Исследование некоторых свойств второго диссипативного пограничного слоя в двумерных течениях несжимаемой жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И__________

Том /// 1972 № I

УДК 532 527

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВ ВТОРОГО ДИССИПАТИВНОГО ПОГРАНИЧНОГО слоя В ДВУМЕРНЫХ ТЕЧЕНИЯХ НЕСЖИМАЕМОЙ

жидкости

В. С. Садовский, Н. П. Синицына, Г. И. Таганов

Излагаются новые результаты аналитического и численного исследования поведения величины вязкой диссипации энергии в некоторых плоских течениях несжимаемой жидкости в дополнение к приведенным в работах [ 1 ], (2].

В течениях около полутел, образованных системой диполь+источ-ник, показана слабая зависимость величины диссипативного коэффициента от расстояния между диполем и источником, что свидетельствует о слабой зависимости величины диссипативного коэффициента от закона распределения толщины вытеснения второго диссипативного слоя по поверхности тела и о том, что главную роль в перестройке течения играет толщина вытеснении следа.

Определена диссипация энергии вдоль элементарных трубок тока в течении около кругового цилиндра. Доказана эквивалентность условия Жуковского—Чаплыгина и условия ограниченности интеграла диссипации для течения около профиля при конечных числах (?е.

1. Ранее [1| было показано влияние относительной толщины следа 8**720 на бесконечности за телом на величину диссипативного коэффициента полутел, образованных совмещенными в одной точке диполем и источником, что соответствует, согласно |2], толщине вытеснения второго диссипативного слоя, построенной в предположении постоянства распределения мощности элементарных источников на поверхности тела. Представляет интерес выяснить влияние изменения закона распределения толщины вытеснения по поверхности тела на интегральную величину диссипации энергии. Это можно сделать, например, помещая источник и диполь в разные точки невозмущенного потока.

Рассмотрим двумерное потенциальное течение в плоскости около полутела, образованного диполем и источником, находящимися соответственно в точках г— 0 и г0 = г0е‘9° однородного потока несжимаемой жидкости, имеющего скорость К™.

Комплексный потенциал такого течения

/ о\ ~

1Л.Лг+ — | +-^— 1п(г- г0) (г = л: + ¿у = гг'*). (1.1)

Здесь а — радиус эквивалентного диполю цилиндра, /« — обильность источника. В дальнейшем ограничимся случаями, когда точка г0 расположена на оси х. Очевидно, что с изменением параметра

\г9\ = г0 при фиксированном параметре системы <3 = тт— форма

V ГГ-> С1

лолутела, ограниченного линией тока, обезразмеренной с помощью V. и а.

(1.2)

а следовательно, и распределение толщины вытеснения диссипативного слоя по поверхности обтекаемого тела может меняться существенно при неизменной толщине следа за телом (фиг. 1).

Расчеты линий тока (1.2) и величин диссипативного коэффициента

С = | J [2и\ + 2ч)у + (иу + vxy-\ = ] ] 4

ГГ 4 тю

л4 ¿г*

£, (1.3)

где х—вся область течения около тела (1.2), производились численно на ЭЦВМ. При этом величина С была представлена в виде

<22

4-!

I, —

2(2

(1.4)

где

п—&

7 СО8(30 -2/_) )

гН- " >

!

с1Ь-

''4=0

/ = VГ* + г\ - 2 гг0 СОБ (г, г0),

и вычисления производились с абсолютной точностью для интегралов /; (/=1, 2, 3), равной 0,0001 при 8 = 0,0017453. Полученные зависимости величины диссипативного коэффициента от толщины вытеснения следа, т. е. ширины полутела (1.2) на бесконечности, при /*0=1, 0 = 0 и -, указывают

- У 1

г

Го =/ ц ? =

9 у 0 ч / “ ГП

1

\ ¡1

Фиг. 1

ном изменении закона распределения толщины вытеснения по поверхности тела значения диссипативного коэффициента изменяются слабо, а главную роль в перестройке течения играет толщина вытеснения следа.

