4"s,8T ) <2>
(где v — оператор Гамильтона), и граничным условиям:
а) ось X и поверхность цилиндра являются одной и той же линией тока, т. е.
' V\\x\>i = Vm<i =0;
\у=о
у—± Y1-.
Л*
б) при л: = + оо задан профиль скорости:
дх — ’ <Эу —\l-fo) (|^| — 8), |.у|<8;
в) внешняя граница вихревого слоя состоит из двух линий тока, т. е.
Помимо этого, требуется непрерывность ЧГ, а также ее произ'
dW . .
водных (т. е. компонент вектора скорости) на линиях
тока L, отделяющих вихревой поток от потенциального.
В задаче имеется два свободных параметра: 8 — полутолщина сдвигового слоя вдали от цилиндра и ю — величина вихря в слое {вместо <о вторым параметром можно взять величину скорости невозмущенного потока на оси X, связанную с <» соотношением: V0= 1-ш8).
Линейность уравнения (2) позволяет искать решение в виде суммы отдельных слагаемых. В данном случае искомую функцию ЧГ (х, у) представляем в виде
чг = чг0 + 'Р1+Т2. (3)
Здесь Ч?0 =у — функция тока равномерного плоскопараллельного потока с единичной скоростью. Второе слагаемое
^ = i -У sign 71 In rdS (г = У(х~ + (У~Г1? (4)
представляет собой функцию тока течения, создаваемого распределенными в сдвиговом слое вихрями, и является логарифмическим потенциалом площади. По поводу этого слагаемого отметим следующее. Известно, что если вихрь 2 отличен от нуля в некоторой области S, то его вклад в функцию тока представляет собой
v—¿-Я01“ г** ®
S
причем в случае 2 = const область S, очевидно, должна быть конечной. Выражение (4) для Ч^ получается при формальном применении формулы (5) к области, имеющей неограниченную протяженность в одном направлении — оси X. Легко видеть, что при £ -+ оо подынтегральное выражение в (4) имеет порядок О (£~2), и интеграл на бесконечности сходится. Поэтому 4Tj удовлетворяет обычному для функций вида (5) уравнению
«г / sign>/, _уеЕ;1 **** = { О, J-6E.1 <6>
Третье слагаемое в (3) вводится для удовлетворения условия непротекания на поверхности тела. Так как у2 ^0 = 0, то из (2)
sin Я
и (6) сразу следует: v2^2 = 0> т. е. функция ЧГ2 является гармонической во всем поле течения. На поверхности цилиндра ¥ (х, у)=О,, и для граничного значения Ч^ из (3) получаем:
¥25(1, e)==-sine_¥,s(l, 6) =
= — sin 0 — jj sign •»! Indicos 6 — E)2-(- (sin 6 — r¡)2dl dy\. (7}
Здесь и в дальнейшем р, б — полярные координаты точки.
Если воспользоваться теперь интегралом Пуассона для внешности круга, то ^ может быть представлен в виде
2тс
У, (р. <0-éj _-.)<*■=
-4^- j [ j j sign Y¡ ln Y(% — eos a)2 + (tj— sin a)2 d%dn\X ■ 0 2
>/ (P2~l)¿g (R\
P® + l—2p eos (8 - a) * V3'
С учетом (8) и (4) искомая функция тока ЧГ (х, у) определяется следующим выражением:
W (х, у)=у (l — — sign r¡\í\ г dí di¡-
“ iÜh j [jjsign-»)lnVr(| — COSa)2-f (r¡ — sinaydtd-q] X
V______(ps 1) da________ /QV
Л P2+ 1—2p COS (6 — a) •
(Как и следовало ожидать, при ш = 0 соотношение (9) переходит в хорошо известную функцию тока потенциального течения около-цилиндра единичного радиуса). ‘
Подводя итоги, замечаем, что функция двух переменных (9) удовлетворяет уравнению (2) и полностью определяется лишь заданием границы области £, т. е. функцией _у= + 8 (х). Остается проверить, выполняются ли при этом краевые условия (а — 6), ибо склеивание потоков на границе L осуществляется в силу известных свойств непрерывности функций Ч^ и Ч!^. Из условий (4) и (8) и способа определения ЧГа следует, что граничное условие а выполняется автоматически. Покажем, что условие б также выполнено. В силу известных свойств интеграла Пуассона для внешности круга ;
