К теории течении в стационарных срывных зонах Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том I

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

___

№ 1

УДК 532.526.5

К ТЕОРИИ ТЕЧЕНИЙ В СТАЦИОНАРНЫХ СРЫВНЫХ

ЗОНАХ

В. Я. Нейланд, В. В. Сычев

Рассмотрена проблема определения предельного состояния течения в срывных зонах при больших значениях числа Рейнольдса.

При использовании известных результатов Прандтля и Бэтчелора развит метод построения полной картины течения. Получена формула для определения величины завихренности в невязкой части области возвратных течений. Предложен простой метод приближенного расчета течения при малых значениях завихренности в области возвратных течений.

Одной из основных проблем теории отрывных течений жидкостей и газов при больших числах Рейнольдса является определение асимптотического состояния потока в замкнутой зоне отрыва при Ие -*■ оо. фундаментальный результат в этой области был получен еще в 1904 г. Прандтлем [1] и позднее строго доказан Бэтчелором [2]. Они показали, что в пределе при Ие— оо плоское течение вязкой несжимаемой жид-

Фиг. 1

кости с замкнутыми линиями тока стремится к невязкому течению с постоянной завихренностью, если только не все линии тока рециркуляционной области проходят через слой смешения, являющийся частью ее границы и вырождающийся в пределе в поверхность контактного раз-

рыва. Другое возможное предельное состояние потока в зоне отрыва соответствует такому случаю, когда характерная скорость течения в этой зоне имеет величину порядка скорости, индуцируемой слоем смещения. При этом все линии тока рециркуляционной области будут проходить через слой смешения и предельным состоянием будет покой.

Использование этих результатов вместе с систематическим применением принципа сращивания локальных асимптотических разложений [3] в различных областях потока позволяет, как показано в настоящей статье, построить асимптотическую картину поля течения и полностью

©

Фиг. 2

определить вид его предельного состояния. При этом важным параметром задачи оказывается отношение длины твердой границы к длине слоя смешения (А,). Его величина определяет баланс между количеством движения, теряемым на твердых границах и подводимым в зонах смешения. В зависимости от соотношения величин 1 и Ие возможны различные виды асимптотических решений. В статье дается анализ и изложены методы расчета таких течений.

1. Существует большое количество течений, сопровождающихся образованием замкнутых зон отрыва. Такие зоны появляются, например, при сверхзвуковом обтекании вогнутых углов (фиг. 1 , а), в ближнем следе за донным срезом или ступенькой (фиг. 1,6 и в), при обтекании затупленных тел с установленными впереди иглами или пластинами (фиг. 1, г), при обтекании тел с вырезом (фиг. 1, д) и др. Несмотря на многообразие этих течений, их объединяет то, что во всех случаях зоны отрыва при больших числах Ие ограничены узкими слоями смешения, отделяющими область рециркуляционного течения от внешнего потока. Другими частями границ этих зон являются твердые стенки.

Рассмотрим для простоты плоский стационарный поток вязкой несжимаемой жидкости около поверхности тела с вырезом (фиг. 2). Пусть поверхность тела вне выреза плоская и параллельна невозмущенному потоку. Продольный и поперечный размеры выреза будем полагать величинами порядка /°. Определим число Рейнольдса задачи как

V0 1°

= (1.1)

где V0 *0.

скорость невозмущенного потока, кинематический коэффициент вязкости.

Введем безразмерные переменные, относя все длины к характерному размеру /°, скорости — к скорости невозмущенного потока v° и давление — к удвоенному скоростному напору р0^02.

Система уравнений Навье — Стокса, записанная в безразмерной форме, имеет вид

(V,V)V + v/» = Re-1v2 V^, (v. VO-0. (1.2)

