CC BY
50
_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Т о м I 197 0
№ 6
УДК 532.5.032
О ВТОРОМ ДИССИПАТИВНОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ И СЛЕДЕ В ВЯЗКОМ ТЕЧЕНИИ ОКОЛО ТЕЛА*
Г. И. Таганов
Исследуется вязкая диссипация кинетической энергии жидкости вне пределов прандтлевского пограничного слоя и следа. В дополнение к результатам работы [1], согласно которым этим видом диссипации определяется асимптотический закон сопротивления цилиндрического тела (плоское течение) со стационарной срывной зоной при Ие -» оо, выясняется определяющая роль вязкой диссипации вне прандтлевского пограничного слоя в формировании закона сопротивления в области умеренных чисел Рейнольдса также и при безотрывном обтекании. Так как основная часть вязкой диссипации этого вида происходит в сравнительно узком, хотя и сопоставимом по порядку величины с размером тела, втором диссипативном слое, анализ влияния этого слоя на течение в целом проводится с использованием таких интегральных понятий, как толщина вытеснения и толщина потери импульса второго диссипативного пограничного слоя и следа.
С новой точки зрения при умеренных числах Рейнольдса (Ие>1) рассмотрены обтекание передней кромки пластины (течение Блазиу-са), кругового цилиндра и сферы.
Прандтлевский вязкий пограничный слой, внутри которого происходит переход от скорости, равной нулю на поверхности жесткого тела, к скорости порядка скорости невозмущенного потока на внешней границе слоя, а также след за телом обеспечивают ту скорость вязкой диссипации кинетической энергии жидкости, которая необходима для объяснения наблюдаемого в широком диапазоне больших чисел Рейнольдса закона сопротивления вида сх—Не-1/2 при безотрывном обтекании тел.
При появлении отрыва и образовании стационарной срывной зоны, как показывает опыт и численные решения уравнений Навье— •Стокса, сопротивление тела не определяется уже законом сопротивления вида сх—Не_1/2, и до последнего времени было неясно, каков асимптотический закон сопротивления тела со стационарной срывной зоной при Ие -»оо. Рассмотрение некоторых моделей стационарных течений со срывными зонами, проведенное в работе [2], позволило значительно сузить диапазон возможных законов сопротивления для симметричного цилиндрического тела с конечным
* Статья публикуется в порядке обсуждения.
линейным размером поперечного сечения. В предельном вязком течении со стационарной срывной зоной, рассмотренном в работе [1], при Ие —>оо вязкая диссипация происходит не в прандтлевских слоях трения (отсутствующих в предельном течении), а во внешнем невихревом течении, обтекающем срывную зону, и внутри срывной зоны, где имеет место течение с постоянной завихренностью. Соответствующий этой скорости вязкой диссипации закон сопротивления, как оказалось [1], имеет вид сх—Ке-1.
Два обстоятельства, связанные с исследованием вязкой диссипации во внешнем, приближенно невихревом течении, оказались важными для дальнейшего:
1) величины скорости диссипации и силы сопротивления не зависят от линейного размера цилиндрической области, обтекаемой внешним плоскопараллельным потоком;
2) основная часть диссипации происходит в сравнительно узком, расположенном вблизи обтекаемой области, диссипативном слое. Поэтому для анализа влияния этого слоя на течение в целом могут быть использованы интегральные понятия толщины потери импульса и толщины вытеснения диссипативного слоя и следа, аналогичные соответствующим понятиям прандтлевского пограничного слоя, оказавшимся столь плодотворными при исследовании взаимодействия пограничного слоя с внешним течением.
Эти два обстоятельства существенно упрощают вычисление диссипации вне пределов прандтлевского пограничного слоя и делают реальной попытку освободиться от постулата классической модели Прандтля о невязком характере внешнего, поправленного на толщину вытеснения пограничного слоя, течения около тела, препятствующего, на наш взгляд, использованию этой модели для количественного описания вязких течений при умеренных числах Рейнольдса. Отказ от этого постулата и введение понятия второго диссипативного слоя, т. е. переход к двухслойной модели вязкого течения, позволяет не только выяснить физический механизм перестройки вязкого течения с изменением числа Рейнольдса в области 1 < 1?е < 100, ранее недоступной для анализа, но и получить количественные результаты, согласующиеся с экспериментальными данными и данными численных решений уравнений Навье — Стокса.
