CC BY
67
_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Т о м II 197 1
№ 3
УДК 532.527
О ДИССИПАЦИИ ЭНЕРГИИ В НЕКОТОРЫХ ТЕЧЕНИЯХ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
В. С. Садовский, Н. П. Синицына, Г. И. Таганов
Известно, что закон сохранения энергии связывает сопротивление тел в вязкой несжимаемой жидкости с диссипацией механической энергии. Использование этого обстоятельства дало возможность вычислить при больших числах Ие сопротивление сферических пузырьков газа [1], а в работе [2] это нашло применение при получении асимптотического закона сопротивления тел, при обтекании которых образуются срывные зоны, когда Ие -» оо. Рассмотрение диссипации механической энергии вне пределов прандтлевского пограничного слоя, проведенное в работе [3], позволило определить в законе сопротивления тел добавочный член порядка Дс;с~Не~1.
В данной статье, некоторые результаты которой были использованы в работе [3], определяется величина и исследуются характерные области диссипации энергии для некоторых течений несжимаемой жидкости.
Вычисление диссипации энергии в двумерных потенциальных течениях. В двумерном случае величина диссипации (см., например, [4]) дается выражением
£ = р VI^| [2и* + 2+ (и, + гд2] ¿в = срУ^. (1>
Здесь и, V — составляющие вектора скорости по осям х и у» обезразмеренные с помощью величин скорости невозмущенного потока V«; х, У отнесены к некоторому характерному линейному размеру; р — коэффициент вязкости. Интеграл, так называемый диссипативный коэффициент, является безразмерной величиной и берется по всей области, занятой жидкостью. Для течения с комплексным потенциалом — у + Щ выражение (1) с учетом того,,
1 ду 1 дер
что и = т7—, ю — ^т— -т1- , а <р и ф связаны известными уело-
V 00 V V со оу
виями Коши — Римана, преобразуется к виду
’-я£
йг*
Эта формула была получена И. Л. Барским.
2
ёхйу (г — х + іу). (2)
В случае бесциркуляционного обтекания цилиндра = / а1 \
■== Уоо ( г + 1, а применение формулы (2) дает величину диссипа-
тивного коэффициента сц = 8 -п:. Это же значение с было получено несколько другим путем в работе [5]. Там же получено выражение для коэффициента с в случае бесциркуляционного обтекания эллипса с осями а и Ь (ось а имеет направление вектора скорости невозмущенного потока):
с = 2к(\-\- — V . (3)
Однако отметим, что в упомянутой работе при вычислении вязких напряжений допущена ошибка в знаке, в результате чего получен существенно неверный результат о наличии сопротивления тела в потенциальном потоке.
Легко видеть, что формула (3) для безотрывного обтекания нластины, перпендикулярной потоку {Ь ф 0, а-> 0), дает бесконечно •большое значение коэффициента с*.
Пусть в однородном потоке со скоростью V«, находится источник обильности т. Комплексный потенциал течения имеет вид
і т « 'г+2ї'"г
(г — рег0).
Уравнение полутела, образуемого линией тока <|> == 0, может
быть записано в виде р0 <
/га я
2 те ЭШ 0
Так как
йг*
т 1
2 тс р:
2 ’
после
интегрирования по р от р0 до оо получаем величину диссипативного коэффициента
^-¿^1,83 тс.
1
Рассмотрим течение около параболы го==-л----------с08 ^ с фокусом
1
здесь ге" = г — •
потенциал
сРШ
в точке 2 = -^-^здесь гев = г—В этом случае комплексный
IV = Уж(г — 1 -г/2 г— 1) и Интегрирование (4) дает:
с/г2
V2
V оо
8Т5'
(4)
с = 4
Я
О га
г(ігсіЬ
8 гг
■■ тс.
* Оказывается, имеет место более общая теорема: для произвольного гладкого профиля с одной острой кромкой величина диссипативного коэффициента ограничена при выполнении постулата Жуковского — Чаплыгина и не ограничена в противном случае. Доказательство этой теоремы, представляющей интерес с точки зрения физического обоснования постулата Жуковского — Чаплыгина, дающего однозначное определение циркуляции около профиля с одной острой кромкой, будет дано в следующей статье.
