CC BY
87
Том /
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
__
№ 3
УДК 532.5.032
О ПРЕДЕЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЯХ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ СО СТАЦИОНАРНЫМИ СРЫВНЫМИ ЗОНАМИ
ПРИ Яе оо
Г. И. Таганов
Рассмотрены предельные течения вязкой несжимаемой жидкости, к которым стремятся при безграничном увеличении числа Рейнольдса течения со стационарными срывными зонами за плоскими симметричными телами. Получены количественные результаты в случае циркуляционного течения внутри срывной зоны.
Качественное исследование поля возможных течений вязкой жидкости со стационарными срывными зонами при больших числах Рейнольдса Ке, когда течение в тонких слоях смешения и трения может быть описано уравнениями Прандтля, проведенное в работе [1], дополняется ниже некоторыми количественными асимптотическими результатами при Ие —- оо для случая невырожденного течения внутри срывной зоны с циркуляционным ядром. Проводится анализ глобальной картины течения около плоского тела (поперечный размер тела й) с неограниченно растущей при Яе —► оо протяженностью срывной зоны 1к и уточняется локальная картина течения вблизи тела, описанная в [1]. Анализ локальной картины течения вблизи тела и в области присоединения позволяет получить асимптотическую формулу для коэффициента сопротивления симметричного плоского тела при Не—-оои наличии дисси-патора. ■
Качественное исследование зависимости сх=[ (1?е) для плоской пластины, установленной перпендикулярно потоку и обтекаемой со стационарной срывной зоной, приводит к интересному парадоксу: начиная с
некоторого, достаточно большого числа Ие = —, сопротивление
пластины, установленной перпендикулярно потоку, становится меньше сопротивления той же пластины, установленной под нулевым углом1 атаки и обтекаемой без отрыва потока при том же числе Рейнольдса: Этот парадокс является следствием полученного в работе асимптотического закона сопротивления цилиндрических тел, имеющих симметричную форму сечения, обтекаемых со стационарными срывными зонами при Кей->оо: с_г~Не^1.
Приводятся результаты расчетов по определению формы контура срывной зоны, отвечающей предельному состоянию течения при
Ие -*ое около симметричного плоского тела конечной протяженности (предельно слабый диссипатор — точка Д когда сх = 0, А= и'1 — и2т = = 0[1]). Оказалось, что контур срывной зоны в этом случае близок эллипсу, но не совпадает с ним, большая ось его направлена по потоку, а малая ось составляет примерно 60 % от большой оси.
Форма контура срывной зоны при предельном течении (Ие -» оо, А = 0) сопоставляется с формой контура срывной зоны, полученной в результате численного решения уравнений Навье — Стокса для случая обтекания круглого цилиндра при Ие = 500[2]. Оказывается, что неожиданное для авторов работы [2] увеличение относительной толщины контура срывной зоны при Ие = 500 вполне закономерно и свидетельствует о приближении картины течения при Ие = 500 к предельной картине течения при Не —► оо и А = 0.
В заключение анализируются причины неприменимости ранее предложенных моделей течения [3]—[7] для описания предельного течения вязкой жидкости со стационарной срывной зоной при Ие-^оо. Обращается внимание на сходство некоторых свойств у предельного течения (Ие —* со и Л = 0) и у циркуляционного течения Жуковского: оба они относятся к классу плоских течений с теоретически бесконечной кинетической энергией возмущенного движения, но с нулевым значением коэффициента сопротивления при установившемся движении.
§ 1. ГЛОБАЛЬНАЯ КАРТИНА ПРЕДЕЛЬНЫХ ВЯЗКИХ ТЕЧЕНИЙ СО СТАЦИОНАРНОЙ СРЫВНОЙ ЗОНОЙ ПРИ Яе^оо
Поскольку, как показано в работе [1], протяженность срывной зоны 1ь неограниченно возрастает при Ие-^оо и значениях параметра
—2 —2
Д>0, характеризующего эффективность диссипатора (Д = ий— иг,
- % — Иг
ик = —\ ит = — , где ик, ыг — соответственно скорости в точках на
Иоо Чоо
внешней и внутренней границах вязкого слоя смешения, отделяющего внешнее потенциальное и внутреннее вихревое невязкие течения, а «оо—скорость невозмущенного потока), становится нецелесообразным использование размера тела й в качестве характерной длины. Удобнее в этом случае при исследовании глобальной картины течения взять в качестве характерной длины протяженность
срывной зоны 1к и перейти к безразмерным координатам х = ^~,
‘■к
у =-у-. Легко видеть, что случай вырожденного течения внутри * _
срывной зоны (иг = 0, Д=1), имеющий место при Ие -» оо и наличии предельно сильного диссипатора* внутри срывной зоны, когда внешнее течение может быть описано с помощью модели_Гиль-барга — Эфроса, изобразится в плоскости ху отрезком оси х, расположенным между точкой л; = 0 (тело) и точкой х = 1 (область присоединения) (фиг. 1).
