Законы подобия для трехмерного стационарного отрывного обтекания тел жидкостью и газом Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том I

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И

__ .

№ I

УДК 532.526.5 .

533.6.072.2

ЗАКОНЫ ПОДОБИЯ ДЛЯ ТРЕХМЕРНОГО СТАЦИОНАРНОГО ОТРЫВНОГО ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ ЖИДКОСТЬЮ И ГАЗОМ

А. А. Никольский

В рамках теории идеальной жидкости и газа для трехмерного отрывного обтекания тел малого удлинения указываются предельные переходы, при которых становится асимптотически справедливым закон плоских сечений, позволяющий свести задачу о трехмерном стационарном отрывном обтекании к задаче о двумерных нестационарных отрывных обтеканиях плоских тел. В пределах применимости закона плоских сечений устанавливаются общие и частные законы подобия для стационарного трехмерного течения. В частности, для прямоугольной пластины весьма малого удлинения %, обтекаемой под углом атаки а, получается предельный закон подобия Су/а5,Э — С = const.

В случае отрывного обтекания тел реальной жидкостью, когда течение развилось и носит регулярный характер, а число Рейнольдса велико, влияние вязкости проявляется только в тонких слоях, где происходит резкое изменение скорости. Эти слои, занимающие ничтожный объем, вовлекают из основного потока ничтожные массы жидкости. Силы трения для этих слоев являются внутренними, поэтому из краевых условий и уравнений движения для основного потока вязкость исчезает. В результате приходится делать вывод о том, что при Ие -^оо срывное течение в окрестности тела полностью определяется в рамках течения идеальной жидкости.

Результаты настоящей работы относятся к таким случаям стационарного отрывного трехмерного обтекания тел жидкостью и газом, которые полностью определяются при наличии предположения о том, что жидкость и газ являются идеальными, лишенными трения. Имеется обширная литература, посвященная исследованию таких течений; обзор работ в этой области содержится в [1]. Наиболее близкими к таким течениям являются течения при больших числах Рейнольдса около тонких крыльев достаточно малого удлинения, $огда при огибании потоком жидкости или газа острых передних или ‘ПОКОВЫХ кромок образуется отрывное течение с отходящими от кромок спиралевидными поверхностями Т тангенциального разрыва ско-

роста (вихревыми поверхностями) (фиг.. 1). В несжимаемой жидкости и при дозвуковых скоростях рассматриваемые течения всегда образуются в тех случаях, когда кромка не является «безударной» для безотрывного обтекания (кромку кесущей поверхности S назовем безударной, если в окрестности этой кромки нет перетекания жидкости или газа с одной стороны S на другую). При обтекании крыльев сверхзвуковым потоком такие течения образуются в случае дозвуковых кромок, если последние не являются безударными для безотрывного обтекания. Такого рода течения постоянно наблюдаются в эксперименте.

Наличие спиральных отрывов приводит к образованию дополнительных подъемной силы и сопротивления несущих поверхностей. Механизм образования этих сил состоит в том, что часть жидких частиц из невозмущенного потока попадает в область между витками расширяющейся по потоку вихревой спиральной поверхности, теряя в значительной мере слагающую количества движения, нормальную к несущей поверхности.

1. ЗАКОНЫ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

Введем обозначения: xyz— прямоугольная система координат; a, v, w — компоненты вектора V скорости по осям х, у, z; р — дав-

!/•--Г \я V U2+V2+W^

ление; р — плотность; а = у ур/р — скорость звука; М = -----——-----

число М; индексом „оо“ будем обозначать значения газодинамических величин в однородном набегающем потоке.

Пусть Woo Ф 0, «о, = г»оо = 0.

Рассмотрим обтекание невязкими несжимаемой жидкостью или газом семейства аффинно-подобных несущих поверхностей S малого удлинения, задаваемых уравнениями

FS{X,Y,Z) = 0, x = xLX, у = tLY, г = LZ

ИЛИ г V TV 1 т 7

x = LxX, y = L1Y, z = — LxZ,

где L, Li — постоянные с размерностью длины,

't — безразмерный параметр.

