Влияние единичной шероховатости на течение жидкости в пограничном слое Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том II 1971

№ I

УДК 532.526-2 532.527

ВЛИЯНИЕ ЕДИНИЧНОЙ ШЕРОХОВАТОСТИ НА ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ

А. В. Зубцов

Рассматривается обтекание тела потоком вязкой несжимаемой жидкости для чисел Re > 1 при условии, что на его поверхности имеется единичная шероховатость, глубоко утопающая в пограничном

Vhh

слое (Л « о). Исследуется случай, когда Reft = » 1 (Л — высота

шероховатости, — скорость в невозмущенном слое на уровне шероховатости вдали от нее). Показано, что в окрестности шероховатости (г — К) течение жидкости имеет локально невязкую и локально вязкую зоны. При определенных условиях в локально невязкой зоне возникает рециркуляционное течение. Решение уравнений в локально вязкой зоне показало, что за шероховатостью возникает отрыв потока. Показано, что в окрестности шероховатости величина трения

(теплопередачи) по порядку в У Re* (в '}/' Reft) раз выше соответствующих величин в невозмущенном пограничном слое.

1. Рассматривается плоское обтекание профиля потоком несжимаемой жидкости при 1?е 1 (Ие = ——, где У0 — скорость невоз-

мущенного потока, Ь — хорда крыла). Исследуется случай, когда на контуре профиля имеется шероховатость высотой Л "С Ь!У^е ~ 8, такая, что ее характерные размеры по направлениям нормали и касательной к невозмущенному контуру одинаковы и —Л. Так как линейные размеры шероховатости малы по сравнению с толщиной пограничного слоя, то естественно полагать, что возмущения, вносимые ею в поток вдали от нее, являются малыми, и поэтому течение в пограничном слое вдали от шероховатости в первом приближении описывается уравнениями Прандтля. Однако в окрестности шероховатости возмущения становятся существенными, причем поперечная и продольная составляющие скорости являются величинами одного порядка. Поэтому в этой области уравнения Прандтля могут оказаться несправедливыми, и для описания тече-

ния вблизи шероховатости следует обратиться к уравнениям Навье— Стокса. Поставленная задача относится к классу задач с особыми возмущениями, и решение ее будем искать методом внутренних и внешних разложений [1], [2].

Проведем предварительные оценки, которые позволяют судить

о характере течения в окрестности шероховатости. За характерный линейный размер в окрестности шероховатости примем величину А, а за характерную скорость — продольную скорость в невозмущенном пограничном слое на уровне у = А. Уравнения Навье — Стокса после приведения к безразмерному виду запишутся следующим образом:

(^У)Т/ + ёга(1/; = ~ Д1/, (1.1)

где НеЛ = —~ ,

р — безразмерная величина давления.

Далее будем рассматривать случай, когда ИеЛ^1. Полагая, что безразмерные функции, входящие в уравнение (1.1), являются в окрестности шероховатости величинами —1, можно утверждать, что течение в этой области при Ней^>1 описывается уравнениями Эйлера. Но эти уравнения не могут удовлетворить условиям не-протекания и прилипания жидкости на контуре шероховатости, поэтому необходимо ввести в рассмотрение узкую пристеночную

зону, где вязкие члены в уравнении (1.1) становятся порядка инерционных. Из этого условия нетрудно получить,что толщинаэтой зоны Д имеет порядок Д ~А/у/ГНел.

__3

или, что то же, Д/Ь — (Ие) — §3/2. Течение в этой зоне описывается уравнениями Прандтля. Внешние граничные условия определяются из решения в локально невязкой зоне, задачи для Яе^>1, Иел^>1 и

С С- несмущенный К ОН/77цр С'С-бегмущенныя нонтур

Фиг. 1

Решение поставленной Ие \1/2

= ) <С11 будем представлять как первое приближение

Стокса при Ие -» оо„

А/8 ~ | —= |

асимптотического решения уравнений Навье Кв

Ией -» оо, но _Л- -»■ 0. Определим криволинейную систему коорди-V Ие

нат связанную с гладким контуром С', следующим образом.