При понижении эффективности диссипатора (случай 0<Д<1) внутри срывной зоны возникает циркуляционное течение с посто-
* В соответствии с работой [1] предельно сильному диссипатору соответствует вырожденное течение внутри срывной зоны без циркуляционного ядра.
янным вихрем. Статическое давление в срывной зоне непосредственно за телом и непосредственно перед областью присоединения повышается до значения, равного давлению торможения для граничной линии тока внутреннего вихревого невязкого течения
2 (D D )
р — —-----------5-^-=: 1 —А. Следовательно, в окрестности точек (0, 0)
рМ“ _ _
и (1, 0) плоскости х у внешнее потенциальное течение должно обеспечивать именно это статическое давление, т. е. величина скорости в этих точках должна быть
равна —= VI. Это требование
Чао
может быть выполнено только в том случае, если контур срывной зоны будет иметь в точках (0, 0) и (1, 0) нулевой угол заострения, а также отличную от нуля относительную толщину _ушах (фиг. 2),
Фиг. 1
Фиг. 2
Фиг. 3
т. е. поперечный размер срывной зоны должен быть величиной порядка протяженности срывной зоны по потоку.
В случае когда Л = 0 (предельно слабый диссипатор), при неограниченном росте протяженности срывной зоны 1и с числом Ие требование нулевого угла заострения в точках (0, 0) и (1, 0), как это видно из предыдущего, отпадает и течение в окрестности тела и области присоединения стремится к покою [1]. Контур срывной зоны с конечным углом заострения в точках (0, 0) и (1, 0) имеет в этом случае (Д = 0) вид, представленный на фиг. 3.
§ 2. ЛОКАЛЬНАЯ КАРТИНА ТЕЧЕНИЯ ВБЛИЗИ ТЕЛА И В ОБЛАСТИ ПРИСОЕДИНЕНИЯ ПРИ 0<Д<1
Наличие нулевого угла заострения у контура срывной зоны в точках (0, 0) и (1, 0) приводит к тому, что внутреннее течение с постоянным вихрем близко к застойному в достаточно протяженных по направлению оси х участках, примыкающих к точкам (0, 0) и (1, 0). Рассмотрение внутреннего течения с постоянным вихрем в окрестности угловой точки клина с углом раствора (3 приводит
1*
3
диг „ *
к следующему соотношению для величины —в угловой точке*:
дх
^ = (2-1) дх 2
ди
Следовательно, при р = 0 и конечном значении 2 —^- = 0 при
дх _
— — д^р х=0ах=], а из уравнения Бернулли следует, что и -^=- = 0 в
дх2
этих точках. Таким образом, за телом и перед областью присоединения имеют место участки с почти постоянным статическим давлением: р = 1 — Д.
Если теперь вернуться к использованию в качестве характерной длины размера тела й, то легко обнаруживается локальное совпадение картины течения вблизи тела в рассматриваемом случае с локальной картиной течения около тела, обтекаемого при наличии свободных линий тока, сходящих с поверхности тела (течение Кирхгофа).
Важным свойством течений со свободными границами является то, что локальная картина внешнего потенциального течения вблизи тела слабо зависит от условий течения вдали от тела, в том числе и от скорости невозмущенного потока, а определяется формой тела, положением точек схода струй на теле и величиной скорости на свободных линиях тока, примыкающих к телу. Это свойство неизменно подтверждается точными численными расчетами течений со свободными границами по схемам Рябушинского и Гильбарга — Эфроса в широком диапазоне изменения числа кавитации
—Рь_ е ПрИ значительном изменении конфигурации гло-
Р оо
2
бального течения, в частности, при значительном изменении относительной толщины каверны), а также при достаточно близком расположении жестких границ канала к обтекаемому телу. Отсюда вытекает важное следствие: коэффициент сопротивления тела, отнесенный к скорости на свободных границах, примыкающих к телу,, не зависит от скорости набегающего потока и равен коэффициенту сопротивления тела сх к, обтекаемому по схеме Кирхгофа, когда скорость на свободных границах равна скорости невозмущенного потока и число <3 = 0:
9 X
= (2'2> Теперь легко перейти к обычному коэффициенту сопротивления тела, отнесенного к скорости невозмущенного потока:
с= с.
