ОБОСНОВАНИЕ СООТНОШЕНИЯ П= ρδ2**_∞V_∞^2, ПРИМЕНЯЕМОГО В МОДЕЛИ ПРОИСХОЖДЕНИЯ ЦИРКУЛЯЦИИ У КРЫЛА БЕСКОНЕЧНОГО РАЗМАХА С ОСТРОЙ ЗАДНЕЙ КРОМКОЙ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м XVII 19 8 6

№ 5

УДК 518.61

ОБОСНОВАНИЕ СООТНОШЕНИЯ П= рвГ» VI, ПРИМЕНЯЕМОГО В МОДЕЛИ ПРОИСХОЖДЕНИЯ ЦИРКУЛЯЦИИ У КРЫЛА БЕСКОНЕЧНОГО РАЗМАХА С ОСТРОЙ ЗАДНЕЙ КРОМКОЙ

Г. И. Таганов

В настоящей заметке дается окончательный вариант обоснования (доказательства) справедливости соотношения для подсасывающей СИЛЫ П --- р52*оо которое применяется в модели происхождения циркуляции у крыла бесконечного размаха и в теории сопротивления при отрывном обтекании тел, имеющих заостренные кромки, введенные в рассмотрение в работе |1], где дан первоначальный вариант обоснования.

Преимущество излагаемого ниже варианта обоснования над первоначальном состоит в использовании энергетического подхода вместо „силового“, требующего дополнительных гипотез, и сближает работу [1] с работами [2, 3], в которых введена в рассмотрение модель второго диссипативного слоя и следа для расчета вязкой диссипации около тел и родственной по подходу теорией трещин Гриффитса-Ирвина в механике разрушения*.

1. На примере задачи о взаимодействии двух течений, имеюших противоположное направление скорости в плоском канале постоянного сечения (рис. 1), допускающей точное описание течения с использованием законов сохранения массы и количества движения, выясним общие свойства течения несжимаемой жидкости около тел с острыми кромками в зависимости от того, реализуется или не реализуется подсасывающая сила П на кромке с нулевым углом заострения (точка возврата кривой).

Пусть в плоском канале единичной высоты движется со скоростью У1 поток несжимаемой жидкости с плотностью р и в достаточно удаленном от области взаимодействия I сечении 1 имеет давление р{. Навстречу ему из канала высотой / движется поток несжимаемой жидкости той же плотности р, имеющий в сечении 2, также достаточно удаленном от области взаимодействия I, скорость У1 и давление рг. Предполагается, что после взаимодействия оба потока движутся в одном направлении и в сечении 2 имеют одинаковые по сечению значения скорости и давления р2.

* Здесь речь идет о существовании глубокой аналогии (формальная аналогия известна: коэффициент подсасывающей силы при безотрывном обтекании несжимаемой жидкостью кромки с рулевым углом заострения и коэффициент интенсивности напряжения на краю разреза в линейной теории упругости явля-

__1_

ются коэффициентами перед одинаковой особенностью вида X 2;описывающей поле скорости и напряженное состояние в соответствующих случаях).

висимо от характера взаимодействия (с потерей энергии или без нее) в области /.

откуда

Скорость У2 может быть определена из уравнения сохранения массы неза-... " >б-

+ ?Уг/= РУ2(1-Л, (1)

У2 = V, . (2)

-/

При потенциальном характере течения в области взаимодействия / коэффициент

2(/»1— р2) „

в сечении 2 может быть определен из уравнения Бер-

нулли

р 1 +

■■ Рг +

рУ 2

Рг

2 (Рг — Р-2)

V*

— 1.

У л

Подставляя в (4) выражение для скорости У2 из (2), получим:

(1 +/)2 , 4/

с„ =

р* (1 -Л2

1

(1 -ГУ

(3)

(4)

(5)

Необходимым условием для существования потенциального течения в области / является реализация подсасывающей силы П, приложенной в точке О разделяющей пластины, величина которой, вообще говоря, определяется из решения задачи потенциального обтекания пластины. Однако в рассмотренном случае ее можно найти из уравнения количества движения, применяемого к объему жидкости, ограниченному сечениями 1 и 2:

Л-Л(1-/)-Л/+П = р1'|(1--/)-рУ?+рК?/.

