Метод расчета обтекания тел произвольным (вихревым нестационарным) потоком идеальной несжимаемой жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

____ УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XVII 1986

№ 6

УДК 533.6.013.2.011.32

МЕТОД РАСЧЕТА ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ ПРОИЗВОЛЬНЫМ (ВИХРЕВЫМ НЕСТАЦИОНАРНЫМ) ПОТОКОМ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

М. А. Головкин

Метод, развитый ранее в работах [1—7] для расчета обтекания тел потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости, распространен на случай обтекания тел произвольным, в том числе вихревым нестационарным потоком идеальной несжимаемой жидкости. Выведено уравнение для потенциала возмущенных скоростей — уравнение Фредгольма II рода относительно плотности диполей, распределенных по поверхности тела, аналогичное полученному ранее в указанных выше работах. Найдено выражение для давления на внешней поверхности тела.

В настоящее время существенное развитие получили методы расчета течений на основе модели идеальной несжимаемой жидкости. Этот подход оказался эффективным для расчета обтекания тел как при безотрывном, так и при отрывном обтекании потенциальным внешним потоком. Общий метод расчета плоских и трехмерных отрывных нестационарных течений идеальной несжимаемой жидкости, когда обтекаемые таким потоком тела могут совершать произвольное поступательное и вращательное движение, был дан в работах [1—7]. Там же содержится достаточно полный обзор исследований в этом направлении.

Однако ряд практически важных задач аэродинамики требует развития методов расчета обтекания тел непотенциальным, вихревым, внешним потоком жидкости. Примерами таких задач могут служить обтекание корпуса вертолета, находящегося в струе от винта, некоторого тела, помещенного в вихревой след от другого тела, и т. д.

В работах [8—11] для двумерных течений идеальной несжимаемой жидкости получены решения задач обтекания тел, главным образом кругового цилиндра, некоторыми вихревыми потоками специального вида. В [12] получена обобщенная формула для подъемной силы цилиндра, обтекаемого произвольным потоком идеальной несжимаемой жидкости, скорость которого на контуре может быть представлена в виде разложения в ряд Фурье по азимутальному углу. Полученный в этой статье результат обобщает результаты указанных выше работ [8—11]. В [12] также приводится подробный обзор литературы по исследованию обтекания тел произвольным плоским потоком идеальной несжимаемой жидкости. Работы по теоретическому исследованию обтекания тел про-

Ю

извольным трехмерным потоком идеальной несжимаемой жидкости автору неизвестны. С этой точки зрения представляется целесообразным развитие метода расчета обтекания тел на случай произвольного (вихревого нестационарного) набегающего потока.

1. Исходные соотношения. Пусть твердое, непроницаемое тело конечной толщины, ограниченное кусочно-гладкой поверхностью 5, обтекается потоком идеальной несжимаемой жидкости, имеющим скорость невозмущенного данным телом течения IV. Вектор скорости, возмущенной данным телом, обозначим через V. Граничное условие на поверхности тела 5 выразится как

&Л-'М)-п = 0, (1)

где п — нормаль к 5. Считаем, что в общем случае движение пространственное; V и — соленоидальные векторы и являются функциями координат и времени. Предполагается, что V на бесконечном расстоянии от тела стремится к нулю и обладает потенциалом:

V = уср1.

Вектор скорости складывается из потенциального вектора

у== V?*

и вектора и, который определяется соотношениями [13, 14]

1 Г ыйй

и = V X <РШ = 4^ ] , <•> = V х И, Д?“ = <*>, (2)

или законом Био-Савара

1 ГДХИг) АГ. А

Здесь б — весь объем жидкости, занятый вихрями. Вектор и непотенциален, если г б й, и может быть потенциальным, когда На

функцию «о—-вектор завихренности — накладываются условия, обеспе-

чивающие существование интеграла в (2), в частности, для трехмерной области это может быть [14]

1°>|<^2+Х при |/?|->-00,

где А •— некоторая константа; 0<А,< 1.

Таким образом, суммарная скорость определяется как

(¡='№ + *=¥ + 11 + *. (3)

В общем случае это поле удовлетворяет уравнению движения (см. [13]):

и х ю — 4г ” V#. (4>

1 р

где Н = -у £/•и + — ; р — давление; р—плотность жидкости.

В том случае, когда поле скоростей в окрестности поверхности тела 5 во все время движения \ потенциально, что имеет место, если к 5 не примыкают объемы с особенностями ю или примыкают

лишь свободные поверхности S{(r, t), i— 1, 2, 3, п, разрыва касательных скоростей, эта задача совершенно аналогична задачам, рассмотренным в [1—7], и сводится:

к решению интегральных уравнений Фредгольма II рода относительно плотности потенциала двойного слоя, распределенного по поверхностям S и Si, при некоторых условиях, накладываемых на плотность потенциала двойного слоя, на линиях сопряжения этих поверхностей;

к решению в каждый момент времени нелинейных интегральных уравнений движения поверхностей S{.