(2.3)
* Это вытекает из качественного анализа течения в угловой точке, проведенного В. С. Садовским (описание течения приводится в § 4).
окончательно, с использованием (2.2), получаем;
с х = схК% = сх{0){\ + О).
иоо
(2.4)
Формула (2.4) давно используется при расчетах кавитационных течений и неизменно подтверждается опытом (см., например, [8], [9]).
2тг
Для плоской пластины схк = ^ , ^^0,88, для кругового цилиндра в
зависимости от принятого положения точки отрыва величина сх меняется от 0,5 до 0,55. Первая цифра лучше подтверждается опытом [9].
Совпадение локальной картины внешнего потенциального течения около тела со срывной зоной при наличии диссипатора внутри зоны, обеспечивающего заданную величину параметра Д, и локальной картины течения со свободными линиями тока позволяет получить величину коэффициента сопротивления давления сх 1, действующего на тело в общем случае циркуляционного течения внутри срывной зоны. и'к _ ,
Так как—=у Д, где ик — скорость в точке (0, 0) плоскости
____ Мэо
х у, то из (2.4) имеем:
сх\==схк Д. (2.5)
Однако это только часть коэффициента сопротивления системы тело + диссипатор. Необходимо определить еще силу, действующую на диссипатор [1].
Обратимся к нахождению условий, необходимых для существования течения в целом, т. е. условий, при которых возможно сопряжение внутреннего течения с постоянным вихрем, описываемого уравнением Пуассона, с- внешним потенциальным течением, описываемым уравнением Лапласа при наличии тела и области присоединения. Здесь опять оказывается существенным совпадение локальных картин течения вблизи тела и в области присоединения за срывной зоной с локальными картинами в соответствующих областях течения со свободными границами.
Для симметричного относительно оси х течения Рябушинского, образованного двумя пластинами, перпендикулярными направлению набегающего потока, Демченко [10] доказал теорему, согласно которой течение Рябушинского существует только в случае пластин одинакового размера.
В предположении о независимости локальной картины течения около пластины от условий течения вдали от пластины, т. е. в том же предположении, при котором была получена формула (2.4), теорема
У
/} V а:
Фиг. 4
Демченко может быть доказана следующим путем. Сопротивление системы из двух пластин разной длины, жестко связанных между собой и обтекаемых по схеме Рябушинского (нулевая линия тока совпадает с контуром АВСБ на фиг. 4), согласно парадоксу Эйлера — Даламбера должно быть равно нулю:
*ав+Хс5 = 0- (2-6)
Однако к пластине АВ приложена сила сопротивления, равная согласно формуле (2.4):
___рц2
Xj-b = AB i-fCxK(Q + 1), (2.7)
а к пластине CD — сила
___ри2
Xw=-CDV-fcxK{Q + \). (2.8)
Так как величины Q и с*к одинаковы для обеих пластин, то для выполнения (2.6) необходимо, чтобы
АВ = CD. (2.9)
Обобщение теоремы Демченко на случай невязкого течения с постоянным вихрем внутри контура ABCD и конечным скачком постоянной Бернулли на границе ВС (случай 0<Д<1) проводится аналогично, но с использованием дополнительно совпадения локальных картин течения, т. е. в тех же предположениях, при которых получена формула (2.5):
XlXB=ABV-fcxKA;
Xicd = ~ CD ^с.кД.
Поскольку схк и Д одинаковы для обеих пластин, то из (2.6) следует:
AB = CD.
Таким образом, внутреннее течение с постоянным вихрем в обобщенной схеме Рябушинского может быть сопряжено с внешним потенциальным течением при наличии конечного скачка постоянной
AB+CD _
Бернулли на линии сопряжения и, строго говоря, при —2 AD----*
только при одинаковой длине ограничивающих течение пластин.
