CC BY
41
_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Т о м X/ 1980
М 4
УДК 533.657.2
НЕСТАЦИОНАРНОЕ ОБТЕКАНИЕ ПЛАСТИНЫ СО ЩИТКОМ СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ВЯЗКОГО ГАЗА
Л. В. Казаков
С помощью метода сращиваемых асимптотических разложений на основе уравнений Навье — Стокса исследовано нестационарное обтекание вязким сверхзвуковым потоком пластины со щитком с заданным давлением на донном срезе при стремлении характерного числа Рейнольдса к бесконечности. Предложен численный метод расчета нестационарных течений, возникающих около конфигураций крыло — щиток при взаимодействии пограничного слоя с внешним невязким сверхзвуковым потоком. Представлены результаты расчетов, которые позволяют оценить влияние вязкости и нестационар-ности на аэродинамические характеристики органов управления летательных аппаратов.
1. Метод сращиваемых асимптотических разложений в последнее время эффективно используется при анализе решений уравнений Навье—Стокса для больших докритических значений характерного числа Рейнольдса. Такой анализ позволяет получить предельную картину обтекания твердого тела при Ие -»эо, определить законы подобия и количественные закономерности, которые хорошо согласуются с экспериментом, В работах (1 —■ 3] с помощью метода сращиваемых асимптотических разложений было исследовано взаимодействие ламинарного пограничного слоя со сверхзвуковым потоком около точки отрыва. Согласно результатам этих работ, асимптотическое решение уравнений Навье —Стокса при йе -*■ ос различно в трех частях области взаимодействия, расположенной около точки отрыва и имеющей малую длину порядка Яе-3'8.
Внешняя зона (область / на рис. 1) имеет поперечный размер, соизмеримый с ее длиной, а течение в ней описывается в первом приближении линейной теорией сверхзвуковых течений. Вторая часть области взаимодействия (область 2 на рис. 1) имеет поперечный размер —Ие-12, а профили скорости и энтальпии в ней в первом приближении совпадают с профилями в невозмущенном по-
2—«Ученые записки» .V 4
17
граничном слое перед областью взаимодействия. Возмущения малы и в первом приближении не влияют на распределение давления. Третья зона (область 3 на рис. 1) представляет собой вязкий подслой толщиной ~Ке_5/8. Изменение толщины вытеснения вязкого подслоя индуцирует во внешнем сверхзвуковом потоке градиент давления, вызывающий отрыв. Течение описывается уравнениями несжимаемого пограничного слоя. Градиент давления, входящий в уравнения, не задан и должен определяться в процессе решения из условия взаимодействия вязкого подслоя с внешним сверхзвуковым потоком.
Развитая в работах [1—3] асимптотическая теория была использована при исследовании широкого класса течений, в которых
влияние малых, но быстрых изменений краевых условий передается вверх по течению за счет локального взаимодействия пограничного слоя с невязким сверхзвуковым потоком. Так, в работе [4| с помощью этой теории дано описание стационарного течения перед донным срезом, в котором безразмерный перепад давления ~Ре~14 передается от донной области вверх но потоку на расстояние ~Ре-3'8.
Сверхзвуковое стационарное течение в области взаимодействия, расположенной около задней кромки плоской пластины, как при симметричном обтекании, так и для пластины под углом атаки порядка Ие-14, было исследовано в работах [5 — 6], а случай нестационарного обтекания задней кромки профиля сверхзвуковым потоком вязкого газа рассмотрен в работе [7]. Аналогичное этой работе описание нестационарного течения в пограничном слое и в области взаимодействия было получено в работах [8 — 9| при исследовании ряда других краевых задач. В работе [10] рассмотрено нестационарное течение в области взаимодействия, возникающей в окрестности щитка бесконечной длины, отклоняемого в сверхзвуковой поток вязкого газа, и представлены результаты расчетов таких течений.
В данной работе исследуется нестационарное обтекание щитка конечной длины, отклоняемого в сверхзвуковой поток на угол порядка Ие-14 за характерное время—Ие-14. При этом длина щитка и безразмерный перепад давления на задней кромке предполагаются такими, что в окрестности щитка образуется область взаимодействия, асимптотическое описание которой при Яе оо аналогично описанию течения в окрестности задней кромки осцилли-
рующей пластины [7|. Предлагается численный метод расчета нестационарного течения в вязком подслое (течение во внешней области и основной части пограничного слоя является для таких интервалов времени квазистационарным) и представлены результаты двух расчетов, которые показывают возможность применения данного метода для оценки эффективности аэродинамических органов управления летательных аппаратов, а также влияния вязкости и нестанионарности на их аэродинамические характеристики.
