Асимптотический анализ задачи конвективного теплообмена тела в плоском потенциальном потоке при больших числах Пекле Текст научной статьи по специальности «Математика»

________ УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXXI ' 2 0 00

М3—4

УДК 532.526.011.6

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЗАДАЧИ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА ТЕЛА В ПЛОСКОМ ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОТОКЕ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ ПЕКЛЕ

А. В. Кашеваров

Для плоских потенциальных течений исследовано асимптотическое поведение точного решения уравнения энергии при числе Пекле Ре -> оо вблизи поверхности кругового цилиндра и продольно обтекаемой пластины конечной длины. Проведено сравнение с соответствующими точными решениями обычного уравнения температурного пограничного слоя и уравнения типа пограничного слоя, возникающего в результате применения преобразования Буссинеска. Показано, что последнее является предельной асимптотической формой уравнения энергии при Ре —► оо. Отмечена асимптотическая связь функций ¥ет(г,-д) и других функций Матье при д —>ооиг—» 0 с функциями параболического цилиндра.

Допущение о потенциальном характере обтекания тела при теоретическом изучении его теплоотдачи формально оправдано для течений жидкости с числом Прандтля Рг -> 0, так как при этом число Рейнольдса Ле -> оо, если число Пекле Ре = Яе Рг = 0( 1). Рассмотрение задачи конвективного теплообмена в такой постановке имеет главным образом математический интерес, так как в плоском случае указанное допущение позволяет получать точные решения как полного уравнения энергии, так и двух упрощенных его форм, используемых при больших числах Ре » 1.

Первая упрощенная форма представляет собой классическое уравнение температурного пограничного слоя. Известны два точных его решения в случае Рг —> 0 [1]: для теплообмена в точке торможения плоского потока и для теплоотдачи продольно обтекаемой пластины с постоянной температурой стенки.

Другой способ упрощения уравнения энергии, пригодный только для плоских потенциальных течений, применялся в [2]. Использовав в качестве

независимых переменных потенциал ф и функцию тока V)/ (преобразование Буссинеска, сводящее любой плоский контур к разрезу по оси <р), в преобразованном уравнении энергии пренебрегли членом 92Г/5ф2 по сравне-2 2

нию с д Т / ду и получили уравнение типа пограничного слоя, по виду совпадающее с обычным уравнением температурного слоя для плоской пластины. Вернувшись к исходным переменным х, у в его известном решении, можно определить параметры теплоотдачи для произвольного плоского тела. В частности, в [2] было найдено распределение числа Нус-сельта N11 по обводу кругового цилиндра. Кроме условия постоянства температуры стенки, рассматривались и другие типы граничного условия, например, постоянство теплового потока на стенке.

Точное решение полного уравнения энергии при обтекании произвольного тела плоским потенциальным потоком было впервые получено в [3] в эллиптической системе координат при использовании уравнения энергии в форме Буссинеска.

В отличие от [3] в [4] - [7] уравнение энергии решалось в естественных координатах, связанных с телом. В [4] найдено решение для кругового цилиндра в полярной системе координат. В [5] рассмотрены эллиптический цилиндр и пластина под произвольным углом атаки, решение [3] является частным случаем общего решения [5]. В [6] на примере профиля Жуковского изучена задача конвективного теплообмена в потенциальном потоке для произвольного контура тела и показано, что для ее решения на основе полного уравнения энергии достаточно найти связанную с телом ортогональную криволинейную систему координат конформного образа прямоугольной декартовой сетки. В [7] получены точные решения уравнения энергии для кругового цилиндра и пластины при других типах граничного условия на поверхности тела, таких же как в [2].

В [4] -— [7] проводилось сравнение параметров теплоотдачи, даваемых решениями полного уравнения энергии и его упрощенных форм, путем расчетов по точным формулам. В предлагаемой статье с этой целью применен аналитический подход. Он необходим для того, чтобы выяснить, какая из двух упрощенных форм является предельной асимптотической формой уравнения энергии при числе Пекле Ре -> оо, т.е. приводит к тому же результату для коэффициента теплоотдачи, что и решение полного уравнения энергии в пределе Ре—>со. Заметим, что указанные упрощенные уравнения в общем случае не тождественны и могут давать несовпадающие результаты. Соответствующий пример будет приведен ниже.