Конечно, схема Рябушинского неприменима к описанию течения в области присоединения за срывной зоной. Для описания течения в этой области подходит модель, предложенная в работе [1], использующая схему Гильбарга—Эфроса с возвратной струей. Два размерных параметра определяют локальную картину течения в области присоединения: толщина возвратной струи, равная 2 8+> где 8+ — толщина приобретения импульса в вязком граничном слое циркуляционного течения (характерный линейный размер), и величина скорости на свободных линиях тока. Можно ожидать, что толщина возвратной струи в течении Гильбарга — Эфроса должна составлять вполне определенную
долю от длины пластины, так же как размер замыкающей пластины в течении Рябушинского связан с размером передней пластины для возможности реализации течения в целом. Действительно, сила Х~щ, с которой замыкающая пластина в течении Рябушинского действует на поток, обеспечивается в течении Гильбарга — Эфроса реакцией возвратной струи, возникающей при изменении направления движения жидкости, образующей струю, на 180°. В самом деле, толщина возвратной струи при ри = р<х> составляет 0,22 й [9]; реакция струи, равная изменению количества движения жидкости при повороте струи в обратном
направлении, составляет 2р «с» • 0,22-£?• Иоо = 0,88-^—т. е. в точности
равна силе, с которой замыкающая пластина в течении Рябушинского при Ри = Р°° действует на поток.
Следовательно, для реализации течения в целом толщина возвратной струи в области присоединения должна быть вполне определенной, обеспечивающей реакцию струи, равную по величине сопротивлению давления, действующему на тело.
Поскольку теперь известны параметры возвратной струи, может быть определена сила тяги, приложенная к диссипатору, являющемуся в идеально-жидкостной модели, рассмотренной в работе [1], стоком импульса возвратной струи. Если диссипатор расположен на участке, где р ^ 1 — А, то для выполнения условия периодичности в вязком граничном слое циркуляционного течения диссипатор должен обеспечивать поглощение всего импульса возвратной струи, т. е. величина силы тяги, приложенная к диссипатору, должна составлять половину от величины реакции струи в области присоединения или, на основании изложенного выше, половину величины силы сопротивления давления, приложенного к телу:
' = (2.10)
2 Т
где Ст = ^~2~^—коэффициент тяги, приложенный к диссипатору.
Тогда с учетом (2.5) получим коэффициент сопротивления системы тело 4-диссипатор в случае невырожденного течения с циркуляционным ядром в срывной зоне:
Сх =^1 — ст с,К Д (2.11)
или, согласно (2.10),
сх = ст. (2.12)
В случае вырожденного течения в срывной зоне Д = 1, если
2тг
телом является пластина, у которой схк = ^ ^, формула (2.11) дает результат, совпадающий с полученным в работе [1] для системы пластина -}- идеальный диссипатор: сх = —.
При выводе асимптотической формулы (2.11) не учитывался эффект вытеснения, связанный с отклонением линий тока внешнего потенциального течения в области присоединения на толщину, равную толщине вытеснения внешней части вязкого слоя смешения, хотя точная идеально-жидкостная модель срывного течения, описанная в работе [1], включает этот эффект в рассмотрение. Не останавливаясь здесь на процедуре, которая может быть предложена для учета эффекта вытеснения в случае ’предельного течения при Ре->-оо, поясним механизм передачи к телу сопротивления давления, появляющегося из-за вытеснения и добавляемого к величине (2.11) в течении со срывной зоной.
В случае обтекания жесткого профиля, как известно, это происходит из-за уменьшения давления на кормовую часть профиля. Если представить себе безотрывное обтекание жесткого контура АВСй (см. фиг. 4), то из-за эффекта вытеснения сила давления, действующая на замыкающую пластину, уменьшается. По-видимому, аналогично этому потребная величина реакции струи в области смыкания струи в течении Гильбарга — Эфроса также уменьшается, а это вызывает при прочих равных условиях уменьшение тяги, действующей на диссипатор, и, следовательно, увеличение сопротивления системы тело -)- диссипатор.
§ 3. ПАРАДОКС ВЯЗКИХ ТЕЧЕНИЙ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ Ке
Выясним теперь, как будет изменяться при увеличении числа 1?е коэффициент сопротивления у симметричного плоского тела размера с1 с разделяющей пластиной, расположенной вдоль оси симметрии внутри срывной зоны.