Так, например, иное, отличающееся от принятого в настоящее время, теоретическое объяснение получает вопрос о появлении в экспериментальном законе сопротивления для пластинки, обтекаемой под нулевым углом атаки, члена Дсх — Ие^1 при изменении числа Рейнольдса от 1000 до 1.
Сопоставление законов сопротивления, полученных в настоящей работе для случаев безотрывного обтекания кругового цилиндра с пассивной подвижной поверхностью (плоский аналог газового пузыря в жидкости), отрывного обтекания жесткого кругового цилиндра, с известными экспериментальными данными и данными численных решений уравнения Навье — Стокса свидетельствует об определяющей роли вязкой диссипации вне пределов прандтлевского пограничного слоя в формировании течения в целом и закона сопротивления при умеренных числах Рейнольдса.
Некоторые в известной мере неожиданные оценки получаются, если применить идеи двухслойной модели для приближенного описания вязких течений при малых числах Рейнольдса (Ие < 1). Тогда
мржно прийти к модельному асимптотическому (при Re -»0) закону сопротивления для цилиндрических тел сх — 2cReJ1 (d—-максимальный размер сечения тела), согласно которому коэффициент сопротивления не зависит от формы поперечного сечения тела. Однако известные экспериментальные законы сопротивления для таких двух, столь сильно различающихся по форме поперечного сечения тел, как плоская пластина, обтекаемая под нулевым углом атаки, и круговой цилиндр, становятся при Red<l действительно очень близки друг к другу, так что единственно неожиданной остается их близость к модельному асимптотическому закону.
§ 1. ДВИЖЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ТЕЛА С ПАССИВНОЙ ПОДВИЖНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ В ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ
жидкости
Для того чтобы исключить из анализа вязкую диссипацию внутри прандтлевского пограничного слоя, рассмотрим искусственный случай движения цилиндрического тела, форма сечения которого симметрична относительно оси, совпадающей с направлением поступательного движения, а поверхность тела легко подвижна, так что скорость движения поверхности в каждой точке ее самоустанавливается так, чтобы совпасть по величине и направлению с местной скоростью вязкой жидкости, обтекающей тело, без совершения при этом работы. Граничные условия —непротека-ние через поверхность и равенство нулю работы элемента подвижной поверхности при перемещении вдоль контура тела, используемые в рассматриваемом искусственном случае, — совпадают с известными граничными условиями непротекания и скольжения, используемыми в задаче обтекания газового пузыря, движущегося в вязкой жидкости. Поэтому рассматриваемый искусственный случай является плоским аналогом известной осесимметричной задачи (см. § 4).
Пусть скорость движения тела — их, поперечный размер сечения тела — d, плотность жидкости — р, вязкость — [д..
Известна теорема: всякое безвихревое течение идеальной несжимаемой жидкости является возможным течением для вязкой несжимаемой жидкости. Эта теорема следует из того, что при существовании потенциала скорости члены с ^ в уравнениях Навье — Стокса тождественно обращаются в нуль. При граничном условии прилипания, используемом обычно в задаче обтекания жесткого тела, эта теорема мало что может дать, поскольку априори течение в этом случае становится сильно завихренным. Однако граничное условие скольжения на поверхности тела априори не связано с появлением сильной завихренности течения. Более вероятным в этом случае, при „включении* вязкости в первоначальном потенциальном течении идеальной жидкости около тела, кажется появление размазанной по течению слабой завихренности, не препятствующей использованию приведенной выше теоремы для приближенного вычисления диссипации в точках вязкого слабозавихренного течения по кинематике соответствующего ему потенциального течения идеальной жидкости. Будем считать исходным для исследования вязкого течения при убывании числа Рейнольдса потенциальное течение идеальной жидкости около тела, т. е. течение при Red -*■ оо.
3—Ученые записки N° 6
33
Можно определить вязкую диссипацию во всей области Е течения по известной формуле
п- ГГ п / ди \2 „ / дч) V . /ди
2Ы+ Ы +(^
дю V
дх
йхйу. (1.1')
Переходя к безразмерным величинам
и
Иаа
V
X
х - V
из (1-1') получим: Е — \ш1о 11
2( +2 ^
дх / \ ду
ди
1у
дъ 4 2 дх
йхйу = \iulaC, (1.1)
где с — число, зависящее только от формы сечения цилиндрического тела, которое будем называть в дальнейшем диссипативным
коэффициентом.