1. Постановка задачи. Уравнение энергии может быть записано в безразмерном виде

Ре(нУ)Г - АТ = 0; (1)

здесь Т — избыточная температура жидкости, отсчитываемая от характерной температуры поверхности тела, и — поле скоростей течения.

Для плоского потенциального обтекания произвольного тела, когда и=Уф, точное решение уравнения (1) есть [6]

Т = 1 - ехр[2х сИ(£, - ^ 0) соз(т| - у)] х

00

х '£,Ст рект(^-^0 -?)се/и(т1-7-?), (2)

т=О

где х =Ре/2, q = х2, Рек„ и сеш — функции Матье [8] (в [4] - [7] Рек», обозначались просто как Ре„,), %,г\ — связанные с телом ортогональные криволинейные координаты конформного образа прямоугольной декартовой сетки, £,о — «радиальная» координата поверхности тела, у — угол атаки. В частном случае продольного обтекания пластины: Е,, г] — эллиптические координаты, 4о = У = 0, число Ре определяется по четверти длины пластины. Для кругового цилиндра в (2) необходима замена £ - Е, 0 = 1п г, Г| - у = 0, где г, 0 — полярные координаты; угол 0 отсчитывается от задней критической точки, число Ре определяется по радиусу цилиндра.

Для постоянной температуры стенки постоянные интегрирования Ст равны [6]

С,„ =

2се2„ (0 ,-q)42n) ^ 2 се2„+1 (0,-д)Х в\2п+Х)

2п ~ /Л м- і /Л \ ’ 2п+\ ~

се2„ (0, <?) Рек2„ (0,-д) 8е'2й+1 (0, д) Рек2„+1 (О,-?)

Здесь Ао’^, В\2п+1^ — коэффициенты разложений в тригонометрические

ряды функций се2и(0,#) и зе2„4і(0, д) соответственно, штрих означает производную.

Уравнение температурного пограничного слоя для произвольного тела при Рг -* 0 имеет вид [1]

Ре

V

u(x)Tx-rd*by

д^Т

О)

ду

где х, у — координаты вдоль и по нормали к поверхности тела, причем х отсчитывается от точки торможения, и(х) — скорость невязкого течения.

Для продольного обтекания плоской пластины уравнение (2) принимает вид

Ре/. дТ/дх = &Т1ду2. (4)

Здесь число Pe7j определяется по длине пластины. Решение уравнения (3) с граничными условиями Г(л:,0) = 0 (постоянная температура стенки) и Т(х, оо) = 1 выражается через интегральную функцию вероятности ошибок

T(x,y) = erf(yJPeL/х/2) . (5)

Распределение числа Нуссельта Nu(x) = дТ!ду\у=0 по длине пластины дается выражением

Nu(x) = ^fPeJJnx . (6)

Другое точное решение имеется для теплообмена в точке торможения потока х - у = 0. В частности, для кругового цилиндра и(х) = 2sim:, и при х = 0 уравнение (2) принимает вид

-2Р eydT/dy = d2T/dy2.

При тех же граничных условиях, что и выше, имеем

r = erf(VPey), Nu(0) = 2VРе/п . (7)

На основании решения уравнения типа температурного пограничного слоя вида .

РеЭГ/Эср = <Э2Г/дц)2 (8)

для распределения числа Nu по обводу кругового цилиндра с постоянной температурой стенки в [2] получено

Nu(jc) ~ 2VPe/7rcos(jr/2) ^

В передней критической точке цилиндра числа Nu(0), определенные по формулам (9) и (6), совпадают.

