Расчет взаимодействия сверхзвукового пограничного слоя с тонким препятствием Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том V 1974

№ 6

УДК 532.526.011.55

РАСЧЕТ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СВЕРХЗВУКОВОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ С ТОНКИМ ПРЕПЯТСТВИЕМ

В. В. Боголепов

Исследовано взаимодействие пограничного слоя в сверхзвуковом потоке и маленькой шероховатости на поверхности обтекаемого тела. Рассмотрен случай, когда характерная высота шероховатости много меньше толщины пограничного слоя. Показано, что при этом шероховатость взаимодействует только с дозвуковой частью пограничного слоя (при обтекании выпуклости, например, возмущение давления отрицательно), течение в узком слое около шероховатости описывается уравнениями Прандтля, распределение давления определяется в процессе счета. Возмущения от препятствия не распространяются вверх по потоку. Появление отрыва для данной формы шероховатости зависит от величины параметра подобия П, представляющего собой обратную величину эффективного числа Рейнольдса. В работе показано, что наличие шероховатости может приводить к значительному повышению тепловых потоков и напряжения трения.

С помощью метода сращиваемых асимптотических разложений (см., например, [1]) исследуются решения уравнений Навье — Стокса при стремлении характерного числа Яе к бесконечности в областях с размерами, отличными от масштабов, характерных для классического пограничного слоя Прандтля. Подход к решению подобных задач развит в работах [2—4], в которых рассматривались течения с большими продольными градиентами давления, предотрывные и отрывные течения, течения с присоединением потока. Опыт этих работ оказался очень полезным при исследовании обтекания различных неровностей, возникающих на поверхности тел в результате тепловых деформаций, механических повреждений и являющихся причиной сильного повышения тепловых потоков и напряжения трения [5]. В работе [6] проведена классификация режимов течений около малых неровностей на поверхности тела, обтекаемого сверхзвуковым потоком вязкого газа. Рассчитаны некоторые режимы течений. Обтекание выпуклости с теми же характерными размерами возмущенных областей, что

и в работе [3], исследовано в линейной постановке в работе [7].

В настоящей работе исследован режим обтекания маленькой шероховатости, когда возмущена фактически только дозвуковая часть пограничного слоя. Распределение давления определяется здесь в процессе счета и в отличие от работ [3, 7] нет передачи возмущений вперед. Получено, что наличие шероховатости приводит к значительному повышению тепловых потоков и напряжения трения.

Появление отрыва потока при заданной форме шероховатости зависит от величины параметра подобия П. При наличии отрыва расчеты продолжались до точки отрыва.

1. Следуя работе [6], рассматривается обтекание пластины равномерным сверхзвуковым потоком вязкого газа с давлением р&>. На поверхности пластины на расстоянии I от передней кромки находится маленькая шероховатость, характерный поперечный размер которой меньше или порядка толщины пограничного слоя 8 в этом месте. Исследуется обтекание этой шероховатости при стремлении характерного числа Ие к бесконечности (Не = рссиСо^с» = = £~2, где рое, Иоо, (а» — значения плотности, скорости и коэффициента динамической вязкости в невозмущенном сверхзвуковом потоке). В дальнейшем будут использоваться только безразмерные величины. Для этого все линейные размеры относятся к /, скорости— к Ио„, плотность —к роо, давление — к р^и^,, функция тока — к рооИсо/, энтальпия — к и коэффициент динамической вязкости — к Цоо. Предполагается, что характерная высота шероховатости а^8~г, а характерная длина Ь может изменяться в следующих пределах а^Ь<С;1.

Сначала рассматривается случай, когда и 8<^&<^1.При

этом во внешнем сверхзвуковом потоке необходимо исследовать возмущенную область течения с характерными размерами (х, ,у)~ — 0(6). Здесь х, у — прямоугольная система координат. Для малых возмущений в первом приближении решение в такой области сводится к формуле Аккерета

где Моо — число М набегающего сверхзвукового потока, 8* — толщина вытеснения пограничного слоя, у —/(я) — форма шероховатости.