2. Постановка краевой задачи и метод расчета. Рассматривается нестационарное обтекание щитка, расположенного на задней кромке плоской пластины, сверхзвуковым потоком вязкого газа при стремлении характерного числа Ие = 1/рж = е-5 к бесконечности.
Здесь р , их, ^ — плотность, скорость, коэффициент динамической вязкости набегающего потока, а /— расстояние от передней кромки пластины до щитка (см. рис. 1). В дальнейшем будут использоваться только безразмерные величины, для чего все линейные размеры отнесены к /, составляющие вектора скорости — к Их, плотность — к рх, время — к //1*001 давление — к р^и^, энтальпия—к и?., а коэффициент динамической вязкости — к Предполагается, что длина щитка ~а34, время отклонения щитка в поток ~г1'г, а перепад давления на донном срезе щитка —з1 г.
Как и в работе (7), течение в области взаимодействия (область 1) с продольным и поперечным размером порядка г3^ при сделанных предположениях будет квазистационарным и описывается линейной теорией сверхзвуковых течений. Течение в основной части пограничного слоя (область 2) с поперечным размером порядка г не влияет в первом приближении на распределение давления. Изменение толщины вытеснения пограничного слоя индуцируется в первом приближении только вязким подслоем толщиной ~г5/4, течение в котором является существенно нестационарным. Асимптотические разложения координат и функций течения для вязкого подслоя (область 3) в ортогональной системе координат (х, у), связанной с поверхностью тела и началом координат в угловой точке щитка, имеют следующий вид:
Р =
* = г1 2 *3; А = 1 + а3'4 Х3; у = г® 4 у3;
-~г + г' 7РЛи, *3) + • • •; р — р„ + ...;
7М*
и = е> *и3 (*з, х,, Уз) т • . .; V — г3 'г»8(/3, *3, л) + ...; Н=к„ + ...; :* = !*а. + . •.; н = г>*#3(/3, л-3) + ...;
(1)
здесь £—безразмерное время; р, р, |х, А, и, V — безразмерные величины давления, плотности, коэффициента динамической вязкости, энтальпии, составляющих вектора скорости; М»— число М набегающего потока; в3 — функция, определяющая угол отклонения щитка в (см рис. 1), а ^ — отношение удельных теплоемкостей. Индексом и» отмечены значения соответствующих величин на поверхности тела-
Подставляя эти разложения в уравнения Навье — Стокса и совершая предельный переход I-> 0, получим уравнения, описыва-
ющие нестационарное течение в вязком подслое, а также соответствующие краевые и граничные условия:
du-> dp, ,
■ Г'ш V, ---------- ---------------— 4- U„
•w 3 dy, dx3
<P U3 dyl
du3 dx3
из — ao Уз! Pi — 0
дуг
при /я == 0;
ди3
<^Уз
u8 — г»3 = 0 а0 при - -
при у, = 0; или у8
■ оо
+ оо;
/>«<<•» -«зя^РзЛ'з) при /3>0;
(2>
|/мГ=ТЛ _ л. [ (».-*)]+«. *,).
В этих соотношениях использованы следующие обозначения: л3£- координата задней кромки щитка, рг<1—заданное значение возмущения давления на задней кромке щитка, а0 — безразмерное напряжение трения на стенке перед областью взаимодействия.
Последнее из уравнений (2) представляет собой условие взаимодействия вязкого подслоя с внешним сверхзвуковым потоком (область /). Согласно этому уравнению давление в области взаимодействия зависит не только от угла отклонения щитка, определяемого функцией 03, но и распределения толщины вытеснения вязкого пристеночного слоя.
Введем новые переменные, определенные соотношениями
(3>
«3 = llW& (Mi - 1)’T U\ v, = |^ag(ML- 1),я/р*Г v/;
*э = f^p2a,«g(Mi- i)3/2rM^; v3= [ъ.М(МЪ- 1)'T4 Y;
Рг = hA® a0/(Ml - 1 ),/а|1/2 P\ H3 = К, a0 (М2И - 1 )ш]12 в0;
и перейдем в уравнениях (2) к завихренности <о = -^- 111]. После
д К
использования преобразования и>=14-ш1» повышающего точность интегрирования уравнений вблизи верхней границы (3], соотношения (2) примут следующий вид:
du,i , т I t'\ «*«, I I/ .