Из закона сохранения энергии в установившемся поступательном движении тела с пассивной подвижной границей следует, что сила сопротивления X, действующая на тело, может быть определена из равенства
Хиоо^Е (1.2)
или, с учетом (1.1),
X = {1^оо с. (1.3)
Как видно, в плоскопараллельном течении вязкая диссипация, а следовательно, и сила сопротивления не зависят от размера с1 тела. При стремлении размера (1 тела к нулю сила сопротивления остается постоянной и, следовательно, происходит неограниченное увеличение коэффициента сопротивления тела, отнесенного к единице длины цилиндрического тела и размеру й тела:
2Х
где
рйоо
2 »
Р^ОО &
= 2С Ива
(1.4)
При рассматриваемых граничных условиях тело будет испытывать сопротивление только при соответствующем изменении распределения давления на поверхности тела. Чем обусловлено это изменение распределения давления? Очевидно, оно обусловлено деформацией первоначально построенного потенциального течения около тела. С появлением силы сопротивления у тела в несжимаемой жидкости при больших и умеренных числах Ие неизбежно связано появление следа за телом. Толщина потери импульса в следе на бесконечном удалении за телом Зоо связана с сопротивлением тела известным соотношением, следующим из теоремы количества движения:
А — рМос ^оо,
(1.5)
где &£=|и(1—и)йу.
~ =сКе7\ (1 -6)
а
Степень деформации течения около тела связана с относительной величиной толщины вытеснения следа Ка/й. Как известно, толщина вытеснения в дальнем следе асимптотически стремится к толщине потери импульса, т. е. 8« = 8м-
Для оценки влияния толщины вытеснения следа на картину течения в целом воспользуемся приемом, оказавшимся столь плодотворным при исследовании взаимодействия прандтлевского пограничного слоя и следа с внешним потенциальным течением,— наращиванием к телу толщины вытеснения и построению нового потенциального течения около полутела, имеющего толщину на бесконечном удалении•от тела, равную боо.
Для получения наглядной картины влияния диссипативного следа на течение в целом рассмотрим обтекание кругового цилиндра диаметром й с пассивной подвижной поверхностью.
Для потенциального течения около кругового цилиндра величина диссипативного коэффициента с оказалась равной и соотношение (1.6) для этого случая примет вид:
л**8
-22_ = 8?г Ие^1. (1-7)
Если не учитывать изменения диссипативного коэффициента с с изменением формы полутела вытеснения, то из (1.7) можно получить следующие данные. Если при Ие^=104 деформация течения в целом ничтожно мала, поскольку толщина полутела составляет всего четверть процента от диаметра цилиндра, то при 1^=100 толщина полутела составляет уже 25% диаметра цилиндра, и неизбежна заметная деформация течения. При Ие^^; 25 толщина полутела равна диаметру цилиндра, и течение имеет мало общего с первоначально построенным течением.
Что же касается чисел Ие порядка единицы, когда толщина полутела в 25 раз превышает диаметр цилиндра, то термин деформация не подходит для описания ситуации: течение полностью определяется фиктивным полутелом.
Здесь уместно ответить на возникающий в связи с этими оценками вопрос: вязкая диссипация происходит во всем поле течения около рассматриваемого тела, допустимо ли пользоваться понятиями, аналогичными понятиям прандтлевского пограничного слоя (8*, 8**) в случае, если толщина предполагаемого диссипативного слоя значительно превосходит размер тела? Выясним этот вопрос на примере обтекания кругового цилиндра.
На фиг. 1 представлена вычисленная зависимость отношения вязкой диссипации Еп происходящей в кольцевой области течения,
ограниченной цилиндром радиусом й/2 и окружностью радиусом гг к полной диссипации Е во всей не ограниченной снаружи области Е течения от относительного радиуса 2г\й. Как видно, основная часть диссипации происходит в сравнительно узком кольцевом слое, примыкающем к границам тела. Толщина этого слоя при
больших числах Ие^ составляет приблизительно (I. Кроме того,
профиль диссипации поперек кольцевого слоя напоминает соответствующий профиль в прандтлевском пограничном слое.
Таковы физические основания для введения понятия второго диссипативного пограничного слоя при исследовании обтекания тел потоком вязкой жидкости.