Пусть разделяющая пластина имеет заданную длину /р порядка размера тела й и заданное расстояние между разделяющей пластиной и телом также порядка й. Таким образом, диссипатором служит вся поверхность трения разделяющей пластины и часть поверхности трения тела, примыкающая к срывной зоне. Рассмотрим сначала искусственный случай: пусть трение на тыльной стороне тела равно нулю (подвижная поверхность), а диссипация энергии возвратной струи осуществляется на разделяющей пластине, положение которой относительно тела меняется с изменением числа Ке так, что она всегда находится в области, где скорость циркуляционного течения максимальна. Поскольку максимальная скорость циркуляционного течения имеет порядок скорости невозмущенного потока, то коэффициент сопротивления
1
трения разделяющей пластины Ст будет изменяться ~Ке 2. Следовательно, и часть коэффициента сопротивления системы тело+разделяю-щая пластина (без учета сопротивления трения лобовой части тела)
_ I
будет изменяться по закону ~1?е 2,поскольку согласно (2.11) эта часть
коэффициента сопротивления системы порядка ст.
Однако в реальном случае положение разделяющей пластины относительно тела, как это оговорено выше, фиксированно и составляет величину порядка й. Поэтому с увеличением протяженности срывной зоны при Ке -* оо как скорость циркуляционного течения, так и скорость возвратной струи в месте расположения разделяющей пластины будут стремиться к нулю, так как течение будет приближаться к предельному, соответствующему А == 0 (см. фиг. 3). Значит коэффициент Ст будет
стремиться к нулю быстрее, чем по закону ~Ке 2 (предыдущий случай), а следовательно, и суммарный коэффициент сопротивления
системы (с учетом коэффициента сопротивления трения лобовой части
2
тела, стремящегося к нулю быстрее, чем Ие 2, из-за стремления местной
характерной скорости и' к нулю) будет стремиться к нулю быстрее, чем
_1_
1?е~Т .
При очень быстром падении и малых значениях коэффициента сопротивления, связанного с трением в вязком пограничном слое циркуляционного течения, нельзя уже пренебрегать величиной вязкой диссипации во всей области циркуляционного течения с постоянным вихрем и во всей области внешнего потенциального течения. Легко показать, что работа, необходимая для поддержания установившегося потенциального обтекания срывной зоны и плоского циркуляционного течения с постоянным вихрем в предельном течении (см. фиг. 3), обеспечивается, если закон сопротивления имеет вид
сх = А Ие*1, (3.1)
где А — число, зависящее только от конфигурации срывной зоны. Для конфигурации течения, представленного на фиг. 5, А = 45 тт.
В самом деле, вязкая диссипация Е во внешней области течения и в области циркуляционного течения с постоянным вихрем,
не зависящая от размера /*, пропорциональная ^ [-^ дол-
жна быть обеспечена работой силы сопротивления тела, пропорциональной ри3хсхй, т. е. — ри3сясхй, откуда и следует (3.1).
Если коэффициент сопротивления тела со срывной зоной при
__1
->■ оо падает быстрее, чем по закону сл.'~Не<* 2, справедливому при безотрывном обтекании тонких профилей и, в частности, при безотрывном обтекании пластины, установленной под нулевым углом атаки, то имеет место интересный парадокс: начиная с некоторого достаточно большого числа Яе при дальнейшем увеличении числа Яе сопротивление пластины, установленной перпендикулярно потоку, становится меньше сопротивления той же пластины, установленной под нулевым углом атаки и обтекаемой без отрыва потока при том же числе Яе.
§ 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМЫ КОНТУРА СРЫВНОЙ ЗОНЫ В ПРЕДЕЛЬНОМ ПЛОСКОМ ТЕЧЕНИИ ПРИ 1*е - оо И Д = 0
Математически более простой является задача определения формы контура срывной зоны предельного течения при отсутствии скачка постоянной Бернулли на границе контура, т. е. случай А = 0 (см. фиг. 3). Если учесть, что этому случаю отвечает предельное состояние течения вязкой жидкости около реального симметричного тела конечной протяженности (с разделяющей пластиной конечной длины или без нее), коэффициент которого стремится к нулю при Яе^-оо, то рассмотрение этого случая представляет наибольший интерес.