Нужно удовлетворить следующим условиям: несущая поверхность S и спиральные поверхности Т тангенциального разрыва скорости являются с обеих их сторон поверхностями тока; при переходе через поверхности Т давление не терпит скачка; поверхности Т должны ликвидировать особенности на довзуковых острых кромках. В случае сверхзвуковых скоростей, кроме того, нужно выполнить обычные условия сохранения на скачках уплотнения.

Во всех случаях положим

Р — /J00 = 4-p00'tt)^t2P, и=хда00[/) -о = хWoo V, |

z (1-2) W = Woo(l + №). I

Газ будем считать совершенным, лишенным трения и теплопередачи, с постоянными теплоемкостями ср, cv и уравнением изоэн-тропы piрТ = const, где ’\=Cpjcv — const.

Перейдем к независимым переменным X, Y, Z в уравнениях движения и упомянутых выше условиях на несущих поверхностях S, поверхностях Г тангенциального разрыва и скачках уплотнения Е, подобно тому, как это сделано, например, в монографии [2].

(1.1)

Совершим в полученных уравнениях следующие предельные переходы:

т-»0 при 0<Моо<1, (1.3)

Моох -» 0 при М«з> 1, (1.4)

х -> 0 при Moo > 1, Moo х = k = const. (1.5)

При переходах (1.3), (1.4) дополнительно положим

Р = Роо(1 +^R), (1.6)

а при переходе (1.5) —

р = роо R. (1.7)

Полагая во всех случаях безразмерные величины X, Y, Z, U, V, W, Р, R имеющими порядок единицы, получим при предельных переходах (1.3) — (1.5) в каждом случае соответствующие предельные дифференциальные уравнения и предельные краевые задачи для функций U(X, Y, Z), V{X, Y, Z), W(X, Y, Z), P(X, Y, Z), R (X, Y, Z). При переходах (1.3), (1.4) условие постоянства энтропии

„ R К*

вдоль линии тока дает зависимость -р = —^— •

При этом уравнение поверхности Т тангенциального разрыва во всех случаях должно искаться в форме FT(X, Y, Z) = 0; уравнение поверхности скачков уплотнения 2 при предельном переходе (1.5) ищется в аналогичной форме fs (X, Y, Z) = 0. При переходе {1.4) нельзя задаваться предельным уравнением поверхности скачков уплотнения в такой форме, однако при х -» 0 их влияние становится пренебрежимо малым, ибо интенсивность скачков стремится к нулю, а сами они в масштабе переменных X, Y, Z удаляются на бесконечность. В случае перехода (1.3) в передней части обтекаемой несущей поверхности, вообще говоря, остается область, включающая точку полного торможения потока, где сделанная нами оценка w — w(X(l-j-x2W) становится неверной, однако эта область в пространстве X, У, Z стягивается в точку при г -* 0. Следует предполагать, что в указанной области невозможно течение со стационарными поверхностями тангенциального разрыва, отходящими от несущей поверхности, а возможно только нестационарное пульсирующее течение.

Если после сделанных упрощений снова перейти к исходным размерным величинам и формально сделать замену z = wcat, то получим закон плоских сечений: функции и(х,у, z) = u(x, у, wxt)\ V(x, у, z) = v(x, у, 7000 О; р(х, у, z) = p(x,y, Woo t); р(Х, у, z) = = р(х, у, Was t) удовлетворяют системе уравнений плоского нестационарного движения жидкости или газа, условиям на несущей поверхности, поверхности тангенциальных разрывов и скачках уплотнения. Полученные функции определяют нестационарное течение, вызванное в плоскости движением линии (поршня) по закону Fs(x/xL, y/xL, Wxt/^ — O или Fs(x/Lu yjLu xWoot/LJ = 0 в первоначально невозмущенных жидкости или газе.