Проведем в точках контура С' нормали к С'. Пусть нормаль через произвольную точку М!, лежащую вблизи контура С', пересекает этот контур в точке Л1'. Выбрав на контуре С' определенную точку О' за начало отсчета дуг, будем определять положение точки Ж'координатами ^=5, = п, где « и /г суть взятые с над-

лежащими знаками длины дуг кривой О' № и отрезка нормали Ы' М. Далее введем определенные таким образом две криволинейные системы координат ху и вп, связанные соответственно с невозмущенным и возмущенным контуром профиля (фиг. 1). Разделим условно всю область течения на четыре зоны: 1, 2—локально вязкая и локально невязкая зоны сильных возмущений; 3, 4 —

Ю

вязкая и невязкая зоны слабых возмущений соответственно (фиг. 2). Все переменные величины, относящиеся к этим зонам, будем отмечать соответствующими индексами 1= 1, 2, 3, 4. В каждой зоне выберем свои безразмерные независимые переменные:

хг = «//г, у1==-^- =п!НУИеЛ; х2 = х ’\Н, у2 --= _у/Л; х9 = х/Ь, Уз=у/Ь=у1Ь-[/'Ке; х4 = х/Ь, у^у/Ь.

Решение для функции тока в каждой зоне будем представлять в виде

„м.. ,

(1.2)

Ф1

■Ц*1 (•*!» У1. Re, Re*),

/Re*

Vhhty2(x2, у2, Re, Re*); 'Ь = Фз C*„ y3, Re, Re*), ф* = V0 (xif y4, Re, Re*).

(1.3)

Решение для функций фг можно искать в виде асимптотического ряда, построенного на основе определенной асимптотической последовательности малых параметров, зависящих от Re и Re*. Однако не будем выяснять общего вида этой последовательности, поскольку интересуемся решением в первом приближении. Так как безразмерные функции фг являются величинами порядка единицы в соответствующих зонах, то впервом приближении функции фг не зависят

от величин Re и Re*. Подставляя последовательно функции ф,(1.2) в уравнения Навье — Стокса, при Re* -» оо получим, что в первом приближении функции ij»! и ф2 удовлетворяют следующим уравнениям:

Фиг. 2

V, ']>1 X, у, ------------------<!>1 .

—, —п

У, 2

1У1

Pi у, = 0;

---» --U

Ф 2 + Ф 2 — 0

Т2 ^ 2_У2

■ Р\ х 1 + з;

1 У1

' (Фа)-

(1.4)

(1.5)

(1.6)

В первом приближении величина Ре* не войдет в выражения (1.3), поэтому следует полагать, что течение в зонах 3 и 4 остается в первом приближении невозмущенным, и потому будем считать его известным. Граничные условия для функций ф, и ф2 находятся из принципа асимптотического сращивания решений

в разных областях [1] и условий непротекания и прилипания жидкости на стенке. Эти условия имеют вид

— 1 2 2,2 <7.

Ь^~2-У2 при Хг + оо\ (1.7)

ф2 = 0 при у2=./(х2); (1.8)

«2 * (Хг) при ул -» эс

~ду~1

0 при ■У1 = 0

oo<a:i< оо,

(1.9)

(1.10)

где _у2 =f(x2) — уравнение контура шероховатости, а и, е — скорость, касательная к контуру шероховатости, определяемая из решения уравнений (1.6) — (1.8). Из условия (1.7) и уравнения (1.6) следует, что значение завихренности ш равно единице в той части зоны 2, через которую проходят линии тока, берущие начало в бесконечно удаленной точке (х\ + у\ -* оо). Если же в зоне 2 имеется область, в которой линии тока являются замкнутыми, то на основании теоремы Бетчелора [3] в этой области ш = const. В работе [4] указывается условие, из которого эта константа может быть определена. Далее для простоты исследования решения будем полагать, что со = 1 во всей зоне 2. Если же при этом предположении окажется, что в невязкой зоне 2 существует область с замкнутыми линиями тока, то это будет доказательством существования рециркуляционного течения в исследуемой задаче. Однако в этом случае течение с (в=1 во всей зоне 2 не будет описывать истинную картину течения.

2. Решение уравнения (1.6) представим в виде - 1 2

Фг = ~2 У? + 'h ix2> Уг)-Тогда функция <Ь2 будет удовлетворять уравнению Лапласа со следующими граничными условиями: ф2 =----------2”/2(л:2)на контуре

шероховатости, Ф2 0 при х\-\~у\-*оо.