<^2 А
-ЛГ = 1ЬГ = 0 при 2==ос-
Очевидно, что ^-==1, ^- = 0. Поэтому условие б будет выполнено, если функция тока ЧГ1 создает при л:=±оо следующий профиль скорости:
<ж,
Точно такой же профиль скорости, однако, уже во всем поле течения, создает сдвиговый слой с постоянным поперечным размером 28, симметричный относительно оси ^ и с распределением вихря по закону (1). Но так как сдвиговый слой, возмущенный цилиндром, асимптотически (по л;) стремится к указанному выше (назовем его невозмущенным), то ясно, что профили скорости при х-++со у них должны совпадать. Строгое математическое .доказательство этого утверждения получено, однако, здесь мы его вынуждены опустить из-за достаточно большого объема выкладок. Приведем лишь основной ход доказательства. Составляется разность между компонентами скорости I например — созда-
ваемыми возмущенным и невозмущенным сдвиговыми слоями, и в двойном интеграле проводится интегрирование поперек слоев. Оставшийся интеграл по продольной координате разбивается на три части:
-ЛГ N 00
|д«х1= 1 + 1+1
—оо —/V Ы
тде 0 — некоторое фиксированное число.
Если выбрать теперь произвольное, сколь угодно малое число ■е й зафиксировать у, то можно указать такое N и так выбрать
Э что при х^х# средний интеграл по модулю будет меньше е/3 (в силу того, что этот интеграл при х-» + оо стремится к нулю при фиксированных N и у). Далее, при выбранном N методом оценок удается показать, что первый и третий интегралы по модулю меньше е/3 при достаточно больших х~^>х^^. Выбирая теперь х0 = тах {х*, х**}, получаем, что для любого наперед заданного е при х>х0 разность ¡Дг^Ке. Тем самым доказываем совпадение профилей скорости при х -*■ со, создаваемых возмущенным и невозмущенным сдвиговыми слоями. Заметим, что асимптотическое поведение границы возмущенного телом слоя 8 (х) -* 8 при л оо является несущественным. .
Итак, с учетом всего сказанного, функция ¥ (х, у) обеспечивает выполнение и краевого условия б. Далее известно, что •определяемая интегралом Пуассона гармоническая функция при г сю стремится к некоторой константе. Но так как рассматриваемое здесь течение симметрично относительно осей X, У, то из (7) следует ■
ЧГ25(1, 0) = Чр85(1, *-0) = -¥25(1, -0) (О<0<*/2),
-а это означает, что '
1 ¥2в</0 = О,
о
и, следовательно, константа, являющаяся предельным значением ¥2 при х -*■ оо, также равна нулю. Поэтому вдали от тела значения ¥ (х, .у) полностью определяются профилем скорости б:
{у [1—ш (8 — |.у|/2)] |.у|<8;
П< = 00 =
у — Signj/ Ы>8.
Воспользуемся теперь оставшимся граничным условием в. Приравняв ¥ (х, у) ее значению при х = оо, 3/ = 8, получаем интегро-дифференциальное уравнение для нахождения единственной неизвестной функции у = 8 (л), которое удобно записать в виде
^ у = ‘(1-?) + -^7--^[|л,л + ?л!л] +
+ £2 ^пг,1п [(?—сое а)2+(-»]— $\по.у](&йг\
(И)
б - £ ^р2+1—2рсОб(0—а) ’
1п=РО, 42. *> У)~р (6. 4). X, 3/), /12=^ (6, Ъ> х, у)— /=■ (I, 0, *, у)\ Р%У[,х,у)={ч[-у) {1п [(х-|)2+(т|— _у)2] + 1п[(*+&)2+(1Г)-у)2]} —
- (ц+у) {1п [(Х-1У Нч+У)2] + 1п [(X + Ю2 + (7, + у)*}} +
+2 (х - Е) [аг^ — агс!ё 4зу] +
+2 (х + 6) [агс18 ^ - агс1ё .