Вначале была сделана попытка грубо оценить форму контура, находя течение с постоянным вихрем из решения уравнения Пуассона внутри заданного контура и внешнее потенциальное течение около того же контура, добиваясь путем варьирования геометрических параметров контура при точном удовлетворении граничных условий лишь в некоторых точках контура минимальной среднеквадратичной разности скоростей внешнего и внутреннего течения вдоль всего контура, обладающего двумя осями симметрии. Вычисления, проведенные Н. П. Синицыной,
показали, что если искать решение задачи в классе эллиптических контуров, то среднеквадратичная разность скоростей вдоль всего контура (характеризующая величину ошибки при удовлетворении граничному
условию) при варьировании отношения полуосей эллипса ~ в диапазоне от 0,1 до 1,0 имеет острый минимум при ~^ = 0,64. Величина
среднеквадратичной разности скоростей составляет при этом около 7% скорости невозмущенного потока. Из этой, как видно, достаточно грубой оценки следовало, что контур срывной зоны близок, но не совпадает с эллипсом, большая ось которого направлена по потоку, а малая ось составляет примерно 0,64 от большой оси.
Метод совместного решения внутренней и внешней задачи, предложенный В. С. Садовским, позволяет определить контур с
большой точностью. На фиг. 5 в координатах х = и у = предал *£
ставлен контур, вычисленный В. С. Садовским на ЭЦВМ (нанесены также линии тока внутреннего течения при ф = — 0,01; —0,02;
— 0,03; ^ отнесено к величине вихря 20 и квадрату половины длины зоны).
В таблице приведены координаты контура.
_
X У X У X У X У
0 0 0,025 0,0610 0,150 0,192 0.350 0,282
0,0005 0,0030 0,035 0,0770 0,165 0,202 0,375 0,287
0,001 0,0053 0,045 0,0913 0,180 0,212 0,400 0,292
0,002 0,0092 0,055 0,104 0,195 0,221 0,425 0,295
0,0035 0,0142 0,065 0,116 0,210 0,229 0,450 0,298
0,005 0,0187 0,075 0,127 0,225 0,237 0,475 0,299
0,0075 0,0254 0,090 0,143 0,250 0,248 0,500 0,2995
0,010 0,0315 0,105 0,157 0,275 0.258
0,015 0,0424 0,120 0,170 0,300 0,267
0,020 0,0521 0,135 0,181 0,325 0,275
Как видно, относительная толщина контура срывной зоны 2 г/тах — = 0,599, т. е. близка к оценке; форма контура близка к эллиптической в области максимума толщины, но отклоняется от эллиптической при подходе к кромкам контура в сторону большего заострения контура.
Представляет интерес сравнение формы контура предельного течения при Ие^ОО иД = 0с контуром срывной зоны, полученной из численного решения задачи обтекания плоского симметричного тела, описываемого уравнениями Навье — Стокса, при умеренных числах Ие. До последнего времени с помощью численных методов решения уравнений Навье ■— Стокса удавалось с достаточной точностью получать обтекание плоских симметричных тел до числа Ие порядка 100. Недавно
Зон и Ханратти [2] получили численное решение уравнений Навье •— Стокса для кругового цилиндра при Ие = 500 с применением достаточно мелкой сетки (14 000 точек сетки) и при затрате большого времени (19 час на ИБМ360, модель 75). Они получили при Яе = 500 неожиданно толстую срывную зону, форма которой резко отличается от вытянутых вдоль потока срывных зон, полученных при меньших числах Яе, как в их собственных расчетах, так и в работах других авторов, а так-
— х — у
же в известных опытах [11]. На фиг. 6 в координатах х — у- и у=^у—
‘'к
контур срывной зоны, полученный в работе [2] при Ке = 500, сопоставлен с контуром срывной зоны предельного течения при Ие со иг А = 0. ('При использовании данных работы [2] за контур срывной зоны принималась линия тока = 0, а расстояние между центром кругового цилиндра и положением максимума толщины срывной зоны принималось равным Сравнение контуров свидетельствует о приближении
картины срывного течения уже при Ие = 500 к картине предельного течения при Ие -»оо и Д = 0.
§ 5. О РАНЕЕ ПРЕДЛОЖЕННЫХ МОДЕЛЯХ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ПРЕДЕЛЬНОГО ТЕЧЕНИЯ ПРИ Ие ^оо
Важность получения предельного стационарного течения со срывной зоной для исследования течения при умеренных числах Яе, в частности, с помощью метода асимптотических разложений, отмечалась неоднократно (см., например, [12]). Задача осложнялась невозможностью использовать при построении теоретической модели предельного течения опытные данные или данные численного решения уравнений
Навье — Стокса, так как они ограничивались числом Ие < 100 (в опытах — из-за неустойчивости стационарной формы движения).