Рассмотрим теперь теплообмен в боковой точке кругового цилиндра при х = 7i/2. Уравнение (3) при этом принимает тот же вид (4), что и для случая пластины, только вместо Ре/, в (4) должно стоять 2 Ре. Подставляя в (6) 2Ре вместо Ре/, и х = тс/2, найдем Nu(u/2) = 2Реш/л:, в то время как (9) дает 1Ми(л/2)= 2(Ре/л)1,2, т.е. асимптотические при Ре -> оо формы полного уравнения энергии (3) и (8) приводят к различным результатам.

Согласно принципу [1], для получения из полного уравнения энергии решения, соответствующего предельному случаю течений с очень большим числом Ре, предельный переход при Ре -> 00 будем выполнять не в самом уравнении (1), а в его решении.

Нетрудно видеть, что, например, в случае кругового цилиндра уравнение теплового пограничного слоя (3) получается из полного уравнения энергии (1), если сделать в нем замену г = 1+^, 0 = п - х (для 0 е [0, л]) и, устремив Ре —> оо, у —> 0 так, чтобы -/Рёу = 0(1), пренебречь членами о( 1). Задача состоит в том, чтобы выполнить указанный предельный переход непосредственно в решении полного уравнения энергии (2). Это потребует использования для функций Матье асимптотических формул.

2. Асимптотика функций Матье. Остановимся здесь сначала на известных результатах из теории функций Матье. Из формул [8] легко получить следующу ю асимптотику при д » 1 в промежутке 0 < г < л

Эти формулы не применимы в точках г = 0 и г = п. При д -> +оо и г О известна также асимптотическая связь функций сет(г,-^) с функциями параболического цилиндра, такая что [8], [9]

Здесь Д,(0 = и (-/7-1/2, — два разных обозначения одной и той же

функции параболического цилиндра.

В формулу (2) входят еще радиальные функции Матье ¥ек.т{г,-д). Это вторые решения модифицированного уравнения Матье

Для асимптотического анализа формулы (2) требуется знать асимптотическое поведение функции ¥ект{2,-д) при д -> +оо и г —> 0. Легко показать, аналогично тому, как это сделано в [7] для функции сет(г,-д), что функция ¥ект(2,-д) также связана с функцией параболического цилиндра.

При г « 1 имеем сЬ 2г = 1 + 2г2, и уравнение (12) можно записать

х[е2* (2/2)±е~2ХС05г со84"+1(*/2)]Ат2"+1 7,

^=(-1Г22'’-1/2се2„(0,9)се2я(0,-^)/42и)(7ГХ),/2, [ (Ю)

^+1=Н)"22"“1/25е^+1(0,^)се2„+1(0,-^)/х51(2п+1)(71Х),/2:

се2„(г,-?)

се2и+і(г>-'?).

~^2„/)2„(22Х1/2) = ^(-2и-1/2,2*х,/2), (П)

*2„=(-1)п(Хп/2)Ш[(2пУ1]/2.

(12)

Первое решение уравнения (12) обозначается Сет(г,-д), причем

Сет(г,-д) = сет(йг, -д),

(13)

(14)

Сделаем в (14) замену г = Сд ~У4/2 и положим д оо, г ->• 0 так, что ^1/42 = 0(1) (это означает л/Реу = 0(1)). Известно, что при д -> оо для собственных значений р = Лги и р = &2п+ь соответствующих функциям Рек2„(г,-<7), Рек2л+](2,-<7), имеется асимптотика

а2п \ + 2д~(Ъп + 2)д1'2.

*2п+1]

Таким образом, уравнение (14) примет стандартный вид уравнения Вебера [9], [10]

А/^2 ~42/4 + а)и> = 0. (15)

Причем здесь а = 2п + 1/2. Стандартными решениями уравнения (15) являются функции параболического цилиндра 11(а, С), У(а, С,). При полуце-лом а известны выражения этих функций через другие специальные функции. Например [10], '

2 2 и(-п-\12,г) = ё~г /4Л„(г), К(« + 1/2,2) = л/27тй?г /4й*(г),

к (г) - (-1)" ег212 4в-2 7 2, л; (г)=(-/)" к т

(16)

Здесь Л„(г) и к*п(г) — полиномы Эрмита от действительного и чисто мнимого аргумента. Формулы (16) означают, что

Щ-п-\12,а) = 1п^й2У{п + \12,г).