На фиг. 2 изображена схема течения около кругового цилиндра при таких умеренных числах Рейнольдса, когда вязкими напряжениями вне зоны максимальной диссипации можно пренебречь, а вытесняющеедей-ствие диссипативного следа еще слабо деформирует течение около изолированного кругового цилиндра. Штрих-пунктирными линиями здесь изображены положения условной границы второго диссипативного слоя и следа, совпадающей с линией тока, проходящей через условную границу зоны максимальной диссипации вблизи тела (пунктир) при Ней^>1 и Яе^ оо. Тонкими линиями изображены контуры полутела, построенного с учетом вытесняющего действия второго диссипативного слоя. На фиг. 2 представлены также профили постоянной Бернулли поперек диссипативного слоя в двух сечениях (ф — функция тока), которые дают представление о физической картине течения внутри диссипативного слоя*. При малых числах Рейнольдса (Яе^^ 1 и {^<1} граница диссипативного слоя значительно отходит во вне от линии тока, проходящей через исходную границу зоны максимальной диссипации вблизи тела не только из-за деформации исходного тече-
* Легко показать, применяя (1.1) к элементарной трубе тока, что при больших числах Ие уменьшение постоянной Бернулли из-за вязкой диссипации со-
2
ставляет в рассматриваемом сечении в величину С ------,
где С = 2Ие.
ди
, ди V
2 —— +2 ,
дх I \дх
+
ди
ду
ди
дх
еИ
V И2 + V2
а интегрирование ведется вдоль заданной линии тока (й1 — элемент длины линии тока).
ния, но также и за счет вязких напряжений, действующих вне пределов зоны максимальной диссипации.
Таким образом, и при умеренных, и при малых числах Яе большая толщина диссипативного слоя обеспечивает малое возмущение постоянной Бернулли во всей области диссипативного пограничного слоя и, следовательно, слабую завихренность течения. Это обстоятельство существенно упрощает задачу определения диссипации; во-первых, оно позволяет пренебречь диссипацией в следе {из-за малости кинетической энергии жидкости в следе, движущейся относительно неподвижного наблюдателя), во-вторых, оно позволяет пренебречь различием диссипаций в новом потенциальном течении {поправленном на толщину вытеснения) и в реальном вязком, но слабозавихренном течении.
Опираясь на описанные свойства второго диссипативного слоя, можно применить процедуру последовательных приближений, аналогичную используемой в •случае прандтлевского пограничного слоя, для построения течения в целом с учетом вытесняющего действия следа.
Исходное потенциальное течение около заданного контура цилиндрического тела при Ие^ -* оо исправляется на толщину вытеснения второго диссипативного слоя §п для заданного числа Ие^ с использованием диссипативного коэффициента с0, полученного для исходного течения. Для исправленного течения определяется новое значение диссипативного коэффициента с,, с помощью которого вновь определяется 8Ь строится потенциальное течение около полутела, отвечающего 5] и т. д.
Изменяя заданное число Ие(г, можно получить достаточное число точек зависимости сх = /(Ией), чтобы построить ее в плоскости сх, Ие*.
В приведенном ниже примере обтекания кругового цилиндра эта процедура последовательных приближений может быть значительно упрощена. Кольцевой вид зоны диссипации при малых значениях параметра о^'й (Ъсс/й -* 0) позволяет в этом случае строить полутело вытеснения, исходя из предположения о равномерном распределении мощности источников на поверхности цилиндра, т. е. искать полутело, образованное системой диполь источник. Геометрия полутела и диссипативный коэффициент с являются тогда функциями одного параметра Ь^й. Располагая зависимостью с=/(800/а[), каждой точке которой соответствует своя конфигурация течения, из (1.6) определяем число Ие^, а из (1.4) — величину с,., отвечающую этой конфигурации течения.