Здесь ^, = 1/1—I3; [х, _у = 8(*)] и [£, т]2 = 8 (£)] —соответственна фиксированная и скользящая точки линии тока ¥ = 8 (1 —0)8/2), а в выражении- для произведено интегрирование поперек слоя.
Решение уравнения (11) дает одновременно и решение поставленной задачи в целом.
3. Уравнение (11) решалось численно на ЭЦВМ БЭСМ-6 методом последфвательных приближений. Алгоритм решения следующий: если 8' (х) — I — приближение, то первоначально вычисляется Чг25 по формуле (7), а затем из соотношений (11) находится (г+1)— приближение. Интегрирование по ? в (11) осуществлялось следующим образом: на отрезке [—-/V, А^] значение интеграла определялось численно, а на интервалах [—оо, — А/) и {Ы, оо) — аналитически. При этом считалось, что 8‘(Е) = 8. Численное значение константы А^ выбиралось экспериментально так, чтобы при % — N отличие 8 (Е) от 8 составляло не более 0,05%. При типовых расчетах величина N находилась в интервале 51<!А,^91 (в зависимости от значений параметров 8, 1/0). Функция 8г (х) на отрезке [—А/, А^] задавалась таблично в узловых точках х} с переменным шагом по х. Новые значения _у = 8‘+1(л:) вычислялись в тех же узловых точках.
Результаты обширного численного эксперимента показали, что в исследованном диапазоне параметров 8 и ш решение уравнения (11) единственно. При этом сходимость итерационного процесса существенно зависит от величин 8 и И0. Оказалось, что при больших 8 (8^1) и 1/0>0,25 итерации сходились к решению (независимо от выбора нулевого приближения) очень быстро. Достаточно было ~ 10—20 итераций, чтобы 8г (л:) совпадало с с точностью до восьмой значащей цифры. В то же время для 8 <0,75 и У0<0,15 выбор хорошего начального приближения был необходим для получения решения уравнения (11). Любопытно, что, например, при 8=1 и 1/0 = 0,1 ни при каком выборе начальной итерации решения получить не удалось, так как итерационный процесс неизменно расходился. Делать из этого выводы о несуществовании решения при небольших значениях параметра 1/0 неправомерно, так как в этом случае существенное значение приобретают вопросы организации численного счета, которые исследованы еще недостаточно полно.
При известном положении границы сдвигового слоя _у = 8(л:) все необходимые характеристики сложного течения определяются
просто. Например, компоненты вектора скорости находятся дифференцированием выражения (9) и последующим численным интегрированием по одной координате.
Для иллюстрации работы метода на фиг. 2—5 приведены некоторые расчетные данные для двух значений параметра 8: 8=0,75 и 1,00. На фиг. 2 представлен профиль скорости течения при х=0. Он имеет характерный излом на границе сдвигового слоя. Если за пределами слоя величина скорости мало отличается от скорости,
соответствующей чисто потенциальному обтеканию цилиндра ((ц = 0), то в завихренной части потока отличие становится значительным. Видно, что в сдвиговом слое величина скорости может быть существенно меньше, чем в соответствующей точке потенциального потока. С увеличением ш профиль все более приобретает вид, характерный для пограничного слоя.
Наглядное представление о распределении скорости по поверхности цилиндра дает фиг. 3. С уменьшением 1/0 величина скорости в области наибольшего утолщения контура монотонно уменьшается. В то же время в окрестности критических точек (—1,0) и (1,0) довольно быстро развивается зона возвратного течения с замкнутыми линиями тока. На поверхности цилиндра появляются дополнительные четыре точки растекания с нулевой скоростью. Еще две критические точки появляются на оси X перед
Ъ
2,0
1,0
В
цйлиндром и за ним. Протяженность зоны возвратного течения по х очень быстро возрастает с уменьшением 1/0 (фиг. 4)г Прц 1/0 -*■ 0 дополнительные критические точки на оси х уходят в бесконечность, и зона возвратного течения становится незамкнутой. При «><0 зона возвратного течения отсутствует. ,
Было проведено сравнение распределения скорости по поверхности цилиндра с рассчитанным по решению Чаплыгина [1] (для потока с постоянным вихрем во всем поле течения). Оказалось, что при одинаковых значениях (в и 1^0 в полностью завихренном потоке [1] величина скорости существенно больше, чем в рассматриваемой здесь задаче. (Например, при 8 = 0,25, си = 12/7 и 1/0 = 4/7 отношение максимальных скоростей на поверхности цилиндра для
указанных случаев превышает 2). Таким образом, характер течения вдали от тела существенно влияет на решение в окрестности тела.