Исследуем предельную форму этих уравнений при Re—- оо в различных областях потока. В области 1 (см. фиг. 2, в), расположенной вне выреза и пограничных слоев, характерная скорость течения при Re— оо будет, очевидно, оставаться величиной порядка единицы, так что соответствующая система уравнений при Re—► оо станет системой уравнений Эйлера. Во избежание бесконечных скоростей в угловых точках А и С необходимо допустить, что в пределе при Re—оо вдоль линии ABC образуется поверхность контактного разрыва, отделяющая область 3 от области 1. Ее форма в общем случае заранее неизвестна. Можно лишь заметить, что если скорость течения в области 3 при Re— оо стремится к нулю, то линия контактного разрыва будет прямой (фиг. 2,а). Если же скорость рециркуляционного течения в этой области при Re — оо остается конечной, то эта линия будет касательной к стенке в точках А и С (фиг. 2,6). В самом деле, из условия ограниченности скорости вытекает, что невязкие потоки в областях 1 и 3 не могут в малой окрестности точек Л и С быть локальными течениями около углов, больших я. С другой стороны, при обтекании углов, меньших л, эти потоки имели бы общую точку торможения, что возможно лищь при равенстве полных давлений по обе стороны контактного разрыва, т. е. при его отсутствии. Чтобы исключить нарушение непрерывности решения при переходе через поверхность контактного разрыва при Re —оо, необходимо, как обычно, ввести в рассмотрение область слоя смешения 2. Обычные оценки теории пограничного слоя позволяют ввести для этой области (а также для областей пограничного слоя стенки ОА и СЕ) независимые переменные порядка единицы:

s, N=nje, (в — /г~1/я), (1.3)

где s, п отсчитываются вдоль нулевой линии тока и по нормали к ней.

Для искомых функций в области 2 справедливы следующие асимптотические представления *:

u (s, п\ &) ■—- u2 (s, N) + ... , |

v(s, я; е)~е V2(s, N)+. . . , (1.4)

p(s, n; e)~pt(s, N) + . . . I

(подобные же представления справедливы для пограничного слоя на стенке).

Подстановка (1.3) и (1.4) в исходные уравнения (1.2) приводит к обычной системе уравнений пограничного слоя:

.. du2 , w ди2 , др2 _ дръ ди2 , д Уъ п

2 ds т 2 dN + ds ~ д№ ’ dN ’ ds + dN ( }

Рассмотрим граничные условия задачи для слоя смешения. Начальный профиль скорости u2(sa,N) при N>0 является профилем пограничного слоя стенки в сечении s = Sa ; при 7V<0 началь-

* Индекс снизу обозначает номер рассматриваемой области течения в соответствии с фиг. 2.

ный профиль — и2 > М) = и4 (5а , А/) (это будет показано ниже при рассмотрении локального течения около угловой точки А). Для получения остальных краевых условий применим принцип сращивания решений в областях 1 — 4. Если в качестве независимы^ переменных порядка единицы в областях 1 и 3 принять вил, +о условия сращивания будут иметь вид

г ; ' И2 (5, оо) = «! (Я, '0), и2(8, — ОО) = Н3(5, 0). (1.6)

Решения (1.5) и (1.6) для зоны смешения хорошо изучены. Известно, что даже при и2(з, — оо) = 0 функция К2(«, — оо) имеет, конечные значения, так что компоненты скорости течения в области 3 не могут стремиться к нулю быстрее, чем Йе-1/2. Учитывая конечные размеры этой области, легко находим, что в пределе течение во всех случаях будет описываться системой уравнений Эйлера. Подробно течение в области 3 рассмотрено ниже.

Теперь заметим, что асимптотические представления вида (1.4) не могут быть использованы для описания течения внутри слоя смешения в е-окрестности угловой точки контура С. В этой области (область 6, фиг. 3) внутренняя часть слоя смешения (состоящая из жидкости, подсасывае- фиг з ;

мой ИЗ ЗОНЫ рециркуляционного ,

течения 3) в соответствии с условием сохранения массы отклоняется вниз, давая начало пограничному слою стенки выреза СОА.

• Следовательно, в области 6 с характерными размерами порядка толщины слоя, смешения продольная компонента вектора скорости щ и давление рй изменяются на свои основные порядки, а составляющая г>6 становится величиной порядка ив, т. е. единицы. Таким образом, независимыми переменными порядка единицы для этой области будут

1 Х~Х<: , У = -£,.. (1.7)

, . . , £ 8

а асимптотические представления функций течения имеют вид

Ц (х, у, е) ~ мв (X, V) + . . .

■■'«(*, У, е)~ъ0{Х, У) + . . .