При переходах (1.3), (1.4) получается плоское нестационарное потенциальное движение несжимаемой жидкости с линиями тангенциального разрыва скорости, ликвидирующими особенности на острых кромках, а при переходе (1.5) — плоское нестационарное движение сжимаемого газа с линиями тангенциального разрыва, отходящими от поверхности S, ударными волнами и т. д. Задача об отыскании законов этого движения в рассматриваемом случае, когда 5 является несущей поверхностью (телом нулевого объема),

1*

з

физически и математически корректна. Если вместо поверхности S взять тело, имеющее по длине переменную площадь сечения плоскостями z = const, то при предельном переходе (1.5) рассматриваемая эквивалентная плоская нестационарная задача продолжает оставаться корректной, но при переходах (1.3), (1.4) эта задача физически некорректна, так как плоское движение контура переменной площади в несжимаемой жидкости приводит к бесконечным значениям давления на бесконечности и бесконечно большой кинетической энергии жидкости. Эта задача физически и математически корректна, если площадь сечения тела плоскостями, нормальными к потоку, не изменяется вдоль ОСИ Z.

2. ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ПОДОБИЯ

Соотношения (1.1) и (1.2) дают законы подобия при каждом из предельных переходов (1.3)—(1.5). При этом U, V, W, Р, R являются функциями X,Y,Z, а т — параметром аффинного подобия обтекаемых

тел. Для компонентов Рх, Ру, Рг равнодействующей сил давления Р и их коэффициентов имеем:

рх = Я (Р - Р*) dydz-^-pnWl^xL* Я Р(Х, Y, Z)dY dZ,

Ру = Я (Р —Poo) dxdz = ~ Роо<, т2 т L2 Я Р (X, Y, Z) dX dZ,

Рг = SJ (Р -Pj dxdy = Роо < т* т* Я Р(Х, Y, Z)dXdY,

с,/т2 = 2Рх1(рт < =Я Р (X, Y,Z)dYdZ = Cu (2.1)

cy/x* = 2Ру/(роо т*)= | f P(X, Y, Z) dX dZ = C2, (2.2)

^/t3 = 2P,/(Poc<xZ.2.3) = jjP(x, Y, Z)dX dY = C3. (2.3)

В случае предельных переходов (1.3) и (1.4) С,, С2, С3 являются постоянными, зависящими только от формы несущей поверхности S; в случае же перехода (1.5) Сг = C^k), C2 — C2(k), С3 = С3 (k) являются функциями параметра подобия к = Moot, если семейство аффинноподобных поверхностей S фиксировано. Таким образом, рассматриваемый закон подобия, включающий и течения с отходящими от тела спиральными поверхностями тангенциального разрыва, совпадает с обычным законом гиперзвукового подобия [6]. Если поверхность S представляет собой плоскую пластину, поставленную под углом атаки а к набегающему потоку, то, полагая т = а, получим закон подобия для предельных переходов (1.3) и (1.4):

с, = <**/(*/«), (2.4)

где К — удлинение пластины (отношение среднего размаха к средней хорде), функция / определяется формой пластины.

Для предельного перехода (1.5) при этом получим

с, = а2т^-, л), £ = Моох, (2.5)

где функция <р определяется формой пластины.

3. ОБТЕКАНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО КРЫЛА МАЛОГО УДЛИНЕНИЯ В ПРЕДЕЛАХ ПРИМЕНИМОСТИ ЗАКОНА ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

В работе [3] для случая несжимаемой жидкости рассматривается движение пластины постоянной ширины I из состояния покоя /=0 с постоянной скоростью г»0 в условиях образования срыва потока („вторая форма движения“) с ее концов (фиг. 2). При этом для

силы, дополнительной к силе, действующей на пластину при ее безотрывном обтекании, получено в обозначениях работы [3] [см. формулу (6)] выражение

Эта задача по закону плоских сечений эквивалентна задаче симметричного стационарного обтекания трехмерным потоком [при предельных переходах (1.3) и (1.4)] плоской прямоугольной пластины шириной I под углом атаки а = г»0/и/оо со скоростью w«, на бесконечности (фиг. 3). Пользуясь обозначениями настоящей статьи ,и полагая Z = W00 t, находим при помощи формулы (3.1) подъемную силу пластины длиной (хордой) г

Для коэффициента дополнительной подъемной силы су получаем

где Х = //2 — удлинение пластины.