Первые попытки построения теоретической модели предельного течения относятся к 30-м годам. В работах Сквайра [3], Имаи [4], [5] в качестве предельной формы вязкого течения при Яе -» оо рассматривалось течение Кирхгофа со свободными границами и покоящейся жидкостью в срывной зоне. Согласно этой модели при Ие -» оо коэффициент сопротивления плоской пластины стремился к конечному пределу
„
—— , протяженность срывной зоны неограниченно возрастала, толщина срывной зоны увеличивалась с расстоянием от пластины по зако-1
ну у ~ х2 . Исходя из конечности сопротивления в предельном течении, Имаи [5] получил линейную зависимость длины срывной зоны от числа Рейнольдса, которая подтверждается данными опыта и численных расчетов до числа Ие порядка 100. Однако уязвимым местом этой модели, не устраненным и 'при последней по времени попытке теоретического обоснования правильности этой модели*, является то обстоятельство, что постулированное течение внутри срывной зоны не удовлетворяет уравнениям движения при реальных граничных условиях в срывной зоне за пластиной. Как показано в работе [1], для выполнения уравнений движения внутри срывной зоны при постулированной картине течения (случай вырожденного течения без циркуляционного ядра Д = 1) необходимы специальные граничные условия (предельно сильный дис-сипатор), которые отсутствуют в реальной задаче обтекания тела, и следовательно, эта модель неприменима для описания предельного состояния вязкого течения около тела конечной протяженности при Ке —* оо.
В 1956 г. Бэтчелором [6] была предложена теоретическая модель предельного течения, в которой впервые учитывалась зависимость течения в целом от граничных условий внутри срывной зоны, управляющих интенсивностью циркуляционного течения в срывной зоне. (Соотношение между протяженностью неподвижных и подвижных участков контура срывной зоны является одним из параметров, определяющих величину вихря при произвольной форме контура срывной зоны). Согласно теоретической модели Бэтчелора, в предельном течении при 1?е -»оо протяженность срывной зоны остается конечной, сх -» 0, скачок постоянной Бернулли на границе срывной зоны конечен, контур срывной зоны в области присоединения имеет нулевой угол заострения. Однако попытки получить количественные результаты в рамках этой модели наталкивались на неустранимые вычислительные трудности. На основании данных, приведенных в § 2 настоящей статьи, можно заключить, что эти трудности принципиальные. Из этих данных следует, что при конечной величине скачка постоянной Бернулли на границе срывной зоны (А > 0) при сращивании течения с постоянным вихрем внутри зоны с внешним потенциальным течением необходима конечная (сравнимая с размером й тела) толщина возвратной струи в области присоединения, что несовместимо с требованием сх = 0.
Модель, предложенная в работе [7] (см. [13]), является в сущности
* Сычев В. В. Об установившемся ламинарном течении жидкости за тупым телом при большом числе Ие. Доклад на VIII симпозиуме по 'современным проблемам механики жидкостей и газов. Тарда, Польша, 18—23 сентября 1967 г.
Краткое изложение некоторых результатов этой работы приведено в [13].
экстраполяцией на большие числа Ие известных экспериментальных результатов авторов, которым удалось затянуть стационарный режим течения с помощью разделяющей пластины за круговым цилиндром до числа Ие?« 170 (без разделяющей пластины стационарный режим течения нарушался при 1?ея^40). Согласно этой модели в предельном течении около тела конечной протяженности при Ке —»оо течение в срывной зоне остается вязким, протяженность зоны неограниченно растет, толщина срывной зоны составляет величину порядка поперечного размера тела, коэффициент статического давления на тыльной стороне тела сохраняется постоянным, р т — 0,45. Для того чтобы соблюсти последовательность при экстраполяции опытных данных, полученных при малых числах Ие, на большие числа Ие, следовало бы экстраполировать и условия опыта. Дело в том, что длина разделяющей пластины в опытах при малых Яе всегда составляла величину порядка протяженности срывной зоны и в несколько раз превосходила поперечный размер тела. Если представить себе, что с ростом числа Яе и увеличением протяженности срывной зоны длина разделяющей пластины также растет, оставаясь все время величиной порядка 1к, то при Ие-*оо мы приходим к картине предельного течения, соответствующей случаю 0<Д<1, представленной на фиг. 2. Разделяющая пластина длиной порядка 1к является достаточно сильным диссипатором, обеспечивающим конечную величину коэффициента сопротивления системы тело+разделяющая пластина, а следовательно, согласно данным § 2 настоящей статьи, и конечную величину положительного коэффициента статического давления на тыльной стороне тела.