(6)

Из (6) с использованием (2) можно получить величину коэффициента подсасывающей силы

2П 4

Сп =-------:---= -------: , (7)

1-/ ’

откуда следует, что при/->0 сп -> 4. Как видно, величина коэффициента подсасывающей силы, необходимая для реализации потенциального течения в области взаимодействия, весьма велика.

Рассмотрим теперь случай взаимодействия двух течений, когда подсасывающая сила в точке О разделяющей пластины не реализуется (П = 0) и имеет место отрывное обтекание разделяющей пластины.

Для определения р2 теперь уже нельзя пользоваться уравнением Бернулли, так как возможна необратимая потеря энергии в области взаимодействия

и нужно обратиться к уравнению сохранения количества движения (6), в котором следует положить П = 0:

Р1—РЛ1 — /) — Л/= Р^1(1 + ?У\/, (8)

откуда с использованием (2) получим значение коэффициента давления ср в сечении 2 (штрих соответствует взаимодействию с отрывным обтеканием)

8/ (I-/)2

Из сопоставления (9) с (5) видно, что во втором случае давление в сечении 2 меньше давления в этом сечении при потенциальном характере взаимодействия, хотя кинетическая энергия потока в этом сечении в обоих случаях взаимодействия одинакова. Следовательно, во втором случае имеет место необратимая потеря энергии (уменьшение постоянной Бернулли), величина которой может быть выражена с помощью так называемого гидравлического коэффициента потери энергии С, представляющего собой отношение диссициируемой энергии на единицу секундного расхода жидкости, отнесенной к характерной величине кинетической энергии потока. Из (9) и (5)

4/

(1 -Л2

°Рг СРа /1 ’ (10)

откуда следует, что при /-*0 $-»■ 4/.

Легко заметить, что диссициируемая при нереализации подсасывающей силы энергия совпадает при /->0 с величиной потерянной кинетической энергии струи высотой / при неупругом ударе (теорема Карно — Борда), отнесенной к единице секундного расхода жидкости, участвующей во взаимодействии, и к характерной кинетической энергии течения, поскольку У2 -»■ Уг и

4/. (11)

Таким образом, взаимодействие без образования подсасывающей силы при / -»-'О связано с необратимой потерей энергии, соответствующей коэффициенту Сс, отнесенному к секундному расходу разворачивающейся на 180° струи

Сс = 4. (12)

2. Рассмотрим обтекание пластины, расположенной под углом атаки о = я/2 к направлению невозмущенного потока несжимаемой жидкости, имеющего скорость У,ю и плотность р. (На рис. 2 показана верхняя полуплоскость течения).

Потенциальное обтекание около пластины известно, и на рис. 2 представлена картина линий тока и показана линия равных скоростей, соответствующая

значению параметра _И_=). В точке О действует подсасывающая сила П,

^оо

величина которой может быть найдена из решения потенциального обтекания пластины. Представленную на рис. 2 картину течения можно трактовать, следуя п. 1, как реализацию взаимодействия двух течений с подсасывающей силой: эквивалентной струи толщиной 8Э с, совершающей поворот на угол л в области взаимодействия /, окружающей острую кромку пластины, при котором спра-

ведливо соотношение, следующее из уравнения сохранения количества движения

П = Р6Э.С ^2^, (13)

и неограниченного снаружи (т. е. при /->0) течения. При нереализации подсасывающей силы, согласно п. 1, происходит потеря энергии с коэффициентом потерь для эквивалентной струи Сэ с=4, т. е.

£дисс = 8э. сУсо4-^ = РЬэ сУсо2У1. (14)

2

С другой стороны, из уравнения сохранения энергии для пластины (рассматривается верхняя полуплоскость течения), движущейся в неподвижной среде со скоростью У^, следует

Х.у00 = £дцсс, (15)

-.Г *** Т т-9 **

где X = р52 м — сила сопротивления, приложенная к пласти не, ъ2 оо Т0Л1ЦИ"

на потери импульса в следе за телом.