На фиг. 1 для этих течений показано распределение величины
сіг2
вдоль луча 0 = 1г (е0 — значение е в критических
____4_
е~~ 1/2 00
точках).
Основная часть диссипации энергии в течении около цилиндра происходит, как это видно из фиг. 2, в относительно узкой, примыкающей к телу кольцевой области, в то время как для течений около параболы и источника — в окрестности критических точек (Ец и Е0 на фиг. 2 —диссипация в кольцевой области а0 < р < /? и во всем течении около цилиндра соответственно).
Фиг. 2
Пусть комплексный потенциал течения имеет вид ТУ;
і т ,
"г?г- 1пг, т. е. в точке г-
1 7Г
= 0 находятся диполь сра-
диусом эквивалентного цилиндра а0 и источник обильности т.
Случай <3= —~тт~ = 0 соответствует обтеканию цилиндра, а при о 0 *'00
линии тока ф = 0 образуют класс полутел с конечной толщиной 8 на бесконечности. Приравнивая обильность источника расходу жидкости через полутело на бесконечности, получаем
§ —
т—Усо8, т. е. 0_ =— =8. Интегрирование выражения
МУР
(1г*
V
V о
4 а®сое 0 2п*
по области Ф>0 и расчет линий тока ф = 0 производились на ЭЦВМ. На фиг. 3 и 4 представлены семейство линий тока ф = 0 и величина диссипативного коэффициента в зависимости от (^.
Наконец, вычислим коэффициент с для течения около пластины, перпендикулярной вектору скорости на бесконечности и обтекаемой с отрывом струй (течение Кирхгофа). Согласно [6], через параметр t, изменяющийся в верхней полуплоскости, выражаем:
+ т)+гтг; г=^«- <5>
Здесь <р0 — значение потенциала в точке отрыва. С введением новой параметрической переменной u — ’i + i■r\ = t — у72 — 1, изменяющейся в нижнем полукруге единичного радиуса, можно записать:
2 (йФХ м ’ | йг 2 си
йг2 йх йу = \ йг ){ йг | йЬ с1и
& йч\
4 Уоо (1ч\
(6)
Интегрирование (6) по нижней половине круга в плоскости (5, -*)) дает величину диссипативного коэффициента для течения Кирхгофа с — 2 те.
Фиг. 4
Диссипация энергии в вихревых течениях. Рассмотрим двумерное течение с постоянным вихрем о» в области, ограниченной эллипсом х2, + У2Ь~2 = 1 (здесь х, у, Ь отнесены к линейному размеру а0 эллипса в направлении оси X). Функция тока ф, обезразмерен-ная с помощью <о и а0, согласно [7] имеет вид
ф = -1-(Ак» + Ду2),
где
В = Видно, что
1+6
)<*■
•¡г1; А + В —I', £ = 1Л-&2.
ди
дх
Лз0-
ду ’
ди _ _ д. дчз_
ду ’ дх
А.
(7)
После подставки (7) в (1) для величины диссипации энергии Е получаем:
Е = р»* а* 11 ^ ^¿з = {ш* а\ (А - В)* те*. (8)
Я
Отметим, что в случае фиксированных да и а0 величина Е равна нулю при Ь = 0 и 1 и достигает максимального значения при ¿ = 0,186.