2. Рассмотрим теперь потенциальное течение около произвольного цилиндрического тела и будем интересоваться суммарными потерями механической энергии некоторой выделенной жидкой частицы при ее движении вдоль заданной линии тока от —оо до + оо.

Пусть + — комплексный потенциал течения. Перейдем

в (1.3) из плоскости г в плоскость ии. Тогда выражение для диссипации энергии преобразуется к виду

СО

£ = ,х1/£./«(•!*)<*!*,

где

>(■» = 4 П-

йг

-А

а ф.

(2.1)

у I "I—

■ п

—

го‘1,0

,0

т

0.5

Ю Фиг. 2

№

С точностью до множителя |а1Л величина е(^) определяет диссипацию энергии в области, являющейся бесконечной полосой ширины Д'|> = 1, т. е. искомую величину.

В качестве примера рассмотрим профиль диссипации е(Ф) для бесциркуляционного обтекания круглого цилиндра единичного радиуса потоком жидкости с V... = 1. Известно (3), что в этом

случае ге» = гН---и, следовательно, выражение (2.1) может быть

преобразовано к виду

е (Ь) = 8 I

т (ге;2 — 4) + (т2 — 2) УIV2 — 4

(2.2)

Заметим, что вдоль линии тока •{/ = () интеграл (2.2) оказывается расходящимся в критических точках 2, т. е. е (^=0)=оо.

На фиг. 3 и 4 соответственно представлены рассчитанные на ЭЦВМ профили диссипации энергии е['+(х, у)\ в сечениях л = О и л = оо; при л=0 интеграл (2.1) брался в пределах от — оо до О, а при х =оо — в пределах от —оо до -|-оо.

Профиль постоянной Бернулли в следе за телом и в миделе-вом сечении тела может быть определен с использованием данных фиг. 4 и формулы, приведенной в работе |2] для больших чисел Ие, когда можно пренебречь вязкими напряжениями, действующими на границе элементарной трубки тока.

3. Пусть имеется безотрывное обтекание произвольного профиля потенциальным потоком. Покажем, что имеет место следующая теорема:

если профиль является аналитической кривой, то величина интеграла (1.3), определяющего диссипацию энергии во всем течении, конечна.

Для доказательства рассмотрим интеграл (1.3). Пусть С = /=:(г) осуществляет конформное отображение внешности профиля (область Д) на внешность круга единичного радиуса. В дальнейшем все величины обезразмерены с помощью V и некоторого линейного размера. Известно, что если

(¡г

¿С

=

то комплексный потенциал течения около профиля имеет вид

г

+ т)

+

2 гі

1пС,

(3.1)

где С = ^(г), а Г —величина циркуляции. Величина ¿-'да/¿г2, входящая в подынтегральное выражение (1.3), может быть представлена в виде

(і1 да сіні сР С сГ-чю [ (К V

-.+-3гг-1—I • (3.2)

(1г-

Л (1г*

(Я,- сіг

Очевидно, что функция да (С) является аналитической и имеет поэтому конечные производные. С другой стороны, так как профиль является аналитическим, то функция ^, = И(г) регулярна в любой конечной точке области Д и имеет там конечные производные. Но тогда из (3.2) следует, что модуль ¿2да/с/г3 ограничен в любой конечной точке области интегрирования, и подынтегральное выражение в (1.3) не имеет особенностей.

Остается показать, что этот интеграл сходится на бесконечности. Для этого заметим, что функция Р(г) в окрестности точки г = о© имеет следующий вид (см. [3]):

Г 1 , А , К , *■> ,

‘Ученые 3.1 ПИСКИ

33

Отсюда следует, что

сК _ _1 с!г £

'2 л

г-

С учетом того, что

сГ- С 26*.,

Л_______1 |

Л ~ ' С2 ) ' 2к ¿С ’

(3.3)

¿2 XV 2 А

~ Са

2г гС-

а также (3.2) и (3.3), главный член подынтегрального выражения при 2 -» сю имеет порядок

сГ-ю - Г' 2 Г-

с!г- 2- Г4

(заметим, что если Г = О, то порядок Л2т/Лг'2 еще выше). Это означает, что на бесконечности интеграл (1.3) сходится, и тем самым теорема доказана.