2. Метод решения задачи. Если поле скоростей в окрестности ¡S непотенциально, то необходимо решать уравнение движения (4) при граничном условии (1). Однако и в данном случае эта задача может быть решена аналогично [1].

Как известно, решение поставленной задачи можно свести к решению чисто кинематической задачи о перемещении завихренности во внешней к поверхности 5 области G и к динамической задаче определения гидродинамических реакций на поверхности S. Кинематическое условие для завихренности — уравнение Гельмгольца — получается путем вычисления операции ротора от уравнения движения (4) и

имеет вид

дч>

dt

ДЛИ

■ v х (о) X U) = о (5)

д<о

(!>Х ■

Уравнение (5) можно решать различными методами, например путем построения пространственной вихревой сетки из дискретных вихрей и транспортировки элементов этой сетки со скоростью и как жидких частиц, аналогично известному (см., например, [3]) решению в лаг-ранжевых координатах уравнений движения поверхностей тангенциальных разрывов 5г-, которые также существуют в области течения и могут примыкать к 5.

В том случае, когда в какой-то части поверхности 5’

ю • п ф О,

на вектор завихренности «о необходимо наложить некоторые дополнительные условия на границе, так как в этом случае задача недоопреде-лена. Будем аналогично [1] считать, что во внутренней области тела б+, ограниченной поверхностью 5,

У х и = 0. (6)

Во внешней же области согласно (2)

V X * ~ (7)

Рассматривая интегралы по замкнутым контурам и ¿+сг5+,

где 5_ и 5+ — внешняя и внутренняя стороны поверхности 5, обращенные соответственно в б- и С+ от скорости (2), обусловленной объемными вихрями, и применяя к ним формулу Стокса, получим аналогично

(1], что по 5 в этом случае необходимо распределить поверхностные вихри. Они могут быть представлены в виде

Г = пХ%, (8)

где и3 — проекция и на 1$. Можно совершенно аналогично [1] показать, что при этом условия (6) и (7) будут выполнены в силу формулы Стокса и непрерывности и при переходе через 5, так как производные от объемного векторного потенциала (2) непрерывны на границе.

Если по поверхности 5 и поверхностям тангенциальных разрывов 5г, которые могут примыкать к 5, распределить двойной слой и потенциал возмущенной телом и следом скорости искать в виде потенциала двойного слоя, то в силу непрерывности (1) при переходе с на 5+ и в силу существования в области 6+ потенциала скорости /У задача отыскания потенциала возмущенной скорости V, совершенно аналогично [1], сводится к интегральному уравнению для плотности потенциала двойного слоя V:

Здесь 8т — поверхности тангенциальных разрывов, соответст-

д 1

венно примыкающие и не примыкающие к 5; АГ(Л>. Р) = — ;

г —расстояние от точки Р065 до точек Р£ 5 или Р €

п — нормаль в Р к 5, или 5т. Функция /;Ш+1 в <3+ является потенциалом, обусловленным вихрями й> в О- и поверхностными вихрями и может быть сведена, совершенно аналогично [1],

<-* , 4- к—

к интегралу по поверхности 5 (так же, как потенциал г+ 1 в обозначениях статьи [1]).

Так как поле скоростей, индуцируемое объемными вихрями (о , непрерывно, то на линиях схода потока с поверхности тела выполняются те же условия для плотности потенциала двойного слоя и ее производных по направлениям, что и в [1]. При этом скорость на внешней поверхности тела 5- также представляется в виде

где у = х’'4~Т‘° — вектор поверхностной завихренности, обусловленный двойным слоем у" и выведенным вихревым слоем Ym■ Уравнение (9) может решаться методами, описанными в [1—7].

Однако поле давлений в< О- в общем случае будет определяться теперь уже не интегралом Коши-—Лагранжа, как в [1], где в этой области существовал потенциал абсолютных скоростей жидкости, а уравнением (4), так как в рассматриваемом случае абсолютная скорость движения жидкости непотенциальна:

Учитывая, что векторы V и V, входящие в (3), являются потенциальными, и используя формулу полного дифференциала для нахождения потенциала, будем иметь:

, 0-11 ЧР, 1)К(Р0, Р)ЛЗ = Ч(Р0, 0, (9)

5

где

& = 1, 2,..., Л/; т—\, 2,..., М.