: р(х, г)~р0(Х, У) + . . ,

! Подставив (1.7) и (1,8) в исходные уравнения (1.2) и совершив

предельный переход при 1?е -» оо, получим полные уравнения Эйлера, описывающие локально-невязкое вихревое течение* в области б. Граничными условиями для этих уравнений будут условия непро-текания жидкости через твердые стенки, а также условия сращи-

* Такого рода локально-невязкие течения были подробно рассмотрены в работах [4]. [5]. • ■ ■ ’ ■ ■ ' - • ■

2—Ученые записки № 1 17

(1.8)

вания решений в областях 1, 2, 3 и 6. Так, асимптотическое сращивание решений для областей 2 и 6 дает начальные функции течения

Uq ( оо, У Y^=o) —1 ^2

г»6(—оо, Г) = 0, (1.9)

РЛ— 00 > I7) = Ръ (sc), ,

соответствующие профилю скоростей слоя смешения в сечении s = sc. При приближении к точке С в масштабе координат s, п области 3 давление стремится к определенному значению, равному p3(s6). Отсюда следует, что независимо от деталей течения в области 6 при конечных значениях профиль скорости в этой области при У -* — оо (в силу уравнения Бернулли) будет просто повернутым профилем внутренней части зоны смешения в сечении S = Sc (см. фиг. 3):

v6(X, — oo) = k2(sc, X). (1.10)

Это соотношение дает необходимое распределение скорости в начальном сечении пограничного иг' слоя стенки выреза CDA. Анало-

гичные рассуждения справедливы для «-окрестности точки А (область 5), что обосновывает полученное выше начальное условие для слоя смешения. Заканчивая описание течения в областях 5 и 6, заметим, что для удовлетворения условиям прилипания жидкости к стенкам необходимо было бы ввести в рассмотрение вязкий подслой стенки, имеющий толщину порядка е3/2 [4].

Уравнения пограничного слоя выреза (область 4) и асимптотические представления функций в этой области вполне аналогичны соотношениям (1.4) и (1.5), если s отсчитывается вдоль контура выреза CD А, а л—по внешней нормали к стенке.

Тогда на основании (1.10) имеем начальное условие

Ulisc, N)^th(sc, N) (1.11)

и граничные условия

m4(s, 0) = v4(s, 0) = 0, a4(s, — oo) = «,(s, 0). (1.12)

Последнее из этих условий получается на основании сращивания решений для областей 3 и 4 и является обычным внешним краевым условием для пограничного слоя.

2. Перейдем к рассмотрению предельного состояния течения в области 3. Выше было установлено, что характерная скорость рециркуляционного движения жидкости здесь не может убывать с ростом числа Рейнольдса быстрее, чем Re-1/2, так что во всех случаях течение в области 3 в пределе будет невязким. Если

Hm (Re~1/2 ¡Vul + 㻧)= 0 в произвольной внутренней точке* области

3, то верна теорема Прандтля—Бэтчелора и предельное невязкое течение в области 3 имеет постоянную завихренность. Оно описывается уравнением Пуассона для функции тока ty3:

M'8 = (0S> где ®8 = const — завихренность.

* За исключением точки, где скорость обращается в нуль.

Вдоль всей границы АВСЭА ф = 0. Форма границы на участке ЛВС подлежит определению из условий равенства давлений и нормальных компонентов скорости в областях / и 3 на поверхности контактного разрыва. Для замыкания задачи необходимо получить еще одно условие, из которого могла бы быть определена величина завихренности <о3. С этой целью применим теорему количества движения к областям 2 и 4. В области, полностью включающей внутреннюю часть слоя смешения (схематически изображенной нд фиг. 4), вдоль разделяющей (нулевой) линии тока N = 0, К2==0, а

при N-* — 00 отношение -*• Кроме того, давление постоянно поперек слоя смешения и в силу условий сращивания с областью 3 одинаково в сечениях Л и С (в масштабе «). Тогда интеграл количества движения на ограничивающем контуре, имеющий на основании (1.6) вид

ди,

АСС1А1

д N

и2 V, ) = 0,

(2.2)

дает

о

•М

АГ- о

ds 4- $

(2.3)

•м

где /а — приращение продольной составляющей потока количества движения во внутренней части слоя смешения (N<0).