На фиг. 5 представлено распределение скорости и вдоль оси х.
4. Выше был предложен метод решения задачи обтекания кругового цилиндра находящимся в потенциальном потоке сдвиговым слоем с, постоянной завихренностью. Этот метод легко обобщается на случай обтекания таким же потоком плоского тела
с произвольным (но симметричным относительно оси X) замкнутым профилем. При этом выражения для функций ЧГ0 и Ч^ остаются теми же, а для восстановления гармонической функции ЧГ2 по ее граничному значению на контуре достаточно знать конформное отображение внешности рассматриваемого контура на внешность круга. Как известно (см. например [9]), в этом случае ЧГ, записывается явно в виде интеграла, аналогичного (8). Все остальное переносится из предыдущих пунктов без изменения.
Представляется возможным также дальнейшее обобщение рассмотренного метода на случай контура, несимметричного относительно оси х. Решение предлагается искать в виде (3), где Чг0=у. Функция Щ записывается в виде
где Чо “/(5) — уравнение линии тока, приходящей на контур, Ч1^ по-прежнему восстанавливается по граничному значению на контуре. Единственное, но существенное отличие от предыдущего будет состоять в том, что увеличивается количество неизвестных, определяющих решение: неизвестными являются две линии тока, отделяющие вихревой поток от потенциального, линия тока, разделяющая вихревые слои с противоположной по знаку завихренностью, а также значение функции тока на поверхности тела. Если зафиксировать ЧГ (я, у) на одной из указанных линий тока, то удается получить количество уравнений, равное количеству неизвестных. Как и ранее, уравнения для трех неизвестных линий тока являются интегро-дифференциальными и можно предложить итерационный метод их совместного решения. К сожалению, расчеты какого-либо конкретного течения указанного типа еще отсутствуют, поэтому приходится ограничиться сказанным выше.
1. Чаплыгин С. А. Вихревой поток, переливающийся через препятствие в форме круглого полуцилиндра. Собрание сочинений,
т. II, ОГИЗ, 1948. *
2. Чаплыгин С. А. Поток, обтекающий с непрерывными скоростями забор с образованием постоянных вихрей впереди и позади забора. Собрание сочинений, т. II, ОГИЗ, 1948.
3. Чаплыгин С. А. К теории метелей. Собрание сочинений, т. II, ОГИЗ, 1948.
4. Т s і е n H. S. Simmetrical Joukowsky airfoils in shear flow. Quarterly of applied Mathematics, vol. 1, № 2, 1943.
5. К1 у a M., Arie M. A free-streamline theory for bluff bodies ■attached to a plane wall. J. Fluid Mech., vol. 56, part 2, 1972.
6. Ярмицкий А. Г. Обобщение задачи Чаплыгина о вихревом потоке, обтекающем полуцилиндрическую поверхность. „Изв. АН СССР, МЖГ\ 1969, № 4.
7. Якимов Ю. Л. Движение цилиндра в произвольном плоском потоке идеальной несжимаемой жидкости. ,Изв. АН СССР, МЖГ\ 1970, № 2.
8. Цельник Д. С. Обтекание кругового цилиндра некоторыми вихревыми потоками с непостоянной завихренностью. „Изв. АН СССР, МЖГ*, 1973, № 3.
9. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М., »Наука*, 1965.
ЛИТЕРАТУРА
Рукопись поступила 18jIX 1973 г.