TF + V'+ n W + Ц ^7 - ^ ■
., dii <Wi d2 <!/
1/,=—Ttr; =
(?>
d.V
dr
й«>|
77
к=о
Г lim Г «>, rfK 1 + [y^x J J
dX
o»j d YI -f- 0O (7, -Y);
в0(7, X) — H,(7’)-/У(Л');
(4>
(5)
(6)
(7)
(8)
Р(Т, ХЕ) — Ра{Т)\ «>, = 0; Р=0 при Т = О,
их— I/, = 0 при К = 0; ш. — 0 при -V -*• — оо или 4-оо,
где Н(Х) — функция Хевисайда. Н(Х)= | 1 у>0,а ^~К00Р*
дината задней кромки щитка.
Для расчета течения в области 3 в плоскости X, У задавалась равномерная по А- и К разностная сетка, а дифференциальные уравнения (4 — 7) аппроксимировались соответствующими разностными уравнениями. Для уравнения импульсов (4) использовалась
„ дш, д<<>, аз <*>»
полностью неявная схема, в которой производные —1, —!-, —5
дХ дХ д К2
расписывались на новом временном слое 7'/+1 с использованием разностных формул второго порядка точности. Возмущенные скорости их и Й, на слое 1 определялись из уравнений (5) по известному полю завихренности. Производная заменялась лево-
дХ
сторонней или правосторонней разностью второго порядка точности в зависимости от знака и = У 4- и1 всюду, кроме характеристики, выходящей из угловой точки X = 0, и двух смежных с ней характеристик, где использовались разностные формулы первого
порядка точности [12]. Производные ~~ и заменялись цент-
ральными разностями второго порядка точности.
Для определения завихренности на стенке «>, (ТX, 0) = = ши+1. *. 1 условие взаимодействия (6) расписывалось также на новом временном слое Т1+1. Для этого производная заменялась
дУ
односторонней разностью ур(ш1/+1, * 2~10и+1, * I)» интеграл рассчитывался по формуле трапеций, а вторая производная по X аппроксимировалась центральной разностью второго порядка точности. Полученное таким образом разностное уравнение для <+!,* 1 решалось, как и в работе [13], методом прогонки с граничными условиями: о,ц+1,|,1=0 и ш,, к , ■=. ш,Е. Величина о»1Я> представляющая собой значение вихря на задней кромке, определялась путем пристрелки в процессе итераций из условия равенства давления на последней характеристике, определяемого из уравнения (7), и заданного значения возмущения давления Ра(Г).
Решение разностных уравнений, аппроксимирующих систему уравнений (4) —(8), находилось с помощью следующего итерационного процесса.
1) С использованием некоторого приближения для поля завихренности п из уравнений (5) и (6) находились поля скоростей и распределение завихренности по поверхности тела ,
при некотором значении ^[Е (здесь п — номер итерации на времен-нбм слое 7'/+1).
2) Для получения сходящегося итерационного процесса найденное значение завихренности подвергалось релаксации (см., например, [14]):
ш?5+1. *, 1= К1+1. *, I “Ь ^ Р) Ш1 <+«. *. 1 *
а затем методом прогонки вдоль каждой характеристики X = const определялось новое приближение m- характеристиках
с номерами N=k— 1 и N = k — 2 использовались ранее найденные значения для вихря, а на характеристиках с номерами = и N = k 4-2 величины завихренности принимались равными ю"/+1іЛг<т.
3) Полученное поле шу+^j к т использовалось для определения возмущенного давления на задней кромке щитка Ре+\ и если последнее отличалось от заданного давления на донном срезе Р4(ТМ) больше, чем на некоторую заданную величину, рассчитывалось новое значение вихря на стенке при X = X
«-+‘ = «-*+.1 Pd(TM)-PnF+'].
4) Итерации повторялись до тех пор, пока отличия значений завихренности на поверхности тела на соседних итерациях и отличие давления на задней кромке от заданного не становились меньше некоторой заданной величины.
В начальный момент времени Г=О угол отклонения щитка, т. е. величина в, (Г) в (8), и возмущение давления на донном срезе Pd(T) принимались равными нулю, так что течение в области взаимодействия оставалось невозмущенным, и в вязком подслое реализовался сдвиговый поток «>,(0, X, У) = 0. При переходе на следующий временной слой Тіла в качестве нулевого приближения для начала итерационного процесса использовалось решение, полученное на предыдущем слое по времени Г,. Следует отметить, что для расчета функций течения на последней характеристике Х = Хе (задняя кромка щитка) профиль скорости на ней должен быть безотрывным (С/, > — Y). Поэтому донное давление должно быть таким, чтобы на конце щитка реализовалось либо течение разрежения, либо течение сжатия, не приводящее к отрыву пограничного слоя.