Таким образом, имеет место следующая закономерность: при обтекании прямоугольной пластины предельно малого удлинения идеальными жидкостью или газом коэффициент дополнительной подъемной силы, обусловленной отрывом потока, пропорционален углу атаки в степени 5/3 и удлинению в степени 1/3.

Фиг. 2

Фиг. 3

(3.1)

здесь С — универсальная постоянная.

о о

(3.2)

Выражение (3.2), которое можно написать в виде

(3.3)

полностью согласуется с общим законом подобия (2.4).

Выражения (3.2) и (3.3) дают зависимость коэффициента пластины от удлинения \ и угла атаки а при предельном переходе Х-»0, МоД-*0, л/к -* 0. Выполнение двух первых условий необходимо для правомерности использования здесь закона плоских

Ч) t

сечений, условие aj\ = —J— <1 лежит в основе вывода формулы (3.1).

При исходном симметричном безотрывном обтекании пластины с неизменной по времени шириной I потоком несжимаемой жидкости со скоростью v^ — Woo а главный член разложения комплексного

потенциала те;, в точке кромки х = —> У = 0 будет иметь вид

= &i VS, где kl — ,v0 УТ, S = х + iy + — формула (12) работы [3].

Обозначая квадратными скобками размерность физической величины,, получим [■»„] = LjT, [l\—L, [k1] = L3l2T, где L и Т — соответственно размерности длины и времени. Поэтому при £>0 в рассматриваемой нестационарной задаче, как это следует из анализа размерностей величин [3], уравнение спирального тангенциального разрыва

в окрестности кромки х — —g- запишется в виде r=Ckll3t2l3R(b)r

где г — расстояние от кромки х =—= В — полярный угол;

С — универсальная постоянная. Полагая = v0 УI = a У I, t = zj Woe, получим асимптотическое уравнение трехмерной вихревой пелены для пластины весьма малого удлинения: г/1= Са2/3(г//)2/3/? (6). Такое же уравнение для вихревой пелены в окрестности ее конца получено в работе [4], посвященной исследованию сворачивания пелены. Для определения константы 67(1 /2, 0), входящей в формулу

(3.2), и функции /?(0) необходимо решить задачи, эквивалентные сформулированным в работе [5].*

Формула (5) работы [3] относится к более общему случаю обтекания пластины шириной / по закону v0(t) = k' tm, где m, k' — постоянные. Полагая z = wo0t, получим для коэффициента дополнительной подъемной силы прямоугольного крыла, составленного из прямолинейных отрезков, параллельных оси х, и изогнутого по закону у= — azm+1 (а = const),

где г — длина крыла.

Для коэффициента дополнительного сопротивления сг получим

/zpooTC^/2 /гров®*,/2

При этом &' = (т + \)аШ^+у. На несущей поверхности имеем йу/ЮиМ == — к,’Р*. Величина погонной подъемной силы.У2 на единицу длины крыла после дифференцирования обеих частей равенства (5) работы [3] составляет

О / 1 \ 5т-1

У2 = ~ (2 + 5т) (к'Т* т) ГГ" .

* * *

ЛИТЕРАТУРА

1. К uchemann D. Report on the IVTAM. Symposium on concentrated vortex motions in fluids. J. Fluid Mech., vol. 21, pt. 1, 1965, pp. 1+-20.

■ 1 p н ы й Т. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. Физматгиз, 1959. •;

3. Никольский А. А. О силовом воздействии «второй» формы гидродинамического движения на плоские тела (динамика плоских отрывных потоков). ДАН СССР, т. 116, № 3, 1957,.

, , 4. К a d е п Н. Auf Wiklung einer unstabilen Unstatigkeitsfloche.

Ing^nier-Archiv, Bd. II, 1931, S. 149—168.

5. Никольский А. А. О «второй» форме движения идеальной жидкости около обтекаемого тела (исследование отрывных вихревых потоков). ДАН СССР, т, 116, № 2, 1957.

6. Ильюшин А. А. Закон плоских сечений в аэродинамике боль-

ших сверхзвуковых скоростей. «Прикладная математика и механика», 1965, т. 20, вып. 6. :

Рукопись поступила 12/VI 1969 г.