На фиг. 3 приведена зависимость сх = f (Кеа) (сплошная линия) для кругового цилиндра с пассивной подвижной поверхностью, полученная указанным способом. Как видно, зависимость сх= /(Кеа) имеет две асимптоты. Первая асимптота (Ие^^-оо) определяется значением диссипативного коэффициента с = 8тг, соответствующим
потенциальному течению около кругового цилиндра (8»/й-»0), и, согласно (1.4), описывается уравнением
сх == 1 бтг Ие^Г1- (1-8)
Вторая асимптота формально соответствует течению около полутела, образованного источником (§оо-»• оо), для которого диссипативный коэффициент, согласно вычислениям, равен 1,83 тт. Однако использование однопараметрического семейства полутел, физически оправданное при умеренных числах Ие и малых значениях параметра 8*/</, приводит к физически нереальной картине течения при оо, поскольку дает неограниченное удаление
передней кромки вытесняющего полутела от кругового цилиндра при Яе^-^О. Условию конечности расстояния между передней кромкой вытесняющего полутела и обтекаемым телом при 8*/й -»■ оо удовлетворяет класс степенных, неограниченно расширяющихся полутел. Анализ показывает, что в классе течений около степенных полутел, удовлетворяющих условию ограниченности скорости на бесконечности, минимальным значением диссипативного коэффициента с обладает течение около полутела у~~хЬ2. С учетом этих соображений кажется разумным принять для оценки положения второй асимптоты (Ие^^О) на плоскости сх, Ие^ значение диссипативного коэффициента для потенциального течения около параболического полутела у~х112. Согласно вычислениям для этого случая с = я и вторая асимптота описывается уравнением
сх = 2пЪе7\ (1.9>
На фиг. 3 пунктиром показана зависимость сх=/(Кеа) Для кругового цилиндра, полученная с помощью сращивания асимптотического решения при 8оо/й -» 0 (диполь + источник) и оценочного асимптотического решения при оо (парабола).
Как следует из изложенного, при изменении формы сечения цилиндрического тела с пассивной поверхностью изменится положение первой асимптоты (Ие^ ->■ оо) вследствие изменения величины диссипативного коэффициента в формуле (1.8). Однако положение второй асимптоты (Йей-*0), по-видимому, не должно измениться, поскольку величина диссипативного коэффициента определяется здесь уже не формой тела, а формой вытесняющего полутела.
§ 2. обтекание бесконечно тонкой плоской пластины
конечной длины
Как известно, при больших числах Иел. = ^Ц°°Х (х— длина
пластины) сопротивление бесконечно тонкой пластины достаточно точно описывается решением Блазиуса
сх — 2-1,328 Ие71/2. (2.1)
Однако при малых числах Яе* экспериментальные данные обнаруживают существование зависимости, близкой к
с., 2-1,328 Яе;1'2+ 61^. (2.2)
Несмотря на ряд работ, посвященных теоретическому объяснению появления члена Дс^—НеГ1 в экспериментальном законе сопротивления пластины конечной длины [3], [4], убедительного ответа на этот вопрос в настоящее время не существует.
Известны формальные возражения Ван-Дайка [5] по работе [3]. Могут быть предъявлены формальные возражения и по работе [4]*.
Однако более важным представляется возражение физического характера: в предыдущем параграфе мы убедились, что вязкая диссипация вне пределов прандтлевского пограничного слоя, совсем не учитываемая в указанных работах, дает существенный вклад в закон сопротивления при умеренных числах Рейнольдса.
Случай обтекания бесконечно тонкой пластины конечной длины при умеренных числах Ие представляется нам идеальным примером вязкого течения, в котором могут быть независимо определены два главных члена закона сопротивления: член вида Дс*— Ие~1/2, обусловленный вязкой диссипацией в прандтлевском пограничном слое и следе (получаемый из решения Блазиуса), и член вида дсх, — 1?е*1, обусловленный, в основном, вязкой диссипацией во втором диссипативном слое.
Искусственные граничные условия, использованные в предыдущем параграфе, приобретают математическую реальность, если речь идет об обтекании параболического полутела, образуемого толщиной вытеснения прандтлевского пограничного слоя на плоской пластине. Последующие уточнения радиуса кривизны пара-
* Если так называемое сопротивление передней кромки, введенное Джонсом в теорию тонкого профиля, может быть оправдано тем, что оно восстанавливает справедливость парадокса Даламбера, утраченную в приближении теории тонкого профиля, то использование этого понятия Имаи и применение его к вычислению силы, действующей со стороны невязкого потока на полутело вытеснения прандтлевского пограничного слоя около пластины конечной длины, приводит к ничем не компенсируемому нарушению парадокса Даламбера.
болы, учитывающие толщину вытеснения второго диссипативного слоя, по-видимому, не так важны, поскольку в выражение для диссипации в случае обтекания цилиндрических тел размер длины не входит. Диссипативный коэффициент при обтекании параболического полутела, как уже указывалось, с = тс, и второй член в законе сопротивления плоской пластины конечной длины х при умеренных числах Ие будет согласно (1.4)
= 2л {?е^\ (2.3)
Первый член в законе сопротивления определяется вязкой диссипацией в прандтлевском пограничном слое и следе и берется из решения Блазиуса:
Д^Рг = 2-1,3281^/2. (2.4)
В рамках двухслойной модели вязкого течения сумма этих
членов дает закон сопротивления плоской пластины конечной
длины:
с х = 2-1,328Ре 7112 4- 2кКе*1. (2.5)
На фиг. 4 теоретические зависимости (2.3), (2.4) и (2.5) сопостав лены с экспериментальными данными работ [6] и [7]. Как видно, результаты сопоставления оказались весьма обнадеживающими для двухслойной модели вязкого течения.