Определим теперь диссипативный коэффициент описанного в работе [2] течения, которое является потенциальным вне некоторой зоны, а внутри имеет постоянную завихренность. Решение для этого течения и исследование основных его свойств дано в работах [8] и [9]. Если ф—функция тока, то диссипативные коэффициенты для потенциального и вихревого течений могут быть записаны соответственно в виде
Се = С Г [$у + Лк йу\
4
С: = —„
VI
Здесь 1^ = 0,14158 (см. [8]), а интегрирование производится по соответствующей области течения в первом квадранте л>0, _у>0(фиг. 5). В соответствии с результатами работ [8] и
■я*
"Я ^ +
(9)
Гу х
_1_ 2 те
Фиг. 5
[9], выражения для флу, 1
имеют вид
+
‘(1 -ху + у* 1
н-
X)
х)2 + (Т1 1
(?■
1
2 тс
2 aгctg
(ї + хГ + і-Ч+У)2
1 — х . 1 -|- х
4- аг^ -~-
- *У + (71 ■ &
-у)
уу : +
У
■ц — у
1
И"
о
ч + У
(?—Х)2+(т1-у)*
(? + ху + (V) ■
-уУ (6-
*1 + у
■х)2 + (п + уУ
(10)
Вычисление <{>ху и $уу по соотношениям (10) на ЭЦВМ не представляет особого труда. При вычислении же се и сь интегрирование в (9) производилось в полярной системе координат (р, 6) сна-
чала по р при фиксированном 0, а потом по 6 от нуля до тс/2. Для диссипативных коэффициентов получились следующие значения: се = 3,75те; сг= 18,75 те; с = се + сь = 22,5 тс.
Некоторое представление о диссипативных свойствах течения дает фиг. 5, на которой представлена зависимость величины диссипации энергии внутри единичного угла Д£ = /ерф от полярного угла 9 для области вихревого (кривая г) и потенциального (кривая е) течений.
Случай осесимметричного течения. В трехмерных течениях диссипативный коэффициент представляется интегралом
с= ао /// 12и* +2ъ1+2т2г + {иу + ъх)2 +
V
+ 1(112 + ™^ + (И)
взятым по всей области течения, и зависит, в отличие от двумерного случая, от характерного линейного размера тела а0.
Рассмотрим класс полутел, образованных течением около пространственных диполя и источника, помещенных в одной точке (х, у, г). Решение для функции тока <р и потенциала у течения может быть записано в виде
?==2:(1 + 2Т5)- 4^Г ’
где г = )/р2 + г2, ц — обильность источника; р, г, 0 — цилиндрические координаты точки. Предельные случаи </ = 0 и д -»■ оо соответствуют течениям около сферы и источника.
Фиг. 6
Условие осесимметричности течения (1/в = 0) позволяет вычи-
2к
слять диссипативный коэффициент как с = J с'dQ, где с' — не зави-
U
сящая от угла 0 диссипация энергии в единичном угле. Расчеты показали, что, в отличие от плоского случая, линии равной локальной диссипации в плоскости б = const не являются концентрическими окружностями.
На фиг. 6 показано изменение величины диссипативного коэффициента для рассматриваемого класса полутел в зависимости от
параметра (}= 2 . Видно, что увеличение Q приводит, в ко-
1/оо а0
нечном счете, к возрастанию диссипативного коэффициента. Это согласуется с (11), так как при достаточно больших <3 течение соответствует обтеканию геометрически подобных тел, характерный размер которых а0 возрастает с увеличением (?•
ЛИТЕРАТАРА
1. Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц E. М. Механика сплошных сред. М., Изд-во техн.-теор. литературы, 1954.
2. Таганов Г. И. О*предельных течениях вязкой жидкости со стационарными срывными зонами при Re -> ао. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 1, № 3, 1970.
3. Таганов Г. И. О втором диссипативном пограничном слое и следе в вязком течении около тела. „Ученые записки ЦАГИ‘, т. 1, № 6, 1970.
4. К о ч и н H. E., К и б е л ь И. A., Р о з е Н. В. Теоретическая гидромеханика. М., Физматгиз, 1963.
5. Q h о s h N. L. A theory of resistance in potential flows (parts-I-IV). proc. Nat. inst. Sei. Ind 1954, v. 20, part. 1, p. 74—103.
6. Гуревич М. И. Теория струй идеальной жидкости. М., Физматгиз, 1961.
7. Лам б Г. Гидродинамика. М., Гостехиздат, 1947.
8. Садовский В. С. Область постоянной завихренности в плоском потенциальном потоке. „Ученые записки ЦАГИ*, т. 1, № 4, 1970.
9. Садовский В. С. О некоторых свойствах вихревого и потенциального течений, граничащих на замкнутой жидкой линии тока. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 1, № 1, 1971.
Рукопись поступила 18/XII 1970 г.