= V X я,

где точки /0б5_, 6 5’— и путь /0/]СО_ или 5_. Совершенно ана-

логично [1], учитывая свойства потенциалов, входящих в правую часть ф уравнения (9), при переходе через поверхность 5 получим:

— = +^дГ- + ^ж~- -ГТ-Г +(Ю)

1о

Таким образом, принципиально (10) отличается от выражения для давления, полученного в [1], наличием интеграла по пути Ыи Входящие в (10) функции и и о) определяются соотношениями (2). В некоторых частных случаях интеграл в (10) может быть вычислен. Если интегрирование в (10) производить по мгновенным линиям тока ско-

рости и, то интеграл от V X ю по пути /0/1 будет равен нулю. В этом случае при плоском течении II и й) ортогональны, а вектор I совпа-

IX

дает с и, поэтому интеграл |(£/Хм-с^) также обращается в нуль.

г0

В общем случае при численной реализации решения задачи обтекания тела вихревым потоком в силу того, что необходимо решать уравнение Гельмгольца, функции £/ и «о в окрестности поверхности 5- будут определены и интегрирование в (10) можно производить численно и не по линиям тока скорости

Таким образом, полностью найдены кинематические и динамические соотношения, позволяющие решить численно задачу обтекания тела произвольным потоком идеальной несжимаемой жидкости.

В том случае, когда тело, обтекаемое произвольным потоком, совершает еще и вращательное движение, во внутренней области тела могут быть введены, совершенно аналогично [1], дополнительно объемные вихри постоянной напряженности, компенсирующие вихри, обусловленные вращением тела, а по поверхности тела распределен вихревой слой. При этом относительное движение внутри тела будет отсутствовать. Итак, и для задачи расчета обтекания тела, совершающего наряду с поступательным и вращательное движение, произвольным (вихревым нестационарным) потоком идеальной несжимаемой жидкости полностью пригоден подход к решению, описанный в настоящей работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Головкин М. А. Метод решения задачи об отрывном обтекании идеальной несжимаемой жидкостью произвольна движущегося трехмерного тела, —Ученые записки ЦАГИ, 1977, т. 8, № 2.

2. Головкин В. А. Нелинейная задача о неустановшемся обтекании произвольного профиля со свободно деформирующимся вихревым следом. — Ученые записки ЦАГИ, 1962, т. 3, № 3.

3. Головкин М. А. Применение метода теории потенциала при численных расчетах отрывных нестационарных трехмерных и осесимметрических течений идеальной несжимаемой жидкости. — Труды ЦАГИ, 1982, вып. 2152.

4. Головкин В. А., Головкин М. А. Расчет двухмерных отрывных течений методами теории Потенциала. — Труды ЦАГИ, 1982, вып. 2152.

5. Г о л о в к и н М. А. Некоторые свойства интегральных уравнений Фредгольма второго рода относительно плотности потенциала двойного слоя в окрестности особых линий замкнутой поверхности.1—Труды ЦАГИ,

1982, вып. 2152.

6. Головкин В. А. О силах и моменте, действующих на произвольно движущееся тело, обтекаемое с отрывом потока (плоская задача).—Труды ЦАГИ, 1982, вып. 2152.

7. Головкин В. А., Головкин М. А. Численное решение задачи о нестационарном и -отрывном обтекании тел произвольной формы идеальной несжимаемой жидкостью. — Труды VI Международной конференции по численным методам в гидродинамике. Тбилиси, 20—25 июня 1978 г. — Сб. докладов, т. 2. М.: Ротапринт ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР, 1978.

8. X а л я в к о В. И. Обтекание кругового цилиндра вихревым потоком идеальной несжимаемой жидкости. — В кн.: Самолетостроение и техника воздушного флота: Республиканский межведомственный научно-технический сб., 1968, вып. 13.

9. Я р м и ц к и й А. Г. Обтекание кругового цилиндра потоками несжимаемой жидкости с линейной связью между вихрем и функцией тока,—Изв. АН СССР, МЖГ, 1968, № 5.

10. Вильховченко С. Д. Гидродинамическое воздействие на контур со стороны потока идеальной несжимаемой жидкости с постоянной завихренностью. — Изв. АН СССР, МЖГ* 1978, № 1.

11. Якимов Ю. Л. Движение цилиндра в произвольном плоском потоке идеальной несжимаемой жидкости. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1970, № 2.

12. Ярмицкий А. Г. Формула Жуковского для подъемной силы цилиндра в произвольном установившемся потоке идеальной несжимаемой жидкости. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1981, № 2.

13. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. — М.: Мир,

1973.

14. Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления.— М. — Л.: ОНТИ, 1937.

Рукопись поступила 12/УН 1985