Теперь необходимо рассмотреть возмущенную область течения в основной части пограничного слоя, где л;~0 (Ь), у~ 0(е), и—0(1) и Ди—Ар. Нетрудно показать, что в этой области вязкость несущественна, нет поперечного перепада давления, а изменение толщины вытеснения всего пограничного слоя происходит в основном за счет изменения толщины пристеночного слоя, в котором и~Ди — (Д/>)1/2 [6]. Поэтому для определения давления достаточно учитывать взаимодействие внешнего сверхзвукового потока с пристеночным слоем и шероховатостью согласно формуле (1.1). В пристеночном слое вводятся новые переменные и параметры течения (изменение величины 8* сводится теперь к изменению толщины этого слоя)

V М от — 1 (р — Аю) = йЬ*/йх + й/(х)/с1х,

(1.1)

х — ЬХ, у = аУ, /(х) — аР(Х),

аъ* = в#/ш, р — рж = кр.

(1.2)

В новых переменных формула (1.1) принимает вид

7^-1Р4"в+Т' <13>

В общем случае все члены в формуле (1.3) должны быть величинами одного порядка, т. е.

кЬ/а— е£1/2/а—1, и аЬ~е2. (1-4)

Течения с подобными масштабами областей рассматривались уже в работах [3, 9], в работе [7] в линейной постановке исследовалось обтекание выпуклости с такими же характерными размерами.

Если возмущение давления индуцируется только одной шероховатостью, то

1, г£1/2/а<С 1, к~а/Ь и аЬ^>е2, (1.5)

и течение около поверхности шероховатости будет описываться уравнениями пограничного слоя с заданным распределением давления.

В случае, когда

кЬ/а<^ 1, &к2!а—1, А~а2/е2 и аЬ<С! г2, (1-6)

шероховатость и пристеночный слой взаимно „гасят“ друг друга, и нет взаимодействия внешнего сверхзвукового потока с пристеночным слоем (тонкая шероховатость а<Се<^Г Ь <С I в основном возмущает только пристеночную часть невозмущенного пограничного слоя).

Из соотношений (1.4) —(1.6) видно, что для исследуемых шероховатостей отношение их характерной площади поперечного сечения аЬ к „площади пограничного слоя" г2 определяет тип взаимодействия пристеночного слоя и внешнего сверхзвукового потока и является важным параметром подобия задачи [6].

2. Исследование обтекания малых шероховатостей удобно начинать со случая, когда их характерные размеры по порядку величины много меньше толщины пограничного слоя, т. е. а<О и Ь<^в. В этом случае нет взаимодействия с внешним сверхзвуковым потоком, и течение в возмущенной области около шероховатости должно сращиваться с невозмущенным течением Блазиуса на пластине.

Если а — й~г“, где 1<а<3/2, то течение в области с характерными размерами (л-, у)~0(з“) описывается уравнениями Эйлера для несжимаемого газа. Около поверхности шероховатости необходимо рассмотреть вязкий подслой толщиной порядка О (е3/2), который описывается обычными уравнениями пограничного слоя для несжимаемого газа при заданном распределении давления. Этот случай исследован в работах [6, 8]. Было получено, что наличие шероховатости вызывает повышение теплового потока ^ и напряжения трения х по сравнению с их значениями в невозмущенном

2 а—3 2 а—3

пограничном слое <7— О (г 4 ) и т~0(е 2 ) в окрестности шероховатости (<7 и т отнесены к своим значениям в невозмущенном пограничном слое). В работе [9] показано, что должна существовать переходная область течения, протяженность которой по порядку величины много больше Ь — где тепловой поток и напря-

жение трения больше, чем в невозмущенном пограничном слое, и изменяются от значений в невозмущенном пограничном слое до значений в вязком подслое. В работе [6] получены оценки для переменных в этой области и показано, что задача для переходной области течения аналогична задаче для случая (1.6).

Пусть £ ~ г" и где 1<а<3/2 и Х<С!1. Сначала надо

рассмотреть возмущенную область течения с характерными размерами (л:, у)'—-О(г01). Исходя из условий сращивания с невозмущенным пограничным слоем, в этой области необходимо ввести следующие новые переменные и асимптотические разложения для параметров течения

Здесь р! (О, 0)--безразмерная плотность в невозмущенном пограничном слое у поверхности пластины. Если разложения (2.1) подставить в уравнения Навье — Стокса и совершить предельный переход г-» 0, то для функции тока $1(хи ух) получается следующая задача

где А — градиент скорости на теле в невозмущенном пограничном слое.

Решение задачи (2.2) ищется в виде ряда по малому параметру X

Тогда для функции У\) можно получить Дфи = 0, фи 0 при

хг -> — оо или ух -»• оо

Вид асимптотического разложения для полной энтальпии Н получается из условий сращивания с течением в невозмущенном пограничном слое

где Н(0) и В — полная энтальпия и градиент полной энтальпии в невозмущенном пограничном слое около поверхности пластины.