Если профиль имеет одну острую кромку, то, как известно, использование гипотезы Жуковского — Чаплыгина позволяет сохранить правдоподобную картину обтекания профиля. Оказывается, что между этой гипотезой, имеющей локальный характер, и величиной диссипации энергии во всем течении можно установить следующую связь.

При безотрывном обтекании гладкого профиля с одной острой кромкой выполнение условия Жуковского — Чаплыгина необходимо и достаточно для ограниченности интеграла диссипации (1.3).

Для доказательства достаточно показать, что (1.3) сходится при выполнении условия Жуковского — Чаплыгина и расходится в противном случае. Кроме того, функция С = ^(2), осуществляющая конформное отображение внешности профиля на внешность круга, по-прежнему регулярна везде, за исключением острой кромки и точки 2 =» ©э. Поэтому в подынтегральном выражении (1.3), в отличие от рассматриваемого случая, появится только одна „лишняя“ особенность, и с учетом предыдущей теоремы для доказательства достаточно исследовать величину интеграла диссипации лишь в окрестности острой кромки.

Итак, пусть при отображении ^ — точка 2=20 (острая кромка) переходит в точку окружности С = ч0 — £,в“ и скорость в ней конечна. Если кромка образована кривыми с конечной кривизной и угол с вершиной в точке А (фиг. 5) равен 3, то преобразование 2=/(С) с точностью до малых высшего порядка вблизи точки А дается формулой

2*—й

2 — г0 = М (С — С0)~*_. (3.4)

по условию ограничена. Поэтому

г, ^ - с!г| йтх)

При о<т величина= 0, а

(її!)

ж

СІЇІ) йг

г Ж

= 0. Это означает, что точка окружности А'

является критической. Подставляя С = С0 в равенство

йъV к Г

Ж~

и приравнивая результат нулю, найдем, что

Г = 2тгг£ [V---Со) =4-Л51п90.

(3.5)

Фиг. 5

После дифференцирования (3.1) с использованием (3.5) получаем

в окрестности

СІЇ!)

ж

*(1 + СС0) Со С2

(С-Со).

(3.6)

Определим теперь'^-’го/г/г-, необходимую для вычисления диссипативного интеграла. Так как из (3.4)

С — С„ = N{2 г0Р~\ = сопзі,

го дифференцированием легко получить

<*С «Ы

¿г 2т. — 8

(2 — г0)

' 2 г.—і

(IX

(іг2

\2 — z0^ •

(3.7)

(3.8)

(2 тс — 8)2

Итак, первое слагаемое в (3.2) с учетом (3.6) и (3.8) имеет вид

СІТ£) (І2С

Ж Ж*

*(« — Ь)кЫ2 1 + Со

2--гь

Со3

(2 - — о)2

Далее, из (3.6) дифференцированием получаем

(г-г0) .

(¿-■и1

к

1 V СС0 2 4- ССо (С _ с

С2 с:>

и для второго слагаемого в (3.2) имеем (І2™ ( (іС У № /V- 1-ЬСо

(3.9)

(ЗЛО)

Но в таком случае первое и второе слагаемые в (3.2), как это еле-

3 п — 2 с 2 п—2 с

дует из (3.7) и (3.8), имеют порядки не ниже, чем р и р 2'-4

соответственно. Поэтому

и окончательно

С-4Я

$

Видно, что интеграл расходится в точке г0, и тем самым доказательство теоремы полностью завершено.

ЛИТЕРАТУРА

1. Садовский В. С., Синицына М. П., Таганов Г. И.

О диссипации энергии в некоторых течениях несжимаемой жидкости. .Ученые записки ЦАГИ', т. II, № 3, 1971.

2. Таганов Г. И. О втором диссипативном пограничном слое и следе в вязком течении около тела. .Ученые записки ЦАГИ*, т. I,

№ 6, 1970.

3. К и б е л ь И. А., К о ч и н Н. Е., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика, т. I. М., Физматгиз, 1963.

Р\>копись поступила 181 VI 1971 г.