Аналогичное соотношение может быть получено для тангенциальной составляющей потока количества движения в области 4 пограничного слоя стенки:

-00 —00

/4= I И? (вс, $ и\ («л, IV) dN =

О

-I

о

•м

N-0

ds + («4 Ví)N^-00ds.

(2.4)

В силу предположения о стационарном и, следовательно, циклическом характере рассматриваемого течения необходимо выполнение условия

/* + /4 = 0, (2.5)

которое на основании (2.3) и (2.4) принимает вид

*С 5А

I

ди2

*с

с1э

М=0

+ /

*с

м

ди<

~дЫ~

ds 4-

N=О

+ | («2 уг)ы—00 ds+ ^ (и4 Vi)N-^-<x>ds =0

или, если опустить индексы для областей 2 и 4, ди

(ЭЛГ

N ~о

ds + ф (и У)н-+-оо ds = 0.

(2.6а)

(2.66)

' При выводе этого соотношения принято во внимание, что в 8-окрестностях угловых точек А и С течение является локально невязким, вследствие чего имеет место непрерывность потока количества движения в вязких слоях при прохождении этих областей.

Рассмотрим теперь два последних интеграла в соотношении (2.6а), выражающие поток количества движения из рециркуляционной области 3 в ограничивающие ее вязкие слои. Для подынтегральных функций в первом из этих интегралов на основании условий сращивания (1.6) и уравнения неразрывности (1.5) имеем

Мг(5, Л)~М3(5, 0), у,(8, АО-----0) + ?з(*. 0)

при Л/’-» —оо. (2.7)

Но так как точки А и С являются критическими точками рециркуляционного течения в области 3, то щ(за , 0)=и3(5с, 0) = 0,.

и, первый из интегралов можно представить в виде

| (и2 Ц>)лг—00 ds-> / И3 (я, 0) срз (5, 0) ds. (2.8)

вА *А

Наконец, снова используя соотношения (2.7), представим функцию (в, 0) в виде

■■■ ■■ т„ (я. 0) ~ ИПГ^ ( К, - ЛГ .

(2-9)

Применяя аналогичные рассуждения для области пограничного слоя 4, получим

5 A SA

J («4 V 4U-+-00 ds -* J и3 (s, 0) cp8 (s, 0) ds, (2.10)

sc

где <p8(s, 0) выражается через предельные значения функций течения в пограничном слое аналогично (2.9). В итоге интегральное условие (2.6) принимает вид

лС ди2

] ~Ш~

SA

SA A SC f -j \

ds+ f irk ds+ f ^(s’°) ,im+

N= 0 ayv N = 0 " N-+-CO \ os J

-f f u3 (s, 0) lim V4 +

•l N~-oo \

SA

N

àu4

или

r du

ds

ds £u3(s, 0) lim ( V—N ds =0 (2.11)

N -0 T ... W—oo\ ÔS J

ds = 0 du

и служит для определения завихренности течения в области 3*.

* Заметим, что в работе [6] вместо точного предельного соотношения (2.11) для ¡Определения интенсивности вихревого движения в зоне отрыва было проведено рассмотрение баланса между энергией подводимой и диссипируемой в вязких слоях. Аналогичные соображения были использованы в работе [7] для анализа срывных течений за плохообтекаемыми телами при больших числах Рейнольдса. Кроме того, в работе [8] делается замечание о том, что разрыв постоянной Бернулли на границе невязких областей течения ,и значения толщины вытернения и толщины потери импульс» вязких слоев в точке отрыва должны определяться из условия периодичности течения вдоль них. ■

Действительно, рассматривая совместно задачи о невязких течениях в областях 1 и 3, можно найти однопараметрическое семейство их реше» ний, зависящее от постоянной ©3. От этого параметра будут тогда зависеть граничные условия (1.6) и (1.12), а следовательно, и решения задач для слоя смешения и пограничного слоя стенки выреза. При этом лишь решения, соответствующие одному определенному значению юз, будут удовлетворять условию (2.11). Физически это связано с тем, что увеличение завихренности со3 приводит к увеличению сил трения на стенке и их уменьшению на разделяющей линии тока, а уменьшение завихренности— к обратным эффектам. В частном случае течения, когда Щ($,0) = const, второй из интегралов в (2.11) будет равен нулю, так

как в силу условия сохранения массы жидкости в области 3 ^ V ds = 0.