3. С помощью предложенного здесь алгоритма исследовалось нестационарное обтекание щитка с заданным значением возмущения давления на донном срезе (см. рис. 1). Расчеты проводились на ЭЦВМ БЭСМ-6 по программе, составленной на языке ФОРТРАН — ЦЕРН. При этом предполагалось, что задняя кромка щитка имеет координату Ae = 30, возмущение давления Ра(Т) при Г>0 остается постоянным, а функция S,(T), входящая в соотношение (8), возрастает от нуля до постоянной величины 0iO по экспоненциальному закону:
в,(Г) = 0,о[1 —ехр(- Т)].
На рис. 2 и 3 для различных моментов времени приведены распределения напряжения трения и давления но поверхности щитка, для которого предельное значение 01о = 3, а возмущение давления Pd(r>0) = —23,5.
Результаты расчетов показывают, что в момент времени Т = 1 около точки излома поверхности (A = 0) впервые появляется небольшая срывная зона, которая затем развивается во времени и приводит к появлению характерной области постоянного давлення. Начиная с момента времени Т=-5, величина в] (Г) с точностью 0,694 равнялась своему предельному значению 01о. Однако, как показали расчеты, картина течения в области начала щитка X = О
переставала изменяться только с момента времени 7"^8. На задней кромке щитка реализуется течение разрежения [значительное падение давления на конце щитка (рис. 3)], которое приводит к образованию области с большими значениями напряжения трения на поверхности щитка. Течение в области разрежения устанавливалось быстрее, чем в области отрыва около угловой точки щитка {X«= 0), и практически не менялось для времен Т^Ъ.
Распределение давления по поверхности щитка в различные моменты времени (см. рис. 3) показывает, что в результате взаимодействия вязкого подслоя с внешним сверхзвуковым потоком давление наиболее сильно изменяется в областях начала (Л' = 0) и конца (Х = Хе) щитка. В то же время давление в центральной части щитка практически совпадает с давлением на щитке Рн без учета взаимодействия. Распределение давления и напряжения трения вверх по течению от точки излома поверхности (Х = 0) и в некоторой ее окрестности для Т>8 аналогичны стационарным распре-
лг,
в.*
в'э З.Рг -23,5
03
в> РГ-12,5
02
Р
2
« В
8 Т
Рис. 4
делениям давления и трения, полученным в работе [10] для щитка бесконечной длины. Отметим однако, что течение разрежения на задней кромке щитка приводит к существенной перестройке потока в окрестности донного среза и оказывает некоторое влияние на течение в области присоединения пограничного слоя. Это влияние увеличивается одновременно с уменьшением длины щитка и давления на донном срезе.
Проведенные расчеты позволяют оценить влияние ВЯЗКОГО взаимодействия на коэффициент подъемной силы Су, для которого, принимая во внимание малость угла отклонения щитка, можно получить
где Х0— координата начала области взаимодействия (в расчетах *0 = —21).
На рис. 4 показана зависимость изменения коэффициента подъемной силы &Су = Сун — Су за счет взаимодействия подслоя с внешним сверхзвуковым ПОТОКОМ ОТ времени. Здесь СуН и Су—коэффициенты подъемной силы без учета взаимодействия и с учетом вязкого взаимодействия соответственно. Коэффициент подъемной силы без учета вязкого взаимодействия СУн, как и угол отклонения щитка, изменяется с течением времени по экспоненциальному закону. А так как коэффициент подъемной силы СуН для больших значений стремится к своему предельному значению СУн = 01О, то вязкое взаимодействие после установления течения во времени (Г> 8) приводит к изменению коэффициента подъемной силы щитка почти на 13%. Это происходит главным образом за счет появления на задней кромке щитка мощного течения разрежения.