§ 3 ОБТЕКАНИЕ ЖЕСТКОГО КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА
Граничное условие прилипания, которое должно выполняться при обтекании жесткого кругового цилиидра, по-видимому, мало меняет при малых числах Яе течение во втором диссипативном слое, изученное в случае обтекания кругового цилиндра с пассивной подвижной поверхностью, поскольку течение в этих слоях определяется формой вытесняющего полутела. на границах которого в обоих случаях отсутствует условие прилипания. Поэтому можно ожидать, что при Не^*< — 6 (когда у кругового цилиндра, по данным численных расчетов и экспериментальным данным, начинается образование стационарной срывной зоны) двухслойная модель вязкого течения, так же как и в предыдущем параграфе, может быть использована для количественного описания течения. Не располагая в настоящее время расчетным значением коэффициента Арг в прандтлевском члене
Д£л-рг = АРг Яе^112 (3.1)
для случая безотрывного обтекания кругового цилиндра, оценим его вклад в закон сопротивления из сопоставления теоретического закона сопротивления, учитывающего только вязкую диссипацию во втором диссипативном слое, с экспериментальным законом сопротивления.
На фиг. 5 пунктиром нанесена зависимость, полученная в § 1 для случая обтекания кругового цилиндра с пассивной подвижной границей, показанная на фиг. 3 также пунктиром; экспериментальные данные Триттона [10] представлены сплошной линией. Как видно, при безотрывном обтекании, т. е. при Ие^^Ю, основной вклад в закон сопротивления дает вязкая диссипация во втором диссипативном слое. При Яе^>-Ю с увеличением числа Рейнольдса растут размеры срывной зоны и ее влияние на формирование течения в целом становится первостепенным.
Согласно работе [1], при Ией -> оо течение в целом определяется уже не формой тела, а формой срывной зоны. При Ие^оо на границе срывной зоны уже не требуется выполнять в том или ином виде условие прилипания (из-за равенства скоростей по обе стороны границы), ответственное за появление прандтлевского пограничного слоя. Скорость течения в окрестности тела стремится к нулю из-за неограниченного роста поперечного и продольного размера срывной зоны и коэффициент сопротивления тела со стационарной срывной зоной стремится к асимптоте:
с, = 2(ср0( + с^гОИей1. (3.2)
Здесь с{01 — диссипативный коэффициент внешнего потенциального течения, обтекающего срывную зону, суоЛ — диссипативный коэффициент внутреннего течения с постоянной завихренностью в срывной зоне.
Как видно, появляется новый источник вязкой диссипации— вся область постоянной завихренности, расположенная в границах
замкнутой срывной зоны. Согласно вычислениям, значения диссипативных коэффициентов для предельной формы стационарной срывной зоны при Ие^ -» оо, описанной в []] (см. также работу [8]), равны Ср0^—3,75^, и
асимптотический закон сопротивления симметричного тела со стационарной срывной зоной определяется формулой
сл.^45тсНе^1. (3.3)
Опираясь на эти данные для предельного течения при Ией-^оо, можно получить некоторое представление о роли отдельных видов вязкой диссипации в формировании закона сопротивления при отрывном обтекании кругового жесткого цилиндра при умеренных числах Ие.
На фиг. 5 область / (наклонная штриховка) представляет собой вклад в сопротивление вязкой диссипации во втором диссипативном слое. Как видно, при Ие^оо, вклад этого вида диссипации становится меньше, чем у кругового цилиндра с пассивной подвижной поверхностью. Область II (вертикальная штриховка) представляет собой вклад вязкой диссипации в вихревом течении внутри замкнутой срывной зоны. Если представить закон сопротивления жесткого кругового цилиндра зависимостью вида сг =/(Ие^) Ие^1, то, как видно, только эти два вида диссипации обеспечивают увеличение /(1^) в 20 раз при изменении Ие^ практически только в пределах диапаюна умеренных чисел Ие (1 < Ией < 103). Поскольку при Ие^>40 в опытах Триттона стационарные срывные зоны не наблюдались, для оценки вклада в сопротивление диссипации в прандтлевских слоях трения и смешения при Ней>40 на фиг. 5 приведены значения сх, полученные Зоном и Ханратти [9] в резуль-
тате численного решения уравнений Навье—Стокса (обтекание кругового цилиндра со стационарной срывной зоной) при 1^ = 40, 200 и 500; авторы работы [9] оговаривают относительную ненадежность определения сх при Ие^ =■ 500. Как уже отмечалось выше, вероятным следствием принятой нами модели вязкого течения является независимость модельного закона сопротивления при малых числах Ие от формы поперечного сечения цилиндрического тела. Оказывается,
опытные данные обнаруживают эту тенденцию в поведении законов сопротивления.