Для того чтобы удовлетворить условиям прилипания, вблизи поверхности шероховатости следует рассмотреть вязкий подслой с характерной толщиной у — 0(Хг“), т. е. порядка характерной высоты самой шероховатости [при этом должно выполняться

х = е«х1-, у — &а уй и(х, у, г) == в"-1 иг(хи уь(х, у\ е) = е—1 ^(х,, ■; (2.1)

р{х, у\ г) = р^-\ьг{-«-1)рх{хиу1) +. ..\ р(х,у; ®) = Р,(0,0)-Ь .

Ф(*. У\ е) = е8в_Ч1(-*1. У\)+ • • ■ •

При Х1 ->■ —ОО или у, -> оо,

(2.2)

ОО

—со

и при уг -*■ 0

Ф1 -*■ Ар1 [у1/2 + X2 (хг, 0) + . . . ].

(2.3)

Н (ф; &) — Н (0) + в-> Нх (<Ы + . . ., И, (фх) = 5/2 ^/Лр, , (2.4)

3 — Ученые записки ЦАГИ № б

33

X•—• О (® 3 )]. В вязком подслое вводятся следующие независимые переменные и асимптотические разложения параметров течения

3 + а

д;:

еах0Х; у = е3у0У;

и(х, у; е) = Ау0 [е“/3 и (X, У) + . . . ]; »(*, К *) = ^г[^У(Х,>) + ...];

л-о

?{х, у; £) — Р1 (О, 0)+ . . .;

2а

Р С*. У, е) = А» + А*у0 р1 [® 3 ^ (X, У) + .

(2.5)

3 + 2 а

<К*, у; е) = АР1^[в“¥(^, У) +...];

Н (х, у- г) = н (О) + Ву0 [е«/з С (*, Г) + . . .

Здесь х0 и _у0 — длина и высота шероховатости в масштабах вели-

З+а

чин порядка еа и г 3 соответственно. Подстановка разложений (2.5) в уравнения Навье — Стокса для первых членов разложений дает

ПЧГ'" = Р' + Ч*' — ¥* Ш", Р' = О,

П/оО" =С'¥' —С''Г,

¥ = ^'«=6 = 0 при У = Р(Х),

V" - 1, С У5ГЧГ, Р ->(«•- пои Г - оо,

<Р(-оо, У).

XI

2

О (— оо, }') ■

при У: П =

цх0

^Р1 Уо

(2.6)

Здесь о — число Прандтля, граничные условия при У оо получены с помощью сращивания с условиями (2.3) и (2.4). Следует отметить, что в задаче (2.6) высота шероховатости и толщина вязкого подслоя одинаковы по порядку величины, и распределение давления определяется в процессе счета. Однако здесь нет распространения возмущений вперед, так как в отличие от работ [3, 7] краевые условия не повышают порядок производных по х, входящих в систему уравнений (2.6).

Если а = 3/2, то течение в области с характерными размерами (х, у) — О (в-) будет описываться полными уравнениями Навье— Стокса для несжимаемого газа, а при а > 3/2 — уравнениями Стокса.

Общее рассмотрение течений в областях с характерными размерами (х, у) — О (е) проведено в работе [2], а в случае а « £ и Ь — е задача для вязкого слоя около поверхности шероховатости сводится к задаче (2.6) (см. работу [6]). Нетрудно убедиться, что при 1 и а<е не получено решение только для случая (1.6),

для которого опять справедлива поставленная выше задача (2.6).

3. Численное решение задачи (2.6) удобно проводить в новых переменных

N='

-(I (АГ)]1/2

т = а (X) ср (х, ло +

+ Р(Х)[У-Р(Х)},

б = [-*(*)]!/*£(*, Л0 + [Г-Н*)], (1(Х)=Р(Х)-

/•’2 (X)

(3.1)

Тогда уравнения и граничные условия (2.6) преобразуются к виду

МаР '

^ + л,-

n?w = p-[(^ + ^j +

+ pyv-1- <p'j <р' —р<р+Л3 [ср'* (7V + Л2 — ср') — <р* (1 — ср")];

п

— Л?*+4- ^*J £' + -г (^+л2—?') s+^зг (W+л 2 - ?'); ?(jr,0)-g(jr,0) = 0; ?'(Х,0) = At\ <Р"(*,°°)==

= ?' (^> <*>) = &' (*, °о) = 0;

9 (0, ft) = g (О, N) — 0, A^l-diX^F'iX), А2 = г ^

AV - Л, Л;-

+ЛХ UV-P9

Л3 = [-«/(А’)р> p = [-d(A-)]^ [-d(X)}\

(3.2)

Задача (3.2) решалась численно с помощью полустандартной программы, созданной на основе метода [10]. При решении на каждой характеристике производился подбор параметра р, чтобы выполнялось условие <р' (X, сю) = 0. В работе представлены результаты расчетов обтекания шероховатости, заданной уравнением

F(X) = ± sin ъХ

при а = 0,71, и различных значений параметра П.