Аналогичные результаты для распределения напряжения трения и давления по поверхности тела были получены для обтекания щитка с углом отклонения, для которого й10 = 4, и донным давлением Р4== —12,5. Отрыв пограничного слоя наступает в этом случае значительно раньше. Уже при Т = 0,6 у начала щитка появляется небольшая область отрыва, так как увеличение в10 приводит к увеличению неблагоприятного градиента давления в окрестности начала щитка ^ = 0. В то же время проведенные расчеты не выявили какого-либо существенного изменения времени установления течения в областях начала (А' = 0) и конца щитка Х — ХЕ. Течение разрежения на задней кромке щитка в данном
случае было менее интенсивным, благодаря чему изменение коэффициента подъемной силы за счет вязкого взаимодействия ЛСУ уменьшается (см. рис. 4) и для установившегося течения составляет около 7% от величины коэффициента подъемной силы Сун без учета вязкого взаимодействия.
Преобразование подобия (3) позволило исключить из формулировки краевой задачи, задачи (2) такие параметры, как число Рейнольдса Ие, М», и температурный фактор, и поэтому они появляются только при переходе от безразмерных переменных, в которых проводилось численное решение уравнений (4)— (8) к размерным переменным. В переменных подобия картина течения в вязком подслое зависит от длины щитка (1 — Х£), величины возмущения давления на задней кромке щитка Ра—от закона, согласно которому щиток отклоняется в сверхзвуковой поток в, (Т), и характерного времени отклонения щитка Т. В размерных переменных эти параметры имеют следующий вид:
I* = /Не"38 К а\ ?1 (М1 - 1 )3'2] 4 ХЕ\
e = Re-,4[{i»a0(AfL— 1)12),20,;
Т* = -f- Re-1 ■'« К а* (А/& - 1 )12Г12 Т.
СО
Проведенные расчеты течений у щитков с различными предельными углами отклонения и донными давлениями показывают возможность применения развитого в данной работе численного метода для расчета нестационарных течений с учетом взаимодействия и оценки влияния нестационарности течения и взаимодействия пограничного слоя с внешним невязким сверхзвуковым потоком на эффективность аэродинамических органов управления. Следует также отметить, что полностью неявная конечно-разностная схема с итерациями на каждом временном слое позволяет, по-видимому, более точно, чем неявная схема, предложенная в работе [Ю], описывать нестационарные течения около щитка, отклоняемого в сверхзвуковой поток с большой угловой скоростью.
Автор благодарит В. Я. Нейланда за ценные советы при обсуждении работы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Нейланд В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке газа. .Изв. АН СССР. МЖГ", 1969, № 4.
2. Stewartson К.. Williams P. G. Self-Induced separation. .Ргос. Roy. Soc.v London A., 312, 1969.
3. Нейланд В. Я. Асимптотические задачи теории вязких сверхзвуковых течений. Труды ЦАГИ, вып. 1529, 1974.
4. Нейланд В. Я. К асимптотической теории расчета тепловых потоков около угловой точки тела. „Изв. АН СССР, МЖГ*. 1969, № 5.
5. Daniels P. О. Numerical and asymptotic solutions for the supersonic flow near the trailing edge of a flat plate. Quart. .J. Mech. and Appl. Math.-, vol. 27, N 2, 1974.
6. Daniels P. Q. Numerical and asymptotic solutions for the supersonic flow near the trailing edge of a flat plate at incidence. .J. Fluid Mech.*, vol. 63, pt. 4, 1974.
7. Daniels P. Q. The flow about the trailing edge of a supersonic oscillating aerofoil. ,J. Fluid Mech.*, vol. 72, pt. 3. 1975.
8. Schneider W. Upstream propogation of unsteady disturbances in supersonic boundary layers. .J. Fluid Mech.*, vol. 63, pt. 3, 1974.
9. Рыжов О. С., Терентьев Е. Д. О нестационарном пограничном слое с самоиндуцированным давлением. ПММ, том 41, вып. 6, 1977.
10. Рубан А. И. Численное решение локальной асимптотической задачи о нестационарном отрыве ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. .Ж. пычисл. матем. и матем. физ.", 1978, Л6 5.
11. Carter J. Е. Solution for laminar boundary layer with separation and reattachment. A1AA Paper N 74-583, 1974.
12. Kltneberg J. М., Steger J. L. On laminar boundary layer separation. AIAA Paper N 74-94, 1974.
13. Jenson R., Burggraf O. R. Asymptotic solution for supersonic viscous flow past a compression corner. Proc. 4th Int. Conf. Numer. Methods in Fluid Dyn., Lecture Notes in Phys., vol. 35, 1975.
14. Рубан А. И. Численный метод решения задачи для области свободного взаимодействия. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 2, № 2, 1976.
Рукопись поступила 2711 1979