Отсюда и из (11), (13) следует, что при д -> +оо и г -> О

Се2п(2-д) 1 ^ (_1)я^77К(2|| + 1/2>2гх1/2)> (1?)

С^2п+\^~Я))

На основе формул [9] можно получить члены асимптотических разложений этих функций более высокого порядка.

Естественно предположить, что вторые решения Рект(г,-д), рекомендованные в качестве стандартных, асимптотически связаны при указанных условиях с другими стандартными решениями уравнения Вебера

Рек2и(г-<7) | 2пщ2п + 1/2,2гх112). (18)

¥ек2п+\{2-д)\

Коэффициенты /2я не существенны в проводимом исследовании, так как функции ¥ект(г-д) в (2) нормированы на их значения при г = 0. Известна явная формула для и{п+М2, г) [ 10]:

$

Здесь кп (z) — полиномы, определяемые по рекуррентным соотношениям

k„+i(z) = zkn(z) + nk„_](z), к] (z) = l, k0(z) = 0. В частности, при п = 0 имеем

С/(1 /2,z) = ez2/4jе~*2l2dt = е*174erfc^/V2) (20)

Z

Здесь erfc (z) = 1 - erf (z) — дополнительный интеграл вероятности ошибок.

Для полноты картины приведем связь с функциями параболического цилиндра других функций Матье, не имеющих отношения к рассматриваемой задаче конвективного теплообмена. В [8] введены функции fek;H(z,-g) = Im[Fekm(-zz,-<7)]. Из (18), (19) получим при q -> +оо, z -> 0

Для функций &е2п+\(г,-д), &в2,н2(2~я) известна асимптотическая связь с функцией параболического цилиндра типа формулы (11), в которой необходимо заменить п на и+1 [9]. Можно показать, что формулы для функций 8е2„+1(г,^г) и 8е2„+2(г,-?), Ое2п+1(г,-ц) и в е2„+2(2,-^), %ек2п+^,-д) и gek2„+2(z,-^) получаются из (17), (18), (21) этой же заменой.

Полученные здесь простые результаты отсутствуют в монографии [8], справочнике [9], обзоре [11] и работе [12], посвященной исследованию асимптотического поведения решений уравнения Матье при произвольных pv^q. Видимо, до сих пор они не были отмечены.

3. Решение задачи для кругового цилиндра и пластины. Подставляя г = \+у, 0 = п - X в (2), при у « 1 получим

fek 2n(z~q) fek2„+i(z,-9)

(-l)n^72f2nV(-2n-\/2,2zxm). (21)

Здесь [ 10]

k»(z) = {-i)n lk*n(-iz)(n> 0), Atq (z) ~ 0 ■

Г = 1-ехр£-2х(і + 72/2)>08*]^СтРекот (-у ,-д)сет (п-х-д).

/я=0

Используя (10), (11), (18), можно получить, что при}> -» 0, д -> оо

00

х 2](-1)яС*1/(2л +1 / 2,2 х17 2>0 вігі4"+1 (л/ 2)/вігі 2"+І х,,

и=0

с* 22п+1 Ц2(-2п- 1/2,0)

”_(2п)! £/(2и +1/2,0) ' .

Значения функций параболического цилиндра в нуле известны [10]

и(-2п-1 /2,0) = 2" л/л/Г(1 /2-л), С/(2я + 1/2,0) = 2-"-172 ^/я/г(и +1).

Выражение (22) не определено в точке торможения (х = 0), однако при х—>0 существует конечный предел, обусловленный только первым членом ряда в (22). Используя (20) и вспоминая выражение для %, убедимся, что при д: —> 0 выражение (22) превращается в то же самое (только асимптотическое) равенство (7), которое было получено из точных решений упрощенных уравнений энергии.