На фиг. 6 в области малых чисел Ие сопоставляются зависимости сх — — /(Кей), предложенные в настоящей работе: теоретическая зависимость
сх = /(Кег) для плоской пластины конечной длины (2.5), подтвержденная опытом [6], [7]; модельная асимптота при Яе^ -* 0 (1.9) (общая для кругового ,и цилиндра с пассивной подвижной и не-
Фиг. 6 подвижной поверхностью), с экспери-
ментальными данными Триттона для кругового цилиндра [10]. Приведена также теоретическая зависимость, полученная Ламбом [11] из решения уравнений Озеена в случае обтекания кругового цилиндра. Как видно, при числах Ие(отнесенных к максимальному линейному размеру сечения тела) порядка единицы и меньших единицы экспериментальные законы сопротивления для таких двух столь сильно различающихся по форме поперечного сечения тел, как плоская пластина, обтекаемая под нулевым углом атаки, и круговой цилиндр действительно очень близки друг к другу. Более того, они чрезвычайно близки и к модельному асимптотическому закону сопротивления при Ие^-*0.
Подытоживая данные, приведенные в § 2 и 3, а также учитывая результаты сопоставления теоретических зависимостей с соответствующими экспериментальными данными, приведенными на фиг. 6, можно прийти к заключению о существовании трех асимптотических законов сопротивления для цилиндрических тел, обтекаемых плоскопараллельным потоком вязкой жидкости:
1) модельный (приближенный) асимптотический закон при Ие^ -»0 вида сх = 2сК.е^1 с диссипативным коэффициентом с, не зависящим от формы симметричного поперечного сечения цилиндрического тела (если за характерный линейный размер принять максимальный линейный размер сечения тела);
2) известный асимптотический закон для безотрывного обтекания тел при Яе^оо вида сх = ЛРг Ке71/2, где коэффициент ЛРг зависит от формы сечения тела;
*2») асимптотический закон сопротивления для отрывного обтекания тела со стационарной срывной зоной при Ие,, оо [1] вида сх = 2 (сро1 + Су0г1) Яе7* с диссипативными коэффициентами с’ро1 и Суогь не зависящими от формы симметричного сечения цилиндрического тела.
Весьма примечательной является общность свойств первого и третьего асимптотических законов сопротивления, объясняемая тем, что течение в этих крайних случаях определяется только формой следа.