Пусть w(z) = \ (х2, у2) + гС (х2, у2) — конформное преобразование, отображающее полубесконечную область z = x2 + iy->, ограниченную

- х/ ч ^ dw л

снизу кривои у2=/(л2) на полуплоскость 0-0, и такое, что -» 1

при |z|-»oo. Тогда решение для сведется к решению задачи Дирихле для полуплоскости. Оно имеет вид

00

1 /*(*)Л

чю —00

Величина, сопряженная скорости, индуцированной шероховатостью в зоне 2, выражается в виде

\/ _ -^5.

2 ~ <1тю (1г ‘

Определим первый член в асимптотическом разложении этой величины при |г|-»оо. Относительно затухания функции /(я2) при |л2|-»оо сделаем предположение, что произведение х1{/2)х2

удовлетворяет условию Гельдера [5] в окрестности бесконечно удаленной точки. Для выполнения этого условия достаточно, • В2 1

чтобы /(х2)■— при | хг | -* оо, где а > , а р — некоторая кон-

I Х2 I ^

станта. Тогда можно показать [5], что величина У2 при |г|-»оо

00

имеет асимптотику К2~— 2 , где °= / откуда зна-

-00

чение и.г на контуре шероховатости при |х2|^оо в первом приближении имеет вид

й2~/(*2)—= ТГ-Т- <2Л>

2 тгхг I хг | 2 тгхг

Из формулы (2.1) следует, что при а>2 в локально невязкой зоне 2 перед шероховатостью и за ней имеется область возвратных течений, при а = 2 наличие этой области зависит интегральным образом (через а) от формы шероховатости на всем участке

— оо<х2<оо, при а <С2 возвратные течения в невязкой зоне 2 отсутствуют. '

Уравнения (1.4) и (1.5) являются уравнениями Прандтля, однако в силу граничных условий (1.9) и (1.10) эти уравнения необходимо интегрировать по хх на бесконечно большом участке. В работе [6] показало, что для случая, когда скорость на внешней границе слоя и2е-^0 при |^С!| —*• оо, можно найти решение уравнения (1.4), имеющее физический смысл. В работе [6] подробно изложен метод, позволяющий найти такое преобразование координаты хг, которое сводит бесконечный участок интегрирования к конечному. Для

случая, когда и^е--------2 при 1^! | -* оо(й>0), преобразование

" хг

имеет вид

1 -

00 — ' т/5

/ и2 е {Х)) йхг У

Т= иТеУх. . (2.2)

Нахождение профиля скорости иг — «2 е Р' (5, Т) сводится к решению уравнения

^/=7?" + 2(1 - Г'*)

/=■"' + и

где

ие{Р'Рг— РР"), (2.3)

Р' -* 1 при Т -* оо }о<5<1, (2.4)

/? = /?' = О при 7 = 0 ]

где точкой обозначено дифференцирование по 5, штрихом по Т, а ие имеет вид

Ущ~е, (2.5)

I Щеахх —00 _

при этом функция при 5^0.

Уравнения (2.3) и (2.4) имеют вид, свойственный обычным уравнениям пограничного слоя, и могут быть проинтегрированы с использованием хорошо разработанных аналитических или численных методов.

3. В качестве примера расчета течения в окрестности шероховатости рассматривался случай, когда контур шероховатости представляется в виде

Г-

1 + 26

/г2

х\-

- 1

(3.1)

где к — положительный безразмерный параметр. В этом случае ни— У 1+2к + (г + Ьк)2— 1к. Из выражения (3.1) следует, что при

Л(1 + 2 А)

оо ордината контура шероховатости

2 х\

так что

полная скорость локально невязкого течения на контуре при |л2|-^оо имеет вид

- <Цк)

и2е------2-.

Хг

Величина может быть как положительной, так и отрицательной. Расчеты показали, что при 0,341) в локально

невязкой зоне возврат-

ные течения отсутствуют, при к<С.кй в зоне 2 существует рециркуляционное течение. На фиг.З построены линии тока в зоне рециркуляционного течения, на фиг. 4 — распределение скорости и2е для различных значений А. После преобразования (2.2) и (2.5) получается соответствующая зависимость ие от 5 (фиг. 5). Уравнение пограничного слоя (2.3) было просчитано численным методом [7] для случая, когда в невязкой зоне 2 отсутствовали рециркуляционные течения (& = 0,5). Расчеты показали, что почти сразу за шероховатостью наступает отрыв пограничного слоя (фиг. 6). Величина трения связана с величиной т05 — поверхностным трением — в точке 5=1/2 в отсутствие шероховатости следующей зависимостью:

= НО 5 VИеЛ

а

1/4

Р'(0, 5).