ЛГ->— оо

Получающееся условие равенства нулю интеграла сил трения вдоль разделяющей линии тока при этом можно распространить на любую замкнутую линию тока (что очевидно из физических соображений и, как нетрудно видеть, следует из вывода этого условия). Тогда, переписывая получающееся условие в переменных Мизеса, получим

$~^rds=='^r$“!!ds==0 ^2л2^

или

(j) в2 ds — const. (2.13)

Последнее условие было получено в работе [2] для частного случая плоского рециркуляционного течения в круговой области, ограниченной стенкой с подвижным элементом.

Обратимся к рассмотрению возможности существования другого

предельного____случая течения в рециркуляционной зоне, когда

lim (Reljful 4-^3) имеет конечные, отличные от нуля значения во

Re-»oo

всех точках этой области, исключая ее границы, т. е. когда предельным состоянием течения в этой зоне является покой. Из условия (2.11) следует, что такое состояние может достигаться при Re—* 00 лишь при бесконечном значении параметра %, характеризующего отношение протяженности твердой границы срывной зоны к длине зоны смешения, так как только при А,— со характерная скорость течения в конце пограничного слоя стенки будет стремиться к нулю. На практике такие Течения, по-видимому, могут реализоваться лишь при обтекании очень глубоких выемок или щелей. Хотя при конечных длинах зоны смешения эти течения остаются невязкими, условия теоремы Прандтля—Бэтчелора для них не выполняются. Дело в том, что при скоростях в срывной зоне порядка Re_1/2pacxofl жидкости в областях 2—4 одинаков по порядку величины, и все линии тока, заполняющие область 3, частично принадлежат вязким слоям на ее границах. Это требует пересмотра граничных условий для областей 2 и 4, получаемых на основании сращивания с областью 3, а также других асимптотических представлений функций течения в области отрыва.

3. Поскольку основной практический интерес представляет расчет течений при конечных значениях параметра %, в дальнейшем ограничимся рассмотрением лишь этого случая. Полученные выше соотношения, включая условие (2.11), как было показано, полностью замыкают задачу. Вместе с тем совместное интегрирование уравнений в различных •областях потока представляет довольно сложную задачу. Существенно

упростить задачу можно путем введения дополнительного предположения о малости параметра ю3, характеризующего завихренность потока в срывной области. Теоретически величина а>3 будет мала лишь в том случае, если велико значение параметра X. Однако на практике во многих случаях даже при не слишком больших К завихренность <о3 оказывается достаточно малой*. Если юз<С^1» то характерная скорость течения в области 3, имеющей конечные размеры, будет также мала [(из, Уз)=0(юз)]. Тогда на основании уравнений количества движения полный перепад давлений в области 3 А р9~ (о.з> и в первом приближении поверхность контактного разрыва АВС можно полагать прямой. Это вполне определяет форму границы области и позволяет найти решение уравнения (2.1) С ТОЧНОСТЬЮ ДО ПОСТОЯННОГО множителя (Оз. Возмущения скорости в области / внешнего невязкого потока будут, очевидно, величинами порядка <о§. В областях влияния вязкости 2 и 4 будем искать решения в виде разложений по параметру из, которые можно записать как

«,(5, Л0 = иІО(5, Л0+ю3 «„(«,#) +■ У,.(5, Л/) = 1/.0(5, Л) -Ьсозіл, (5, М) -г

Р^, N) = Р, 0 + <“3 Рі 2 («)+.. •

(/ = 2 и 4).

(3.1)

Подставляя эти разложения в уравнения пограничного слоя (1.6), получим

и.

да

/О'

ю

дэ

+ у,

дит 10 дN

д№

дя

дип дип ди, о

Граничные условия

і0 дN + Пп ди

дэ

дК, .