Подставляя в‘ (15) выражение для £ДИСс из (14), с учетом (13), получаем Х= П

или

П = ^=Р5*2*00У2оо. (16)

Поскольку в данном рассмотрении угол атаки пластины непосредственно не фигурировал, а его влияние сказывается только через величину П, получаемую из решения задачи о потенциальном обтекании тел, имеющих нулевой угол заострения кромок, то соотношение (16) остается справедливым для произвольной величины угла атаки. Следует обратить внимание не только на сходство, но и на различие между рассматриваемым в настоящем пункте обтеканием тела с острыми кромками неограниченным потоком несжимаемой жидкости и задачей, рассмотренной в п. 1, где геометрия границ течения не меняется при переходе от одного вида взаимодействия к другому.

В рассматриваемой здесь задаче обтекания тела неограниченным потоком несжимаемой жидкости при нереализации подсасывающей силы появляется след, толщина вытеснения которого, равная толщине потери импульса на удалении за телом, меняет геометрию границ потенциального течения (полутело вытеснения) и, соответственно, величину подсасывающей силы при реализации подсасывающей силы. Однако это изменение геометрии потенциального течения является основным механизмом обратной связи при перестройке течения, который учитывается моделью второго диссипативного слоя и следа [2, 3] и используется в работе [1].

3. Рассматриваемый в настоящей заметке вариант обоснования соотношения П= У%,, примененного впервые в работе [1], не меняет ее результатов, относящихся к первой ветви зависимости Су =/(°0 (§ 2 и § 6 работы [1]), величине дополнительного сопротивления, связанного с отрывным обтеканием острой

задней кромки профиля крыла, ответственной за значительную часть „отвала“ профильной поляры (§ 4 работы [1]), величине сопротивления пластинки, распо' ложенной под углом атаки а = 90° к направлению невозмущенного потока (§ 3 работы [1]). Однако содержание § 5 работы [I], в котором определяются зависимости сї=/(а) и су = /(а) плоской пластинки бесконечного размаха при отрывном обтекании обеих кромок в диапазоне углов атаки акрИт < “ < 90°, Тре.

бует пересмотра, поскольку в настоящем варианте обоснования соотношения П = рв^ не предполагается существование вязких сил, приложенных в областях передней и задней острых кромок пластины.

Поэтому условием для определения величины подсасывающих сил на передней и задней кромках По и Пв при ненулевой толщине вытеснения диссипативного следа остается условие

Г = 0, (17)

применявшееся в работе [1] только для случая нулевой толщины вытеснения

диссипативного следа.

Возможность появления Г^О исключается в рассматриваемом случае отрывного обтекания пластинки, ибо это нарушало бы условие перпендикулярности вектора результирующей силы к поверхности пластинки (рис. 3). Подъемная сила в этих условиях может создаваться только из-за сопротивления, в то время как при Г ф 0 и бесконечном размахе подъемная сила создается при нулевом сопротивлении. Расчеты показывают, что применение условия (17) практически не вносит количественных изменений в зависимость су=/(а)

в диапазоне углов атаки «Крит<а<90°. представленную в § 5 работы [1].

ЛИТЕРАТУРА

1. Таганов Г. И. Модель происхождения циркуляции у крыла бесконечного размаха с острой задней кромкой при больших числах Рейнольдса. — Препринт № 5. Сектор механики неоднородных сред АН СССР, 1980.

2. Т а г а н о в Г. И. О втором диссипативном слое и следе в вязком течении около тела. — Ученые записки ЦАГИ, 1970, т. I,

№ 6.

3. Таганов Г. И. Вязкая диссипация и законы сопротивления тел при 0<'Ие<1. — В сб.: Численные методы механики сплошной среды, т. 4, № 3. Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1973.

Рукопись поступила 21Ш 1984 г.