Найдем распределение по обводу цилиндра числа Ыи(х) на основе асимптотической формулы (22). Для этого понадобится выражение [10]

Дифференцируя (22) и устраняя особенность при х = 0, получим, что при Ре -> со

Поэтому после преобразований получим

С* =23(и+172)Г(и + 1/2)Д.

и'(2п + И2,0) = -2~пурИ/Г(\/2 + п) .

00

№і(*) ~ 2л/Ре/п 8еф:/2)£(-1)п Щ2п(х/2).

Заметим, что при 1§2(х) < 1

Окончательно имеем при х < л/2, т. е. для передней поверхности цилиндра, формулу (9), которая была получена ранее из упрощенного уравнения энергии типа уравнения пограничного слоя (8).

В случае продольного обтекания пластины конечной длины также можно провести аналогичный асимптотический анализ точного решения полного уравнения энергии (2). Переходя к числу Ре/, (х = Ред/8) при Ре/, -» оо, у 0, можно получить с учетом следующей связи эллиптических

координат г] с координатами пограничного слоя х = (1 + cosr|)/2,

Для распределения числа Nu(jc) по длине пластины будем иметь

Ряд сходится при х < 1/2, и его сумма равна единице. Следовательно, на передней половине пластины для Ми(;е) получаем тот же результат, который дает уравнение типа температурного пограничного слоя (8), а также классическое уравнение (3), которые в данном случае тождественны

При обтекании плоским потенциальным потоком произвольного контура предельная асимптотическая форма уравнения энергии при Ре -> оо представляет собой уравнение (8), получающееся из полного уравнения энергии преобразованием Буссинеска, сводящим любой контур к отрезку действительной оси В ПЛОСКОСТИ ф, ф, т. е. к пластине, и последующим пренебрежением членом сРт/дф2 по сравнению с с^Т/дці2.

1. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. - М.: Наука. - 1974.

2. Grosh R. J., Cess R. D. Heat transfer to fluids with low Prandtl numbers for flow across plates and cylinders of various cross section//Trans. ASME. — 1958. V. 80, № 3.

3. Борзых А. А., Черепанов Г. П. Плоская задача теории конвективной теплопередачи и массообмена//ПММ. — 1978. Т.42, № 5.

4. Кашеваров А. В. Точное решение задачи конвективного теплообмена для кругового цилиндра в жидкости с малым числом Прандтля//Изв. РАН. МЖГ. — 1994, № 1.

5. Кашеваров А. В. Точное решение задачи конвективного теплообмена для эллиптического цилиндра и пластины в жидкости с малым числом Прандтля//Изв. РАН. МЖГ,— 1996, № 3.

у = \ sinr|/2 = %yjx{\-x)

2лг(1 — jc) J22n+\l-

PeL } H)"*

(l-x)"+,/2 ’

n

(cp. (4) и (8)).

ЛИТЕРАТУРА

6. Кашеваров А. В. О решении задачи конвективного теплообмена при плоском обтекании тела жидкостью с малым числом Прандтля// Изв. РАН. МЖГ. — 1997, № 6.

7. Кашеваров А. В. Теплоотдача кругового цилиндра и пластины в жидкости с малым числом Прандтля//ТВТ. — 1998. Т. 36, № 2.

8. Мак-Лахлан Н. В. Теория и приложения функций Матье. — М.: Изд-во иностр. лит. — 1953.

9. Справочник по специальным функциям/Под ред.: Абрамовиц М., Сте-гун И. М. — М.: Наука. — 1979.

10. Миллер Дж.Ч.П. Таблицы функций Вебера. — М.: ВЦ АН СССР, — 1968.

11. Meixner J., Schafke F.W., Wolf G. Mathieu functions and spheroidal functions and their mathematical foundations. Further studies. Lecture notes in math. V. 837. — Berlin etc.: Springer. — 1980.

12. Barrett W. Mathieu functions of general order: connection formulae, base functions and asymptotic formulae//Phil. Trans. Roy. Soc. London. — 1981. A301, № 1459.

Рукопись поступила 9/VI 1999 г.