дУ,

¡о

ди

¡0

= 0; д*ип

дN д№ ’

0 будут: для области 2

дМ

и10(з, оо)=1, иі0(з, -- оо) = 0; |

ИП(*. Оо) = 0, Ип(5, — 0С) = И31(5, 0), і

для области 4

Що (в, 0)=К,о(«, 0) «= 0, иго(з> — оо) = 0; ип (5, 0) = Уп («, 0) — 0, КП(5, — Ос) = Игз(5, 0),

(3.2)

(3-3)

(3-4)

(3.5)

где «8, («, 0) — первый член разложения и3(«, 0)/<о3.

Начальные условия, задаваемые соответственно профилем пограничного слоя стенки в сечении А и профилем скорости в конце слоя смешения (1.11), здесь не выписываются. Система соотношений (3.2) — (3.5) позволяет найти все функции для двух первых приближений по параметру ш3 и вычислить с этой точностью интегралы в формуле (2.11). В результате получится линейное уравнение вида

х ди1 У дN

/0

(Од

N=0

■ о, (3.6)

определяющее параметр завихренности ш3.

* Об этом свидетельствуют, например, многочисленные экспериментальные данные для донных областей, передних срывных зон на телах с иглами и других сверхзвуковых Течений с развитыми срывными зонами.

Таким образом, задача при малых со3 сводится к последовательности простых задач, для которых существуют хорошо известные стандартные методы решения.

4. Все полученные результаты и, в частности, основное интегральное условие (2.7) являются достаточно универсальными, так как допускают простое обобщение на случаи различных срывных течении. Так, например, для рассмотренной задачи о течении вязкой несжимаемой жидкости около выреза совершенно несущественна форма последнего. Стенка выреза может иметь произвольное число угловых точек, и это не повлияет на вид основного условия (2.7), так как в е-окрестности каждой такой точки течение может рассматриваться как локальноневязкое. Весьма просто могут быть обобщены полученные результаты и на случай течения сжимаемой жидкости. Поскольку интегральное соотношение (2.11) является следствием только закона сохранения количества движения и условия стационарности течения, то при его выводе с учетом сжимаемости жидкости необходимо лишь воспользоваться уравнениями количества движения для сжимаемого пограничного слоя и вновь учесть локально-невязкий характер течения в областях больших локальных возмущений [4]. Заметим, что при использовании описанного выше приближенного метода расчета течения внутри срывной зоны (основанного на предположении о малой завихренности потока в этой области) влияние сжимаемости жидкости в первом приближении здесь будет отсутствовать. Это позволяет опять свести задачу первого приближения к интегрированию (2.11) при юз = const в области с известными границами. Таким путем сравнительно просто могут быть рассчитаны, например, рециркуляционные течения в донных областях за телами в сверхзвуковом потоке и многие другие виды срывных течений. Заметим также, что в таких задачах, как обтекание выемок со стенками, имеющими угловые точки, и в некоторых других случаях возможно образование вторичных отрывов потока. Хотя проведенное исследование и не дает возможности построить такие течения, вопрос о существовании вторичных отрывов в каждом конкретном случае может быть изучен сравнительно просто, путем введения в рассмотрение вязких подслоев в локально-невязких областях потока с большими местными градиентами функций [4].

* *

*

ЛИТЕРАТУРА

1. Р г a n d 11 L. Uber Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung.

Der III. Intern. Math. Kongr. Heidelberg, 1904. •

2. Batchelor G. K. On steady laminar flow with closed streamlines at large Reynolds number. Journal of Fluid Mechanics, v. 1, p 2,

1956. '

3. В а н-Д а й к М. Методы возмущений в механике жидкостей.

М., «Мир», 1967.

4. Н ейланд В. Я., Сычев В. В. Асимптотические решения уравнений Навье—Стокса в областях с большими локальными возмущениями.

Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, 1966, № 4.

5. М а т в е е ва H. С., Н е й л а н д В. Я. Ламинарный пограничный слой вблизи угловой точки тела. Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, 1967, № 4.

6. Korst H. H. Dynamics and thermodynamics of separated flows. AGARD Conference Proceedings, No. 4, 1966.

7. Таганов Г. И. К теории стационарных срывных зон. Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, 1968, № 5.

8. Завадский А. Ю., Таганов Г. И. Расчет течения при несимметричном обтекании эллипсоида с передней срывной зоной сверхзвуковым потоком газа. Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, 1968, № 6.

Рукопись поступила 16/V1 1969 г.