(3.2)

Из формулы (3.2) следует, что единичная шероховатость, утопающая в пограничном слое, вызывает в своей окрестности увеличение трения пропорционально 1/"[?ей(НеА 1).

4. Исследование поставленной задачи, проведенное для плоского течения, можно распространить на случай скользящего крыла при условии, что форма шероховатости не меняется вдоль размаха крыла. Можно показать, что для составляющей скорости та, на-

правленной вдоль размаха крыла, в первом приближении существует локально невязкая и локально вязкая зоны сильных возмущений. Уравнение для ни — гг»л(Х2У2) в зоне 2 имеет вид

«2

дх9

+ *'2

=0,

(4.1)

где — значение скорости но в невозмущенном пограничном слое на уровне у = к.

Решение уравнения (4.1) имеет вид

да,

®2 (Фа)-

Из условия асимптотического сращивания решения для функции во 2 и 3 зонах и из выражения (1.7) следует, что

= /2~?2. (4.2)

В локально вязкой зоне 1 функция м в первом приближении представляется, как

™ (4‘3) Нетрудно показать, что функ. ция да, удовлетворяет обычному уравнению пограничного слоя для составляющей скорости, направленной вдоль размаха скользящего крыла. Представляя функцию

та»] в переменных 5 и Т в виде w1 — (du2e)1|8g(S, Т), можно получить уравнение для определения функции g

со следующими граничными условиями: £• = 0 при Т = 0 g-*YT при Т -* оо

Условие (4.6) получается из условия асимптотического сращи-

0< 5< 1.

(4 А)

(4.5)

(4.6)

№ 1! Л

? ' V \

\

\

\

\

\

Фиг. 5

0,1 0^2 0,3 0,4 0,5 в

Фиг. 6

вания решений (4.2) и (4.3). Можно показать аналитически в предположении, что F-^T-t-m(S) по экспоненциальному закону при Т-* оо, что по крайней мере в окрестности 5 = 0 уравнение (4.4) имеет решение с асимптотикой (4.6). В самом деле, в окрестности точки S = 0 и Т -* оо уравнение (4.4) с экспоненциально малой ошибкой по Т переходит в уравнение

g"+^(T + tn)g' - ±g = S(g-mg') , (4.7)

решение которого можно искать в виде ^(5, T) = g(Y), где Y =

— T + m (S). Тогда

g№ + ^-g'~^g = 0- (4-8)

Уравнение (4.8) относится к классу гипергеометрических уравнений [8]. Решение уравнения (4.8), имеющее особенность при Y -» оо, имеет следующее асимптотическое разложение [8]:

jl— -fin Т*~ ~Ь *"} ’

Составляющая поверхностного трения в направлении размаха крыла связана с соответствующей величиной в отсутствие шероховатости следующим образом:

4 ___ _ /77 \i/e

^ = ^ozVReh g'(0, S). (4.9)

Так как в несжимаемой жидкости и Рг=1 уравнение движения для w совпадает с уравнением энергии [9], то из формулы (4.9) вытекает, что единичная шероховатость вызывает в своей окрест-

4 ___

ности увеличение тепловых потоков примерно в ]/Reftpa3 по сравнению с величиной тепловых потоков в невозмущенном пограничном слое.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ван Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости.

М., „Мир”, 1967.

2. Н е й л а н д В. Я., Сычев В. В. Асимптотические решения уравнений Навье—Стокса в областях с большими локальными возмущениями. МЖГ № 4> 1966.

3. Batchelor G. К- On steady laminar flow with closed streamlines at large Reynolds number. Journal of Fluid Mechanics., v. 1, p. 2, 1956.

4. Нейланд В. Я., Сычев В. В. К теории течений в стационарных срывных зонах. „Ученые записки ЦАГИ*, т. I, № 1, 1970.

5. МусхелишвилиН. И. Сингулярные интегральные уравнения, М., Гостехиздат, 1946.

6. Н е й л а н д В. Я. О решении уравнений ламинарного пограничного слоя при произвольных’ начальных условиях. ПММ, т. 30, вып. 4, 1966.

7. Петухов И. В. Численный расчет двумерных течений в пограничном слое. Сб. „Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы”. М., „Наука”, 1964.

8. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Физматгиз, 1965.

9. Лойцянский Л. Г. Ламинарный пограничный слой. М., Физматгиз, 1962.

Рукопись поступила 17\Ш 1970 г.