На фиг. 1—3 показаны распределения безразмерных теплового потока, напряжения трения и возмущения давления. Сплошными линиями отмечены результаты расчетов при обтекании выпуклости на отрезке [0, 1], штриховыми — при обтекании синусоидальной шероховатости на отрезке [0, 2] и штрих-пунктирными — при обтекании синусоидальной стенки F (AT) = — simtA'.

При П — 0 отрыв возникает всегда (слой толщиной порядка высоты шероховатости становится невязким, необходимо рассматривать более тонкий вязкий подслой около поверхности шероховатости, который не может войти в критическую точку при Х->-00 без отрыва). Положение точки отрыва на поверхности шероховатости при П^гО можно найти только из решения (3.2).

В окрестности точки X — 0 можно получить, что (<7—1) — X2/3, '(т — 1) — X2/3 и Р~Х413. Следует отметить, что так как шероховатость обтекается дозвуковой частью пограничного слоя, то выпуклость вызывает Д/?<0, поток разгоняется, тепловые потоки и напряжение трения возрастают. При обтекании вмятины наблюдаются обратные эффекты. Из рассмотрения фигур видно, что положения экстремумов очень мало зависят от значения параметра П, с ростом П возмущения теплового потока и напряжения трения уменьшаются, а возмущения безразмерного давления увеличиваются. В точках, где шероховатость снова переходит в пластину, тепловой поток и напряжение трения имеют резкие экстремумы; при удалении от шероховатости все параметры плавно •стремятся к своим значениям в невозмущенном пограничном слое. При обтекании синусоидальной стенки решение имеет характер, близкий к периодическому. Величина параметра подобия П определяет характер течения около поверхности шероховатости. При

3—2а

П->0(1>Х>е 3 ) эффективное число Рейнольдса, вычисленное

по местным параметрам, стремится к бесконечности и слой толщиной порядка характерной высоты препятствия становится невязким.

3—2а 3—2я

При П ~ 1 (Х~г 3 ) получается задача (3.2), а в случае П>1 (Х<е 3 ) течение около шероховатости будет описываться уравнениями Стокса (возмущение давления при этом стремится к бесконечности).

Полученные решения пригодны для произвольного тела, если внешний невязкий поток является сверхзвуковым и характерный масштаб изменения параметров течения значительно больше длины шероховатости. В этом случае задача сводится к обтеканию пластины с местными значениями числа М и градиента скорости на поверхности тела.

Автор благодарит В. Я. Нейланда за постановку задачи и ценные советы в процессе обсуждения работы.

1. В а н-Д а й к М. Методы возмущения в механике жидкости. М., „Мир-, 1967.

2. Нейла нд В. Я., Сычев В. В. Асимптотическое решение уравнений Навье—Стокса в областях с большими локальными возмущениями. „Изв. АН СССР, МЖГ°, 1966, № 4.

3. Нейланд В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1969, № 4.

4. Нейланд В. Я. К асимптотической теории плоских стационарных сверхзвуковых течений со срывными зонами. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1970, № 3.

5. Bertram М. and Wiggs М. Effect of surface distortions on the heat transfer to a wing at hypersonic speeds. „IAS Paper”, 1962, No 62-127.

6. Боголепов В. В., Нейланд В. Я. Обтекание малых неровностей на поверхности тела сверхзвуковым потоком вязкого газа. Труды ЦАГИ, вып. 1363, 1971.

7. Smith F. Т. Laminar flow over a small hump on a flate plate. J. Fluid Mech., vol. 57, part. 4, 1973.

8. Зубцов А. В. Влияние единичной шероховатости на течение жидкости в пограничном слое. „Ученые записки ЦАГИ“, т. II, № 1, 1971.

9. Нейланд В. Я. К асимптотической теории расчета тепловых потоков около угловой точки тела. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1969, № 8.

10. Петухов И. В. Численный расчет двумерных течений в пограничном слое. В сб. „Численные методы решений дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы". М., „Наука*, 1964.

Рукопись поступила 2/Х 1973