§ 4. ОБТЕКАНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ
Энергетический способ определения сопротивления газовых пузырьков, движущихся в жидкости, путем вычисления вязкой диссипации в потенциальном потоке, обтекающем пузырек сферической формы, описан в [12]. В осесимметричном случае вязкая диссипация, а следовательно, и сила сопротивления, действующая на пузырек, оказывается линейно зависящей от размера пузырька. В этом, как мы увидим, состоит фундаментальное различие между плоским и пространственным течениями. Согласно [12], коэффициент сопротивления газового пузырька, определенный таким путем,
с х =-- 48Ие71. (4.1)
Однако при определении диссипативного коэффициента в этой формуле не учитывалась деформация течения в целом из-за вытесняющего действия второго диссипативного слоя и следа. Следо- сх вательно, (4.1) дает асимптотический закон сопротивления сфери- ю2 ческого пузырька газа при движении его в вязкой жидкости при
-» ос. Неудивительно поэтому, Ю что превышение расчетных значений Сх, определенных по формуле ]д0 (4.1), над экспериментальными значениями в диапазоне 10 < Ие^ <С 30, достигало 50%. Модель, описан- 10' ная в § 1 настоящей статьи, объясняет физическую причину наблюдаемого отклонения опытных 10~* 10° 101 102 103 Не&
точек от (4.1) и позволяет рас- фиг 7
считать величину этого отклоне- '
ния на некотором участке диапазона умеренных чисел Ие. На фиг. 7 приведена зависимость сх~/(Яеа) (пунктир) для сферического газового пузырька, вычисленная по диссипации во втором диссипативном слое и следе с помощью процедуры, аналогичной изложенной в § 1. Однопараметрическое семейство иолутел вытеснения образовывалось системой пространственный диполь 4- пространственный источник. На фиг. 7 приведена также экспериментальная зависимость сх = /(Ие^), полученная в работе [13]. Как видно, теоретическая зависимость близка к экспериментальной при Ие^^ЗО. Однако при меньших числах Ие неограниченный рост характерного линейного размера полутела вытеснения (расстояние между передней кромкой вытесняющего полутела и обтекаемым телом), присущий однопараметрическому семейству, в осесимметричном случае приводит к неправильному предсказанию хода зависимости сх=/(Кеа). Как известно, экспериментальные данные о движении газового пузырька в жидкости свидетельствуют о том, что коэффициент сопротивления у них при Ией ->■ 0 следует закону Стокса, полученному для жесткой сферы:
сх = 24Кеа\ (4.2)
Что касается зависимости закона сопротивления от формы меридионального сечения жесткого тела, то она установлена в осесимметричном случае при RedО рядом точных решений уравнений Стокса.
В случае обтекания жесткого осесимметричного тела при больших Red необходимо учитывать развитие срывной зоны. Хотя качественная картина развития срывной зоны в осесимметричном случае при больших Red аналогична тому, что имеет место в случае плоскопараллельного течения (линейный размер зоны неограниченно растет, при Red -» оо происходит также исчезновение прандтлевского пограничного слоя на границе срывной зоны), установить точный асимптотический закон сопротивления, аналогичный (3.3), для осесимметричного течения не удается.
В формулу для коэффициента сопротивления при Red -» 00
80 о dc
' ^X ~ ~(^pot ^vort) Re^ (4.3)
наряду с известными диссипативными коэффициентами cpot и cvort (сpot = бтс; cvort может быть вычислено для внутренней области сферического вихря Хилла) входит неизвестная функция числа Rerf — отношение диаметра dc срывной зоны к диаметру миделевого сечения тела.
Единственное, что можно сказать в настоящее время об этой функции — она неограниченно растет при Red-^oo. Если она степенного вида (что не является очевидным), то можно сделать вывод о том, что в асимптотическом законе сопротивления c^~Re7*. в осесимметричном случае должно быть &<1.
В заключение автор выражает благодарность В. С. Садовскому и Н. П. Синицыной за большую помощь в проведении вычислений.
ЛИТЕРАТУРА
!. Таганов Г. И. О предельных течениях вязкой жидкости со стационарными срывными зонами при Re->oo. Ученые записки ЦАГИ, 1970, т. I, № 3.
2. Т а г а н о в Г. И. К теории стационарных срывных зон. МЖГ,
1968, № 5.
3. К и о Y. Н. On the flow of an incompressible viscous fluid past a flat plate at moderate Reynolds numbers. J. Math, and Phys., 1953, 32.
4. Imai I. Second approximation to the laminar boundary-layer flow over a flat plate. J. Aeronaut. Sci., v. 24, 1957.
5. В а н-Д а й к М. Методы возмущений в механике жидкости.
М., „Мир", 1967.
6. Janour Z. NACA Tech. Mem. 1316, 1951.
7. S с h a a f S. A. and Sherman F.S. J. Aeronaut. Sci., v. 22, 1954.
8. Садовский В. С. Область постоянной завихренности в потенциальном потоке. Ученые записки ЦАГИ, т. I № 4, 1970.
9. Son J. S. and Hanratty T. J. Numerical solution for the flow around a cylinder at Reynolds numbers of 40, 200 and 500. J. Fluid Mech.,
1969, v. 35, pt. 2.
10. Tritton D. J. Experiments on the flow past a circular cylinder at low Reynolds numbers. J. Fluid Mech., 1959, v. 6, pt. 4.
11. Ламб Г. Гидродинамика. М., Гостехиздат, 1947.
12. Batchelor Q. К. An introduction to fluid dynamic. Cambridge university press, 1967.
13. Haberman W. L. and Morton R. K. 1953 Taylor Model basin; Washington, Rep. no. 802.
Рукопись поступила 13\II 1970 г.