Таким образом, некоторые свойства, описываемые'моделью, предложенной в работе [7], сохраняют свое значение при Яе -*оо , правда, как мы видим для других условий, для тела с бесконечно протяженной разделяющей пластиной. Однако в целом эта модель неприменима для описания предельного течения даже в этих измененных условиях: данные § 1 свидетельствуют о том, что толщина срывной зоны при 0 < Д < 1 составляет величину порядка 1к, а не порядка й, как это следует из модели [7], и течение внутри области циркуляционного течения должно рассматриваться при Ие -» оо в этих условиях как невязкое.
В заключение обратим внимание на сходство некоторых свойств у предельного течения со стационарной срывной зоной около плоского симметричного и конечного тела при Ие-^оо, построенного согласно модели работы [1], и у циркуляционного течения около плоского контура, обтекаемого безграничным потоком (течение Жуковского). Как известно, течение Жуковского с конечной циркуляцией вокруг плоского контура обладает теоретически бесконечной кинетической энергией возмущенного движения жидкости при коэффициенте сопротивления равном нулю в установившемся движении (см., например, [14]). Полученное предельное течение со стационарной срывной зоной, как мы видим, обладает аналогичными свойствами. В том и в другом случае формирование стационарного течения происходит за бесконечное время после начала движения тела. В течение всего этого времени движение жидкости является нестационарным и движущееся тело (с отличным от нуля сопротивлением в нестационарном движении) затрачивает необходимую для создания течения работу. Представляется, что сходство указанных свойств у этих течений не случайное, поскольку оба они принадлежат одному классу — классу отрывных плоских стационарных течений, свойства которых значительно отличаются от свойств течений безотрывных.
Автор благодарит В. С. Садовского, предоставившего данные численных расчетов, а также Н. П. Синицыну за помощь в проведении расчетов.
1 *
ЛИТЕРАТУРА
1 Таганов Г. И. К теории стационарных срывных зон. Изв. АН СССР,' МЖГ, 1968, № 5. . , „
2. Son J. S., Hanratty T. J. Numerical solution for the flow around a cylinder at Reynolds numbers of 40, 200 and 500. J. Fluid Mech.. 1969, v. 35, p. 369.
3. Squire H. B. Phil. Mag., 1934, 17, 1150.
4. I m a i I. Discontinuous potential flow, as the limiting form of the viscous flow for vanishing viscosity. J. Phis. Soc. Japan, 1953, v. 8, p 399
5. I m a i 1. Theory of bluff bodies. University of Maryland. Tech.
Note, 1957. , .
6. Batchelor G. K. A proposal concerning laminar waces benind bluff bodies at large Reynolds number. iJ. Fluid Mech., 1956, v. 1, pt. 2.
7. Acrivos A., Show den D. D., Grove A. S. Petersen E. E. The steady separated flow past a circular cylinder at large
Reynolds numbers. J. Fluid Mech., 1965, v. 21, p. 737.
8. Биркгоф Г. Гидродинамика, М., Изд. йяостр. лит., 1954.
9 Гуревич М. Н. Теорий струй идеальной жидкости. Физматгиз, 1961. : ;■<; ,
10. Demtchenko В. Nne methode de calcul des surfaces de glis-sement aves quelques application , Coroptes .Rendus du 3-ime Congress International de Mechanigue Appl., Stockholm, 1930.
11. Grove A. S', Sharf: F. H., Petersen E. E., Acrivos A.
An experimehtal investigation of the steady separated flow past a circular cylinder. J. Fluid Mech., 1964, v. 19, pt. 1, p. 60.
12. Van Dyke M. Perturbation methods in fluid mechanics, 1964, Acsd Press
13. Acrivos A., Leal L. G., Snowden D. D., Pan F. Further experiments on steady separated flows past bluff objects. J. Fluid Mech., v. 34, part. 1, October, 1968.
14. Batchelor G. K. An introduction to fluid dynamics. Cambridge university Press, 1967.
Рукопись поступила 15JVlIl 1969 г.
